Historia de Shipastik


Picos en todas partes


Lo llamamos Spikey, y en mi vida hoy lo encuentro constantemente:



Proviene de un objeto tridimensional, un poliedro llamado "sexagésimo rómbico".



Pero, ¬Ņcu√°l es su historia y por qu√© lo convertimos en nuestro s√≠mbolo?

El origen de la espina


En 1987, cuando est√°bamos desarrollando la primera versi√≥n de Mathematica, una de sus innovaciones fue la posibilidad de generar gr√°ficos tridimensionales independientes de la resoluci√≥n basados ‚Äč‚Äčen descripciones simb√≥licas. En las primeras demostraciones, esto nos permiti√≥ producir im√°genes sorprendentemente claras de poliedros regulares. Pero, al acercarnos al lanzamiento de Mathematica 1.0, quer√≠amos usar un ejemplo m√°s impresionante. Por lo tanto, decidimos tomar el √ļltimo poliedro regular, el icosaedro , y hacer algo m√°s complejo al darle una forma de estrella o, m√°s correctamente, acumulaci√≥n. S√≠, as√≠ es como se ve√≠a la primera interfaz de port√°til hace 30 a√Īos.



Al principio fue solo una buena demostración que funcionó bastante rápido en nuestras computadoras de esa época. Pero pronto el objeto tridimensional generado por él comenzó a ser utilizado de facto como un logotipo para Mathematica. Y para cuando se lanzó la versión 1.0 en 1988, el icosaedro estrellado estaba en todas partes:



Con el tiempo, comenzaron a aparecer varias dedicaciones a nuestro poliedro estelar, hechas en diferentes materiales y tama√Īos:



Pero, solo un a√Īo despu√©s del lanzamiento de Mathematica 1.0, est√°bamos listos para lanzar Mathematica 1.2, y para transmitir la complejidad del producto, necesit√°bamos un logotipo sofisticado. Uno de nuestros desarrolladores, Igor Rivin, defendi√≥ su tesis doctoral sobre poliedros en el espacio hiperb√≥lico, y gracias a sus esfuerzos, los materiales para la versi√≥n 1.2 fueron decorados con un icosaedro hiperb√≥lico:



Mis empleados me regalaron una camiseta con el Shipastik moderno para mi 30 cumplea√Īos en 1989, y una cita que apoyo incluso despu√©s de tantos a√Īos:


‚ÄúLa compa√Ī√≠a es divertida‚ÄĚ

Después del lanzamiento de Mathematica 1.2, en nuestros materiales de marketing se podía encontrar una colección completa de poliedros regulares hiperbólicos, pero con el advenimiento de la versión 2.0 en 1991, decidimos que nos gustaba más el icosaedro hiperbólico:



Pero continuamos explorando otras formas claveteadas. Inspirado por el dibujo de Leonardo da Vinci de un "modelo de madera" del icosaedro estrellado (hecho con una perspectiva sorprendentemente precisa) para el libro de Luke Pacioli "Sobre la proporción divina", pedimos un póster de la versión 2.0 donde cinco tetraedros de intersección están dispuestos de modo que sus vértices exteriores formen el dodecaedro:



Hoy, al revisar mis archivos de 1991, encuentro el c√≥digo "explicativo", y es agradable ver que se ejecuta f√°cilmente en nuestra √ļltima versi√≥n de Wolfram Language (aunque hoy se puede escribir de manera un poco m√°s elegante):



A lo largo de los a√Īos, esto se ha convertido en un extra√Īo ritual: en preparaci√≥n para el lanzamiento de la pr√≥xima versi√≥n principal de Mathematica, organizaremos reuniones serias en las que participaremos en "elegir un nuevo Shipastik". A veces tienes que elegir entre cientos de opciones diferentes creadas usando algoritmos completamente diferentes:



Pero, aunque las paletas de colores est√°n mutando, y los Shipastiks a menudo reflejan la presencia de nuevas caracter√≠sticas en el sistema (aunque de manera algo impl√≠cita), tenemos una tradici√≥n de 30 a√Īos de elegir opciones para un dodecaedro hiperb√≥lico:



Recientemente, se ha vuelto habitual estudiar el espacio paramétrico, aunque ahora ya hemos acumulado cientos de parámetros:



El dodecaedro hiperb√≥lico tiene 20 picos: fue ideal para celebrar el 20 aniversario de Mathematica en 2008. Pero cuando quer√≠amos hacer algo similar para el 25 aniversario en 2013, nos enfrentamos con el problema de la falta de poliedros regulares con 25 v√©rtices. Pero (de hecho, utilizando la funci√≥n SpherePoints [25]), pudimos crear una figura aproximada e imprimirla en una impresora 3D para todos los empleados de la empresa, con tama√Īos correspondientes a la duraci√≥n del servicio de los empleados.



Salga de Wolfram | Alpha


En 2009, nos estábamos preparando para el lanzamiento de Wolfram | Alpha, y el sistema necesitaba un logotipo. Había muchos conceptos:



Quer√≠amos enfatizar que Wolfram | Alpha funciona mediante c√°lculos, y no, por ejemplo, como un motor de b√ļsqueda. Y durante alg√ļn tiempo quisimos usar algo con engranajes. Pero tambi√©n quer√≠amos que el logotipo se pareciera al logotipo de Mathematica de larga data. Esto dio lugar a uno de esos proyectos como "nuestro general se volvi√≥ loco": la creaci√≥n de un mecanismo de engranajes a partir de formas claveteadas.

Un antiguo usuario de Mathematica y Wolfram Language, un ingeniero mec√°nico de Hungr√≠a, Sandor Kabai, nos ayud√≥ proponiendo "engranajes con p√ļas":



Volviendo a los tetraedros de intersección de la versión 2, creó algo como esto:



En 2009, las impresoras 3D se hicieron muy populares, y pensamos que sería bueno hacer un logotipo para Wolfram | Alpha que pudiera imprimirse. El poliedro hiperbólico no encajaba: los picos podían romperse y representar una amenaza. Las formas como picos de la cuarta versión, con "picos seguros", carecían de elegancia.

Por un tiempo nos aferramos a una idea con engranajes. Pero al final, decidieron que val√≠a la pena echar un vistazo a los poliedros comunes. ¬ŅPero qu√© poliedro podemos elegir?

Por supuesto, hay un n√ļmero infinito de poliedros posibles. Pero para nuestro logotipo, quer√≠amos elegir un poliedro sim√©trico y, hasta cierto punto, "correcto". Cinco poliedros regulares (o "s√≥lidos plat√≥nicos"), cuyas caras son los mismos pol√≠gonos regulares, pueden considerarse los "m√°s regulares" de todos:



Hay 13 cuerpos Archimedean m√°s: tienen v√©rtices id√©nticos y los pol√≠gonos regulares, aunque de diferentes tipos, act√ļan como caras:



Hay muchos tipos de "corrección" de los poliedros. Un ejemplo es el "poliedro homogéneo" que muestra un póster de The Mathematica Journal de 1993:



Durante los a√Īos en que Eric Weinstein recopil√≥ la colecci√≥n, que en 1999 se hab√≠a convertido en MathWorld, trat√≥ de incluir art√≠culos sobre tantos pol√≠gonos como fuera posible. En 2006, como parte de la inclusi√≥n de varios datos sistematizados en Mathematica y Wolfram Language, comenzamos a incluir datos de pol√≠gonos con MathWorld. Como resultado, despu√©s del lanzamiento de la versi√≥n 6.0 en 2007, apareci√≥ la funci√≥n PolyhedronData , que conten√≠a datos completos sobre 187 pol√≠gonos notables:



En Mathematica y Wolfram Language, siempre puede generar polígonos regulares, pero ahora se ha vuelto más fácil de hacer. Con la versión 6.0, también lanzamos el Proyecto de Demostraciones Wolfram, que rápidamente comenzó a reponerse con varias demostraciones relacionadas con los poliedros.

Uno de ellos fue hecho por mi hija Katerina cuando ten√≠a 10 a√Īos (hoy contin√ļa desarroll√°ndose en los campos de la geometr√≠a): estos son "koalas poli√©dricos", desglosados ‚Äč‚Äčpor todos los poliedros de PolyhedronData [] utilizados:



En este contexto, en 2009 queríamos "elegir un poliedro" para Wolfram | Alpha. Todo se decidió el viernes 6 de febrero, cuando me puse a trabajar por mi cuenta.

He conservado ese cuaderno, y muestra que primero intenté implementar la dudosa idea de colocar esferas en los vértices de los poliedros:



Pero, como está registrado en el Historial del cuaderno , solo dos minutos después, cambié a poliedros puros, todos eran de color naranja, que luego queríamos usar para el logotipo:





Los poliedros se organizaron en orden alfabético por nombre, y en la línea 28 apareció: un hexaedro rómbico.



Un par de minutos después, a las 00:24:24 del 7 de febrero de 2009, descubrí este hexaedro rómbico y lo convertí en una posición simétrica, que usamos ahora:



Quería ver cómo se vería en gris y en silueta, y cuatro minutos después usé ColorSeparate para descubrir:



Inmediatamente comencé a escribir un correo electrónico, que envié a las 00:32:

Realmente me gusta RhombicHexecontahedron. Tiene una forma interesante y muy simétrica. Me parece que su precisión nos queda bien, y la silueta se ve bastante razonable.



Obviamente, acabo de copiar RhombicHexecontahedron del cuaderno (dudo que pueda haber escrito el hexágono [hexecontahedron] sin errores). De mis archivos, sé que esta fue la primera vez que escribí el nombre del poliedro, que está destinado a convertirse en mi favorito.

En Wolfram Language, fue muy fácil obtener una imagen de un hexaedro rómbico y jugar con él:



Para el lunes, estaba claro que el hexaedro rómbico había ganado, y nuestro departamento visual estaba ocupado dibujándolo como un logotipo para Wolfram | Alpha. Intentamos varias orientaciones, pero al final nos decidimos por la posición simétrica "a plena vista" que elegí. (También necesitábamos elegir la mejor "distancia focal" para el ángulo más adecuado).



Al igual que nuestro icosaedro estrellado de la versión 1.0, el hexaedro rómbico tiene 60 caras. Pero de alguna manera, gracias a las combinaciones de "cinco pétalos", se ve mucho más elegante. Se dedicó un gran esfuerzo a elegir tal sombreado de las caras para que el dibujo bidimensional reflejara correctamente el objeto tridimensional. Pero pronto presentamos la primera versión oficial de nuestro logotipo:



Rápidamente comenzó a aparecer en todas partes y, como tributo a nuestras primeras ideas, a menudo en un contexto decorado con engranajes:



Unos a√Īos m√°s tarde, corregimos ligeramente el sombreado de los bordes, lo que condujo a la creaci√≥n del logotipo Wolfram | Alpha, que todav√≠a est√° en uso:



Hexágono rómbico

¬ŅQu√© es un hexaedro r√≥mbico? En ingl√©s, se llama hexecontahedron, porque tiene 60 caras, y ŠľĎőĺő∑őļőŅőĹŌĄőĪ (hexeconta) es la palabra griega para "60". Sus caras son rombos dorados , que se llaman as√≠ porque sus diagonales est√°n relacionadas entre s√≠ de acuerdo con la proporci√≥n dorada: ŌÜ = (1 + ‚ąö5) / 2 & sime; 1,618:



El hexaedro rómbico es un cuerpo intermedio interesante entre el icosaedro y el dodecaedro (con el icosododecaedro entre ellos). Los 12 vértices internos del hexaedro rómbico forman el icosaedro regular, y los 20 vértices externos forman el dodecaedro regular. 30 "picos intermedios" forman el icosododecaedro, 32 facetas (tiene 20 caras triangulares y 12 pentagonales):



En total, el hexaedro rómbico tiene 62 vértices y 120 aristas (así como 120-62 + 2 = 60 caras). Tiene tres tipos de vértices ("interno", "medio" y "externo"), que corresponden a 12 + 30 + 20 vértices del icosaedro, icosododecaedro y dodecaedro. En estos vértices 3, 4 y 5 aristas convergen juntas, respectivamente. Cada cara tiene un vértice "interno" en el que se juntan 5 aristas, un vértice externo donde se juntan tres aristas y dos "intermedias" donde se juntan 4 aristas. Los vértices externo e interno son los vértices de ángulo agudo de los rombos dorados, y los intermedios son de ángulo obtuso.

El √°ngulo en los picos puntiagudos de los rombos dorados es 2 tan ‚ąí1 (ŌÜ ‚ąí1 ) ‚Čą 63.43 ¬į, y en los picos romos es 2 tan ‚ąí1 (ŌÜ) ‚Čą 116.57 ¬į. Tales √°ngulos le permiten ensamblar un hexaedro r√≥mbico del constructor Zometool usando solo los soportes rojos (como en el caso del dodecaedro):



De los 120 bordes del hexaedro r√≥mbico de 60 "bisagras internas", el √°ngulo di√©drico es 4ŌÄ / 5 = 144 ¬į, y para 60 externos es 2ŌÄ / 5 = 72 ¬į. Los √°ngulos contra√≠dos por los v√©rtices externo e interno son ŌÄ / 5 y 3ŌÄ / 5.

Para dibujar un hexaedro r√≥mbico, debes conocer las coordenadas tridimensionales de sus v√©rtices. Se obtienen convenientemente utilizando el hecho de que el hexaedro r√≥mbico es invariante con respecto al grupo icosaedro, por lo que puede comenzar con un rombo dorado y simplemente agregar 60 matrices que forman una representaci√≥n tridimensional del grupo icosaedro. Esto, por ejemplo, proporciona las coordenadas finales de los v√©rtices en {¬Ī ŌÜ, ¬Ī 1,0}, {¬Ī 1, ¬Ī ŌÜ, ¬Ī (1 + ŌÜ)}, {¬Ī 2ŌÜ, 0,0}, {¬Ī ŌÜ, ¬Ī ( 1 + 2ŌÜ), 0}, {¬Ī (1 + ŌÜ), ¬Ī (1 + ŌÜ), ¬Ī (1 + ŌÜ)} y sus permutaciones c√≠clicas con todos los signos posibles.

Además del hecho de que las caras de un hexaedro rómbico son rombos dorados, se puede construir un hexaedro rómbico a partir de 20 romboedros dorados (en el que las seis caras son rombos dorados):



Hay otras formas de crear un hexaedro rómbico a partir de otros poliedros. Se puede obtener de cinco cubos de intersección y de 182 dodecaedros en contacto con caras:



No se puede dise√Īar un mosaico continuo de sesenta hexaedros r√≥mbicos, pero se combinan bien entre s√≠ (y, s√≠, vi docenas de Shipastiks de papel pleg√°ndose de esta manera):



También puede hacer todo tipo de anillos y otras configuraciones a partir de ellos:



Un pariente cercano del hexaedro rómbico (RS) es el treinta-tetraedro rómbico (RT). RS y RT tienen caras que son rombos dorados. Pero RS tiene 60 de ellos, y RT tiene 30. Esto es lo que parece un RT separado:



Varios RT est√°n perfectamente invertidos en los bolsillos de RS, y resultan cosas similares:



Sandor Kabay, mencionado anteriormente, se interesó en RSh y RT alrededor de 2002. Y después del lanzamiento del Proyecto de Demostraciones Wolfram, él, junto con el matemático esloveno Isidor Hafner, agregó más de cien demostraciones al proyecto relacionadas con RS, RT y muchas de sus propiedades:



Modelos de papel de punta


Tan pronto como decidimos que Shipastik sería un RS, comenzamos a hacer sus modelos 3D. Ahora es muy simple hacer esto usando la función Printout3D [PolyhedronData [...]], y los modelos ya calculados se pueden encontrar en recursos de terceros .

En mayo de 2009, cuando se lanzó Wolfram | Alpha, ya teníamos muchos Spikes 3D a mano:



Pero, preparándonos para la primera temporada de vacaciones después de este evento, decidimos darles a todos la oportunidad de hacer su propio Shipastik tridimensional. Primero, consideramos la opción con 20 imanes romboédricos recubiertos con plástico. Pero salieron caros y no se pegaron muy bien.

Esto nos llevó a la idea de hacer Shipastik de papel o cartón delgado. Por lo tanto, al principio queríamos hacer un esquema que se pudiera plegar en Shipastika:



Mi hija Katerina sirvi√≥ como probador (y todav√≠a tiene una muestra de prueba), pero qued√≥ claro que aparecen muchas situaciones inc√≥modas en el proceso de plegado, en el que no est√° claro c√≥mo moverse de una posici√≥n a otra. Puede hacer una gran cantidad de dise√Īos (hay 43.380 de ellos solo para el dodecaedro y el icosaedro), y pensamos que tal vez ser√≠a posible elegir algo mejor de ellos:



Pero, cuando no pudimos encontrar tal esquema, tuvimos una idea nueva (aunque obvia): si el modelo se aferrar√≠a a las orejas, ¬Ņpor qu√© no hacerlo con algunas piezas? R√°pidamente nos dimos cuenta de que para esto solo necesitas tomar 12 piezas id√©nticas de este tipo:



Con su ayuda, creamos nuestros " sets para esculturas de papel ":



Una tarea interesante fue escribir instrucciones que fueran fáciles de entender, pero después de varias iteraciones, las instrucciones se volvieron bien desarrolladas y simples:



Y después del papel que Shipastiks envió a la gente, nuestros usuarios comenzaron a enviarnos todo tipo de imágenes de Shipastik "en el terreno":



El camino hacia el hexágono rómbico



El cubo de muchos lados del antiguo Egipto

No se sabe qui√©n describi√≥ por primera vez los s√≥lidos plat√≥nicos. Quiz√°s esto fue hecho por los pitag√≥ricos (que viv√≠an cerca de dep√≥sitos tan grandes de cristales de pirita multifac√©ticos). Quiz√°s alguien hizo esto mucho antes que ellos. Quiz√°s fue contempor√°neo de Plat√≥n, Teetet de Atenas . Pero, en cualquier caso, en la √©poca de Plat√≥n (c. 400 a. C.), se conoc√≠an cinco s√≥lidos plat√≥nicos. Y cuando Euclides escribi√≥ sus Elementos (c. 300 g a. C.), uno de los pilares de este trabajo fue la prueba de la ausencia de otros poliedros regulares. Esta prueba es conocida por dar el mayor n√ļmero de pasos de los axiomas euclidianos originales: 32.

Se usaron sólidos platónicos para dados y adornos. Pero también se le asignó un papel central en el pensamiento sobre la naturaleza; por ejemplo, Platón sugirió que, en cierto sentido, todo podría consistir en ellos: tierra de cubos, aire de octaedros, agua de icosaedros, fuego de tetraedros y cielo ("éter" ) de dodecaedros.

¬ŅQu√© pasa con otros poliedros? En el siglo IV d.C. Papp de Alejandr√≠a escribi√≥ que un par de siglos antes de que Arqu√≠medes descubriera otros 13 "poliedros regulares", aparentemente, lo que ahora se llama cuerpos de Arqu√≠medes, aunque los detalles de esto se pierden. Y durante mil a√Īos, poco le ha sucedido a los poliedros. Pero en el siglo XV, con el comienzo del Renacimiento, los poliedros de repente se pusieron de moda nuevamente. Leonardo da Vinci y Albrecht D√ľrer los usaron regularmente en el arte y el dise√Īo, redescubriendo algunos de los cuerpos de Archimedean, as√≠ como descubriendo nuevos poliedros, por ejemplo, el icodosodecaedro.

Pero el mayor paso adelante para los poliedros fue el trabajo de Johannes Kepler a principios del siglo XVII. Todo comenzó con una teoría elegante, aunque completamente incorrecta. Kepler, sobre la base de suposiciones teológicas, creía que el Universo debería crearse con precisión matemática, y sugirió que los seis planetas conocidos en ese momento se mueven a lo largo de esferas anidadas inscritas y descritas alrededor de cinco sólidos platónicos:



En su libro de 1619 Harmonices mundi, Harmony of the World, Kepler argument√≥ que muchas caracter√≠sticas de la m√ļsica, los planetas y las almas funcionan de acuerdo con relaciones y principios geom√©tricos similares. Para confirmar los argumentos, Kepler estudi√≥ pol√≠gonos y poliedros, especialmente interes√°ndose en los objetos que forman conjuntos completos, como los s√≥lidos plat√≥nicos.

Estudi√≥ los "poliedros de contacto" con los que pavimentar el avi√≥n, y encontr√≥, por ejemplo, " mosaicos monstruosos ", como los llam√≥ (que consisten en pent√°gonos, pentagramas y dec√°gonos). Estudi√≥ los "poliedros estrellados" y encontr√≥ varias versiones estrelladas de s√≥lidos plat√≥nicos (y Kepler - cuerpo de Poinsot ). En 1611, public√≥ un peque√Īo libro sobre la estructura hexagonal de los copos de nieve, escrito como un regalo para el a√Īo nuevo a uno de sus patrocinadores. En este libro, discuti√≥ el empaque tridimensional de esferas (y √°tomos esf√©ricos), proponiendo la hip√≥tesis de que el empaque m√°s denso de bolas en el espacio tridimensional (observamos regularmente su implementaci√≥n en paquetes de frutas en las tiendas) es un empaque c√ļbico centrado en la cara (esta hip√≥tesis se demostr√≥ formalmente solo despu√©s de 2000 a√Īos - usando Mathematica).

En varios paquetes de Kepler, se ocultan diferentes poliedros. Comencemos desde cualquier esfera, tomemos sus vecinos y conectemos sus centros para formar los vértices del poliedro. En el empaque más apretado de Kepler, otros 12 tocan cualquier esfera, y de sus centros se obtiene un cuboctaedro con 12 vértices y 14 caras. Pero Kepler también describió otro paquete, un 8% menos denso, en el que cada esfera está cubierta por otras 8, y otras 6 están muy cerca. Si conectamos sus centros, obtenemos un dodecaedro rómbico, con 14 vértices y 12 caras:



Después de descubrir esto, Kepler comenzó a buscar otros "poliedros rómbicos". En el dodecaedro rómbico que encontró, los rombos consistían en pares de triángulos equiláteros. Pero en 1619, Kepler también estudió rombos dorados, y encontró un rombo de treinta lados, después de lo cual pintó en su libro su hermosa imagen, al lado del dodecaedro rómbico:



Kepler inmediatamente encontr√≥ aplicaci√≥n para pol√≠gonos r√≥mbicos: quer√≠a usarlos y un cubo para construir un modelo de esferas anidadas adecuadas para las √≥rbitas de las cuatro lunas de J√ļpiter descubiertas por Galileo en 1610.

¬ŅPor qu√© Kepler no abri√≥ el hexaedro r√≥mbico? Creo que se acerc√≥ bastante a √©l. Estudi√≥ poliedros estrellados no convexos. Mir√≥ los poliedros r√≥mbicos. Pero, aparentemente, para sus teor√≠as astron√≥micas, un rombo de treinta lados fue suficiente, despu√©s de lo cual dej√≥ de buscar.

Como resultado, por supuesto, las leyes de Kepler, no relacionadas con el poliedro, se convirtieron en la principal contribución a la astronomía que sobrevivió. Pero el trabajo de Kepler sobre el poliedro, aunque llevado a cabo en el marco de una teoría física incorrecta, sigue siendo una contribución eterna a las matemáticas.

Durante los siguientes tres siglos, se encontraron más poliedros de varias correcciones, y para principios de XX los matemáticos ya conocían muchos de sus tipos:



Pero, por lo que puedo decir, no había RS entre ellos. Su descubrimiento aguardaba el trabajo de Helmut Unkelbach . Nacido en 1910, defendió su doctorado en matemáticas en la Universidad de Munich en 1937 (aunque primero estudió física). Escribió varios trabajos sobre mapeo conforme y, tal vez debido al estudio del mapeo de poliedros, en 1940 publicó el trabajo "Poliedros simétricos de borde" en alemán.

Explicó que su objetivo era un estudio exhaustivo de todos los poliedros posibles que satisfagan una nueva definición especial de corrección: todos los bordes tienen la misma longitud y están en el plano de simetría del poliedro. El resultado principal del trabajo fue una tabla con 20 poliedros diferentes de esta propiedad:


Clickable

La mayoría de ellos ya eran famosos. Pero Unkelbach destacó tres de ellos que consideraba nuevos: dos hexaciscosahedra (o disdakis dodecahedron), dos hexacisicosahedra (o disdacystriacontahedron) y lo que llamó Rhombenhexekontaeder, o un hexahedron rómbico. Y él claramente consideró a RSh su principal logro, e incluyó una fotografía de su modelo hecha por él mismo:



¬ŅC√≥mo trajo RS? Comenz√≥ con el dodecaedro y defini√≥ dos de su plano de simetr√≠a:



Luego dividió cada una de sus caras:



Luego, en esencia, exprimi√≥ los centros de cada una de las caras en una distancia igual a la distancia habitual al centro multiplicada por un cierto őĪ:



Para őĪ <1, las caras resultantes no se cruzan. Pero para la mayor√≠a de los valores de őĪ, sus lados no eran iguales. Esto sucede solo en un caso determinado, cuando el poliedro resultante coincide exactamente con el RS.

Unkelbach consider√≥ su trabajo de 1940 como un "calentamiento" para un estudio m√°s extenso de "poliedros sim√©tricos k" con requisitos de simetr√≠a menos estrictos. Pero ya, por supuesto, fue un milagro que despu√©s del comienzo de la Segunda Guerra Mundial , se public√≥ una revista matem√°tica en Alemania; poco despu√©s de esta publicaci√≥n, Unkelbach fue llamado al frente, donde desarroll√≥ torpedos ac√ļsticos para la flota alemana durante varios a√Īos.

No public√≥ m√°s trabajos sobre poliedros, y muri√≥ en 1968. Despu√©s de a√Īos, volvi√≥ al mapeo conforme, y tambi√©n comenz√≥ a publicar sobre la teor√≠a de la votaci√≥n , consider√°ndola la clave para crear una democracia que funcione bien, y pensando que los matem√°ticos estaban obligados a hacer que la gente comenz√≥ a usarlo.

Pero, incluso apareciendo en un trabajo de 1940, el RS podr√≠a quedarse all√≠ para siempre si en 1946 alguien Harold Scott MacDonald Coxeter no escribi√≥ una breve rese√Īa de este trabajo para la revista relativamente nueva American Mathematical Reviews. Su revisi√≥n enumera los poliedros mencionados en el trabajo, ya que un naturalista puede enumerar nuevas especies descubiertas por √©l en una expedici√≥n. Lo principal es que describi√≥ all√≠ el "hexaedro r√≥mbico notable", y mencion√≥ que "la forma de sus caras coincide con la forma de las caras de los treinta lados, de la cual se obtiene dando una forma de estrella".

Los poliedros no eran un tema popular en matemáticas a mediados del siglo XX, pero Coxeter era su principal defensor, y de alguna manera estaba conectado con todos los que los estudiaron. En 1948, publicó el libro The Right Political Scientists. Describe sistemáticamente varias familias de poliedros regulares, en particular, y el gran poliedro estrellado de treinta lados; de hecho, contiene un RS:



Pero en su libro, Coxeter no menciona explícitamente a RS, y aunque fue honrado con las referencias de algunos amantes de los poliedros, RS siguió siendo poco conocido.

Cuasicristales


Los cristales siempre han sido ejemplos importantes de poliedros en la naturaleza. Pero en el siglo XIX, cuando la teoría atómica estaba ganando cada vez más reconocimiento, los científicos comenzaron a realizar investigaciones cada vez más serias en el campo de la cristalografía y la disposición de los átomos en los cristales. Los poliedros comenzaron a aparecer con frecuencia, en particular, en representaciones de la geometría de bloques repetitivos de átomos ("células") en cristales.

En 1850, se sabía que solo puede haber 14 geometrías de este tipo, entre ellas también hay una basada en el dodecaedro rómbico. Son notables por la presencia de simetrías de segundo, tercer, cuarto o sexto orden, que, en esencia, es una consecuencia del hecho de que el espacio solo puede llenarse con ciertos poliedros, al igual que solo los polígonos regulares como los cuadrados pueden llenar un plano bidimensional, triángulos y hexágonos.

¬ŅQu√© pasa con otros materiales no cristalinos, como l√≠quidos o vidrio? Desde principios del siglo XX, la gente ha estado interesada en la posibilidad de la presencia de al menos simetr√≠as aproximadas de quinto orden all√≠. No ser√° posible llenar el espacio con los icosaedros correctos, pero es posible crear secciones de espacio de veinte lados con peque√Īos espacios entre ellos.

Esta pregunta permaneci√≥ sin resolver hasta la d√©cada de 1980, cuando la cristalograf√≠a de difracci√≥n de electrones usando una aleaci√≥n de aluminio y manganeso enfriada r√°pidamente demostr√≥ la presencia de una simetr√≠a qu√≠ntuple. Las teor√≠as para lograr esta simetr√≠a ya exist√≠an, y despu√©s de unos a√Īos, tambi√©n aparecieron im√°genes hechas por un microscopio electr√≥nico, en las cuales las part√≠culas que ten√≠an la forma de un rombo de treinta lados eran visibles:



Y mientras la gente imaginaba cómo estos treinta heptaedros se pueden combinar entre sí, un hexaedro rómbico apareció como un "agujero" en un grupo de 12 trihedros rómbicos:



Al principio se llamaba una estrella de 20 puntas. Pero luego se asoció con descripciones en la literatura sobre el poliedro, y se identificó como RS.

Mientras tanto, la idea de crear objetos a partir de elementos rómbicos estaba ganando cada vez más popularidad. Michael Longe Higgins, oceanógrafo y experto en formación de olas oceánicas, se unió al pasatiempo masivo, y en 1987 patentó un juguete basado en elementos romboédricos, desde el cual era posible ensamblar una "estrella de Kepler" (RS) o una "bola de Kepler" (rombo treinta ):



Y, aunque solo lo descubr√≠ ahora, los bloques rombo√©dricos, que consideramos en 2009 como una opci√≥n para crear "Shipastiks", en realidad fueron producidos por la compa√Ī√≠a Dextro Mathematical Toys (Rhombo.com), que trabaj√≥ en la base de Longge-Higgins en San Diego

La cuestión de llenar con éxito el espacio con figuras tridimensionales, o incluso un plano con figuras bidimensionales, es bastante complicada. Se sabe desde la década de 1960 que, en el caso general, el problema de si un determinado conjunto de formas puede llenar un plano no tiene solución. (En principio, se puede verificar si 1000 de estos formularios se pueden componer entre sí, pero cuantos más formularios consideremos, más recursos informáticos requerirá).

Las personas como Kepler probablemente asumieron que si un conjunto de formas pudiera llenar un plano, entonces esto podría hacerse como un patrón repetitivo. Sin embargo, después de que quedó claro que, en el caso general, este problema no se resolvió, Roger Penrose en 1974 ideó dos formas que pueden llenar el plano sin repetir patrones. Para 1976, Penrose (y Robert Ammann) habían presentado una versión simplificada de estas formas:



Y s√≠, estas formas parecen rombos, aunque no oro. Pero con √°ngulos de 36 ¬į, 144 ¬į y 72 ¬į, 108 ¬į, tienen una simetr√≠a de 5 y 10 veces.

Estos rombos no pueden dise√Īar patrones repetitivos. Pero resulta que pueden dise√Īar un patr√≥n construido de forma sistem√°tica anidada:



Y sí, la parte media del tercer paso es muy similar al Shipastik aplanado. Pero no coincide completamente con él, los rombos externos tienen un formato ligeramente diferente.

Sin embargo, todavía existe una estrecha conexión entre ellos. Imagine que comenzaremos no desde un avión, sino desde la mitad de un rombo tridimensional de treinta cuadrados, que consiste en rombos dorados:



Desde arriba, se ve exactamente como el comienzo del dise√Īo de mosaico de Penrose anidado. Si continuamos este proceso, obtenemos este mosaico:



Si lo miras "desde un lado", puedes ver que estos siguen siendo los mismos rombos dorados:



Después de haber compilado cuatro de estos "techos Wieringa", puede obtener solo RS:



¬ŅCu√°l es la relaci√≥n entre estas estructuras incrustadas y la forma real de formar cuasicristales f√≠sicos? A√ļn no est√° claro. Pero es bastante interesante ver c√≥mo aparecen indicios de RS en la naturaleza.

Históricamente, fue gracias a la discusión de cuasicristales que Sandor Kabaei comenzó a estudiar RS utilizando Mathematica, lo que llevó a Eric Weinstein a descubrirlos, lo que llevó a su inclusión en Mathematica y Wolfram Language, lo que me llevó a elegir uno de ellos para nuestro logotipo. En honor a esto, imprimimos un mosaico de Penrose dentro de nuestro Paper Shipastik:



Espina aplastante


Nuestro Shipastik para Wolfram | Alpha irrumpió en el mundo en 2009 con el lanzamiento de Wolfram | Alpha. Pero también tenemos nuestro Shipastik para Mathematica, que se ha desarrollado y evolucionado durante mucho tiempo. Por lo tanto, cuando construimos nuestra nueva sede europea en 2011, dos Shipastiks compitieron por la presencia en ella.

A nuestro antiguo director de arte Jeremy Davis se le ocurrió lo siguiente: tomar uno de los Shipastiks e "idealizarlo" usando solo su "esqueleto". La decisión de comenzar con RS fue simple. Pero luego lo aplastamos, por lo que apareció la primera versión del logotipo ahora familiar:



Sorpresa brasile√Īa


Cuando comenc√© este art√≠culo, pens√© que toda la historia terminar√≠a all√≠. Despu√©s de todo, ya he descrito c√≥mo elegimos RS para nosotros, y c√≥mo se les ocurri√≥ a los matem√°ticos. Pero antes de terminar de escribir, decid√≠: "Revisar√© todas las cartas sobre Shipastik durante todos los a√Īos, solo para asegurarme de que no me he perdido nada".

Y luego not√© un correo electr√≥nico de junio de 2009 de la artista brasile√Īa Yolanda Kipriano. Ella escribi√≥ que vio un art√≠culo sobre Wolfram | Alpha en una revista de noticias brasile√Īa, llam√≥ la atenci√≥n sobre Shipastika y proporcion√≥ un enlace a su sitio. Han pasado m√°s de 9 a√Īos desde entonces, pero a√ļn segu√≠ este enlace y me sorprendi√≥ ver lo siguiente:



Continué leyendo su carta: "En Brasil, este objeto se llama Giramundos o la" flor de Mandakaru "y está hecho de servilletas como adorno artístico".

Que? En Brasil hay una tradici√≥n asociada con Shipastik, y durante todos los a√Īos no hemos o√≠do hablar de ella. Pronto descubr√≠ sus im√°genes en la red. Una peque√Īa parte de los modelos estaba hecha de papel, la mayor√≠a estaba hecha de tela, pero hab√≠a muchos de ellos:



Le escrib√≠ a mi amigo brasile√Īo que trabaj√≥ en las primeras versiones de Wolfram | Alpha. √Čl r√°pidamente respondi√≥: ‚ÄúEstos objetos realmente parecen familiares. Para mi verg√ľenza, no ten√≠a el deseo suficiente de comparar dos y dos ", y me envi√≥ fotos del cat√°logo local de obras de arte y artesan√≠as:



La caza comenz√≥: ¬Ņqu√© eran estos objetos y de d√≥nde proven√≠an? Alguien de nuestra compa√Ī√≠a dijo que su bisabuela de Chile teji√≥ esas cosas y siempre las hizo cola. Comenzamos a ponernos en contacto con personas que publicaron fotos de "shipastiks populares" en la red. Muy a menudo result√≥ que compraron sus copias en las tiendas. Pero a veces las personas dec√≠an que sab√≠an c√≥mo hacerlas. Y todos ten√≠an casi la misma historia: aprendieron esto de sus abuelas.

Una forma típica de recolectar espigas populares, al menos en nuestro tiempo, es cortar 60 diamantes de cartón. Luego, todos deben envolverse en tela y coserlos juntos:



Pero entonces surge un problema matem√°tico de inmediato. ¬ŅEst√°n estas personas marcando y tallando correctamente rombos dorados con un √°ngulo de 63 ¬į? Por lo general no. Hacen rombos con 60 ¬į a partir de pares de tri√°ngulos equil√°teros: esta es la forma romboidal est√°ndar utilizada en la fabricaci√≥n de colchas. Entonces, ¬Ņc√≥mo surgen los Thornies? Bueno, la diferencia entre 60 ¬į y 63 ¬į es peque√Īa, y si cose las caras juntas, entonces habr√° suficiente espacio entre ellas para maniobrar, por lo que es bastante simple hacer un poliedro sin lograr √°ngulos absolutamente precisos. (Tambi√©n hay cuasi-Shipastiks, en los que, como en la construcci√≥n de Unkelbach, en lugar de caras no hay rombos, sino "tri√°ngulos externos" afilados).

Los picos en Internet se designan de manera diferente. Muy a menudo - Giramundos. A menudo se les llama Estrelas da Felicidade ("estrellas de la felicidad"). El hecho de que a veces se les llame "estrellas de Moravia" es confuso, pero de hecho, las estrellas de Moravia son poliedros mucho m√°s afilados (a menudo hechos de rombocubooctaedro), que recientemente han ganado popularidad como luminarias.

A pesar de una larga investigaci√≥n, todav√≠a no conozco toda la historia de los picos populares. Aqu√≠ est√° lo que descubr√≠.En primer lugar, la mayor√≠a de los picos populares de hoy se concentran en Brasil (aunque tenemos historias sobre su aparici√≥n en otros lugares). En segundo lugar, la tradici√≥n parece bastante antigua, definitivamente apareci√≥ mucho antes del siglo XX y, quiz√°s, varios siglos antes. Por lo que puedo decir, se pasa de boca en boca, como suele ser el caso del arte popular, y no he encontrado ning√ļn documento hist√≥rico real sobre este tema.

La mejor informaci√≥n me la proporcion√≥ alguien Paula Guerra, que vend√≠a picos populares en un caf√© tur√≠stico que ella administraba hace diez a√Īos, ubicado en la hist√≥rica ciudad de S√£o Luis do Paraiting. Ella dijo que personas de todo Brasil vinieron a su caf√©, vieron picos populares, y dijeron algo como "No he visto esas cosas en 50 a√Īos".

Paula misma aprendi√≥ sobre los picos populares (los llama "estrellas") de una mujer mayor que viv√≠a en una granja familiar, que los hab√≠a estado haciendo desde que era una ni√Īa, y aprendi√≥ esto de su madre. Su proceso, aparentemente t√≠pico, consisti√≥ en juntar cart√≥n en alg√ļn lugar (originalmente era algo as√≠ como cajas de sombreros), cubrir las piezas con tela y unirlas para obtener un objeto de unos 15 cm de tama√Īo.

¬ŅCu√°ntos a√Īos tiene un hombre de punta? Esto solo puede ser apreciado por la tradici√≥n oral. Encontramos varias personas que vieron c√≥mo los parientes nac√≠an en el √°rea de 1900 de shipastiks. Paula dijo que hace diez a√Īos se reuni√≥ con una mujer de 80 a√Īos que le dijo que cuando crec√≠a en una granja de caf√© hace 200 a√Īos, hab√≠a un estante completo donde hab√≠a picos populares hechos por cuatro generaciones de mujeres.

Parte de la historia del shipastik nacional parece girar en torno a las tradiciones transmitidas de madre a hija. Se dice que las madres a menudo hicieron espigas como regalos de boda para sus hijas. Por lo general, los shipastiks se hicieron con restos de ropa y otras cosas que recuerdan a las hijas sobre su infancia, algo as√≠ como las colchas de retazos que hoy hacen los ni√Īos que van a la universidad.

Sin embargo, se descubrió otro giro con los picos populares: a menudo, antes de coser un juguete, la madre ponía dinero que su hija podía usar en casos críticos. Y la hija mantuvo su shipastik junto con sus suministros de costura, donde su esposo difícilmente lo habría encontrado. Algunas espigas se usaron como alfileres de almohadas, lo que puede haber servido como un obstáculo adicional para los esposos.

¬ŅQu√© familias apoyaron la tradici√≥n de hacer espigas populares? Desde aproximadamente 1750, ha habido muchas plantaciones de caf√© y az√ļcar en las zonas rurales de Brasil, alejadas de las ciudades. Hasta aproximadamente el siglo XX, los agricultores a menudo llevaban a las ni√Īas a sus novias, a menudo muy j√≥venes, de hasta 13 a√Īos, de ciudades remotas. Quiz√°s estas novias, generalmente provenientes de buenas familias de ascendencia portuguesa, con una educaci√≥n relativamente buena, llevaban espinas populares.

Aparentemente, con el tiempo, la tradici√≥n se extendi√≥ a las peores familias, y b√°sicamente permaneci√≥ all√≠. Pero en alg√ļn lugar a mediados del siglo XX, probablemente cuando comenzaron a aparecer caminos en el pa√≠s, comenz√≥ la urbanizaci√≥n y la gente comenz√≥ a abandonar las granjas, la tradici√≥n casi se extingui√≥. Sin embargo, en las escuelas rurales del sur de Brasil en la d√©cada de 1950, a las ni√Īas se les ense√Īaba en clases de arte para hacer pinchos populares con una ranura especial para usar como huchas.

Los picos populares tienen una historia diferente en diferentes partes de Brasil. En las regiones fronterizas del sur (cerca de Argentina y Uruguay) existe una tradici√≥n seg√ļn la cual "la estrella de San Miguel "(ella tambi√©n es una shipastik popular) fue hecha en las aldeas por mujeres sanadoras (es decir," brujas ") que, durante la fabricaci√≥n de juguetes, ten√≠an que pensar en la salud del paciente.

En otras partes de Brasil, los juguetes a menudo se llamaban nombres de flores y frutas que se parec√≠an un poco a ella. En el noreste - Flor Mandacar√ļ (por el nombre de las flores de cactus). En humedales tropicales - Carambola (despu√©s de las frutas de carambola, a veces llamadas "estrellas tropicales"). En las regiones boscosas centrales - Pinda√≠va (en honor a la fruta de punta roja).



Pero la mayoría de las veces, la popular shipastika se llama Giramundo, una palabra portuguesa bastante antigua que literalmente significa "mundo arremolinado". Aparentemente, los juguetes fueron utilizados como amuletos que traen buena suerte con su rotación en el viento. Las colas comenzaron a unirse a ellas recientemente, pero, aparentemente, era costumbre colgarlas en casas, posiblemente en días festivos.

A menudo no está claro cuál de las tradiciones que dieron origen a la shipastika era original y cuál apareció recientemente. En el desfile en honor del festival de la Epifanía (el nombre local es "el día de los tres reyes") en São Luis do Paraiting, se usaron clavos populares como símbolo de la Estrella de Belén, pero esto, aparentemente, no es una tradición muy antigua, y claramente no muestra ninguna conexión. con religión

Encontramos varios ejemplos de picos populares que aparecen en exposiciones de arte. Una de ellas, realizada en 1963 y dedicada al arte popular del noreste de Brasil, fue organizada por la arquitecta Liina bo Bardi. El otro, donde se exhibi√≥ el m√°s grande de los picos tridimensionales que he visto, fue organizado en 1997 por el arquitecto y dise√Īador Vladavio Imperio:



Entonces, ¬Ņde d√≥nde vienen las espigas populares? Todav√≠a no lo s√©. Podr√≠an aparecer en Brasil, podr√≠an venir de Portugal u otra parte de Europa. El hecho de que usaran piezas de tela y costura para su fabricaci√≥n puede ser un argumento a favor de su origen africano o nativo americano.

Una artesana moderna que hace shipastiks dijo que su bisabuela, que hizo tales juguetes y nació a fines del siglo XIX, proviene de una región de Italia llamada Romagna (y una dijo que aprendió a hacer shipastiks con su abuela, que provenía de canadienses franceses). Creo que es muy posible que los picos populares fueran comunes en Europa, pero se extinguieron hace muchas generaciones, y esta tradición no sobrevivió allí. Y aunque en las pinturas europeas de siglos anteriores aparecen muchos poliedros diferentes, no conozco ninguna imagen de Shipastik entre ellos (tampoco he visto Shipastik en el arte islámico).

Pero estoy bastante seguro de que las espigas populares tienen un punto de origen. Tal cosa difícilmente se habría inventado dos veces.

Debo decir que esta no es mi primera cacer√≠a en el campo del arte. La b√ļsqueda del primer patr√≥n incrustado ( Sierpinski ) result√≥ ser m√°s exitosa , lo que finalmente me llev√≥ a la cripta en la iglesia italiana, donde vi c√≥mo este patr√≥n se descubri√≥ gradualmente utilizando un ejemplo de un mosaico de piedra que data del siglo XIII.

Hasta ahora, Shipastik no se ha rendido tan fácilmente, y complica la situación es el hecho de que básicamente estaba hecho de tela que no sigue siendo tan buena como la piedra.

Los picos cobran vida


Cualquiera sea su origen, Shipastik desempe√Īa el papel de un logotipo fuerte y digno. Pero a veces es divertido revivir el Shipastik, y a lo largo de los a√Īos hemos producido varios Shipastiks personalizados por varias razones:



al usar Wolfram | Alpha, el sistema generalmente muestra un Shipastik geom√©trico. Pero a veces su solicitud lo anima, por ejemplo, solicitudes de ŌÄ el d√≠a pi:

blog.stephenwolfram.com/data/uploads/2018/12/spikey-lives-happy-pi-day-video.mp4

Picos para siempre


Los poliedros son eternos. Se pueden ver en la imagen de hace 500 a√Īos, que se ve tan clara y moderna como el poliedro en mi computadora.

Pasé mucho tiempo buscando cosas informáticas abstractas (por ejemplo, autómatas celulares). También tienen algo de atemporalidad. Pero para ellos no encontré ninguna evidencia histórica. Al igual que los objetos abstractos, podrían crearse en cualquier momento. Pero aparecieron hoy gracias a nuestras plataformas y herramientas conceptuales, y nadie las ha visto antes.

La rica historia y la constancia de los poliedros tienen miles de a√Īos. En apariencia, se parecen a las gemas. Encontrar el poliedro correcto de cierto tipo es como encontrar una gema en un universo geom√©trico de todas las formas posibles.



RS es una de esas piedras incre√≠bles y, al estudiar sus propiedades, comenc√© a apreciarla a√ļn m√°s. Pero tambi√©n es una joya con una historia humana, y es terriblemente interesante ver c√≥mo tal abstracci√≥n, como un poliedro, puede unir a personas de todo el mundo con una historia y objetivos tan diferentes.

¬ŅQui√©n fue el primero en inventar el hexaedro r√≥mbico? No lo sabemos, y puede que nunca lo sepamos. Pero ahora que lo tenemos, √©l se quedar√° con nosotros para siempre. Mi poliedro favorito

Source: https://habr.com/ru/post/437852/


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