Espero que haya fanáticos de los deportes entre los lectores. Si juegas bádminton o tenis de mesa, entonces probablemente te preguntaste: ¿cuál es la probabilidad de ganar el juego con una probabilidad conocida de ganar un punto? Supongamos que pierde contra su oponente con una puntuación de aproximadamente 11: 7. Parecería que solo 4 puntos de diferencia, pero al mismo tiempo no logra ganar el juego. ¿No tienes suerte? Propongo resolver este problema y obtener una respuesta a esta pregunta.
Teniendo una relación indirecta con las matemáticas financieras, sé que para las matemáticas financieras esa tarea parecerá especialmente sencilla. Los posibles métodos para resolverlo son muy similares a los métodos para calcular el precio de la opción. Pero hay matices en esta tarea que son algo atípicos para las finanzas. Veamos las opciones de solución.
Para comenzar, le confié a mi hijo de 15 años, que hace un poco de programación en Python, el método numérico para resolver este problema (usando la palabra clave "un poco"). Le sugerí que probara el método del árbol binario (en riesgo financiero, la analítica generalmente se llama el método binomial o enrejado) y Monte Carlo. Sorprendentemente, Son trató rápidamente con Monte Carlo, escribiendo un código bastante compacto. Si alguien no sabe, la idea de Monte Carlo es hacer una gran cantidad de lanzamientos aleatorios simulando un problema y encontrando una respuesta. Supongamos que eres el primer jugador. En este caso, tenemos la probabilidad de ganar el punto (7 / (11 + 7)) ~ = 0.39. Comenzamos el juego generando un número aleatorio X en el rango [0., 1.]. Si X <0.39, entonces gana el punto. Traemos el juego hasta el final y observamos quién ganó. Para lograr una precisión aceptable, realizamos este procedimiento una gran cantidad de veces. En finanzas, generalmente se usa el rango de 100K a 1M, esto asegura la precisión de 8 dígitos significativos. Mi hijo contó hasta 10K, se le proporcionó al instante e inequívocamente la precisión suficiente. Lo cual, sin embargo, no perseguimos, porque por simplicidad decidimos ignorar la batalla de las cabras. Es decir, el puntaje 11:10 se consideró una victoria. Media página de código es lo suficientemente fácil como para resolver tal problema. Pruébalo y te gustará.
No estaba satisfecho con la simplicidad de la solución con la ayuda de Monte Carlo y decidí cargar a mi hijo con el método del árbol binario. Negó durante mucho tiempo y se quejó de la dificultad. Tuvo que ayudar un poco con el material.
El árbol binario se construye de la siguiente manera. Partimos del marcador 0-0. Si el primer jugador gana el primer punto, sube y sube a la derecha; si el segundo gana, baja y a la derecha. Un movimiento hacia la derecha es un movimiento en puntos desde el principio del juego hasta el final. Para un juego, se muestran hasta 3 árboles completos a continuación. Los vértices de los resultados intermedios se resaltan en azul, amarillo: el primer jugador gana el partido y verde: el segundo jugador gana.
Partimos de la puntuación 0: 0, cuya probabilidad es del 100%. Cada transición a la derecha tiene su propia probabilidad. Denota la probabilidad de ganar un punto por el primer jugador - p1, y el segundo - p2. Naturalmente, la suma p1 + p2 = 1. Recorremos el árbol de principio a fin y calculamos la probabilidad de entrar en esta celda. Para las celdas superior e inferior, la transición solo es posible desde una celda del nivel anterior. Por ejemplo, una puntuación de 3: 0 es posible solo después de 2: 0. La entrada en las celdas restantes se produce desde dos celdas vecinas a la izquierda. Por ejemplo, una puntuación de 1: 1 es posible después de 1: 0 cuando el segundo jugador gana el punto posteriormente, o cuando 0: 1 cuando gana el primer jugador.
Los picos se resaltan en azul, el golpe proviene de uno de los vértices anteriores, amarillo, de dos. Las celdas resaltadas indican el final del juego, es decir, la victoria de uno de los jugadores. Al calcularlos, solo se usa un vértice anterior, ya que el otro es el final de la fiesta después de la cual no se lleva a cabo la transición.
El problema del hijo era representar ese árbol usando herramientas de lenguaje. Se sugirió un gráfico, pero en Python es de alguna manera difícil con esto, o él no lo sabe. Yo mismo casi no estoy familiarizado con este idioma. Tuve que mover esta estructura a una matriz, distorsionándola ligeramente de la siguiente manera.
Además, queda ir en un ciclo doble de izquierda a derecha y de arriba a abajo, contando las probabilidades de las celdas y teniendo en cuenta las condiciones de contorno. Se lanzan en if / if / else. Bueno, queda por resumir las probabilidades de ganar celdas para uno de los jugadores (es posible que el segundo verifique que su suma sea 1).
Y finalmente, el tercer método. Cualquier puntaje final del juego (por ejemplo, 11: 7) implica un cierto número de opciones. Las estadísticas dicen que este es el número de combinaciones de 7 a 17. ¡El valor es 17! / ((17-7)! 7!). 17 es el número total de puntos anotados para esta cuenta menos uno, ya que el último punto siempre gana para el ganador, es decir, 7 perdidos no pueden estar en este lugar. Las posibles opciones para ganar cuentas son las siguientes (Ignorar la pelea de cabras): 11: 0, 11: 1, ..., 11: 10.
Es decir, puede ordenar todos los resultados de un puntaje ganador para un jugador sumando el número de opciones en cada uno de ellos, multiplicado por la probabilidad de este resultado. La tabla contiene los resultados del cálculo de la probabilidad de ganar un punto 39%. power1 es el grado en que la probabilidad de ganar un punto es aumentada por el ganador, power2 por el perdedor.
Todos los métodos anteriores funcionan de manera confiable y dan los mismos resultados.
En conclusión, daré una gráfica de la probabilidad de ganar un partido en tenis de mesa (hasta 11) y bádminton (hasta 21) dependiendo de la probabilidad promedio de ganar un punto.
La línea azul representa el tenis de mesa, la línea naranja representa el bádminton. Como puede ver en el gráfico, para tener al menos algunas posibilidades (~ 3%) de ganar el juego de tenis de mesa, debe ganar al menos el 30% de los puntos. Ya al 25%, las posibilidades van por debajo del 1%.
En bádminton, los requisitos son aún más estrictos. Allí, tomará más del 35% esperar que gane un juego con una probabilidad de alrededor del 3%.
Naturalmente, la probabilidad de ganar un partido (de varios juegos) cae aún más si obtienes menos del 50% por cada punto.
Se sugieren valiosos consejos: para ganar partidos, debes trabajar para ganar cada punto.