Secretos de la mente y las matemáticas

En el antiguo Egipto, los matemáticos no usaban evidencia. Todas sus declaraciones fueron sólo empíricamente fundamentadas. Sin embargo, las pirámides se pararon y los aviones volaron . Y, probablemente, nadie exigiría pruebas estrictas si no fuera por el deseo de refutar algo. Junto con los griegos, las matemáticas encontraron una nueva vida en la que aparecieron problemas como la cuadratura de un círculo, la irracionalidad de una raíz de dos y el problema de la trisección de un ángulo. A partir de ese momento, se requirieron axiomas, leyes de la lógica y teoremas. Pero las matemáticas modernas también están interesadas en lo que es posible probar y lo que no. Se promovió el teorema de incompletitud de Gödel, la formalización de la lógica y la teoría de la evidencia . Propongo una teoría y un axioma que ayudarán a responder algunas de las preguntas restantes y describir los límites de nuestra conciencia. En particular, se trata de cuestiones de integridad, el problema de la igualdad y la axiomatización de nuestra imaginación.



Teoría de los objetos
La lógica matemática estudia las conexiones entre enunciados, pero no su estructura interna. Pero intentemos formalizar las declaraciones mismas. Supongamos que tenemos algunos objetos. No vamos a exigir que sean conjuntos o cualquier otra cosa. Ahora deje que se dé un tercer objeto para cualquier par ordenado de objetos: su "interconexión". Lo escribiremos así:

$$

$$a * b = ab = c; *: (a, b) \ mapsto c$$

La estructura resultante se puede definir como magma (un conjunto con una operación binaria), pero no en algún conjunto, sino completamente arbitrario. Y ahora definimos el enunciado como igualdad algebraica (o desigualdad) en un magma dado.
Ahora explicaré cómo exactamente esta definición refleja la estructura interna de los enunciados. Por ejemplo, se nos dará la siguiente declaración:
El marcador puede pintar el tablero de azul.
Escribimos esto como igualdad:
$$$M * D = SD$ - aplicando un marcador ( $$$M$ ) en el tablero ( $$$D$ ), obtenemos un tablero azul ( $$$Cd$ )
Ahora un ejemplo más complejo:
Un hombre corre bajo la lluvia en la calle.

$$

$$\ begin {cases} Man * Run = Do; \\ Hombre * Lluvia = Ubicado \ "debajo"; \\ Street * Man = Tener \ en \ usted mismo. \ end {cases}$$

Aquí vale la pena señalar que "Hacer", "Tener sobre sí mismo" también son objetos. Tal sistema define exactamente nuestra declaración. Por supuesto, tal diseño puede parecer salvaje e incómodo, pero solo la posibilidad de tal presentación es importante para nosotros. Además habrá ejemplos más sustanciales.

Como probablemente ya haya notado, no requerimos nada de los objetos, excepto alguna conexión con otros. Y eso es correcto. Por ejemplo, todas las definiciones del diccionario se dan como enlaces a otras palabras. Un punto y una línea recta son conceptos indefinibles, pero todas sus interconexiones están definidas. Esto nos lleva a un pensamiento importante.
Cualquier sistema axiomático está definido por relaciones de objetos. Por ejemplo, si hay pares de tales objetos que se comportan entre sí exactamente de la misma manera que una línea recta con un punto, entonces lo serán. El ejemplo más trivial es una familia de conjuntos, donde los elementos son puntos. La intersección de dos conjuntos cualquiera es un elemento único o un conjunto vacío. Y deje que tres elementos definan de manera única todo el conjunto, etc. Es decir, si solo cambio el nombre de los objetos, entonces nada cambiará.
La axiomática es magma.

No pedimos que se proporcione magma en el conjunto, ya que no hay un conjunto de todos los conjuntos:

$$

$$\ # 2 ^ {X}> \ # X$$

Decimos que la axiomática es contradictoria si no tiene objetos y es consistente si existe al menos un objeto.
Por conveniencia, las definiciones que hemos obtenido se denominan Teoría de objetos o Teoría clásica de objetos .

La imaginación
Como la teoría de los objetos también es una axiomática, puede describirse en su propio lenguaje de objetos. Es decir, nos gustaría describir todo tipo de objetos en todo tipo de axiomática. No estrictamente hablando, necesitamos una descripción matemática de la imaginación humana. Propongo el siguiente axioma único para esto:

$$

$$\ forall (x) _i, (y) _i, (x ') _ j, (y') _ j, z \ \ existe x \ \ forall i \ in I, j \ in J \ begin {cases} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {cases}$$

Se puede describir como "hay todo lo que puedas imaginar". Tenga en cuenta que no requerimos la existencia de al menos un objeto. Esto se hace para que la consistencia axiomática sea equivalente a la existencia de al menos un objeto. Ahora probamos varios teoremas:
Teorema 1. La teoría de los objetos es un conjunto vacío o no un conjunto.

Teorema 2. Hay un objeto para el cual no es seguro si es un conjunto o no.

Una consecuencia del segundo teorema es la hipótesis del continuo. Se puede reformular de la siguiente manera: ¿es un conjunto un objeto cuyo poder es mayor que el poder de un conjunto contable, pero menor que el continuo?
Llamamos axiomática pequeña si hay muchos de sus objetos y grande si no.
Teorema 3. Cualquier axiomática grande está incompleta.

Esto nos lleva a los límites de la conciencia humana. Siempre habrá declaraciones que no podemos probar ni refutar. Y esto, como resultado, es una consecuencia de la paradoja de Cantor. Un caso especial de esto es el teorema de Godel. De aquí se sigue lo incompleto de la teoría de los objetos. No podemos decir con certeza qué es un objeto y qué no. Por ejemplo, ¿un escudo que no se puede romper es un objeto o no? ¿Y la espada que rompe todo? Sin embargo, no pueden existir juntos. Y después de haber hecho una elección de este tipo, tienes que hacerlo una y otra vez.
Nombra dos objetos $$$x$ y $$$y$ igual si:
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
E igual para muchos $$$X$ si:
$$$\ forall z \ in X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Deje que se den dos objetos. Dividiendo dos objetos $$$x$ y $$$y$ llamar a tal objeto $$$z$ que:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

Dado que dos objetos forman un conjunto, existe división para dos objetos cualesquiera. Por lo tanto:
Teorema 4. Los objetos iguales no existen.
No es fácil decir que en matemáticas no hay igualdad, solo hay isomorfismos.
Por ejemplo, imagine que hay dos gemelos que se ven exactamente iguales. Para muchas personas sacadas de la calle, esta es la misma persona, solo una copia. Pero para la madre, estas son dos personas diferentes. Por lo tanto, con respecto a las personas, son iguales, pero con respecto a la madre, no lo son. Solo podemos decir que los gemelos son isomórficos para los humanos, pero no iguales. En relación con el Teorema 4, se puede obtener un resultado muy paradójico. Se nos dará algún objeto $$$A$ . Y nos gustaría al menos $$$A = A$ . Pero demos el objeto $$$A$ por conveniencia, también el nombre $$$A ’$ , solo una designación. Entonces debe ser $$$A = A ’$ . Pero ahora puedo pensar en estos objetos como dos diferentes y encontrar su división. Es decir, paradójicamente, pero A no es igual a sí mismo. Es decir, no hay una sola declaración verdadera sobre un objeto en la Teoría de los objetos.
De hecho, el punto es que no podemos decir inequívocamente qué objeto tenemos en mente. Podemos establecer un objeto solo para un determinado conjunto, pero hay infinitos objetos de este tipo. Además, hay más que cualquier número de ellos. Por lo tanto, hablando del objeto A, queremos decir que no nos importa cuál de los objetos con las propiedades que necesitamos tengamos en mente. Pero para cualquier objeto, podemos llegar a tal propiedad que los distinga. Por ejemplo: nombre, descripción, longitud, forma, ubicación, etc. Sin embargo, esto, en general, no significa que no podamos elegir un objeto arbitrario o su factorización.

Significado aplicado
Llamaremos a la axiomática enumerable si el conjunto de sus declaraciones (igualdades y desigualdades) es enumerable . Como se desprende de la definición, para una axiomática enumerada hay un algoritmo que puede probar automáticamente los teoremas y formular nuevos. Además, según nuestra definición de enunciados, dicho algoritmo será idéntico a un algoritmo que funcione con alguna estructura algebraica. Tal interpretación potencialmente cumple un sueño de larga data para salvar a los matemáticos de inventar evidencia.

Pensamiento alienígena

La teoría de la categoría tiene una categoría $$$\ mathfrak {SET}$ . Los objetos de esta categoría son conjuntos. Esto significa que la teoría de categoría con $$$\ mathfrak {SET}$ no se puede formular en el lenguaje de la teoría clásica de los objetos, ya que funciona con una colección de objetos más grande que muchos ( $$$\ mathfrak {SET}$ - Una gran categoría). Pero para solucionar esto, es suficiente construir la teoría de los ultraconjuntos. Deje que un ultraconjunto consista en elementos o conjuntos. Luego hay un ultraconjunto que contiene todos los conjuntos. Ahora, reemplazando el concepto de conjunto en el axioma de la imaginación con el concepto de ultraconjunto, obtenemos el resultado deseado. En la Teoría de objetos obtenida, ya podemos definir inequívocamente el concepto de un conjunto. Tal proceso se puede hacer más de una vez, y en ambas direcciones, ya que no existe un ultraconjunto que contenga todos los ultraconjuntos. Esto conduce a la aparición de teorías alternativas de objetos. Pero este no es el final del asunto.
Un área de la teoría de categorías es la teoría de Topos. Ella describe todos esos espacios en los que existe el concepto de un elemento y "mentir". Un caso particular es la teoría clásica de conjuntos. Además, como se sabe, cualquier teoría de conjuntos define de manera única alguna lógica. Por lo tanto, toposs también describe todo tipo de lógicas. Ahora, si miramos nuevamente nuestros axiomas de imaginación, notaremos en él un rastro de nuestros topos "nativos". El concepto de "mentir en": " $$$\ forall i \ en I, j \ en J$ ", y la lógica binaria reside en el concepto de igualdad. Después de todo, o $$$A = B$ o $$$A \ neq B$ .
Teóricamente, podemos reformular la Teoría de los objetos a cualquier otro topos, obteniendo así un mundo inusual para nosotros con sus propias leyes. Uno de los hechos de Topos Theory es la independencia de la hipótesis del continuo. Es decir, que este problema existe en otros peligros. Aparentemente, casi todo tendrá una apariencia similar allí. Sin embargo, es posible que se encuentren diferencias significativas que nos empujen a nuevas ideas.

Conclusión
Los resultados de nuestra investigación son: formalización de la estructura interna de las declaraciones lógicas, el axioma de la imaginación, la teoría de los objetos y cuatro teoremas. Estos últimos afirman la ausencia de igualdades globales en matemáticas, lo incompleto de las axiomáticas grandes y la derivación de algunos resultados previamente conocidos y su generalización de una manera simple (hipótesis de Continuum y el teorema de Godel). La descripción de la estructura de las declaraciones lógicas también ha aplicado significado, lo que hace que sea más conveniente entender el significado de las oraciones, desglosándolas en sistemas de igualdades algebraicas. El desarrollo posterior implica la búsqueda de una lógica (topos) en la que se completen las axiomáticas grandes. Esto proporcionará una oportunidad para una axiomatización unificada de todas las matemáticas (teoría de todo).

Lectura adicional
Teoría de categorías para programadores.
Prueba automática de teoremas. Presentación
Teoría de topos