Algunas palabras sobre teorías físicas como aproximaciones del mundo real

Prólogo

Decidí escribir un breve artículo examinando el nivel actual de desarrollo de algunas teorías físicas (en mi nivel de comprensión) en el contexto de comparación con las teorías llamadas física clásica no relativista.

En primer lugar, quiero señalar que me refiero a la física clásica no relativista como parte de la física teórica, que fue creada en la segunda mitad del siglo XVIII, la primera mitad del siglo XIX por Lagrange , Hamilton y luego expandida por otros físicos durante el siglo XIX (no menciono los nombres de estos físicos que podría contribuir a llevar la teoría y su aparato matemático a una apariencia moderna, incluidos los nativos del Imperio ruso).

Mecánica clásica no relativista y teoría de la gravedad.

Los fundamentos de la mecánica clásica fueron establecidos por I. Newton, quien formuló sus "3 leyes" en el trabajo "Principios matemáticos de la filosofía natural" (año de publicación - 1687), aunque debe mencionarse el principio de relatividad formulado por G. Galilei en 1632 (también uso el año de publicación).

En el caso más simple, podemos decir que la mecánica de Newton (como Lagrange y Hamilton) se puede formular como:

$$

$$\ frac {dp} {dt} = F,$$

donde p es el momento, en el caso general, el llamado "momento generalizado", y F es la fuerza. En ausencia de un campo magnético (y no menciono la interacción débil o fuerte aquí aún más), esta fuerza puede ser conservadora. Una fuerza se llama conservadora cuyo trabajo en cualquier trayectoria no depende de la forma de la trayectoria y la velocidad de movimiento (esto, incluida la referencia a la dinámica relativista, en realidad resulta que el concepto de "fuerza conservadora" no existe en la RS).

Para las fuerzas conservadoras, la ley mencionada anteriormente puede reescribirse como

$$

$$\ frac {dp} {dt} = - \ frac {\ partial U (x)} {\ partial x},$$

donde x es la coordenada generalizada y p es el momento generalizado correspondiente.

Una formulación similar de "2 leyes de Newton" es más general, porque se obtiene escribiendo la ecuación de Lagrange o la ecuación de Hamilton. Las ecuaciones de Lagrange y Hamilton se derivan del principio de menor acción. Una acción es una integral que tiene dimensión J * sy se toma entre 2 configuraciones del sistema, es decir, conjuntos de coordenadas y momentos (x, p). En el caso general, se expresa de diferentes maneras para diferentes enfoques de la mecánica clásica.

Si hablamos de la teoría clásica de la gravedad, se formula en forma de la ley de gravedad de Newton (a través de la fuerza, pero también se puede escribir a través de la energía potencial)

$$

$$F = G \ frac {mM} {r ^ 2},$$

donde la fuerza actúa en la dirección del cuerpo que atrae (esto difiere de la fuerza gravitacional de la fuerza eléctrica, lo que crea una repulsión por las mismas cargas).

La formulación de la ley de la gravedad a través de la energía potencial se puede expresar en la frase más simple:

La suma de la energía cinética T (v) y la energía potencial U ( r ) permanece constante todo el tiempo que la partícula (sistema de partículas) se mueve a lo largo de su trayectoria.
De esta ley puedes obtener la ecuación más simple:

$$

$${\ frac {m} {2} \ left (\ frac {dr} {dt} \ right) ^ 2} + U (r) = E$$

En ese caso, si pudiéramos reducir el problema a la coordenada unidimensional r (la distancia entre los centros de masa de estos 2 cuerpos), podemos escribir la solución al problema a través de la integral:

$$

$${\ left (\ frac {dr} {dt} \ right) ^ 2} = {\ frac {m} {2}} (E - U (r))$$

El siguiente método de solución es sacar la raíz y luego obtenemos la ecuación diferencial más simple con variables separables. Hay 2 problemas aquí:

1. En el caso general de un potencial arbitrario U ( r ), es posible que no podamos tomar esta integral en absoluto.
2. En lugar de la solución habitual al problema r = r ( t ), obtenemos la solución t = t ( r ).

Al final de esta sección, quiero agregar que antes de que A. Einstein creara su forma de la teoría de la relatividad en la segunda mitad del siglo XIX, J. Maxwell generalizó las leyes para los campos eléctricos y magnéticos (que comenzaron a formular 35 años antes, pero por separado). Antes de esto, tales teorías fueron escritas. fórmulas, como la fórmula de la fuerza de Lorentz.


La fuerza de Lorentz (dividida por la carga eléctrica de la partícula) es interesante aquí porque es esencialmente una aproximación al concepto de "intensidad de campo eléctrico E en el marco de referencia de una partícula que se mueve con velocidad v " para velocidades v , mucho más bajas que la velocidad de la luz.

Teoría especial de la relatividad

Special Theory of Relativity (SRT) fue creada en 1892-1905 por las obras de H. Lorentz, A. Poincare y A. Einstein. Describe los sistemas de referencia inerciales (ISO), estrictamente hablando, sus postulados son violados inmediatamente tan pronto como el sistema de referencia deja de ser inercial (la naturaleza del movimiento del sistema deja de ser uniforme y directo). En la teoría del campo cuántico (en mi humilde comprensión), tal "ley" funciona que después de que el CO está en un estado de movimiento no inercial, el primero de los postulados mencionados a continuación deja de cumplirse, incluso para el momento del futuro movimiento uniforme y rectilíneo.
Probablemente todos recuerden los postulados de SRT, de los cuales se derivan las transformaciones de Lorentz, pero las formularé de la siguiente manera:

1. La formulación de todas las leyes de la física no depende de si el sistema está en reposo o se mueve de manera uniforme y rectilínea .
2. La invariancia de la fase de la onda electromagnética en relación con la transición a otro ISO, también conocida como mantener el cuadrado del intervalo entre dos eventos.

De las fórmulas necesarias para mayor consideración, mencionaré lo siguiente:

$$

$$E ^ 2 = (pc) ^ 2 + (mc ^ 2) ^ 2 \: \: \: (1)$$

Describe la relación entre la energía de las partículas, el momento y la masa en reposo .

Una de las consecuencias de la SRT es que una partícula con una masa en reposo superior a 0 no puede alcanzar la velocidad de la luz, aunque la energía aún puede crecer por encima del límite "clásico"

$$

$$E = {\ frac {mc ^ 2} {2}}$$

Esta afirmación es consistente con el hecho de que una partícula elemental puede tener energía cinética, que es significativamente mayor que este valor.

Y, por supuesto, debemos mencionar la métrica de Lorentz, también conocida como la métrica de Minkowski:

$$

$$g = diag (1, -1, -1, -1)$$

A través de esta métrica, uno puede introducir el concepto de "longitud de 4 vectores", los 4 vectores incluyen:

$$

$$4-coordenadas \: (t, r), \: 4 velocidades \: ({\ Gamma}, v {\ Gamma}), \: 4-momentum \ :( E, p)$$

En este caso, apliqué un sistema de notación en el que el tiempo se mide en metros y la velocidad de la luz es la unidad . Es decir, un registro "bueno" de un vector 4 requiere que consista en 4 valores de la misma dimensión.

Una propiedad importante de cualquier 4-vector es que su valor se convierte de la misma manera que los componentes correspondientes de la coordenada 4 cuando se mueve a otro marco de referencia.

En electrodinámica, existe una cantidad tal como una densidad de corriente de 4 dimensiones. El vector de 4 corrientes se puede escribir como:

$$

$$J ^ \ mu = (c \ rho, j)$$

$$

$$J_ \ mu = (c \ rho, -j)$$

También debe mencionarse que hay vectores covariantes (como el primer registro de 4 corrientes) y contravariantes (como el segundo registro). La transición entre estos vectores se lleva a cabo de acuerdo con la fórmula:

$$

$$J_ \ mu = g _ {\ mu \ nu} J ^ \ nu,$$

El acuerdo de Einstein se aplica aquí, lo que significa que este registro significa sumar más de un par de índices idénticos ubicados en la parte superior e inferior.

Y desde el artículo sobre aproximaciones, ciertamente mencionaré cómo se puede mostrar la aproximación de SRT a la mecánica newtoniana y cómo se puede usar. De la fórmula (1), la energía se puede expresar en términos de impulso:

$$

$$E = ((mc ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2) ^ {\ frac {1} {2}} = mc ^ 2 * \ left (1 + \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ approx mc ^ 2 \ left (1+ \ frac {1} {2} \ left (\ frac {p} {mc} \ right ) ^ 2 - \ frac {3} {8} \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 4 \ right)$$

La energía cinética se puede expresar como la diferencia entre la energía total E y la energía restante:

$$

$$T = E - mc ^ 2 \ aprox mc ^ 2 * \ left (\ frac {1} {2} \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 2 - \ frac {3} {8} \ left (\ frac {p} {mc} \ right) ^ 4 \ right) \: \: \: (2)$$

Y en la aproximación p << mc, obtenemos una función para registrar la energía cinética a través del momento:

$$

$$T = \ frac {p ^ 2} {2m}$$

Sin tener en cuenta ningún campo (eléctrico, magnético, gravitacional, etc.) que cree energía potencial, esta fórmula se puede escribir como un caso especial de la función de Hamilton (ver la mención anterior de la mecánica de Lagrange y la mecánica de Hamilton):

$$

$$H = \ frac {p ^ 2} {2m},$$

en un caso más general

$$

$$H = \ frac {p ^ 2} {2m} + U (r)$$

La teoría de la relatividad no puede prescindir del tensor energía-momento (el tensor se puede escribir en forma de matriz de dimensión 4 por 4). Escribiré la definición de este tensor:
El tensor de energía-momento es un tensor simétrico de segundo rango que describe la densidad y el flujo de energía y el momento de los campos de materia.

Existen fórmulas para los componentes de este tensor de una amplia variedad de sustancias y campos, por ejemplo, un líquido en reposo o un campo electromagnético (es decir, SRT opera con un campo electromagnético como un campo con una densidad de energía, energía y flujo de momento). En el último caso, el tensor energía-momento puede escribirse a través del tensor de campo electromagnético F :

$$

$$T ^ {\ mu \ nu} = - \ frac {1} {\ mu _0} (F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ alpha} ^ {\ nu} + \ frac {1} {4} { \ eta} ^ {\ mu \ nu} F_ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta})$$

Al final de esta sección, mencionaré el concepto de invariancia de Lorentz, más precisamente, el caso de la aplicación a cantidades físicas. Esta propiedad se define de la siguiente manera:
La invariancia de Lorentz se refiere a la propiedad de una cantidad a ser preservada durante las transformaciones de Lorentz (generalmente se entiende una cantidad escalar, sin embargo, el término también se aplica a 4-vectores o tensores, refiriéndose no a su representación concreta, sino a "objetos geométricos mismos").

Los valores que poseen la propiedad mencionada se denominan invariantes . Aquí se mencionan muchos invariantes de STR; algunos de ellos son de interés para la masa invariante .

Teoría general de la relatividad

Inmediatamente advierto que no soy un experto en esta parte de la física, por lo que escribiré sobre lo que recuerdo ligeramente del curso de educación física y de varias fuentes, como Wikipedia.

En primer lugar, debe mencionarse el principio de covarianza general . Es una modificación del primero de los postulados de la SRT que mencioné y se puede formular de la siguiente manera:

Las ecuaciones matemáticas que describen las leyes de la naturaleza no deberían cambiar su apariencia y ser justas en las transformaciones a cualquier sistema de coordenadas, es decir, ser covariantes con respecto a cualquier transformación de coordenadas.

Me gustaría comenzar a distinguir GTR de SRT diciendo que el tensor métrico en GR es diferente de la forma del tensor de Minkowski, al tiempo que conserva al menos una de sus propiedades:

$$

$$g_ {ij} = g_ {ji} ^ *$$

donde el símbolo ^* lo usé aquí en el sentido de conjugación compleja. Por supuesto, por definición, no es muy bueno introducir una métrica con elementos complejos del tensor, pero la física no siempre funciona con cantidades reales, por lo que dejaré la expresión en esta forma. En el caso general, puede intentar sustituir cualquier tipo de métrica (es decir, no válida) en las ecuaciones en general, pero luego puede obtener el tensor complejo de energía-momento. Todos los componentes del tensor métrico pueden depender de las coordenadas, pero al mismo tiempo, estas dependencias deben permanecer bastante suaves, ya que el tensor es una solución a la ecuación diferencial.

El concepto de curvatura espacio-tiempo se introduce en la relatividad general a través de conceptos como los símbolos de Christoffel y la derivada covariante (en el sentido que necesito, la derivada covariante se escribe aquí ).

El tensor de curvatura fue introducido por primera vez por el matemático alemán Bernhard Riemann en su trabajo "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ([1]), publicado por primera vez después de la muerte de Riemann. Usando los símbolos mencionados anteriormente, este tensor de cuarto rango se puede escribir de la siguiente manera:

$$

$$R ^ \ iota _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial_ \ mu \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ nu \ sigma} - \ partial_ \ nu \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ mu \ sigma } + \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma} - \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ mu \ sigma}$$

Y una condición suficiente para que todos los componentes del tensor de curvatura sean cero es que todos los símbolos de Christoffel sean iguales a cero:

$$

$$\ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma} = 0$$

La condición trivial para que esto se cumpla es la diagonalidad de la matriz gy la condición para cualquier permutación de los índices.

$$

$$\ frac {\ partial g _ {\ nu \ sigma}} {\ partial x_ \ lambda} = 0$$

Ahora pasaré a cómo obtener espacio-tiempo con tensor de curvatura cero, más precisamente, el tensor de Ricci. El tensor de Ricci es la convolución del tensor de curvatura por el primer y el último índice:

$$

$$R _ {\ sigma \ mu} = R ^ \ nu _ {\ sigma \ mu \ nu}$$

Mirando hacia el futuro, diré que de acuerdo con la ecuación de Einstein, el tensor cero de Ricci solo puede estar en un espacio vacío (cuando todos los componentes del tensor energía-momento son iguales a cero). En tal espacio, no obtendremos gravedad según la teoría de Newton. Aquellos que lo deseen pueden intentar encontrar una métrica que sea diferente de la métrica de Minkowski, pero que conserve el tensor Ricci cero. Es posible que descubras ondas gravitacionales .

Después de la convolución del tensor de Ricci sobre los 2 índices restantes, obtenemos la curvatura escalar:

$$

$$R = R ^ \ nu _ {\ nu}$$

Ahora paso a la ecuación de Einstein, también conocida como la ecuación de Einstein-Hilbert.


Al derivar la ecuación del campo gravitacional, los científicos aplicaron 2 principios:

• principio de covarianza general
• la suposición de que en la aproximación de un potencial gravitacional débil, las ecuaciones de la mecánica deberían reducirse a la mecánica de STR con gravedad newtoniana

Con esto en mente, se descubrió que la acción del campo gravitacional puede ser función de solo 2 cantidades: la curvatura escalar R (en ausencia de masas gravitantes y otras energías, la curvatura debe ser cero) y el determinante del tensor métrico g (para la métrica de Minkowski g = -1).

Considero estas declaraciones probadas por los científicos. Otros científicos podrían introducir una modificación de la acción de Einstein, el ejemplo más famoso es la teoría de Brans-Dicke . Aún no se ha obtenido evidencia suficiente de estas teorías en las observaciones. Aquellos que deseen estudiar la teoría misma pueden leerse, por ejemplo, aquí .
Dada la notación anterior, la ecuación de Einstein se puede escribir de la siguiente manera:

$$

$$R ^ {\ mu \ nu} - \ frac {1} {2} g ^ {\ mu \ nu} R + 8 \ pi G T ^ {\ mu \ nu} = 0,$$

donde G es la constante gravitacional. El breve significado de la ecuación se puede formular de la siguiente manera:

• La fuente de la curvatura del espacio-tiempo es el tensor energía-momento de toda la materia y la energía en este espacio.

En este caso, no menciono la energía oscura (constante cosmológica), aunque considero que su presencia a escala global es la siguiente de las observaciones astronómicas.

Mecánica cuántica

La mecánica cuántica fue creada por físicos para describir sistemas microscópicos. Uno de los primeros logros de la teoría cuántica, que se confirmó en los datos observados, fue el modelo de átomo semiclásico de N. Bohr, creado en 1913. Usaré esta libertad para escribir las ecuaciones de la mecánica cuántica: designaré la constante de Planck reducida con la letra h (en lugar del símbolo " h con un guión"). El postulado de la teoría de Bohr, que tiene una relación mínima con la mecánica cuántica real, es el postulado de cuantificar el momento angular de un electrón de masa m en "órbitas" en un átomo:

$$

$$mvr = nh,$$

donde n es un número natural (en la mecánica cuántica real, el momento puede ser 0, pero este número n , llamado "número cuántico principal", es natural).

Una etapa posterior en el desarrollo de la mecánica cuántica fue la formulación por E. Schrödinger de la ecuación, que luego recibió su nombre. Esta ecuación se escribe a través de un operador especial llamado Hamiltoniano. El operador se obtiene de la función de Hamilton reemplazando el momento clásico con el operador de momento:

$$

$$p_x = ih \ frac {\ partial} {\ partial x},$$

donde x es la coordenada generalizada correspondiente al momento clásico generalizado p _x .

En el caso general, la ecuación de Schrödinger se escribe para la función de onda (indicada por la letra griega "psi") como inestable:

$$

$$ih \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} = \ left (- \ frac {h ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + U (x, t) \ right) \ Psi,$$

aquí se aplica un caso especial cuando en la función de Hamilton de un sistema clásico el momento generalizado tiene la forma de un momento clásico ordinario. Y para el caso de los sistemas conservadores, la ecuación de Schrödinger se puede escribir en forma estacionaria, lo que se puede considerar como una ecuación para encontrar las funciones propias y los valores propios del operador de Hamilton:

$$

$$\left(- \frac{h^2}{2m} \nabla ^2 + U(x,t)\right) \Psi = {E \Psi},$$

donde E es el valor propio correspondiente del operador.

Para considerar la transición de la mecánica cuántica a la mecánica clásica, consideramos reemplazar la función de onda en la ecuación de Schrödinger con la siguiente variable:

$$

$$\Psi = A exp \left(\frac{i}{h} S(x,t)\right)$$

La ecuación de Schrödinger se puede resolver expandiendo la función S (que tiene la dimensión de acción) en potencias de la constante de Planck:

$$

$$S = S_1 +h S_2+ h^2 S_3 + ...$$

Después de sustituir la función S en la ecuación, toma la siguiente forma:

$$

$$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S }{\partial x}\right)^2 + U(x) - \frac{i h}{2m} \nabla ^2 S = 0,$$

donde la constante A se ha reducido.

Para obtener la ecuación de la mecánica clásica (conocida como la ecuación de Hamilton-Jacobi), debemos indicar que la magnitud de la acción S en cualquier trayectoria clásica tiene un valor mucho mayor que la constante de Planck. Después de esto, el último miembro de la ecuación puede descartarse.

Si se necesita una solución más precisa para la ecuación, se aplica la expansión anterior de la acción en potencias de h . La función S ₁ se encuentra como una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, después de lo cual se sustituye en el sistema de ecuaciones obtenido al expandir la ecuación en potencias de h(es decir, que las partes izquierda y derecha deben coincidir, o al moverse en una dirección, los coeficientes del polinomio condicional deben ser iguales a cero).

La ideología de una solución aproximada de la ecuación de Schrödinger (más precisamente, encontrar correcciones a los niveles de energía) se puede formular de la siguiente manera:
Usando las funciones de onda del Hamiltoniano no perturbado H ₀ y el valor de perturbación H ₁ (igual a H - H ₀ ), se pueden usar varias iteraciones nuevas para encontrar nuevos niveles de energía E. El

Hamiltoniano físico El sistema se representa como:

$$

$$H = H_1 + H_2 + ...,$$

donde ... significa que en diferentes casos debemos tener en cuenta un número diferente de enmiendas, que, por regla general, tienen un orden diferente de pequeñez. Estas correcciones al hamiltoniano se llaman perturbaciones, y las funciones de onda del hamiltoniano H ₁ deben conocerse exactamente. La teoría correspondiente para resolver la ecuación se llama " teoría de perturbación ".
Si conocemos las funciones de onda del Hamiltoniano H ₁ , entonces forman la base del espacio lineal (EMNIP). Esto significa que, en general, cualquier función de onda puede representarse como una combinación lineal de funciones de onda del Hamiltoniano no perturbado. Con esto en mente, se puede demostrar que el primer orden de la teoría de la perturbación conduce a un cambio en el nivel de energía n por la cantidad

$$

$$dE_n = < \Psi_n |H_2| \Psi_n>$$

Esta expresión se llama el elemento matriz del operador H _{2 con} respecto a las funciones de onda correspondientes a los estados con los números n y n .

La primera (por tiempo de descubrimiento) y (EMNIP), la mayor desviación de los niveles de energía del átomo de hidrógeno de la predicción de la mecánica cuántica no relativista se puede obtener mediante la sustitución del sistema de operador de energía cinética en forma de una perturbación en forma de una perturbación en forma de fórmula (2):

$$

$$dE_n = < \Psi_n |mc^2 * \left( - \frac{3}{8} \left(\frac{p}{mc}\right)^4\right)| \Psi_n>$$

Podrías ver que este valor es negativo. Hay 2 comentarios Primero, el operador de momento aquí corresponde a un momento relativista, que puede exceder mc , lo que significa que en el caso relativista también crece el primer término en la expansión de la energía cinética. En segundo lugar, cuando la fórmula 2 comience a caer con un impulso creciente, usted sabe con certeza que debería haber tenido en cuenta:

• siguiente término de descomposición;
• el siguiente orden de teoría de la perturbación;
• muchas correcciones al modelo físico (tamaño y forma del núcleo, momento magnético del electrón y el núcleo, masa reducida del electrón).

De acuerdo con mis estimaciones muy condicionales, un método de complicación de este tipo puede funcionar para calcular la energía del nivel de energía 1s en una serie de elementos químicos desde el hidrógeno hasta el lantano (inclusive), y para niveles de energía más altos, incluso más (teniendo en cuenta la corrección de lo que se calcula, por ejemplo, el segundo del orden de la teoría de la perturbación, se utiliza el valor de este mismo nivel, es decir, ya se está produciendo un error) Para estos átomos, ya es necesario tener en cuenta la ecuación de Dirac , y para la visualización más precisa (en el nivel actual de desarrollo) del mundo real, es necesario tener en cuenta la teoría cuántica del campo (electromagnético).

En lugar de un epílogo

Esto concluye mi revisión, ya que se acercó a las fronteras de mi campo de conocimiento. Pero la ciencia no se detiene. En 100 años después de la formulación de GR, se descubrieron ondas gravitacionales, y 100 años después de la formulación de los postulados de Bohr, se descubrió un conjunto completo de partículas elementales y, de hecho, 3 nuevas interacciones fundamentales. La SRT y la mecánica cuántica ya han encontrado aplicación en dispositivos prácticos (estamos hablando no solo de instalaciones científicas experimentales, sino también de muchos dispositivos ópticos ).

Lista de fuentes mencionadas:
1. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13 de 1867