Fractales en números irracionales

Este artículo es una continuación de mi primer artículo , Fractals in Prime Numbers .

Artículo siguiente: Fractales en números irracionales. Parte 2



En un artículo anterior, aprendimos cómo dibujar patrones auto-similares usando números primos mutuos. En este artículo mostraré la naturaleza fractal del número $$$\ sqrt {2}$ .
Sin prólogo. Debajo del gato.

Definiremos terminología y notación. En matemáticas, los sistemas que se describen a continuación se denominan billares . Además usaremos este término. Las dimensiones de los billares rectangulares se denotarán por $$$M$ (ancho) y $$$N$ (altura)

Billar binario

En el artículo anterior, tomamos un billar rectangular con lados $$$M$ y $$$N$ , lanzó una pelota hacia él y marcó la trayectoria con una línea discontinua a través de la celda:



Para mutuamente simple $$$M$ y $$$N$ obtenemos el patrón:



En la versión binaria, marcamos la trayectoria no con una línea discontinua, sino pintando alternativamente las celdas con blanco y negro (formamos una matriz binaria, ponemos 0 para negro y 1 para blanco en la celda correspondiente):



Reglas de reflexión de borde:



Para mutuamente simple $$$M$ y $$$N$ la trayectoria pasa por cada celda:




Si las partes tienen un divisor común, entonces la pelota entra en la esquina antes de pasar por cada celda:



Es conveniente considerar este caso como billar en un rectángulo con lados $$$\ frac {M} {GCD}$ y $$$\ frac {N} {GCD}$ (MCD es el factor común más grande):



Antes de continuar, complete la tabla propuesta por el usuario Captain1312 en su artículo (dividiremos los lados del billar en GCD).

$$$(1, 0)$ un poco

Para cada mesa de billar $$$M$ y $$$N$ toma un poco con las coordenadas $$$(1, 0)$ .



Si $$$M$ es un divisor $$$N$ - luego un poco con coordenadas $$$(1, 0)$ faltante ( $$$\ frac {M} {GCD} = 1$ ) En este caso, tomamos el bit invertido con las coordenadas $$$(0, 1)$ .

Completa la tabla. El origen es la esquina superior izquierda. Por $$$x$ - ancho de billar $$$M$ por $$$y$ - altura $$$N$ . Por cada billar marcamos un poco $$$(1, 0)$ o bit invertido $$$(0, 1)$ (volveremos a este tema a continuación).

Secuencia binaria

¿Por qué invertimos la broca cuando el ancho del billar $$$M = 1$ ? Para mutuamente simple $$$M$ y $$$N$ , la trayectoria de la pelota pasa a través de cada celda. Entre las paredes superior e izquierda del billar, la pelota pasa cada vez un número par de celdas.





Los bits en la columna izquierda son los bits invertidos de la fila superior. No tomamos el bit cero, la trayectoria comienza con él:



Además, podemos lanzar con seguridad cada segundo bit de esta secuencia (bit $$$2_ {n-1}$ - bit invertido $$$2_ {n}$ ):



Tengo la secuencia $$$10100110110$ para billar $$$(21,13)$ . La secuencia es única para todos. $$$M$ y $$$N$ .

Cualquier altura $$$N$ no lo tomamos, la pelota siempre sigue la trayectoria $$$2N$ entre dos reflexiones desde la pared superior. Desde la pared superior, el movimiento siempre comienza con un bit "0" (celda negra) y termina con un bit "1" (celda blanca):



De hecho, la secuencia (que destacamos arriba - $$$10100110110$ ) muestra en qué lado voló la pelota: 1 - si la pelota voló hacia adentro, reflejada desde la pared derecha y 0 - si la pelota voló hacia adentro, reflejada desde la pared izquierda. En la imagen, la trayectoria de la pelota está marcada en negro si la pelota se movió hacia la derecha y blanca si se movió hacia la izquierda:




Esta secuencia ( $$$10100110110$ ) contiene toda la información necesaria sobre el patrón. Con él, podemos restaurar el patrón original (e incluso mirar más allá del borde inferior del patrón). Toma un cuadrado con lados $$$M$ . Organizamos los bits de nuestra secuencia en aquellos lugares donde la pelota golpea la pared superior (la distancia entre los toques adyacentes de la pelota es de 2 celdas).



Si el bit correspondiente = 1 - comenzamos a movernos hacia la izquierda, marcando la trayectoria a través de la celda. Si bit = 0 - muévase a la derecha.



En este caso, no te olvides del bit cero:



GIF:



Obtuvimos el patrón original (y miramos un poco más allá del borde inferior):



Script para visualizar secuencias binarias

Podemos construir esta secuencia usando el resto de la división.

Billar unidimensional

En el eje numérico $$$X$ toma dos puntos: $$$0$ y $$$M$ .



Moviéndose de un punto a otro, mida la distancia $$$N$ :



Marcó el punto. Continuamos midiendo la distancia desde este punto, manteniendo la dirección. Si has llegado al punto $$$0$ o $$$M$ - cambio de dirección:



Como se puede ver en las figuras anteriores, el primer punto muestra el lugar donde la pelota toca la pared inferior del billar. Este punto no nos interesa. Solo arreglaremos puntos $$$2kN$ para $$$k = 0,1,2, ...$ .

¿Cómo marcar estos puntos? Convierte nuestros billares en el eje $$$X$ . Marca los puntos $$$0, M, 2M, 3M, ...$ . Ahora llegando al punto $$$M$ no cambiamos de dirección, sino que seguimos avanzando a un punto $$$2M$ .



Múltiples $$$M$ , dividir nuestro eje en segmentos. Condicionalmente marcamos estos segmentos con unos y ceros (alternando). En los segmentos marcados con ceros, la bola (en un billar rectangular) se mueve de izquierda a derecha. En los segmentos marcados con unidades, de derecha a izquierda. O más simple: la pelota se mueve de izquierda a derecha si $$$Q_k = 0$ para

$$

$$Q_k = \ lfloor \ frac {2kN} {M} \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2); \ quad k = 0,1,2, ...$$

(Se debe prestar especial atención a esta fórmula. A continuación, volveremos a ella)

Es fácil ver que el punto en el que la pelota tocó la pared superior del billar es el resto de la división. $$$2kN$ en $$$M$ . En este caso, no podemos arreglar el movimiento de la pelota en la dirección opuesta. Tomamos toda la parte de la división. $$$2kN$ en $$$M$ si es par, consideramos el resto de la división $$$2kN$ en $$$M$ . Divida el resto resultante por 2 (la distancia entre puntos de contacto adyacentes es de dos celdas). Obtuve los índices de los elementos de la matriz, que necesitamos llenar con ceros. Los elementos restantes se llenan de unidades (la bola se mueve de la pared derecha a la izquierda).

Longitud de secuencia = $$$\ frac {M} {2}$ .

function sequence(m,n){ var md=m/2; var array=[]; for(var k=0;k<md;k++) array[k]=1; for(var k=0;k<md;k++) if(Math.floor(2*k*n/m)%2==0) array[((2*k*n)%m)/2]=0; return array; } console.log(sequence(55, 34).join('')); // -> 0101001011010010110101101001 

Ahora podemos construir una secuencia binaria para billar con cualquier lado $$$M$ y $$$N$ (por números naturales).
Algunos ejemplos
144x89 (números de Fibonacci):
010100101101001011010110100101101001010010110100101101011010010110100101

169x70 (números de Pell):
0101011010100101011010100101011010110101001010110101001010110101001010010101101010010

233x55 (números impares de Fibonacci $$$F_n$ y $$$F_ {n-3}$ ):
0100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100
10010011011001001001101100100100


Tenemos secuencias ¿De qué otra manera puedes visualizar secuencias binarias? Usando Turtle Graphics .

Gráficos de tortuga

Dibuja una linea. A continuación, tomamos alternativamente los bits de nuestra secuencia. Si bit = 1 - gire el segmento relativo al anterior $$$60 ^ {\ circ}$ (en sentido horario). Si bit = 0, gire el segmento por $$$-60 ^ {\ circ}$ . El comienzo del siguiente segmento es el final del anterior.



Tome dos números de Fibonacci lo suficientemente grandes: $$$F_ {29} = 514229$ y $$$F_ {28} = 317811$ .

Construyó la secuencia:
00101101001011010010100101101001011010110100101101001010010110100101 ... (257114 caracteres más bit cero).

Visualizamos usando gráficos de tortuga. El tamaño del segmento inicial es de 10 píxeles (el segmento inicial en la esquina inferior derecha):



El tamaño del segmento inicial es de 5 píxeles:



El tamaño del segmento inicial es de 1 píxel:



El siguiente ejemplo son los números de Pell.

$$

$$P_n = \ begin {cases} 0, n = 0; \\ 1, n = 1 \\ 2P_ {n-1} + P_ {n-2}, n> 1 \ end {cases}$$

Tomar $$$P_ {16} = 470832$ y $$$P_ {15} = 195025$ .

Secuencia:
0010100101011010100101011010100101001010110101001010110101000010101101 (235415 caracteres más bit cero).

El tamaño del segmento inicial es de 1 píxel:



Otro ejemplo son los números impares de Fibonacci $$$F_n$ y $$$F_ {n-3}$ .
Tomar $$$F_ {28} = 317811$ y $$$F_ {25} = 75025$ .
Secuencia:
00110110010010011111001001001001101101100100110110110010010011011011001001 ... (158905 más bit cero).
En lugar de esquinas $$$60 ^ {\ circ}$ y $$$-60 ^ {\ circ}$ usaremos las esquinas $$$90 ^ {\ circ}$ y $$$-90 ^ {\ circ}$ .
El tamaño del segmento inicial es de 5 píxeles:



El tamaño del segmento inicial es de 0.4 píxeles:



Esta curva tiene un nombre: " palabra fractal de Fibonacci ". La dimensión de Hausdorff para esta curva es conocida:

$$

$$D = 3 {\ frac {\ log \ Phi} {\ log (1 + {\ sqrt {2}})}} = 1,6379; \ quad \ Phi = \ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}$$

Script para visualizar secuencias binarias usando Turtle Graphics

El problema

¿Es posible dibujar un patrón para el billar, cuyos lados son inconmensurables (uno de los lados es un número irracional)? La tarea no es trivial. Al intentar resolver este problema, nos enfrentaremos a una serie de preguntas:

1. Si las partes son inconmensurables, no podemos pavimentar el billar con celdas del mismo tamaño.
2. Si los lados son inconmensurables, la pelota se reflejará infinitamente y nunca golpeará la esquina.
3. Las secuencias en el billar no se completan en orden, sino al azar.



Las dos primeras preguntas, obviamente, no tienen solución. Pero si hubiera una manera de llenar la secuencia en orden, entonces podríamos, moviéndonos en la secuencia de izquierda a derecha, restaurar el patrón de la manera que usamos anteriormente. Y así ver cómo se ve el patrón en la esquina superior izquierda del billar, cuyos lados son inconmensurables.

Magia negra

Tome billar, cuyos lados son iguales a los números de Fibonacci (con otros números, tal truco puede no funcionar). Pasa la pelota hacia él y fija el número de la pelota que toca la pared superior. Rellene los números con blanco, si la pelota se movió de derecha a izquierda y negra, si la pelota se movió de izquierda a derecha:



El color blanco corresponde a uno en la secuencia, negro - cero. Ahora arreglemos los números en orden:



Tenemos exactamente la misma secuencia de unos y ceros.


De hecho, en algunos casos, no necesitamos tomar el resto de la división. Para los números de Fibonacci, es suficiente verificar la paridad de la parte entera de la división $$$2kN$ en $$$M$ :

$$

$$Q_k = \ lfloor \ frac {2kN} {M} \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2); \ quad k = 0,1,2, ...$$

En el numerador tenemos $$$F_ {n}$ . En el denominador - $$$F_ {n + 1}$ .

Como sabes:

$$

$$\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {F_n} {F_ {n + 1}} = \ frac {1} {\ Phi}$$

$$$\ Phi$ - La proporción áurea. Número irracional. Ahora podemos escribir nuestra fórmula como:

$$

$$Q_k = \ lfloor \ frac {2k} {\ Phi} \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2); \ quad k = 0,1,2, ...$$

Tenemos una fórmula con la que podemos completar la secuencia de billar en orden, cuyo ancho es igual a $$$\ Phi$ y altura $$$1$ . Longitud de secuencia = $$$\ infty$ , pero podemos restaurar parte del patrón, moviéndonos de izquierda a derecha en secuencia y mirando hacia la esquina superior izquierda del billar. Queda por descubrir cómo contar $$$\ Phi$

La unidad dividida por la proporción áurea se puede reescribir como:

$$

$$\ frac {1} {\ Phi} = \ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}$$

Podemos deshacernos de dos:

$$

$$\ frac {2k} {\ Phi} = \ frac {2k (-1 + {\ sqrt {5}})} {2} = k \ sqrt {5} -k$$

Nuestra fórmula toma la forma:

$$

$$Q_k = \ lfloor k \ sqrt {5} -k \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2); \ quad k = 0,1,2, ...$$

Para mayor claridad, dibujé una mesa. En la tercera columna, descartamos la parte fraccionaria y dejamos el todo. En la cuarta columna, verificamos la paridad de la parte entera:



En la cuarta columna tenemos nuestra secuencia: 01010010110100 ...

Seguimos calculando los bits para el resto $$$k$ . Restaurando parte del patrón de billar con lados $$$1$ y $$$\ Phi$ :



Si no quitas todo el tiempo $$$k$ - entonces cada segundo bit de la secuencia se invierte. Obtenemos la fórmula general:

$$

$$Q_k = \ lfloor k \ sqrt {x} \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2); \ quad k = 0,1,2, ...$$

¿Qué nos impide usar la raíz cuadrada de tres o, digamos, de dos en lugar de la raíz cuadrada de cinco? Nada

Construimos una secuencia para $$$k \ sqrt {3} + k$

 var x=3; var q=[]; for(var k=0;k<256000;k++) q[k]=Math.floor(k*Math.sqrt(x)+k)%2; 

Los primeros bits de la secuencia:
00100101101001001011010010110110100101101001001011010010010110100101 ...

Visualizaremos utilizando gráficos de tortuga. Ángulos de 90 y -90 grados. El tamaño del segmento inicial es de 5 píxeles:



El tamaño del segmento inicial es de 0.5 píxeles:



Construimos una secuencia para $$$k \ sqrt {2}$

 var x=2; var q=[]; for(var k=0;k<256000;k++) q[k]=Math.floor(k*Math.sqrt(x))%2; 

Los primeros bits de la secuencia ( A083035 ):
01001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110 ...

Ángulos de 90 y -90 grados. El tamaño del segmento inicial es de 5 píxeles:



El tamaño del segmento inicial es de 0.5 píxeles:





Ángulos de 60 y -60 grados. El tamaño del segmento inicial es de 5 píxeles:



Secuencia de comandos de visualización

Alguien puede dudar de que la paridad de la parte entera de $$$k \ sqrt {2}$ da una secuencia fractal Visualizamos parte de esta secuencia de la segunda manera:



Para mayor claridad, pinté sobre la curva más larga en el patrón resultante:



Esta curva tiene un nombre: "palabra fractal de Fibonacci".

¿Cómo obtener esta secuencia con billar? Tomamos billar, cuyo ancho = 1 y altura = $$$\ sqrt {2}$ . En los límites superior e inferior, fijamos la dirección del movimiento de la pelota. Si la pelota se movió de izquierda a derecha, escriba 0, si es de derecha a izquierda, escriba 1.



Dos gráficos:

$$

$$z = \ lfloor y \ sqrt {x} \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2)$$

$$

$$z = \ lfloor yx \ sqrt {2} \ rfloor \; (\ textrm {mod} \; 2)$$

Puede continuar en esta línea durante mucho tiempo: los patrones tienen muchas propiedades interesantes. Pero el artículo ya era demasiado engorroso. Al final hablaré sobre una de las propiedades interesantes.