C√≥mo un rompecabezas para ni√Īos ayuda a revelar los secretos del magnetismo

Los imanes han sido familiares para las personas desde la antig√ľedad, pero la f√≠sica del ferromagnetismo sigue siendo un misterio. Ahora un rompecabezas familiar acerca a los f√≠sicos a responder preguntas



El juego de 15 ofrece al jugador mover las fichas numeradas dentro de la cuadr√≠cula. Si reemplaza los n√ļmeros con los giros de electrones, el rompecabezas se puede usar para explicar c√≥mo funcionan los imanes permanentes.

Durante varios meses en el a√Īo 1880, regiones enteras de los Estados Unidos sucumbieron a la adicci√≥n, an√°logos de los cuales nadie hab√≠a visto previamente. "Una epidemia ha estallado literalmente en todo el pa√≠s", escribi√≥ la revista The Weekly News-Democrat en Imperia, Kansas, el 12 de marzo de 1880. "Ciudades enteras son atra√≠das, la gente pierde el sue√Īo y se vuelve loca". La epidemia se extendi√≥ a Europa e incluso lleg√≥ a Australia con Nueva Zelanda.

La enfermedad se ha convertido en una nueva pasión: desalentar el simple rompecabezas mecánico "15". Todavía se conoce, y consiste en un campo cuadrado de 4x4 en el que puede mover 15 fichas numeradas para organizarlas en orden.

Seg√ļn los est√°ndares actuales, el juego parece pasado de moda, pero en 1880 estaba en la cima de la popularidad. "Ning√ļn ni√Īo puede resistir tal entretenimiento, ning√ļn adulto ser√° tan fuerte o arrogante para escapar de su encanto", escribi√≥ el peri√≥dico. Y la decepci√≥n puede haber surgido del hecho matem√°ticamente comprobado de que solo la mitad de las configuraciones de este rompecabezas pueden resolverse con √©xito (lo que probablemente era desconocido para quienes quedaron bajo su influencia).

Hoy, casi 140 a√Īos despu√©s, el inter√©s en el juego "15" ha revivido nuevamente, pero esta vez no act√ļa como una distracci√≥n, sino como una forma de entender un rompecabezas aparentemente no relacionado y mucho m√°s complicado: c√≥mo funcionan los imanes.

Los imanes permanentes, como los que cuelgan de la puerta de su refrigerador, son atraídos por un fenómeno como el ferromagnetismo . En un ferromagnet, los espines de los electrones están alineados y juntos generan un campo magnético. Más precisamente, los metales como el hierro, el cobalto y el níquel exhiben magnetismo de banda, ya que sus electrones pueden moverse libremente dentro del material. Cada electrón tiene su propio momento magnético, pero para comprender cómo y por qué todos estos momentos se alinean en un imán, es necesario calcular las interacciones cuánticas entre todos los electrones, lo cual es excesivamente difícil de hacer.

"El magnetismo de zona es en realidad uno de los mayores desafíos en la física teórica de la materia condensada", dijo Wai Lee, físico de la Universidad Johns Hopkins.

Sin embargo, Lee y dos estudiantes de posgrado, Eric Bobrov y Keaton Stewbis, pueden haber estado un poco más cerca de resolver este problema. Usando el acertijo matemático "15", expandieron el conocido teorema que describe el estado idealizado del magnetismo de zona. En su nuevo análisis , publicado en Physical Review B, extienden el teorema para explicar un sistema más amplio y realista, que podría conducir a un modelo de imanes más preciso.

"Es un gran trabajo", dijo Daniel Arovas , físico de la Universidad de California en San Diego. "Me gusta especialmente este trabajo debido al hecho de que hay muy pocos resultados detallados con respecto al magnetismo de zona y están demasiado fragmentados".

Agujero saltando


En el nivel más básico, los electrones en un metal deben obedecer dos restricciones principales. En primer lugar, todos están cargados negativamente, por lo tanto, se repelen entre sí. En segundo lugar, los electrones deben obedecer a los llamados El principio de Pauli, que postula que dos partículas [con un giro de medio entero / aprox. trans.] no puede estar en el mismo estado cuántico. Esto significa que los electrones con el mismo espín, proporcional al momento magnético de un electrón, no pueden ocupar el mismo estado en un átomo de metal. Y dos electrones con giros opuestos pueden.

Resulta que la forma más simple de satisfacer tanto la repulsión mutua como las limitaciones del principio de Pauli para un grupo de electrones será separando y alineando los espines, como resultado de lo cual el material se vuelve ferromagnético.

Sin embargo, esta es solo una imagen simplificada. Los físicos no pudieron construir un modelo detallado de la apariencia de un patrón tan organizado de giros alineados a partir de innumerables interacciones cuánticas entre electrones individuales. Por ejemplo, como explicó Lee, la función de onda de un electrón, una descripción matemática compleja de sus propiedades cuánticas, puede confundirse con la función de onda de otro electrón. Para comprender a fondo cómo el comportamiento de las partículas individuales conduce a la aparición de un fenómeno colectivo como el ferromagnetismo, tendrá que controlar la función de onda de cada electrón en el sistema, mientras cambia continuamente la función de onda de cada uno de los electrones restantes en el proceso de su interacción. En la práctica, este enredo generalizado hace imposible escribir las ecuaciones completas y completas necesarias para describir el ferromagnetismo.

En cambio, los f√≠sicos, incluido Lee, est√°n tratando de recopilar informaci√≥n mediante el estudio de modelos simplificados e idealizados que describen la f√≠sica detr√°s del ferromagnetismo. En particular, su √ļltimo trabajo extiende un importante descubrimiento realizado hace m√°s de 50 a√Īos.

A mediados de la década de 1960, dos físicos de lados opuestos del mundo obtuvieron de forma independiente evidencia que demostraba por qué los electrones deberían alinearse y crear un estado ferromagnético. David Tules, entonces físico que trabajó en la Universidad de Cambridge y finalmente ganó el Premio Nobel 2016, y Yosuke Nagaoka, físico en la Universidad de Nagoya que estaba visitando la Universidad de California en San Diego en ese momento, publicaron sus pruebas en 1965 y 1966, respectivamente. . Su resultado, llamado teorema de Nagaoki-Tules (o simplemente el teorema de Nagaoki), se basa en un sistema idealizado de electrones ubicados en una red atómica. Entonces, aunque no explica el comportamiento de los imanes reales, todavía era importante, mostrando por primera vez en principio por qué los espines de electrones deberían estar alineados. Y dado que su análisis era evidencia matemática, eran precisos, no cargados de aproximaciones típicas de la física.

Para comprender el teorema, imagine un enrejado cuadrado bidimensional. Cada nodo puede colocar dos electrones con espines opuestos, pero el teorema sugiere que colocar dos electrones en un lugar requerirá una cantidad infinita de energía. Esto asegura que solo habrá un electrón en cada lugar. En esta configuración, cada electrón puede dirigir su giro hacia arriba o hacia abajo. No tienen que alinearse, por lo que dicho sistema no debería ser un ferromagnet.


Wai Lee, físico en la Universidad Johns Hopkins

Ahora eliminamos un electrón. Como resultado, habrá un lugar vacante llamado hoyo. Un electrón vecino puede deslizarse en un agujero, dejando un nuevo espacio vacío. Otro electrón puede moverse a un nuevo lugar vacío, dejando otro agujero atrás. En este ejemplo, un agujero, de hecho, salta de un lugar a otro, moviéndose alrededor de la cuadrícula. Thules y Nagaoka descubrieron que en este caso, cuando se agrega un solo agujero, los electrones se alinearán espontáneamente. Probaron que sería el estado con menos energía, el estado de un ferromagnet.

Arovas explica que para que un sistema entre en un estado con la energía más baja, un agujero debe poder moverse libremente sin alterar la configuración de los espines de electrones; tal proceso requerirá energía adicional. Pero cuando un agujero se mueve, los electrones también deben moverse. Para que los electrones se muevan sin alterar la configuración de los espines, deben estar alineados.

"El teorema de Nagaoka es uno de los pocos ejemplos que pueden probar matemáticamente casos individuales de ferromagnetismo", dijo Masaki Oshikawa , físico de la Universidad de Tokio. "Pero desde el punto de vista de la física, todo esto es muy artificial".

Por ejemplo, los electrones requieren mucha energ√≠a para superar su repulsi√≥n mutua y establecerse en un lugar, pero no infinito, como lo requiere el teorema. Adem√°s, la imagen dibujada por Nagaoka y Tules se aplica solo a celos√≠as simples: celos√≠as bidimensionales que consisten en cuadrados o tri√°ngulos, o celos√≠as c√ļbicas tridimensionales. En la naturaleza, el ferromagnetismo surge en muchos metales con estructuras de todo tipo.

Si el teorema de Nagaoka-Tules realmente explica el ferromagnetismo, entonces debería ser aplicable a todas las redes. La gente asumió que sí, dijo Lee. "Pero nadie dio pruebas reales y claras". Bueno, eso es, todavía.

Azulejos con respaldo


En 1989, Hal Tasaki, f√≠sico de la Universidad Gakushuin de Jap√≥n, ampli√≥ este teorema para descubrir que ser√≠a aplicable siempre que la red tuviera una propiedad matem√°tica como la conectividad. Tome el caso simple de una red cuadrada con un agujero en movimiento. Si, al mover un agujero, puede reproducir cualquier configuraci√≥n de giros, manteniendo el n√ļmero de electrones, con giros dirigidos hacia arriba y hacia abajo, entonces se cumple la condici√≥n de conexi√≥n.

Pero aparte de las redes cuadradas y triangulares, y los cubos tridimensionales, no estaba claro si la condición conectada se cumpliría en otros casos y, por lo tanto, qué tan ampliamente podría aplicarse este teorema.

Para lidiar con este problema, Lee comenz√≥ con una cuadr√≠cula hexagonal de panal. Sus alumnos, Bobrov y Stubis, trabajando en esta tarea, se dieron cuenta de que se asemeja a una man√≠a del siglo XIX: el rompecabezas "15". Cambie las etiquetas de los azulejos de los n√ļmeros a la parte posterior, hacia arriba y hacia abajo, y el rompecabezas se vuelve equivalente al ferromagnet de Nagaoki, con un agujero que se mueve a lo largo de la red de electrones.

El rompecabezas se permite cuando tiene la oportunidad de redistribuir los mosaicos en cualquier secuencia, lo que coincide completamente con la condición de conectividad. Entonces, la cuestión de si la condición de conectividad se satisface para una red determinada se convierte en la cuestión de si es posible resolver un rompecabezas equivalente en una red de dicha estructura.

Resulta que en 1974 el matem√°tico Richard Wilson, que ahora trabaja en el Instituto de Tecnolog√≠a de California, resolvi√≥ este problema resumiendo y resolviendo el rompecabezas "15" para todas las cuadr√≠culas. Como parte de la prueba, demostr√≥ que en casi todas las redes inseparables (en las que todos los nodos permanecen conectados incluso despu√©s de eliminar uno de ellos), puede mover las fichas y obtener cualquier configuraci√≥n, siempre y cuando el n√ļmero de movimientos permanezca uniforme. La √ļnica excepci√≥n es que los pol√≠gonos individuales son m√°s grandes que un tri√°ngulo, y algo llamado "gr√°fico őłnulo", en el cual el v√©rtice en el centro del hex√°gono est√° conectado a dos v√©rtices opuestos.

Los investigadores pudieron aplicar directamente la prueba de Wilson al teorema de Nagaoka-Tules. Probaron que la condici√≥n de conectividad se cumple para un sistema de electrones y un solo orificio en casi todas las redes, incluidas las estructuras comunes como los panales bidimensionales y las redes tridimensionales en forma de diamante. Dos excepciones, pol√≠gonos m√°s grandes que un tri√°ngulo, y el gr√°fico őł cero, en cualquier caso, no ocurren en ferromagnetos reales.

Explosión del agujero


Usar el rompecabezas "15" es un enfoque nuevo y potencialmente fructífero, dijo Sriram Shastri , físico de la Universidad de California en Santa Cruz. "Me gusta el hecho de que trajo al trabajo un nuevo lenguaje, un nuevo conjunto de conexiones con la teoría de grafos", dijo. "Creo que esta es una conexión rica, en el futuro puede convertirse en una rica fuente de ideas". Pero, aunque la investigación está dando un importante paso adelante, los problemas persisten.

Una complicaci√≥n es que el teorema de Nagaoki-Tules no siempre funciona cuando un agujero en movimiento necesita dar un n√ļmero impar de pasos mientras se mueve a lo largo de la red, dijo Shastri. Quiz√°s el problema m√°s sorprendente es que el teorema requiere la presencia de exactamente un agujero, ni m√°s ni menos. Sin embargo, los metales est√°n llenos de agujeros; a menudo ocupan hasta la mitad de la red.

Pero los f√≠sicos intentaron generalizar el teorema de los sistemas con muchos agujeros. Utilizando m√©todos num√©ricos, los f√≠sicos han demostrado que el ferromagnetismo de Nagaoki parece funcionar para una red cuadrada de tama√Īo finito, hasta el 30% de los cuales son agujeros. En el trabajo actual, los investigadores aplicaron t√©cnicas anal√≠ticas precisas a los panales bidimensionales y a las redes tridimensionales en forma de diamante. El ferromagnetismo de Nagaoki, aparentemente, existe siempre y cuando el n√ļmero de agujeros no exceda el n√ļmero de nodos de la red en el grado 1/2 para las c√©lulas, y en el grado 2/5 para la red en forma de diamante.

Estas soluciones exactas pueden conducir a un modelo m√°s completo de magnetismo de zona. "Este es solo un peque√Īo paso para establecer un riguroso punto de partida matem√°tico para futuras investigaciones", dijo Lee.

Source: https://habr.com/ru/post/441700/


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