Matem√°ticas reconciliando a Newton con el mundo cu√°ntico

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Como profesor de matemáticas, dejó de tener miedo y se enamoró de la geometría algebraica.

En la sexta docena, es demasiado tarde para convertirme en un verdadero especialista en geometría algebraica, pero finalmente logré enamorarme de ella. Como su nombre lo indica, esta rama de las matemáticas usa álgebra para estudiar geometría. Alrededor de 1637, René Descartes sentó las bases de este campo de conocimiento, tomando un plano, dibujando mentalmente una cuadrícula y designando las coordenadas para x e y . Puede escribir una ecuación de la forma x 2 + y 2 = 1, y obtener una curva que consiste en puntos cuyas coordenadas satisfacen esta ecuación. En este ejemplo, obtenemos un círculo.

Para ese tiempo, era una idea revolucionaria, porque nos permite convertir sistemáticamente preguntas de geometría en preguntas sobre ecuaciones que pueden resolverse con suficiente conocimiento de álgebra. Algunos matemáticos han estado involucrados en este magnífico campo toda su vida. Hasta hace poco, no me gustaba, pero pude conectarlo con mi interés en la física cuántica.

En la infancia, me gustaba m√°s la f√≠sica que las matem√°ticas. Mi t√≠o Albert B√°ez, padre del famoso cantante folkl√≥rico Joan B√°ez, trabaj√≥ para la UNESCO y ayud√≥ a los pa√≠ses en desarrollo con capacitaci√≥n en f√≠sica. Mis padres viv√≠an en Washington. Cuando mi t√≠o lleg√≥ a la ciudad, abri√≥ su malet√≠n, sac√≥ imanes u hologramas de all√≠, y con su ayuda me explic√≥ la f√≠sica. Fue asombroso. Cuando ten√≠a ocho a√Īos, me present√≥ un libro de texto de f√≠sica que escribi√≥ para la universidad. Aunque no pod√≠a entenderlo, inmediatamente me di cuenta de que quer√≠a esto. Decid√≠ convertirme en f√≠sico, y mis padres estaban preocupados porque sab√≠a que la f√≠sica necesitaba matem√°ticas, y no era muy fuerte en eso. La divisi√≥n en la columna me parec√≠a insoportablemente aburrida, y me negu√© a hacer la tarea de matem√°ticas con su rutina que se repet√≠a sin cesar. Pero m√°s tarde, cuando me di cuenta de que jugar con las ecuaciones, pod√≠a aprender m√°s sobre el Universo, me fascin√≥. Los s√≠mbolos misteriosos eran como hechizos m√°gicos, y en cierto modo lo eran. La ciencia es magia que realmente funciona.

En la universidad, eleg√≠ las matem√°ticas como materia principal, y me interes√© en la cuesti√≥n del f√≠sico te√≥rico Eugene Wigner sobre la "efectividad inexplicable" de las matem√°ticas: ¬Ņpor qu√© nuestro universo est√° tan f√°cilmente sujeto a las leyes matem√°ticas? Lo formul√≥ de esta manera: "El milagro de la adecuaci√≥n del lenguaje de las matem√°ticas para la formulaci√≥n de las leyes de la f√≠sica es un regalo incre√≠ble que no comprendemos y no merecemos". Como joven optimista, sent√≠ que estas leyes nos dar√≠an pistas para resolver un enigma m√°s profundo: por qu√© el Universo generalmente se rige por leyes matem√°ticas. Ya entend√≠ que las matem√°ticas son demasiado voluminosas para estudiarlas en su totalidad, por lo que en la magistratura decid√≠ concentrarme en lo que era importante para m√≠. Y uno de los que no me pareci√≥ importante era la geometr√≠a algebraica.

¬ŅC√≥mo puede un matem√°tico no enamorarse de la geometr√≠a algebraica? La raz√≥n es la siguiente: en su forma cl√°sica, este campo estudia solo ecuaciones polin√≥micas , ecuaciones que describen no solo curvas, sino tambi√©n figuras de una dimensi√≥n superior, llamadas "m√ļltiples". Es decir, x 2 + y 2 = 1 - esto es normal, como x 43 - 2 xy 2 = y 7 . Pero una ecuaci√≥n con senos, cosenos u otras funciones est√° fuera de esta √°rea, a menos que encontremos alguna forma de convertirla en una ecuaci√≥n de polinomios. Para un estudiante graduado, esto parec√≠a una terrible limitaci√≥n. Despu√©s de todo, la f√≠sica usa muchas funciones que no son polinomios.


Hay un polinomio para esto: usando solo polinomios, se pueden describir muchas curvas interesantes. Por ejemplo, hagamos rodar un círculo dentro de otro círculo tres veces más grande. Obtenemos una curva con tres esquinas afiladas, que se llama "deltoides". No es obvio lo que se puede describir por su ecuación polinómica, pero lo es. El gran matemático Leonard Euler lo inventó en 1745.

¬ŅPor qu√© la geometr√≠a algebraica se limita a polinomios? Los matem√°ticos estudian todo tipo de funciones, pero aunque son muy importantes, en cierto nivel su complejidad solo distrae de los misterios fundamentales de la conexi√≥n entre la geometr√≠a y el √°lgebra. Al limitar la amplitud de sus b√ļsquedas, la geometr√≠a algebraica puede explorar estos acertijos m√°s profundamente. Ha estado involucrada en esto durante siglos, y ahora la habilidad con los polinomios es realmente sorprendente: la geometr√≠a algebraica se ha convertido en una herramienta poderosa en teor√≠a de n√ļmeros, criptograf√≠a y muchos otros campos. Pero para sus verdaderos admiradores, el valor de esta √°rea reside en s√≠ mismo.

Una vez conoc√≠ a un estudiante graduado de Harvard y le pregunt√© qu√© estaba estudiando. En un tono pomposo, dijo una palabra: "Hartshorn". Ten√≠a en mente el libro de texto Algebraic Geometry de Robin Hartshorn, publicado en 1977. Se supone que deber√≠a convertirse en una introducci√≥n al tema, pero en realidad es muy complejo. Para citar una descripci√≥n de Wikipedia: ‚ÄúEl primer cap√≠tulo, titulado‚Äú M√ļltiples ‚ÄĚ, habla sobre la geometr√≠a algebraica cl√°sica de variedades sobre campos cerrados algebraicamente. Este cap√≠tulo usa muchos resultados cl√°sicos del √°lgebra conmutativa, incluido el teorema de los ceros de Hilbert, y a menudo se encuentran referencias a los libros de Atiyah-MacDonald, Matsumura y Zarissky-Samuel ".

Si no entendiste nada ... entonces esto es lo que tenía en mente. Para comprender incluso el primer capítulo de Hartshorn, necesita una gran cantidad de conocimientos básicos. Leer Hartshorn es como tratar de alcanzar a los genios de muchos siglos que se han esforzado por correr lo más rápido posible.


Cubic famoso: esta es la superficie nodal c√ļbica de Cayley. Es famoso por el hecho de que es la variedad con el mayor n√ļmero de nodos (piezas afiladas) que se pueden describir mediante la ecuaci√≥n c√ļbica. La ecuaci√≥n tiene la forma ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 y se llama "c√ļbica" porque al mismo tiempo no multiplicamos m√°s de tres variables.

Uno de estos genios fue el director cient√≠fico de Hartshorn - Alexander Grotendik. Entre 1960 y 1970, Grothendieck hizo una revoluci√≥n revolucionaria en geometr√≠a algebraica, haci√©ndolo parte de un viaje √©pico con el objetivo de probar las hip√≥tesis de Weyl que conectan variedades con soluciones a problemas de la teor√≠a de n√ļmeros. Grothendieck sugiri√≥ que las hip√≥tesis de Weil podr√≠an confirmarse fortaleciendo y profundizando la conexi√≥n entre la geometr√≠a y el √°lgebra. Ten√≠a una idea clara de c√≥mo deber√≠a suceder esto. Pero para garantizar la precisi√≥n de esta idea, se requer√≠a un trabajo enorme. Para cumplirlo, organiz√≥ un seminario. Grothendieck hizo presentaciones casi todos los d√≠as y aprovech√≥ la ayuda de los mejores matem√°ticos de Par√≠s.


Hagamos un fondo matem√°tico: Alexander Grotendik en su seminario.

Trabajando sin parar durante una d√©cada, escribieron miles de p√°ginas de nuevas matem√°ticas llenas de conceptos sorprendentes. Al final, utilizando estas ideas, Grothendieck prob√≥ con √©xito todas las hip√≥tesis de Weyl, excepto la √ļltima, la m√°s compleja. Para sorpresa de Grothendieck, fue decidido por su alumno.

Durante sus a√Īos m√°s productivos, aunque domin√≥ la escuela francesa de geometr√≠a algebraica, muchos matem√°ticos consideraron las ideas de Grothendieck "demasiado abstractas". Esto suena un poco extra√Īo, dado lo abstracto que es toda matem√°tica. Pero es indudable que se requiere tiempo y esfuerzo para percibir sus ideas. Como estudiante graduado, trat√© de distanciarme de ellos, porque estaba luchando activamente con el estudio de la f√≠sica: los genios tambi√©n trabajaron durante siglos a toda velocidad, y para llegar a la frontera, lleva mucho tiempo ponerse al d√≠a. Pero m√°s tarde, cuando comenc√© mi carrera, mis estudios me llevaron al trabajo de Grothendieck.

Si escogiera un camino diferente, podría abordar su trabajo a través del estudio de la teoría de cuerdas . Los físicos que estudian la teoría de cuerdas postulan que, además de las dimensiones visibles del espacio y el tiempo (tres dimensiones para el espacio y una para el tiempo), hay dimensiones adicionales del espacio, tan retorcidas que no se pueden ver. En algunas de sus teorías, estas dimensiones adicionales forman diversidad. Por lo tanto, los investigadores de la teoría de cuerdas pueden encontrar fácilmente preguntas complejas de la geometría algebraica. Y esto, a su vez, los hace enfrentar al Grothendieck.


Estoy completamente confundido: una rebanada de una variedad llamada "quíntuple triple", que se puede usar para describir dimensiones enrevesadas adicionales del espacio en la teoría de cuerdas.

Y de hecho. Lo mejor de todo es que la teor√≠a de cuerdas no se anuncia mediante una predicci√≥n exitosa de resultados experimentales (no puede jactarse de ello), sino por la capacidad de resolver problemas dentro del marco de las matem√°ticas puras, incluida la geometr√≠a algebraica. Por ejemplo, la teor√≠a de cuerdas puede calcular sorprendentemente bien el n√ļmero de curvas de diferentes tipos que se pueden dibujar en ciertas variedades. Por lo tanto, hoy se pueden ver te√≥ricos de cuerdas que se comunican con ge√≥metras algebraicos, y cada lado puede sorprender al otro con sus descubrimientos.

Pero la fuente de mi inter√©s personal en el trabajo de Grothendieck fue diferente. Siempre he tenido serias dudas sobre la teor√≠a de cuerdas, y contar curvas en variedades es lo √ļltimo que me gustar√≠a hacer: es como escalar , es muy emocionante de ver, pero demasiado aterrador para hacerlo usted mismo. Result√≥ que las ideas de Grothendieck son tan generalizadas y fuertes que se extienden m√°s all√° de los l√≠mites de la geometr√≠a algebraica a muchas otras √°reas. En particular, me impresion√≥ su manuscrito in√©dito de 600 p√°ginas Pursuing Stacks , escrito en 1983. En √©l, afirma que la topolog√≠a (si se explica ampliamente, es una teor√≠a de qu√© formas puede tomar un espacio si no estamos preocupados por doblarlo o estirarlo, ¬°pero solo mirando los tipos de agujeros) puede reducirse por completo a √°lgebra!

Al principio, esta idea puede parecer similar a la geometr√≠a algebraica, en la que usamos √°lgebra para describir figuras geom√©tricas (por ejemplo, curvas o m√ļltiples de mayor dimensi√≥n). Pero resulta que la "topolog√≠a algebraica" tiene un sabor completamente diferente, porque en topolog√≠a no estamos obligados a limitarnos a figuras descritas por ecuaciones polin√≥micas. En lugar de trabajar con hermosas joyas, estamos tratando con co√°gulos flexibles y suaves; Por lo tanto, necesitamos un √°lgebra diferente.


Si necesita una explicación: los matemáticos a veces bromean diciendo que los topólogos no ven la diferencia entre una dona y una taza de café.

La topología algebraica es un área hermosa que existía mucho antes de Grothendieck, pero fue uno de los primeros que propuso seriamente un método para reducir toda la topología al álgebra. Gracias a mi trabajo en física, su propuesta me pareció extremadamente encantadora. Y he aquí por qué: en ese momento asumí la difícil tarea de combinar las dos mejores teorías de la física: la física cuántica, que describe todas las fuerzas, excepto la gravedad, y la teoría general de la relatividad, que describe la gravedad. Parece que hasta que hagamos esto, nuestra comprensión de las leyes fundamentales de la física está condenada a ser incompleta. Pero darse cuenta de esto es muy difícil. La razón es que la física cuántica se basa en el álgebra, y la topología se usa activamente en la teoría general de la relatividad. Pero esto nos dice la dirección del ataque: si podemos descubrir cómo reducir la topología a álgebra, entonces esto puede ayudarnos a formular la teoría de la gravedad cuántica.

Mis colegas de física en este momento gritarían y comenzarían a quejarse de que estoy simplificando todo demasiado: en física cuántica no solo se usa álgebra, sino que la teoría general de la relatividad no es solo topología. Sin embargo, fueron precisamente las posibles ventajas físicas de reducir la topología al álgebra lo que me deleitó con el trabajo de Grothendieck.

Por lo tanto, desde la d√©cada de 1990, he estado tratando de descubrir los poderosos conceptos abstractos inventados por Grothendieck, y hasta la fecha he logrado un √©xito parcial. Algunos matem√°ticos consideran estos conceptos una parte compleja de la geometr√≠a algebraica. Pero ahora me parecen una parte simple. Para m√≠, no todos estos conceptos abstractos, sino sus aburridos detalles, se convirtieron en una parte dif√≠cil. En primer lugar, este es todo el material en los textos que Hartshorn considera requisitos previos obligatorios: "los libros de Atiyah-MacDonald, Matsumura y Zarissky-Samuel", y estos son enormes vol√ļmenes de √°lgebra. Pero hay mucho m√°s.

Por lo tanto, aunque ahora tengo algo de lo que es necesario para leer Hartshorn, hasta hace poco, el estudio de estos materiales me daba mucho miedo. Un estudiante de f√≠sica le pregunt√≥ una vez a un famoso especialista cu√°nto matem√°tica deber√≠a saber un f√≠sico. El especialista respondi√≥: "M√°s de lo que √©l sabe". De hecho, el estudio de las matem√°ticas nunca puede considerarse completo, por lo que me concentr√© en aspectos que parec√≠an m√°s importantes y / o interesantes. Hasta el a√Īo pasado, la geometr√≠a algebraica nunca estuvo en la parte superior de esta lista.

¬ŅQu√© ha cambiado? Me di cuenta de que la geometr√≠a algebraica est√° conectada con la relaci√≥n entre la f√≠sica cl√°sica y la f√≠sica cu√°ntica . La f√≠sica cl√°sica es la f√≠sica newtoniana, en la que suponemos que podemos medir todo con total precisi√≥n, incluso en teor√≠a. La f√≠sica cu√°ntica es la f√≠sica de Schr√∂dinger y Heisenberg, se rige por el principio de incertidumbre: si medimos algunos aspectos de un sistema f√≠sico con total precisi√≥n, otros deben permanecer inciertos.

Por ejemplo, cualquier objeto giratorio tiene un "momento angular". En mec√°nica cl√°sica, lo visualizamos con una flecha dirigida a lo largo del eje de rotaci√≥n, y la longitud de esta flecha es proporcional a la velocidad de rotaci√≥n del objeto. Y en mec√°nica cl√°sica, suponemos que podemos medir con precisi√≥n esta flecha. En mec√°nica cu√°ntica, una descripci√≥n m√°s precisa de la realidad, esto resulta ser incorrecto. Por ejemplo, si sabemos hasta d√≥nde apunta la flecha en la direcci√≥n x , no podemos averiguarlo. qu√© tan lejos ella se√Īala en la direcci√≥n y . Esta incertidumbre es demasiado peque√Īa para ser notada para una pelota de baloncesto, pero para un electr√≥n es muy significativa: hasta que los f√≠sicos comenzaron a tener esto en cuenta, solo ten√≠an una comprensi√≥n aproximada de los electrones.

Los f√≠sicos a menudo buscan "cuantificar" los problemas de la f√≠sica cl√°sica. Es decir, comienzan con la descripci√≥n cl√°sica de alg√ļn sistema f√≠sico e intentan derivar una descripci√≥n cu√°ntica. Para llevar a cabo este trabajo, no existe un procedimiento general y completamente sistem√°tico. Y esto no deber√≠a sorprenderle: estas dos opiniones sobre el mundo son muy diferentes. Sin embargo, hay recetas √ļtiles para realizar la cuantizaci√≥n. Los m√°s sistem√°ticos son aplicables a un conjunto muy limitado de problemas f√≠sicos.

Por ejemplo, en f√≠sica cl√°sica, a veces podemos describir un sistema como un punto en m√ļltiple . No debe esperar que esto sea posible en el caso general, pero en muchos casos importantes esto sucede. Por ejemplo, considere un objeto giratorio: si fijamos la longitud de la flecha de su momento angular, entonces la flecha a√ļn puede apuntar en cualquier direcci√≥n, es decir, su extremo debe estar en una esfera. Por lo tanto, podemos describir un objeto giratorio con un punto en una esfera. Y esta esfera es en realidad una variedad, la " esfera de Riemann ", llamada as√≠ por uno de los mejores ge√≥metras algebraicos del siglo XIX Bernhard Riemann.


Diversidad: la superficie Endrass de octavo orden es un ejemplo hermoso y altamente sim√©trico de "m√ļltiple": una figura descrita por ecuaciones polin√≥micas. La geometr√≠a algebraica comenz√≥ como un estudio de tales figuras.

Cuando la tarea de la f√≠sica cl√°sica es descrita por la diversidad, ocurre la magia. El proceso de cuantizaci√≥n se est√° volviendo completamente sistem√°tico y sorprendentemente simple. Incluso hay un tipo de proceso inverso, que se puede llamar "clasificaci√≥n": le permite convertir una descripci√≥n cu√°ntica en una descripci√≥n cl√°sica. Los enfoques cl√°sicos y cu√°nticos de la f√≠sica est√°n cada vez m√°s relacionados, podemos tomar ideas de cualquier enfoque y observar lo que nos pueden decir sobre otras cosas. Por ejemplo, cada punto en la variedad describe no solo el estado del sistema cl√°sico, en nuestro ejemplo, esta es la direcci√≥n espec√≠fica del momento angular, sino tambi√©n el estado del sistema cu√°ntico correspondiente, aunque este √ļltimo est√° controlado por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Un estado cu√°ntico es la "mejor aproximaci√≥n cu√°ntica" al estado cl√°sico. Adem√°s, en esta situaci√≥n, muchos teoremas b√°sicos de la geometr√≠a algebraica pueden considerarse hechos sobre la cuantizaci√≥n. Como he estado involucrado en la cuantizaci√≥n durante mucho tiempo, me hace extremadamente feliz.

Richard Feynman dijo una vez que para avanzar en la resolución de un problema físico complejo, debe mirarlo desde un ángulo especial:

"[...] Necesito pensar que tengo el camino más corto para resolver el problema actual. Es decir, es como si tuviera un talento que otros no usan, o una mirada especial que tontamente no consideraron una excelente visión de las cosas". , - , . , , , . : , , ".

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: ‚ÄĒ . Azimuth , . Twitter: @johncarlosbaez .

Source: https://habr.com/ru/post/442660/


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