Matemáticas reconciliando a Newton con el mundo cuántico

Como profesor de matemáticas, dejó de tener miedo y se enamoró de la geometría algebraica.

En la sexta docena, es demasiado tarde para convertirme en un verdadero especialista en geometría algebraica, pero finalmente logré enamorarme de ella. Como su nombre lo indica, esta rama de las matemáticas usa álgebra para estudiar geometría. Alrededor de 1637, René Descartes sentó las bases de este campo de conocimiento, tomando un plano, dibujando mentalmente una cuadrícula y designando las coordenadas para x e y . Puede escribir una ecuación de la forma x ² + y ² = 1, y obtener una curva que consiste en puntos cuyas coordenadas satisfacen esta ecuación. En este ejemplo, obtenemos un círculo.

Para ese tiempo, era una idea revolucionaria, porque nos permite convertir sistemáticamente preguntas de geometría en preguntas sobre ecuaciones que pueden resolverse con suficiente conocimiento de álgebra. Algunos matemáticos han estado involucrados en este magnífico campo toda su vida. Hasta hace poco, no me gustaba, pero pude conectarlo con mi interés en la física cuántica.

En la infancia, me gustaba más la física que las matemáticas. Mi tío Albert Báez, padre del famoso cantante folklórico Joan Báez, trabajó para la UNESCO y ayudó a los países en desarrollo con capacitación en física. Mis padres vivían en Washington. Cuando mi tío llegó a la ciudad, abrió su maletín, sacó imanes u hologramas de allí, y con su ayuda me explicó la física. Fue asombroso. Cuando tenía ocho años, me presentó un libro de texto de física que escribió para la universidad. Aunque no podía entenderlo, inmediatamente me di cuenta de que quería esto. Decidí convertirme en físico, y mis padres estaban preocupados porque sabía que la física necesitaba matemáticas, y no era muy fuerte en eso. La división en la columna me parecía insoportablemente aburrida, y me negué a hacer la tarea de matemáticas con su rutina que se repetía sin cesar. Pero más tarde, cuando me di cuenta de que jugar con las ecuaciones, podía aprender más sobre el Universo, me fascinó. Los símbolos misteriosos eran como hechizos mágicos, y en cierto modo lo eran. La ciencia es magia que realmente funciona.

En la universidad, elegí las matemáticas como materia principal, y me interesé en la cuestión del físico teórico Eugene Wigner sobre la "efectividad inexplicable" de las matemáticas: ¿por qué nuestro universo está tan fácilmente sujeto a las leyes matemáticas? Lo formuló de esta manera: "El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo increíble que no comprendemos y no merecemos". Como joven optimista, sentí que estas leyes nos darían pistas para resolver un enigma más profundo: por qué el Universo generalmente se rige por leyes matemáticas. Ya entendí que las matemáticas son demasiado voluminosas para estudiarlas en su totalidad, por lo que en la magistratura decidí concentrarme en lo que era importante para mí. Y uno de los que no me pareció importante era la geometría algebraica.

¿Cómo puede un matemático no enamorarse de la geometría algebraica? La razón es la siguiente: en su forma clásica, este campo estudia solo ecuaciones polinómicas , ecuaciones que describen no solo curvas, sino también figuras de una dimensión superior, llamadas "múltiples". Es decir, x ² + y ² = 1 - esto es normal, como x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ . Pero una ecuación con senos, cosenos u otras funciones está fuera de esta área, a menos que encontremos alguna forma de convertirla en una ecuación de polinomios. Para un estudiante graduado, esto parecía una terrible limitación. Después de todo, la física usa muchas funciones que no son polinomios.


Hay un polinomio para esto: usando solo polinomios, se pueden describir muchas curvas interesantes. Por ejemplo, hagamos rodar un círculo dentro de otro círculo tres veces más grande. Obtenemos una curva con tres esquinas afiladas, que se llama "deltoides". No es obvio lo que se puede describir por su ecuación polinómica, pero lo es. El gran matemático Leonard Euler lo inventó en 1745.

¿Por qué la geometría algebraica se limita a polinomios? Los matemáticos estudian todo tipo de funciones, pero aunque son muy importantes, en cierto nivel su complejidad solo distrae de los misterios fundamentales de la conexión entre la geometría y el álgebra. Al limitar la amplitud de sus búsquedas, la geometría algebraica puede explorar estos acertijos más profundamente. Ha estado involucrada en esto durante siglos, y ahora la habilidad con los polinomios es realmente sorprendente: la geometría algebraica se ha convertido en una herramienta poderosa en teoría de números, criptografía y muchos otros campos. Pero para sus verdaderos admiradores, el valor de esta área reside en sí mismo.

Una vez conocí a un estudiante graduado de Harvard y le pregunté qué estaba estudiando. En un tono pomposo, dijo una palabra: "Hartshorn". Tenía en mente el libro de texto Algebraic Geometry de Robin Hartshorn, publicado en 1977. Se supone que debería convertirse en una introducción al tema, pero en realidad es muy complejo. Para citar una descripción de Wikipedia: “El primer capítulo, titulado“ Múltiples ”, habla sobre la geometría algebraica clásica de variedades sobre campos cerrados algebraicamente. Este capítulo usa muchos resultados clásicos del álgebra conmutativa, incluido el teorema de los ceros de Hilbert, y a menudo se encuentran referencias a los libros de Atiyah-MacDonald, Matsumura y Zarissky-Samuel ".

Si no entendiste nada ... entonces esto es lo que tenía en mente. Para comprender incluso el primer capítulo de Hartshorn, necesita una gran cantidad de conocimientos básicos. Leer Hartshorn es como tratar de alcanzar a los genios de muchos siglos que se han esforzado por correr lo más rápido posible.


Cubic famoso: esta es la superficie nodal cúbica de Cayley. Es famoso por el hecho de que es la variedad con el mayor número de nodos (piezas afiladas) que se pueden describir mediante la ecuación cúbica. La ecuación tiene la forma ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 y se llama "cúbica" porque al mismo tiempo no multiplicamos más de tres variables.

Uno de estos genios fue el director científico de Hartshorn - Alexander Grotendik. Entre 1960 y 1970, Grothendieck hizo una revolución revolucionaria en geometría algebraica, haciéndolo parte de un viaje épico con el objetivo de probar las hipótesis de Weyl que conectan variedades con soluciones a problemas de la teoría de números. Grothendieck sugirió que las hipótesis de Weil podrían confirmarse fortaleciendo y profundizando la conexión entre la geometría y el álgebra. Tenía una idea clara de cómo debería suceder esto. Pero para garantizar la precisión de esta idea, se requería un trabajo enorme. Para cumplirlo, organizó un seminario. Grothendieck hizo presentaciones casi todos los días y aprovechó la ayuda de los mejores matemáticos de París.


Hagamos un fondo matemático: Alexander Grotendik en su seminario.

Trabajando sin parar durante una década, escribieron miles de páginas de nuevas matemáticas llenas de conceptos sorprendentes. Al final, utilizando estas ideas, Grothendieck probó con éxito todas las hipótesis de Weyl, excepto la última, la más compleja. Para sorpresa de Grothendieck, fue decidido por su alumno.

Durante sus años más productivos, aunque dominó la escuela francesa de geometría algebraica, muchos matemáticos consideraron las ideas de Grothendieck "demasiado abstractas". Esto suena un poco extraño, dado lo abstracto que es toda matemática. Pero es indudable que se requiere tiempo y esfuerzo para percibir sus ideas. Como estudiante graduado, traté de distanciarme de ellos, porque estaba luchando activamente con el estudio de la física: los genios también trabajaron durante siglos a toda velocidad, y para llegar a la frontera, lleva mucho tiempo ponerse al día. Pero más tarde, cuando comencé mi carrera, mis estudios me llevaron al trabajo de Grothendieck.

Si escogiera un camino diferente, podría abordar su trabajo a través del estudio de la teoría de cuerdas . Los físicos que estudian la teoría de cuerdas postulan que, además de las dimensiones visibles del espacio y el tiempo (tres dimensiones para el espacio y una para el tiempo), hay dimensiones adicionales del espacio, tan retorcidas que no se pueden ver. En algunas de sus teorías, estas dimensiones adicionales forman diversidad. Por lo tanto, los investigadores de la teoría de cuerdas pueden encontrar fácilmente preguntas complejas de la geometría algebraica. Y esto, a su vez, los hace enfrentar al Grothendieck.


Estoy completamente confundido: una rebanada de una variedad llamada "quíntuple triple", que se puede usar para describir dimensiones enrevesadas adicionales del espacio en la teoría de cuerdas.

Y de hecho. Lo mejor de todo es que la teoría de cuerdas no se anuncia mediante una predicción exitosa de resultados experimentales (no puede jactarse de ello), sino por la capacidad de resolver problemas dentro del marco de las matemáticas puras, incluida la geometría algebraica. Por ejemplo, la teoría de cuerdas puede calcular sorprendentemente bien el número de curvas de diferentes tipos que se pueden dibujar en ciertas variedades. Por lo tanto, hoy se pueden ver teóricos de cuerdas que se comunican con geómetras algebraicos, y cada lado puede sorprender al otro con sus descubrimientos.

Pero la fuente de mi interés personal en el trabajo de Grothendieck fue diferente. Siempre he tenido serias dudas sobre la teoría de cuerdas, y contar curvas en variedades es lo último que me gustaría hacer: es como escalar , es muy emocionante de ver, pero demasiado aterrador para hacerlo usted mismo. Resultó que las ideas de Grothendieck son tan generalizadas y fuertes que se extienden más allá de los límites de la geometría algebraica a muchas otras áreas. En particular, me impresionó su manuscrito inédito de 600 páginas Pursuing Stacks , escrito en 1983. En él, afirma que la topología (si se explica ampliamente, es una teoría de qué formas puede tomar un espacio si no estamos preocupados por doblarlo o estirarlo, ¡pero solo mirando los tipos de agujeros) puede reducirse por completo a álgebra!

Al principio, esta idea puede parecer similar a la geometría algebraica, en la que usamos álgebra para describir figuras geométricas (por ejemplo, curvas o múltiples de mayor dimensión). Pero resulta que la "topología algebraica" tiene un sabor completamente diferente, porque en topología no estamos obligados a limitarnos a figuras descritas por ecuaciones polinómicas. En lugar de trabajar con hermosas joyas, estamos tratando con coágulos flexibles y suaves; Por lo tanto, necesitamos un álgebra diferente.


Si necesita una explicación: los matemáticos a veces bromean diciendo que los topólogos no ven la diferencia entre una dona y una taza de café.

La topología algebraica es un área hermosa que existía mucho antes de Grothendieck, pero fue uno de los primeros que propuso seriamente un método para reducir toda la topología al álgebra. Gracias a mi trabajo en física, su propuesta me pareció extremadamente encantadora. Y he aquí por qué: en ese momento asumí la difícil tarea de combinar las dos mejores teorías de la física: la física cuántica, que describe todas las fuerzas, excepto la gravedad, y la teoría general de la relatividad, que describe la gravedad. Parece que hasta que hagamos esto, nuestra comprensión de las leyes fundamentales de la física está condenada a ser incompleta. Pero darse cuenta de esto es muy difícil. La razón es que la física cuántica se basa en el álgebra, y la topología se usa activamente en la teoría general de la relatividad. Pero esto nos dice la dirección del ataque: si podemos descubrir cómo reducir la topología a álgebra, entonces esto puede ayudarnos a formular la teoría de la gravedad cuántica.

Mis colegas de física en este momento gritarían y comenzarían a quejarse de que estoy simplificando todo demasiado: en física cuántica no solo se usa álgebra, sino que la teoría general de la relatividad no es solo topología. Sin embargo, fueron precisamente las posibles ventajas físicas de reducir la topología al álgebra lo que me deleitó con el trabajo de Grothendieck.

Por lo tanto, desde la década de 1990, he estado tratando de descubrir los poderosos conceptos abstractos inventados por Grothendieck, y hasta la fecha he logrado un éxito parcial. Algunos matemáticos consideran estos conceptos una parte compleja de la geometría algebraica. Pero ahora me parecen una parte simple. Para mí, no todos estos conceptos abstractos, sino sus aburridos detalles, se convirtieron en una parte difícil. En primer lugar, este es todo el material en los textos que Hartshorn considera requisitos previos obligatorios: "los libros de Atiyah-MacDonald, Matsumura y Zarissky-Samuel", y estos son enormes volúmenes de álgebra. Pero hay mucho más.

Por lo tanto, aunque ahora tengo algo de lo que es necesario para leer Hartshorn, hasta hace poco, el estudio de estos materiales me daba mucho miedo. Un estudiante de física le preguntó una vez a un famoso especialista cuánto matemática debería saber un físico. El especialista respondió: "Más de lo que él sabe". De hecho, el estudio de las matemáticas nunca puede considerarse completo, por lo que me concentré en aspectos que parecían más importantes y / o interesantes. Hasta el año pasado, la geometría algebraica nunca estuvo en la parte superior de esta lista.

¿Qué ha cambiado? Me di cuenta de que la geometría algebraica está conectada con la relación entre la física clásica y la física cuántica . La física clásica es la física newtoniana, en la que suponemos que podemos medir todo con total precisión, incluso en teoría. La física cuántica es la física de Schrödinger y Heisenberg, se rige por el principio de incertidumbre: si medimos algunos aspectos de un sistema físico con total precisión, otros deben permanecer inciertos.

Por ejemplo, cualquier objeto giratorio tiene un "momento angular". En mecánica clásica, lo visualizamos con una flecha dirigida a lo largo del eje de rotación, y la longitud de esta flecha es proporcional a la velocidad de rotación del objeto. Y en mecánica clásica, suponemos que podemos medir con precisión esta flecha. En mecánica cuántica, una descripción más precisa de la realidad, esto resulta ser incorrecto. Por ejemplo, si sabemos hasta dónde apunta la flecha en la dirección x , no podemos averiguarlo. qué tan lejos ella señala en la dirección y . Esta incertidumbre es demasiado pequeña para ser notada para una pelota de baloncesto, pero para un electrón es muy significativa: hasta que los físicos comenzaron a tener esto en cuenta, solo tenían una comprensión aproximada de los electrones.

Los físicos a menudo buscan "cuantificar" los problemas de la física clásica. Es decir, comienzan con la descripción clásica de algún sistema físico e intentan derivar una descripción cuántica. Para llevar a cabo este trabajo, no existe un procedimiento general y completamente sistemático. Y esto no debería sorprenderle: estas dos opiniones sobre el mundo son muy diferentes. Sin embargo, hay recetas útiles para realizar la cuantización. Los más sistemáticos son aplicables a un conjunto muy limitado de problemas físicos.

Por ejemplo, en física clásica, a veces podemos describir un sistema como un punto en múltiple . No debe esperar que esto sea posible en el caso general, pero en muchos casos importantes esto sucede. Por ejemplo, considere un objeto giratorio: si fijamos la longitud de la flecha de su momento angular, entonces la flecha aún puede apuntar en cualquier dirección, es decir, su extremo debe estar en una esfera. Por lo tanto, podemos describir un objeto giratorio con un punto en una esfera. Y esta esfera es en realidad una variedad, la " esfera de Riemann ", llamada así por uno de los mejores geómetras algebraicos del siglo XIX Bernhard Riemann.


Diversidad: la superficie Endrass de octavo orden es un ejemplo hermoso y altamente simétrico de "múltiple": una figura descrita por ecuaciones polinómicas. La geometría algebraica comenzó como un estudio de tales figuras.

Cuando la tarea de la física clásica es descrita por la diversidad, ocurre la magia. El proceso de cuantización se está volviendo completamente sistemático y sorprendentemente simple. Incluso hay un tipo de proceso inverso, que se puede llamar "clasificación": le permite convertir una descripción cuántica en una descripción clásica. Los enfoques clásicos y cuánticos de la física están cada vez más relacionados, podemos tomar ideas de cualquier enfoque y observar lo que nos pueden decir sobre otras cosas. Por ejemplo, cada punto en la variedad describe no solo el estado del sistema clásico, en nuestro ejemplo, esta es la dirección específica del momento angular, sino también el estado del sistema cuántico correspondiente, aunque este último está controlado por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Un estado cuántico es la "mejor aproximación cuántica" al estado clásico. Además, en esta situación, muchos teoremas básicos de la geometría algebraica pueden considerarse hechos sobre la cuantización. Como he estado involucrado en la cuantización durante mucho tiempo, me hace extremadamente feliz.

Richard Feynman dijo una vez que para avanzar en la resolución de un problema físico complejo, debe mirarlo desde un ángulo especial:

"[...] Necesito pensar que tengo el camino más corto para resolver el problema actual. Es decir, es como si tuviera un talento que otros no usan, o una mirada especial que tontamente no consideraron una excelente visión de las cosas". , - , . , , , . : , , ".

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: — . Azimuth , . Twitter: @johncarlosbaez .