Catálisis de muones en términos de química cuántica. Parte I: hidrógeno ordinario vs. muon hidrógeno



Mnogabukaff que la química cuántica piensa en el principio de la catálisis de muones: cómo exactamente el muón reduce la temperatura del plasma deseado. En dos partes

La esencia de la primera parte se expresa en una oración: el muón es más pesado que el electrón, por lo que es más difícil separarlo del protón.

Pero aquellos que quieran ver las fórmulas, los gráficos y ver la esencia conceptual de la química cuántica aplicada a los átomos más simples (cuasi), bienvenidos bajo cat.

La segunda parte est√° disponible en este enlace .

Introduccion


No es ning√ļn secreto que el consumo de energ√≠a por parte de la humanidad est√° creciendo cada a√Īo: cada uno de nosotros tiene m√°s dispositivos, tenemos que movernos por all√≠, y nosotros mismos no somos menos. Por lo tanto, estamos constantemente en el pensamiento, d√≥nde obtener m√°s energ√≠a y d√≥nde ahorrar esta energ√≠a.

Una de las posibles alternativas a las principales fuentes de energ√≠a actuales (carb√≥n, gas, centrales hidroel√©ctricas y energ√≠a nuclear) es la fusi√≥n termonuclear (TS) . De hecho, este es el buen hermano gemelo de la energ√≠a nuclear malvada, lo principal que no debemos recordar acerca de la Bomba Zar : en lugar de las reacciones de fusi√≥n en el TS, la fusi√≥n de los n√ļcleos de luz en los m√°s pesados ‚Äč‚Äčsirve como fuente de energ√≠a. Y todo parece estar bien: todas nuestras fuentes de energ√≠a aparecieron de alguna manera gracias al TS, porque fluye en las estrellas (incluso dentro del Sol) y sirve como fuente de luz y calor, debido a lo cual ocurren todas las reacciones de fotos√≠ntesis, todas fluyen soplan r√≠os y vientos. Pero tambi√©n gracias a TS, tenemos un mont√≥n de elementos m√°s pesados ‚Äč‚Äčque el helio (incluyendo carbono = carb√≥n, petr√≥leo, gas y uranio).
Las principales reacciones de s√≠ntesis putativas son las reacciones de fusi√≥n de diferentes is√≥topos de hidr√≥geno (protio 11 mathrmH deuterio 21 mathrmH y tritio 31 mathrmH )

El problema es que para arrancar el veh√≠culo en un modo autosuficiente, necesita temperaturas incre√≠blemente altas. No hay ning√ļn problema con las estrellas, pero en condiciones terrestres, tal requisito sigue siendo un obst√°culo para la corriente que fluye de una fusi√≥n termonuclear ecol√≥gica en cada salida.

Una forma de bajar la temperatura es la cat√°lisis de muones .
Vicki nos dice que muon (  mu‚ąí ) Es un clon de electrones pesados ‚Äč‚Äčtan inestable ( e‚ąí ): es 207 veces m√°s pesado que un electr√≥n y solo vive 2.2 microsegundos. Pero, se supone que la adici√≥n de tales part√≠culas al sistema donde ocurre el TS, podr√° reducir la temperatura m√≠nima del plasma necesaria para la fusi√≥n de nuevos n√ļcleos. Y dado que se pueden formar muones durante algunas de las reacciones de s√≠ntesis, en lugar de part√≠culas en descomposici√≥n, deber√≠an aparecer nuevas part√≠culas que continuar√°n participando en la alquimia para quemar hidr√≥geno y otros elementos con la formaci√≥n de otros m√°s pesados.

En las diferencias entre las formas habituales de hidrógeno y aquellas en las que el electrón se reemplaza por un muón y se cubre toda la esencia de la catálisis del muón. Y para ver esto, debemos recurrir a la química cuántica y sus conceptos, lo cual haremos.

En esta parte, nos centraremos en las diferencias en el √°tomo de hidr√≥geno (  mathrmH cdot=p+e‚ąí ) de su hom√≥logo mu√≥n (  mathrmp+ mu‚ąí ), en el que el electr√≥n se reemplaza por un mu√≥n.

Volando sobre el nido del protón ...


Un par de palabras comunes


√Ātomo de hidr√≥geno Todos lo discuten y se lleva a cabo en la escuela en clases de f√≠sica y qu√≠mica, por lo que discutiremos c√≥mo reemplazar un electr√≥n con un mu√≥n afectar√° sus propiedades (energ√≠a y tipo de orbitales).
Consideramos estas partículas desde dos posiciones generales:

  • pervertido (la llamada mec√°nica cu√°ntica antigua),
  • y desde el punto de vista del quantummech normal.

La primera consideración está disponible para los escolares, la segunda requerirá un conocimiento más profundo de las matemáticas superiores .

√ďrbitas de Bohr


De hecho, la antigua mecánica cuántica es un intento de adaptar la mecánica clásica para describir sistemas que no la obedecen. A pesar del hecho de que para una descripción completa, este enfoque es muy defectuoso (que discutiremos en la siguiente sección), es importante e interesante, y al mismo tiempo inusualmente simple.

  • En primer lugar, fue a trav√©s de la antigua mec√°nica cu√°ntica que los f√≠sicos lograron detectar lo que estaba mal con los sistemas cu√°nticos, por lo tanto, desde un punto de vista hist√≥rico, este paso fue necesario e importante para cambiar el paradigma de la f√≠sica.
  • En segundo lugar, la soluci√≥n de Bohr al problema de un √°tomo de √°tomos similares al hidr√≥geno que consta de dos part√≠culas cargadas positiva y negativamente podr√≠a explicar las observaciones experimentales y unir todo el zool√≥gico de series observado en los espectros de hidr√≥geno. Una versi√≥n perjudicial de esta decisi√≥n, que le trajo a Bohr el Nobel de 1922, la consideraremos aqu√≠.

Pero para resolver el problema, debemos recordar cómo describimos el movimiento de una partícula en el caso clásico. Este es un programa escolar de física, pero si alguien lo olvidó, puede actualizar su memoria aquí:

¬ŅC√≥mo se describe el movimiento de part√≠culas en la mec√°nica cl√°sica?
Usualmente asociamos con una part√≠cula un modelo de un punto material: una cosa sin estructura, en la cual podemos medir su posici√≥n (dejemos x ) y velocidad ( v= fracdxdt= dotx , de " velocidad "), es decir cambio de posici√≥n con el paso del tiempo t .

Y la esencia de la descripci√≥n del movimiento de tal punto es muy simple: si conocemos la posici√≥n / velocidad del punto en alg√ļn punto inicial en el tiempo t0 , podemos predecir d√≥nde estar√° este punto en cualquier otro momento t , y tambi√©n con qu√© velocidad se mover√° en este momento. Adem√°s, somos tan omnipotentes que podemos mirar no solo hacia el futuro, sino tambi√©n hacia el pasado: el momento t tal vez antes t0 ( t<t0 ),

La predicción en sí misma, de acuerdo con todas las leyes del género mágico, debe basarse en cierto hechizo, y es conocida por todos los escolares que estudian física. Esta es la segunda ley de Newton , que no es más que un fuerte chamanismo del tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden:

F=ma\.


Aqu√≠, como de costumbre, a es la aceleraci√≥n (de " aceleraci√≥n "), la primera derivada de la velocidad ( a= fracdvdt ), o el segundo para la coordenada ( a= fracd2xdt2 , por lo tanto, el segundo orden).

Pero además de la aceleración en esta brujería, tenemos otro milagro de judo, que es responsable de cómo se moverá la partícula: esta es la fuerza F. Ella, como todos recuerdan, describe algo que controla el movimiento de una partícula. Un tipo de fuerza especial, que incluye las dos interacciones fundamentales más familiares para todos ( gravitacionalmente desalmadas y electromagnéticas), es la llamada fuerzas potenciales En este caso, puede introducir otra entidad, llamada energía potencial (la denotaremos con la letra V ), que guiará las transformaciones de los diferentes sistemas.

En la línea inferior, para predecir el movimiento de un punto material, necesitamos tener (además de sus características, como masa y carga):

  • velocidad inicial y posici√≥n
  • la ley que lo gobierna, dada en forma de una expresi√≥n para la fuerza F , o mejor a√ļn, el potencial V , que dar√° fuerza a la segunda ley de Newton como F(x)=‚ąí fracdVdx(x) .

Basado en estos datos, sustituyéndolo todo en la ecuación F=ma Recibiremos la trayectoria de la partícula: el valor de su posición y velocidad en cada momento en el tiempo.
Eso es todo lo que necesitamos para describir el movimiento en el mundo que f√°cilmente observamos.

imagen

Pasemos a la tarea. Entonces, tenemos dos partículas con carga opuesta que se atraen entre sí de acuerdo con la ley de Coulomb, es decir, la energía potencial de atracción es

V(R)= overbrace frac14 pi varepsilon0k fracq1q2R=k fracq1q2R


donde R es la distancia entre las part√≠culas, qi - cargas en el caso de un √°tomo de hidr√≥geno y una part√≠cula  mathrmp+ mu‚ąí son iguales +e aprox+1.6 veces10‚ąí19 CL para protones y ‚ąíe para electrones y muones, y  varepsilon0 - constante el√©ctrica . Como las cargas son opuestas, la energ√≠a potencial disminuye al disminuir la distancia entre las part√≠culas (es decir, durante la aproximaci√≥n), lo que significa que el prot√≥n y el electr√≥n / mu√≥n se atraen entre s√≠.

Esta situaci√≥n se muestra en la imagen de arriba. Pero en alg√ļn lugar vimos un sistema similar, ¬Ņverdad? En realidad, en uno de estos pares vivimos: el Sol + Tierra o Tierra + Luna, o Tierra + ISS: estas tambi√©n son dos part√≠culas que son atra√≠das por un potencial similar expresado por la ley de Newton:

V(R)=‚ąíG fracm1m2R


donde G es la constante gravitacional, y mi - masas

El prot√≥n es 1836 veces m√°s pesado que el electr√≥n, y dado que el mu√≥n es 207 veces m√°s pesado que el electr√≥n, el prot√≥n es casi 9 veces m√°s pesado que el mu√≥n. En ambos casos, tenemos el sistema de "part√≠cula pesada + part√≠cula ligera", por lo que tomamos la aproximaci√≥n en la que el electr√≥n / mu√≥n gira alrededor de un prot√≥n. Por supuesto, la precisi√≥n de esta suposici√≥n en el caso de  mathrmp+ mu‚ąí ser√° significativamente m√°s bajo que para un √°tomo de hidr√≥geno, pero para ilustraci√≥n es bastante adecuado. En los casos del Sol + Tierra, Tierra + ISS usualmente usan aproximaciones similares.

Estamos interesados ‚Äč‚Äčen un sistema estable en el que nada cae en ninguna parte, porque Los √°tomos de hidr√≥geno, si no se tocan, existen durante mucho tiempo.

Conocemos tales movimientos en el caso de todos los análogos del sistema solar, y para el par Tierra + ISS son incluso obvios: estas son órbitas estables en las que la estación se mueve alrededor de la Tierra a una velocidad suficiente para no caer. Esta velocidad se llama la primera velocidad cósmica , es decir. necesitaríamos la primera velocidad cósmica para el átomo de hidrógeno / su contraparte de muón. Y es fácil encontrarlo por fórmulas escolares (ver la figura anterior).

Cuando se mueve en una √≥rbita circular con radio R (en la figura se indica como a0 , y pronto llegamos a esto) debes tener velocidad v . Uno puede imaginar que en cada momento dos fuerzas que act√ļan sobre una part√≠cula que vuela en un c√≠rculo son perpendiculares al vector de velocidad:

  • Fuerza de gravedad de Coulomb dirigida al centro, que, seg√ļn la definici√≥n de fuerza F=‚ąí fracdVdR es igual a

    F textK=‚ąík frace2R2


  • la fuerza centr√≠fuga (falsa) lo contrarresta, lo que intenta aumentar el radio de la √≥rbita R , la expresi√≥n para ello tiene la forma

    F textq= fracmv2R


    donde m es la masa del electrón / muón (el satélite natural del protón).

La condici√≥n de que una part√≠cula ligera no choque con una pesada es que la suma de estas fuerzas perpendiculares a la direcci√≥n de movimiento de la part√≠cula debe ser cero ( F mathrmK+F mathrmq=0 ), lo que significa que obtenemos la ecuaci√≥n

 fracmv2R=k frace2R2


de donde obtenemos la velocidad con la que es necesario volar un electrón / muón con masa m en el radio de la órbita R , para no chocar contra el protón:

v= sqrtk frace2mR


Y todo se lastimar√≠a si el electr√≥n / mu√≥n no estuviera cargado, y las part√≠culas cargadas emiten ondas electromagn√©ticas cuando se mueven en c√≠rculo (esto se llama fricci√≥n radiante) , lo que har√≠a inestable dicho sistema: el electr√≥n / mu√≥n emitir√≠a luz durante la rotaci√≥n, Como resultado, perdi√≥ energ√≠a y redujo el radio de su √≥rbita, y finalmente cay√≥ sobre un prot√≥n, y habr√≠a un peque√Īo animal blanco y esponjoso en todo. Pero, obviamente, esto no sucede, lo que significa que algo deber√≠a diferir radicalmente en el comportamiento de part√≠culas tan peque√Īas como el electr√≥n / mu√≥n.

En realidad, Niels Bohr también propuso una hipótesis muy tonta (en ese momento). Admitió que hay órbitas con cierto radio, en las que el átomo de hidrógeno no emite nada. Y ahora la pregunta es cómo encontrar estas órbitas. Para simplificar, usaremos el logro más tarde de lo que estaba disponible para Bohr: la expresión para la longitud de onda de De Broglie :

 lambda= frachp= frachmv


Antecedentes historicos
La fórmula de Broglie se obtuvo a principios de la década de 1920 (1923-1924), y Bohr describió el átomo de hidrógeno en 1913 .

Se supone que la materia (part√≠culas) tambi√©n tiene propiedades de onda, y se les puede atribuir una cierta longitud de onda, que es dada por la f√≥rmula de De Broglie. Luego, para que el movimiento en un c√≠rculo sea estacionario en el tiempo (para ser una onda estacionaria), se requiere que la longitud de la √≥rbita ( L=2 piR ) se ajustan a un n√ļmero entero de ondas.

Entonces, el movimiento ondulatorio del electrón / muón se puede representar de alguna manera ( tomado de Wiki ):
imagen
En el lenguaje de las fórmulas, esto se expresa como:

2 piR=n lambda=n frachmv


Sustituyendo aqu√≠ la primera velocidad del prot√≥n c√≥smico obtenida anteriormente, obtenemos la ecuaci√≥n 2 piR= fracnhm sqrt fracmRke2 . Habiendo cuadrado ambos lados, obtenemos la expresi√≥n para el radio de la en√©sima √≥rbita estacionaria de electrones / muones:

Rn=n2 left( overbrace frach2 pi hbar right)2 cdot frac1mke2= fracn2 hbar2mke2


Aqui n=1,2,3, ldots (no tenemos un l√≠mite en el n√ļmero de olas que se colocar√°n), y  hbar - este es el llamado Reducci√≥n constante de Planck. Cuantas m√°s ondas apilemos, mayor ser√° el radio de la √≥rbita. Con el radio m√≠nimo ( n = 1) en el caso de un electr√≥n (es decir, m es igual a la masa del electr√≥n m e ), dicho radio se llama radio de Bohr, como K.O. Fig. Arriba):

a0=R0= frac hbar2m mathrmeke2


La sustituci√≥n de n√ļmeros ( ńß = 1.054 √ó 10 ‚Äď34 J ¬∑ s, m e = 9.109 √ó 10 -31 kg, k = 8.99 √ó 10 9 N ¬∑ m 2 ¬∑ C ‚ąí2 y e = ‚ąí1.602 √ó 10 ‚ąí19 C) da el valor a 0 = 5.29 √ó 10 ‚ąí11 mo 0.529 angstroms (√Ö).

¬ŅCu√°nto cuesta Angstrom?
1 √Ö = 10 ‚ąí10 m. Esto es muy peque√Īo.

En el curso de los c√°lculos, de paso introdujimos una nueva entidad: el n√ļmero n=1,2,3, ldots que determina el n√ļmero de ondas y  Rightarrow el radio de la √≥rbita, e incluso la velocidad del electr√≥n en √≥rbita. Este n√ļmero es conocido por todos desde la escuela: este es el n√ļmero cu√°ntico m√°s importante de un √°tomo similar al hidr√≥geno. Hablaremos de esto con m√°s detalle en la siguiente secci√≥n, pero por ahora puedes intentar encontrar la energ√≠a de cada uno de los niveles.

Seg√ļn lo entendemos, la energ√≠a de un sistema cerrado (y no hay duda de que nuestro √°tomo similar al hidr√≥geno es tal) consta de dos partes:

  • de energ√≠a cin√©tica T= fracmv22 ,
  • y potencial, que en nuestro caso est√° dado por la ley de Coulomb V= fracke2R .

Sustituimos la velocidad y el radio de la √≥rbita en ellos por el n√ļmero principal elegido n . Ya hemos escrito el radio, pero la velocidad se ver√° como v2n= fracke2mRn= frack2e4n2 hbar2 .

Entonces Tn= fracmv2n2= fracm2= fracmk2e42n2 hbar2 . Con potencial, todo es m√°s simple: Vn=‚ąí fracke2Rn=‚ąí fracmk2e4n2 hbar2 . Resumiendo estas contribuciones, obtenemos la energ√≠a total de un √°tomo similar al hidr√≥geno:

En=Tn+Vn=‚ąí fracmk2e42n2 hbar2


Y esta fórmula jugó un papel importante en demostrar la corrección de la mecánica cuántica, ya que se observaron montones de líneas espectrales (Lyman, Balmer, Paschen, etc.) en los espectros del átomo de hidrógeno. Y con una fórmula y un modelo simple, todos lograron explicarse a la vez, lo cual fue un argumento increíblemente convincente a favor de reconocer las ideas de Bohr.

Habiendo exprimido todos los jugos de este modelo más simple, podemos proceder a la consideración correcta del problema desde el punto de vista de la mecánica cuántica honesta.

Orbitales de un átomo similar al hidrógeno


La segunda, a√ļn m√°s importante, es qu√© es la mec√°nica cu√°ntica y c√≥mo funciona. Esto se puede recordar de varias fuentes. Yo recomiendo:


Sin embargo, también hay un apretón de las cosas necesarias aquí:

¬ŅC√≥mo se describe el movimiento de part√≠culas en la mec√°nica cu√°ntica?
En mec√°nica cu√°ntica, el movimiento de una part√≠cula (representada como un punto material, es decir, basura peque√Īa sin estructura) no puede describirse utilizando una trayectoria. Esto proh√≠be el muy famoso principio de incertidumbre de Heisenberg :

 Deltax cdot Deltap geq frac hbar2


donde  Deltax Es el error al medir las coordenadas de las part√≠culas, y  Deltap - el error al medir el momento de la part√≠cula, que se asocia con la velocidad como p=mv . De hecho, esta desigualdad dice: si mides la posici√≥n de la part√≠cula con mucha precisi√≥n (el error  Deltax peque√Īo), entonces el tablero para esto ser√° un gran error al medir el momento de las part√≠culas  Deltap (y, por lo tanto, velocidad), y viceversa. Y la barra inferior de dicha precisi√≥n conjunta se expresa en t√©rminos de la constante de Planck reducida ńß = 1.054571800 (13) √ó 10 ‚ąí34 J ¬∑ s , que est√° relacionada con la constante de Planck habitual h como h=2 pi hbar . Como puede ver, este valor es muy peque√Īo, por lo tanto, en nuestro mundo, en el l√≠mite de precisi√≥n de medici√≥n de nuestros instrumentos convencionales (veloc√≠metros, reglas, etc.), no sentimos este l√≠mite inferior de esta desigualdad, por lo que nos parece que todo se puede medir con cualquier precisi√≥n
Pero para part√≠culas peque√Īas y ligeras, como un electr√≥n y un mu√≥n, no importa cu√°nto lo intentemos, es imposible en cualquier momento descubrir d√≥nde y a qu√© velocidad vuela esta mierda.

De hecho ...
Hay versiones (formalismos) de la mec√°nica cu√°ntica, donde de una forma u otra hay trayectorias. Los ejemplos m√°s obvios son:


Naturalmente, en ambos casos, todos los resultados y conclusiones son exactamente los mismos que en la mec√°nica cu√°ntica de ondas est√°ndar, de la que hablaremos ahora. En particular, el principio de incertidumbre de Heisenberg no desaparece en ninguna parte, simplemente adquiere una sem√°ntica diferente.
Se puede encontrar un poco más sobre estas versiones de la mecánica cuántica en el libro de M. G. Ivanov, "Cómo entender la mecánica cuántica" .

Por lo tanto, para describir el movimiento de los objetos cuánticos, se requirió un nuevo lenguaje y una nueva perspectiva de las cosas, y después de mucho tormento y montones de intentos de diversos grados de éxito, en 1926 por Erwin Schrödinger


Se derivó su famosa ecuación que describe la dinámica de cualquier sistema cuántico :

i hbar frac partial psi partialt= hatH psi


En lugar de trayectorias de part√≠culas, tenemos una nueva entidad: la funci√≥n de onda  psi , una funci√≥n compleja (en el caso general) que depende solo de las coordenadas de la part√≠cula y el tiempo.

Lo cual, sin embargo, no es necesario.
La funci√≥n de onda puede depender tanto de las coordenadas de la part√≠cula.  psi(x) (esta versi√≥n se llama representaci√≥n de coordenadas ), y de impulsos  psi(p) , esta forma se llama representaci√≥n de impulso . Cualquiera de las ideas que elija, reflejan exactamente el mismo estado. La transici√≥n de una representaci√≥n a otra se lleva a cabo a trav√©s de la transformada de Fourier.

La esencia de la mecánica cuántica reside en esta esencia: en lugar de predecir con precisión la posición / velocidad / de cualquier otra cantidad física de una partícula, solo podemos determinar con precisión la probabilidad de un resultado de medición en particular, y nada más. Los resultados de la medición en sí serán aleatorios, pero si tomamos una gran cantidad de sistemas idénticos y hacemos un montón de mediciones de una cierta cantidad física, entonces el resultado estadístico será consistente con nuestra predicción, pero no de resultados de medición específicos, como en la física clásica, sino de las probabilidades de diferentes mediciones.

En particular, la probabilidad de encontrar una part√≠cula a la vez t en el rango x in[x0,x0+ deltax] ser√° aproximadamente igual  psi‚ąó(x0,t) cdot psi(x0,t) cdot deltax=| psi(x0,t)|2 cdot deltax donde "*" significa conjugaci√≥n compleja.
En otras palabras, la cantidad | psi|2 (el cuadrado del m√≥dulo de la funci√≥n de onda) es la densidad de probabilidad de la distribuci√≥n de las posiciones de la part√≠cula, es decir, en t√©rminos generales, la "mancha" de la part√≠cula en el espacio. Naturalmente, de este significado se deduce que  int limits+ infty‚ąí infty| psi(x)|2dx=1 , ya que la probabilidad total de encontrar una part√≠cula al menos en alg√ļn lugar debe ser igual a 1.

Pero todo es tan simple solo para la posici√≥n de la part√≠cula. En el caso general, todas las cantidades medibles f√≠sicamente se expresan en forma de piezas especiales: operadores. Estos operadores est√°n indicados por una tapa en la parte superior, es decir si tuvi√©ramos alg√ļn valor cl√°sico A , entonces su an√°logo cu√°ntico ser√° el operador  hatA .

De hecho, el operador es un conjunto de algunas transformaciones que deben hacerse con la funci√≥n de onda, y se escribe como  hatA psi .

Por ejemplo:

  • operador coordinado x es  hatx=x , por lo tanto, la acci√≥n de este operador en Ōą es simplemente la multiplicaci√≥n por el valor de la coordenada misma, es decir  hatx psi(x)=x psi(x) ,
  • operador de pulso p es  hatp=‚ąíi hbar fracddx , por lo tanto, cuando act√ļa sobre la funci√≥n de onda, el resultado ser√° la derivada de la funci√≥n de onda (  hatp psi(x)=‚ąíi hbar fracd psi(x)dx=‚ąíi hbar psi‚Ä≤(x) )

Todas las dem√°s cantidades f√≠sicas se expresan de una forma u otra a trav√©s de momentos y coordenadas ( A=A(x,p) ), y sus operadores se obtienen sustituyendo  hatx, hatp en expresiones cl√°sicas (  hatA=A( hatx, hatp) )
Y el valor promedio de la cantidad f√≠sica A especificada por el operador  hatA si el sistema est√° en el estado descrito por la funci√≥n de onda  psi(x) calculado como  int limits+ infty‚ąí infty psi‚ąó(x) hatA psi(x)dx . Por lo general, esta integral se escribe en notaci√≥n de Dirac :

 langle psi| hatA| psi rangle= int limits+ infty‚ąí infty psi‚ąó(x) hatA psi(x)dx



Un lector atento not√≥ que en la ecuaci√≥n de Schr√∂dinger ya hab√≠a un artilugio con tapa,  hatH . Este es el operador de energ√≠a del sistema, que se llama el operador de Hamilton, o simplemente el hamiltoniano. Como ya se mencion√≥, la energ√≠a de una part√≠cula es la suma de su energ√≠a cin√©tica T y energ√≠a potencial V. Entonces el operador de energ√≠a tambi√©n se ve as√≠:

 hatH= hatT+ hatV


Por lo general, el potencial es simplemente una funci√≥n de las coordenadas ( V=V(x) ) y su forma espec√≠fica depende de la tarea, pero ya sabemos c√≥mo es la energ√≠a cin√©tica cl√°sica: T= fracmv22= fracp22m , lo que significa que el operador de energ√≠a cin√©tica se parece a

 hatT= frac hatp22m=‚ąí frac hbar22m fracd2dx2

.
En consecuencia, la ecuación de Schrödinger para una partícula se escribe como
i hbar frac partial psi partialt= underbrace( hatT+ hatV) hatH psi=‚ąí frac hbar22m frac partial2 psid partial2+V(x) psi
Esto no es más que una ecuación diferencial parcial de segundo orden, y en apariencia es una ecuación de calor con un coeficiente complejo de difusión de calor.

En muchos casos, estamos interesados ‚Äč‚Äčen el problema de los estados estacionarios de un sistema, cuando nada act√ļa sobre √©l y existe esf√©ricamente en vac√≠o absoluto y en el nirvana . En tales casos, la ecuaci√≥n de Schr√∂dinger que contiene el tiempo se simplifica y solo podemos resolver una ecuaci√≥n m√°s simple:

 hatH psi(x)=E psi(x)


que se llama la ecuaci√≥n de Schr√∂dinger estacionaria. Su soluci√≥n es una funci√≥n de onda.  psi(x) describiendo el estado estacionario y la energ√≠a de este estado ( E ).

Para encontrar cómo se mueve un electrón / muón en un campo eléctrico de Coulomb creado por un protón, uno debe resolver la ecuación básica de la mecánica cuántica: la ecuación de Schrödinger. Dado que el sistema en consideración es estacionario (no cambia con el tiempo), es suficiente resolver su versión simplificada: la ecuación de Schrödinger estacionaria, que tiene la forma

 underbrace( overbrace‚ąí frac hbar22m cdot left( frac partial2 partialx2+ frac partial2 partialy2+ frac partial2 partialz2 right) hatT+ overbrace‚ąí fracke2R hatV) hatH psi=E psi


Esta ecuaci√≥n es una ecuaci√≥n diferencial parcial de segundo orden, y en ella buscamos simult√°neamente la funci√≥n de onda  psi(x,y,z) describiendo el estado espec√≠fico del sistema y mostrando la "mancha" de la part√≠cula negativa en el espacio alrededor del prot√≥n, y la energ√≠a de este estado E. La brujer√≠a que decide que se puede encontrar m√°s o menos en todas partes .

¬ŅC√≥mo se ve la funci√≥n de onda?

 psinlm(r, theta, varphi)= frac1 sqrt2n cdot(n‚ąíl‚ąí1)! cdot(n+l)! cdot left( frac2na0 right) frac32 cdot exp left(‚ąí fracrna0 right) cdot left( frac2rna0 right)lL2l+1nl‚ąí1 left( frac2rna0 right) cdotYl,m( theta, varphi)


(copiado de Wiki ). La solución se expresa en coordenadas esféricas .

Pero una cosa más simple: cualquier persona familiarizada con las ecuaciones diferenciales puede encontrar una solución para el estado fundamental de un átomo similar al hidrógeno. Para no asustar a todos los demás, esta pieza se elimina en el spoiler:

¬ŅC√≥mo encontrar el orbital 1s y su energ√≠a?
Entonces, tenemos la ecuaci√≥n de Schr√∂dinger en coordenadas cartesianas (x,y,z) . Pero m√°s natural en el caso de un √°tomo / part√≠cula de hidr√≥geno  mathrmp+ mu‚ąí Se ve en coordenadas esf√©ricas. Coloque el prot√≥n en el origen de las coordenadas cartesianas, y luego el cartesiano se expresar√° de forma esf√©rica como

 begincasesx=R cdot cos( varphi) cdot sin( theta),y=R cdot sin( varphi) cdot sin( theta),z=R cdot cos( theta)\. endcases


Aqu√≠ R es la distancia al prot√≥n (el mismo que est√° en la ley de Coulomb), y ( varphi, theta) √°ngulos esf√©ricos donde  varphi - √°ngulo polar en el plano x0y y  theta - el √°ngulo de salida de la part√≠cula desde este plano:

imagen

Naturalmente, la pieza con las segundas derivadas parciales también corresponde en nuevas coordenadas:

 frac partial2 psi partialx2+ frac partial2 psi partialy2+ frac partial2 psi partialz2= left( frac partial2 psi partialR2+ frac2R frac partial psi partialR right)+ underbrace1 overR2 sin theta partial over partial theta left( sin theta frac partial partial theta right) psi+ frac1R2 sin2 theta frac partial2 partial varphi2 psi textsihayunadependenciaangular


Parece que hemos complicado nuestras vidas, pero esto no es del todo cierto. Suponga que la funci√≥n de onda  psi es el mismo en todas las direcciones desde el prot√≥n (es decir, a una distancia fija del centro, se extiende uniformemente sobre la esfera de este radio), entonces nuestra funci√≥n de onda no depende de los √°ngulos ( varphi, theta) , y eso significa una parte grande y terrible de las segundas derivadas, simplemente desaparece con nosotros.

Como resultado, nos queda una ecuación para una coordenada:

‚ąí frac hbar22m left( frac partial2 psi partialR2+ frac2R frac partial psi parcialR derecha)‚ąí fracke2R psi=E psi


Y ya no da tanto miedo, sin embargo, cómo resolver una ecuación de este tipo todavía no está muy claro.

Por lo tanto, utilizaremos un truco sucio: observe esta ecuaci√≥n en la vecindad inmediata del prot√≥n (en R rightarrow0 ) En este caso, 2 piezas que contienen  frac1R se disparan a valores tremendos, y los 2 miembros restantes caen muertos y siguen siendo peque√Īos.

¬ŅNo comieron una protuberancia?
no pueden crecer, de lo contrario se violar√° la condici√≥n  int limits+ infty‚ąí infty int limits+ infty‚ąí infty int limits+ infty‚ąí infty| psi|2dxdydz=1 , que la part√≠cula definitivamente se puede encontrar en alg√ļn lugar, porque esta integral se volver√° infinita y esto no arreglar√° nada.

Como resultado, podemos resolver la ecuación simplificada solo para estas piezas grandes:

‚ąí frac hbar22m frac2R frac partial psi partialR‚ąí fracke2R psi=0


Multiplicándolo por R y empujando los términos en diferentes lados de la igualdad, obtenemos la diferencia estándar de primer orden:

 fracd psidR=‚ąí fracmke2 hbar2 psi


Y resolverlo es simple:

 fracd psi psi=‚ąí fracmke2 hbar2dR Rightarrow int psi(R) psi0= psi(R=0) fracd psi psi=‚ąí fracmke2 hbar2 intR0dR Rightarrow ln left( frac psi(R) psi0 right)=‚ąí fracmke2 hbar2R


En otras palabras, la función de onda tiene la forma:
 psi(R)= psi0 cdot exp left(‚ąí underbrace fracmke2 hbar21/R1R right)= psi0 cdot exp left(‚ąí fracRR1 right)
donde  psi0 es solo una especie de coeficiente, pero R1= frac hbar2mke2 Es el radio de la √≥rbita de Bohr en n=1 (ver secci√≥n anterior). Inesperadamente, la vieja soluci√≥n apareci√≥ nuevamente en la mec√°nica cu√°ntica honesta.

Queda por verificar si la función de onda obtenida es una solución de la ecuación de Schrödinger en todas partes, y no solo cerca del protón. Para hacer esto, sustituimos la solución resultante en la ecuación original, para esto es conveniente encontrar la segunda derivada con respecto a R por adelantado:

 fracd2 psi(R)dR2= fracddR underbrace psi0 exp left(‚ąí fracRR1 right) psi(R) cdot left(‚ąí frac1R1 right)= frac psi(R)R21= fracm2k2e4 hbar4 cdot psi(R)


El resultado de la sustitución es:

 underbrace fracmk2e42 hbar2 psi(R)‚ąí frac hbar22m frac partial2 psi(R) parcialR2+ underbrace(‚ąí frac hbar22m frac2R frac partial psi(R) parcialR‚ąí fracke2R psi(R))0  text(yalodecidimos)=E psi(R)


es decir  fracmk2e42 hbar2 psi(R)=E psi(R) , la soluci√≥n sigue siendo la soluci√≥n. Y cortando  psi(R) en los lados izquierdo y derecho obtenemos:
E=‚ąí fracmk2e42 hbar2 , que es igual a la energ√≠a de la √≥rbita de Bohr con n=1 .

El resultado de resolver la ecuaci√≥n de Schr√∂dinger es un conjunto de orbitales, que se describe utilizando tres enteros n , l y m , llamados "n√ļmeros cu√°nticos". La dependencia de las energ√≠as de estos orbitales en (n,l,m) a continuaci√≥n (y steren de un recurso genial en qu√≠mica ):



  1. Con el primer n√ļmero, n = 1,2,3, ... ya nos hemos encontrado. Este es el llamado N√ļmero cu√°ntico principal. Determina la energ√≠a del nivel, as√≠ como el tama√Īo de la √≥rbita de Bohr. (.. ) ¬ę¬Ľ. , / , , ‚ÄĒ , , , . n =1 n =2 ( ):


    : , n . , .
  2. l , , . n , n ( l=0,1,2,‚Ķ,n ). , . , , . , ( Ōą=0 ), , . - ( ):

    imagen

    ¬ę¬Ľ . , .

    • l=0 , , , . s-.
    • ( l=1 ) p-.
    • 4- l=2 , d-. .
    • 6- ( l=3 ) f-.
    • 8- ( l=4 ) g-.
    • 10- ( l=5 ) h-.
    • .. etc.

    , ( n ) , . : , .
  3. , m , . . 2l+1 : m = - l , - l + 1 , ... , 0 , ... , l - 1 , l .

Lo que obtuvimos como resultado: las energ√≠as en el caso cu√°ntico resultaron ser las mismas que las de Bohr, pero el n√ļmero de estados posibles para un n dado tambi√©n result√≥ ser un n√ļmero finito. Y este n√ļmero crece con el aumento de la energ√≠a orbital. Inesperadamente, pero de acuerdo con los experimentos.

Entonces, ¬Ņcu√°l es la diferencia entre un √°tomo de hidr√≥geno ( H ‚čÖ = p + e - ) de su hom√≥logo mu√≥n (p + őľ - )?


Ahora aplicamos las fórmulas obtenidas para comprender qué cambia exactamente cuando un electrón es reemplazado por un muón en un átomo de hidrógeno.

  • La energ√≠a del estado fundamental (es decir, el m√≠nimo en energ√≠a, el m√°s estable, desde d√≥nde no ir), con el n√ļmero cu√°ntico principal n = 1. Est√° dado por la f√≥rmula

    E 1 = - m k 2 e 42 n 2 ‚Źü 1 2 ‚ĄŹ 2 =-mk2e42 ‚ĄŹ 2


    Cuando un electr√≥n se transfiere a un mu√≥n, solo la masa ( mőľ‚Čą207me , ‚ÄĒ , ‚ÄĒ ). , 207 : E1(p+őľ‚ąí)=207E1(H‚čÖ)
  • . //, . A‚ÜíA++e‚ąí , A ‚ÄĒ . , A‚ÜíA++őľ‚ąí . . E=0 . En=‚ąímk2e42n2‚ĄŹ2 n‚Üí+‚ąě . Es decir , , / , , - (. ).

    , ( E>0 , ).

    , (IP) +/ :

    IP=0‚Źü ‚ąíE1‚Źü =‚ąíE1


    , + 207 , , .. ¬ę¬Ľ , .
  • , ¬ę¬Ľ. , , (1s-)

    Ōą1s(R)=c‚čÖexp(‚ąíRR1)


    R1=12‚Źěn2‚ĄŹ2mke2=‚ĄŹ2mke2 , cuanto m√°s r√°pido disminuye la funci√≥n de onda con la distancia desde el prot√≥n, y menor es su "tama√Īo", es decir localizaci√≥n de una part√≠cula cargada negativamente. Al pasar de un electr√≥n a un mu√≥n, este radio R 1 disminuye en un factor de 207; por lo tanto, resulta que el mu√≥n est√° m√°s unido al prot√≥n que el electr√≥n. Y por lo tanto, es m√°s dif√≠cil arrancarlo, ya que la ionizaci√≥n es esencialmente una transici√≥n a una √≥rbita infinitamente distante, es decir. El mu√≥n necesita ir m√°s all√° del electr√≥n para escapar del prot√≥n.

Conceptualmente, todas nuestras conclusiones de las f√≥rmulas son infinitamente simples: resolver el problema para  mathrmH cdot y  mathrmp+ mu‚ąí tiene el mismo aspecto, pero debido al hecho de que el mu√≥n es m√°s pesado, se adhiere m√°s al prot√≥n y le resulta m√°s dif√≠cil escapar de √©l.

Obviamente, ¬Ņverdad? Pero con las f√≥rmulas es a√ļn m√°s obvio.

¬ŅQu√© pasar√° despu√©s?


Este texto fue solo una preparación para la siguiente parte.

En él, discutiremos directamente el mecanismo propuesto para reducir la temperatura mínima de fusión.

PS sistema atómico de unidades


Finalmente, discutimos algo que nos simplificaría enormemente todas las fórmulas escritas anteriormente. En diferentes tareas (incluso escolares), la elección de unidades de medida puede facilitar enormemente la vida. Y en el caso de la mecánica cuántica, también hay un sistema de unidades muy conveniente. Este es el llamado Sistema atómico de unidades . Pertenece a la clase de unidades naturales, que es esencialmente lo contrario de las unidades antropocéntricas ( SI , GHS ), en las que las cantidades que una persona puede imaginar de inmediato se utilizan como piezas de referencia. Por ejemplo, en SI, la unidad de longitud es un metro (aproximadamente la longitud de un brazo / pierna de un adulto), masa - un kilogramo (aproximadamente la masa de cerveza en un círculo en el Oktoberfest), todo esto lo observamos en la vida cotidiana.

Los sistemas naturales de unidades, sin embargo, toman como base algo que simplifica las fórmulas en el campo de conocimiento correspondiente. Y en el caso de las unidades atómicas:

  • en primer lugar, se supone que la constante de Planck en todas partes es la unidad (  hbar=1 ),
  • unidad de masa es la masa del electr√≥n m mathrme aprox9.1 veces10‚ąí31 kg
  • la unidad de carga es la carga de protones (o, equivalentemente, el m√≥dulo de carga de electrones) e=1.6 veces10‚ąí19 Kl
  • Bueno, al mismo tiempo, la constante el√©ctrica se toma como la unidad. k= frac14 pi varepsilon0 , por lo que la ley de Coulomb toma la forma V(R)= fracq1q2R .

En este caso, el radio de Bohr del estado fundamental para el √°tomo de hidr√≥geno se convierte en la unidad de longitud a0=R1= frac hbar2m mathrmeke2=1 (como recordamos, esto es aproximadamente 0.5 √Ö). La unidad de energ√≠a se convierte en un valor llamado Hartree (en honor al √°ngulo D de Hartree ), que se denota E mathrmh= fracm mathrmek2e4 hbar2=1 . Se ve que la energ√≠a del nivel 1 de hidr√≥geno en unidades at√≥micas es 0.5 Hartree.

En la siguiente parte estaremos activamente sentados en estas unidades.

Hecho divertido
Las unidades de masa at√≥mica (amu) son familiares para todos, desde las clases de qu√≠mica de la escuela. Estos son los que figuran en la tabla peri√≥dica (1/12 de la masa del is√≥topo de carbono principal 12 mathrmC ) ¬°Entonces, las unidades de masa at√≥micas no son parte del sistema at√≥mico de unidades! 1 amu es aproximadamente igual a 1800 masas de electrones (unidades de masa del sistema at√≥mico de unidades). Este malentendido surgi√≥ hist√≥ricamente: surgi√≥ en la comunidad qu√≠mica en el siglo XIX, y el sistema at√≥mico de unidades en la primera mitad del siglo XX en la comunidad f√≠sica. Para evitar esta confusi√≥n, IUPAC renombr√≥ el amu en los daltons, y desde los a√Īos 90 forzando activamente esta designaci√≥n, pero, desafortunadamente, no tuvo mucho √©xito.

Source: https://habr.com/ru/post/443232/


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