Hoy hablaremos de lo básico. Los fundamentos teóricos establecen los límites de lo posible y muestran las formas de alcanzar los objetivos, y por lo tanto, la profundidad de la comprensión en tales asuntos nunca será superflua.
No podremos cubrir todos los fundamentos, por lo tanto, por ahora, dirigiremos nuestro haz educativo a tareas entretenidas llamadas paradojas. En el curso de la cobertura del tema, profundizaremos gradualmente en las entrañas del enfoque llamado lógica, y luego prestaremos atención a la conexión entre la lógica y las matemáticas, después de lo cual nuestros lectores pueden comprender fácilmente no solo las razones de la utilidad de la lógica para derivar las teorías axiomáticas, sino también por qué las teorías axiomáticas son necesarias. y también entenderán cómo no es necesario abordar la construcción de teorías consistentes.
Comencemos con una lista de acertijos entretenidos. Estos problemas se llaman paradojas, porque no importa cómo respondamos la pregunta planteada en el problema, el autor de la paradoja siempre demostrará fácilmente que estamos equivocados. Es decir, en otras palabras, los problemas no implican una solución, sino que muestran de manera entretenida la no trivialidad del razonamiento lógico.
Paradoja de peluquero
En cierto pueblo, un barbero declaró que estaba afeitando en su pueblo a todos los que no se afeitaban. La pregunta es quién afeita al barbero.
Si respondió que la afeitadora se afeita a la afeitadora misma, entonces los partidarios de la paradoja le explicarán rápidamente que, según las condiciones de la tarea, la afeitadora afeita a los que no se afeitan, lo que significa que no puede afeitarse a sí mismo, de lo contrario resultaría que se afeita a sí mismo y, por lo tanto, se afeita uno que se afeita.
Si respondió que alguien más se está afeitando, los defensores de las paradojas volverán a recordar las condiciones de la tarea: indican que si una persona no se afeita, entonces debe afeitarse al barbero, porque dijo: afeita a todos los que no se afeitan. Yo mismo Entonces, si alguien más se afeita, entonces no se afeita y, por condición, debería ser una afeitadora.
Si bien no debes profundizar en las contradicciones lógicas de esta tarea, solo te introduce al mundo de las paradojas y seguirán varias tareas más conflictivas. Aunque si encuentra una solución inesperada, no se apresure, verá cómo los defensores de la paradoja eludirán cualquier solución inesperada.
Paradojas de conjuntos
Similar a la paradoja del barbero, hace más de cien años, se descubrió una paradoja que afectó seriamente los fundamentos de las matemáticas, y con tanta seriedad que este período se llamó una crisis de los fundamentos de las matemáticas. La verdad es que no vale la pena preocuparse demasiado por las matemáticas, porque esta crisis no fue la primera y afectó débilmente a las secciones sustantivas de las matemáticas. Sin embargo, la crisis demostró claramente la debilidad de nuestro conocimiento en esa área, que siempre se ha considerado estricta y casi integral.
Primero, mostramos la base de una de las paradojas en un ejemplo simplificado. Imagine el conjunto (o una lista, una matriz) de todos los enteros positivos, y luego imagine el número correspondiente al número de números en nuestro conjunto. Presentado? Si es así, ¿qué pasará con el conjunto después de agregarle un número igual al número de sus elementos con la unidad agregada? Si ya hay todos los elementos allí, recuerde que se pueden ordenar en orden ascendente y entonces será obvio que el elemento más grande es igual al número de elementos en nuestro conjunto. Pero si agregamos uno a la cantidad, obtenemos un elemento que no está en el conjunto, por lo que parece que no puede imaginar esa lista, porque cada vez que aparece una pregunta sobre un nuevo elemento. Pero, por otro lado, podemos formular la frase "el conjunto de todos los enteros positivos". Entonces, ¿qué podemos realmente y no podemos?
Mientras está considerando la respuesta a la pregunta anterior, le preguntaremos lo siguiente. ¿Y si imagina el conjunto de todos los conjuntos, pero tal que ningún conjunto se incluiría como elemento? ¿Es esto posible? Por ejemplo, el conjunto de números {1, 2, 3} no se incluye a sí mismo como un elemento. Entonces, ¿tal vez todos los otros conjuntos también se puedan imaginar?
Si dice que esto es posible, los partidarios de las paradojas harán la pregunta: ¿se incluye el conjunto presentado?
Si dice "sí", los partidarios de las paradojas responderán que, de acuerdo con la condición del problema, el conjunto no debe incluir los conjuntos que se incluyen a sí mismos, pero como usted dijo "sí", incluyó el conjunto presentado en sí mismo y, por lo tanto, prohibió su inclusión, porque se ha convertido en un conjunto que se incluye a sí mismo, lo que contradice la condición del problema.
Si dice "no", los partidarios de las paradojas responderán que, de acuerdo con las condiciones del problema, el conjunto presentado debe incluir todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos y, por lo tanto, el conjunto presentado en sí (que no está en sí mismo) también debe estar en nuestro conjunto.
Tal como ahora, tal vez, los matemáticos de todo el mundo se vieron ligeramente afectados por la aparente falta de sentido común en la paradoja propuesta. De hecho, no solo el sentido común se escapó a algún lado, sino que poco antes de eso, los matemáticos lograron proponer el uso de la teoría de conjuntos (y solo estamos hablando de su representante, el conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos) para construir todas las matemáticas sobre su base. Y como resultado, ocurrió una crisis: en el núcleo de las matemáticas, como resultó, no había sentido común. ¿Cómo te gustan estas matemáticas? Winnie the Pooh lo puso bien en este tema: es bueno, pero por alguna razón es poco convincente.
Pero eso no es todo. Además, para completar, presentamos un par de paradojas de un plan ligeramente diferente.
La paradoja de la autoaplicabilidad
Hay palabras cuyo significado se puede aplicar a estas palabras. Por ejemplo, la palabra "tres sílabas" consta de tres sílabas y su significado también nos dice acerca de tres sílabas, por lo tanto, dicha palabra puede llamarse auto-aplicable. Del mismo modo, la palabra "ruso" está escrita en ruso y expresa el significado de pertenecer al ruso, es decir, es nuevamente aplicable. Pero la palabra "lila" generalmente no está escrita en absoluto en color lila y no crece en lilas, lo que significa que no es aplicable. Pero todavía hay una palabra (y acabamos de verla) "no aplicable". ¿Es esa palabra aplicable a uno mismo?
Si la lucha con el sentido común dentro de ti ha terminado con éxito y dijiste que la palabra es auto-aplicable, entonces los partidarios de las paradojas dirán: ¿cómo puede ser auto-aplicable, si está escrito en ella, no auto-aplicable?
Si dice que la palabra no es aplicable, los partidarios de las paradojas responderán que el significado de la palabra coincide con la definición que le dio (no aplicable), lo que significa que usted mismo ha mostrado el método de autoaplicación, lo que significa que está equivocado nuevamente.
Pero la alegría de los partidarios de las paradojas será incompleta si no mostramos un problema más.
La paradoja del falso dicho
La tarea es muy simple: debe responder "sí" o "no" a la pregunta: la siguiente afirmación es falsa: "esta afirmación es falsa".
Si responde "no", los partidarios de las paradojas dirán que la declaración dice: es falso, por lo que dice que algo no está bien.
Si dice que sí, entonces los defensores de las paradojas dirán que dado que usted está diciendo que la afirmación es falsa (respondiendo "sí") y la afirmación misma dice que es falsa, entonces ¿dónde está la mentira? ¡Así que nuevamente respondiste incorrectamente! Otros partidarios de las paradojas nuevamente se regocijan.
Un poco de desmitificación
No nos desanimaremos viendo la diversión en el campo de los partidarios de las paradojas, pero trataremos de revelar el mal que, por así decirlo, pulverizó intensamente nuestros cerebros en todas las paradojas citadas. Para nosotros, ¡muchos matemáticos aún no están seguros de la consistencia de los fundamentos de su ciencia!
Primero sobre el barbero. Echemos un vistazo más de cerca a la composición de los participantes en la paradoja. Notaremos un par de entidades, estos son el barbero y algunos "todos" que el barbero afeita. También veremos una cierta relación en la que el barbero viene con aquellos a quienes afeita. Llamemos simple a esta relación: "afeitado". En el lenguaje de las matemáticas, podríamos escribir - x afeita y, es decir, cierta X está en una relación con cierto jugador, y la relación se llama - afeitar. Además en la paradoja vemos el algoritmo de selección como parte de la entidad "todos". La esencia del algoritmo es verificar la condición "no se afeita". También vemos la obligación de una afeitadora de afeitar a todos aquellos que son parte de la esencia mencionada de "todos".
Ahora, después de haber escrito la parte "dada" para nuestro problema, pasamos a la parte "solución".
Suponga que cierta comisión selecciona personas de la aldea, y todos los que responden "No me afeito" están incluidos en el conjunto de las condiciones del problema (el conjunto es "todos"). Después de completar el trabajo de la comisión, tenemos un grupo de personas a las que nuestro barbero debe procesar en consecuencia. Además, uno puede imaginar fácilmente que en el momento de la encuesta, el barbero dijo que se afeitaba y, por lo tanto, no estaba incluido en el grupo de personas a ser procesadas. Como resultado, obtenemos una imagen completamente feliz: todos los que no se afeiten serán afeitados con calma por nuestro barbero. ¿Pero no lo harán? Como mínimo, no veremos ningún obstáculo por parte del sentido común y, por lo tanto, podemos imaginar fácilmente todas las caras afeitadas que sean adecuadas para la afección y un peluquero muy satisfecho. ¡Pero los partidarios de las paradojas en esta situación no tendrán trabajo, porque resulta que no hay ninguna paradoja en absoluto!
Pero en realidad hay una paradoja. De hecho, ¡no es en vano que los matemáticos de todo el mundo estén preocupados por la crisis!
Para identificar la causa de la paradoja, es necesario incluir a sus partidarios en la ecuación. Dirán que el barbero afirmó que se afeita a los que no se afeitan y, por lo tanto, no tiene derecho a afeitarse a sí mismo, porque luego afeitará a quien se afeita y, por lo tanto, viola la condición de la tarea. Luego, en términos de lógica, podemos decir que la afirmación "barber shaves barber" es falsa de acuerdo con las condiciones del problema. Pero como resultado, el barbero debe incluirse en el conjunto de personas que están sujetas a afeitarse con un barbero. Y es el barbero el que debería afeitarlos a todos, porque de lo contrario los partidarios de las paradojas aparecerán de inmediato y nos recordarán las condiciones del problema.
Para mayor claridad, acortamos la descripción de la situación. Designemos la máquina de afeitar con la letra B, la actitud "afeita" deja que permanezca sin cambios, ya es corta. Muchos "todo" tampoco se pueden reducir. Luego, en un breve registro obtenemos:
1)
falso (B afeita B) significa que B pertenece a "todos"2)
X afeita B y X = BTal registro significa que (la primera línea) del hecho de que la afeitadora no afeita a la afeitadora, se deduce que la afeitadora pertenece al conjunto de "todo". La segunda línea nos dice que cierta X debería afeitar al barbero y esta X debería ser el mismo barbero.
Ahora realizamos las mínimas transformaciones con la segunda línea: reemplazamos la X con B, porque por condición son iguales y también denotamos la verdad de la declaración resultante. Obtenemos:
verdadero (B afeita B)Pero de la línea (1) tenemos:
falsamente (B afeita B)Y estas dos condiciones (a petición de los partidarios de las paradojas) deben cumplirse simultáneamente.
Entonces, ¿qué es el mal aquí? Como vimos, antes de la intervención de los partidarios de las paradojas, la paz y el orden reinaban en la aldea, todas las personas adecuadas se afeitaron y el barbero estaba satisfecho. Pero después de la intervención de los partidarios de las paradojas, al mismo tiempo recibimos una demanda de la verdad y la falsedad de la declaración de que el barbero afeita al barbero. Hablando de manera diferente, recibimos demandas conflictivas. Y, por supuesto, si los requisitos son contradictorios, entonces es imposible resolver el problema con dichos requisitos. No importa cómo nos enrosquemos, no importa cómo inventemos nuevas y nuevas formas de evitar la paradoja, por ejemplo, declarando que el barbero no se afeita y usa barba, o que la mujer no tiene que afeitarse, los partidarios de las paradojas lo harán objetivamente - esto se enfrenta al problema no, entonces todo debería ser exactamente como dijimos. Pero como resultado de obedecer el rigor de las declaraciones de los partidarios de las paradojas, tenemos una tarea insoluble.
Después de señalar la inconsistencia de las condiciones, podemos tratar de resaltar una serie de factores que llevaron a una situación en la que los requisitos esencialmente estúpidos (¿y qué más llamar requisito para afeitarse y no afeitarse al mismo tiempo?) Fueron tomados en serio por muchísimas personas.
Primero, vale la pena señalar la naturaleza implícita de las afirmaciones en conflicto. Una tarea similar, pero con una evidente contradicción en las condiciones, habría sido rechazada de inmediato y nadie habría conocido ninguna paradoja, pero fue la naturaleza oculta de la inconsistencia de las restricciones lo que condujo a numerosos intentos de resolver la tarea desesperada. Por ejemplo, la tarea de encontrar un número que sea simultáneamente mayor que cero y menor que cero difícilmente conduciría al surgimiento del concepto de paradoja, porque en tal problema el significado contradictorio de los requisitos es obvio para todos. Pero en el problema del afeitado del peluquero, la falta de evidencia de la inconsistencia de las restricciones condujo a consecuencias significativas. Por lo tanto, en cualquier paradoja, en primer lugar, uno debe buscar contradicciones implícitas en las restricciones impuestas a la solución del problema.
En segundo lugar, además de la falta de evidencia, en tales problemas existen restricciones contradictorias (que a primera vista no son visibles). Vale la pena enfatizar aquí: son las restricciones a la solución, y no otra cosa. Es decir, no el área temática a la que pertenece el problema es de alguna manera contradictoria, y no el lenguaje en el que se establece la tarea, pero las contradicciones se establecen fuera de estos conceptos y precisamente en forma de restricciones a una posible solución. Por lo tanto, siempre debe estudiar cuidadosamente las restricciones en la solución, tratando de identificar posibles contradicciones en ellas.
Tercero, las tareas conflictivas necesariamente incluyen el formalismo que distorsiona la realidad. El estricto cumplimiento de las condiciones expresadas, excluyendo la búsqueda de soluciones fuera del área contradictoria, es una señal obvia que debe buscarse cuidadosamente en otras tareas que, a primera vista, no parecen paradójicas.
En el resto, en el problema del barbero, vemos peculiaridades que le son peculiares, que pueden no repetirse en otras paradojas. Sin embargo, será útil señalarlos.
En primer lugar, la tarea del barbero se caracteriza por la exigencia perentoria de "afeitarse a todos", sin permitir excepciones a la regla "quién no se afeita". Si la tarea no imponía una restricción tan estricta para "afeitar a todos", entonces el barbero podría ser fácilmente excluido de la lista peligrosa para la tarea. Si la tarea no tuviera una restricción únicamente para aquellos que no se afeitan, entonces nuevamente el barbero nos costaría un pequeño susto en lugar de crear una crisis de los fundamentos de las matemáticas. Por lo tanto, en otras tareas, donde se plantea una exigencia estricta de la categoría de "todos esos elementos y solo tales", vale la pena prestar atención a la búsqueda de contradicciones internas en dicha formulación.
En segundo lugar, el barbero en la tarea es una entidad especial que difiere de todas las demás en su participación en el afeitado de todos los que se supone afeitado por la condición. Sin un barbero, un sistema de entidades se desmoronaría y no constituiría una tarea única y significativa. Pero a pesar de un estatus tan especial en el sistema de entidades y limitaciones, los partidarios de las paradojas insisten en una actitud única hacia todos los participantes en el proceso, a pesar de las restricciones adicionales que se imponen al barbero. Pero fue precisamente el estado especial de la afeitadora lo que llevó a la contradicción en los requisitos, porque además de la actitud de "como todos", que requiere que se afeite la afeitadora, también se requiere que la afeitadora no se afeite, y otras afeitadoras están excluidas en la condición de la tarea. Por lo tanto, en otras tareas, se debe identificar la función de formación de sistema de los elementos y, si existe, verificar cuidadosamente la correlación de los requisitos "para todos" y los requisitos para este elemento. De lo contrario, es fácil obtener otra contradicción en los requisitos.
Problemas en otras paradojas
Por ahora, omitiremos la paradoja de los conjuntos, ya que la necesitaremos más adelante en relación con los problemas de la teoría de conjuntos.
Y ahora veamos dónde está el mal en la paradoja de la autoaplicabilidad. Junto con la característica mencionada anteriormente en la forma de contradicción implícita en las condiciones aquí, también podemos agregar libertad de interpretación del significado de autoaplicabilidad. Es decir, el significado de la relación de autoaplicación puede interpretarse de manera bastante amplia y, por lo tanto, una contradicción puede deslizarse fácilmente en estas amplias brechas. Por lo tanto, en este caso, la severidad de las definiciones no sería superflua. Pero también es imposible inflar la severidad a lo absoluto, de lo contrario, como vimos en el ejemplo del barbero, las contradicciones serán el resultado de la severidad misma.
Al igual que en la paradoja del afeitado, en la paradoja de la autoaplicación, tenemos un elemento especial del sistema que se destaca del resto en que, cuando se lo considera, el algoritmo del sistema cambia. Para todas las demás palabras, es suficiente para que comprendamos cómo el dominio de definición del significado de la palabra se relaciona con la palabra en sí misma (es decir, calcular el número de sílabas o prestar atención al idioma en el que se escribe la palabra), pero para la palabra "no aplicable" tenemos un dominio de definición no bastante obvio, posiblemente coincidiendo con el propio sistema en el que se evalúa la autoaplicabilidad. Es decir, para la palabra "no aplicable", la tarea misma nos explica un posible sentido de aplicabilidad, pero esta explicación es implícita y no estricta.
Además, puede encontrar restricciones específicas que se contradicen entre sí precisamente para la palabra "no aplicable". , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?
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Como vemos, si a contiene algún elemento, no existe una sola variante de sustitución de
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¿Qué conclusión se puede sacar de tal resultado? En la opinión personal del autor de este texto, la conclusión podría ser la siguiente: al traducir una idea sólida sobre la aplicación de un filtro al lenguaje seco de las fórmulas, se cometió un error en forma de pérdida de conexión con la realidad o, para decirlo de otra manera, no todas las propiedades del sistema original se identificaron y formalizaron de manera apropiada . Bueno, para aceptar los hallazgos o rechazarlos, por supuesto, elija al lector, que ahora sabe exactamente cómo entender de manera independiente tales problemas.