Mi amigo ingeniero me sorprendió recientemente. Dijo que no estaba seguro de si el número 1 es primo o no. Me sorprendió porque ninguno de los matemáticos considera la unidad simple.
La confusión comienza con la definición dada a un número primo:
es un entero positivo que es divisible solo por 1 y por sí mismo . El número 1 se divide por 1, y se divide por sí mismo. Pero dividirse a
sí mismo y
1 no son dos factores diferentes aquí. Entonces, ¿es un número primo o no? Cuando escribo la definición de un número primo, trato de eliminar esta ambigüedad: estoy hablando directamente de la necesidad de exactamente dos condiciones diferentes, dividiendo entre 1 y por sí mismo, o que un número primo debe ser un número entero mayor que 1. Pero, ¿por qué tomar tales medidas que excluir 1?
Mi educación matemática me enseñó que una buena razón por la cual 1 no se considera simple es el teorema básico de la aritmética. Ella afirma que cada número puede escribirse como el producto de números primos exactamente de una manera. Si 1 fuera simple, perderíamos esta singularidad. Podríamos escribir 2 como 1 × 2, o 1 × 1 × 2, o 1
594827 × 2. La excepción 1 de los números primos elimina esto.
Inicialmente, planeé explicar el teorema básico de la aritmética en un artículo y terminarlo. Pero, de hecho, no es tan difícil cambiar el enunciado del teorema para resolver el problema con la unidad. Al final, la pregunta de mi amigo despertó mi curiosidad: ¿cómo se asentaron los matemáticos en esta definición de primo? Una búsqueda rápida en Wikipedia mostró que la unidad se consideraba anteriormente un número primo, pero ahora no lo es. Pero
un artículo de Chris Caldwell y Yong Sung revela una historia un poco más compleja. Esto se puede entender desde el principio de su artículo: “Primero, si un número (especialmente una unidad) es simple es una cuestión de determinación, es decir, una cuestión de elección, contexto y tradición, y no una cuestión de prueba. Sin embargo, las definiciones no ocurren al azar; la elección está relacionada con nuestro uso de las matemáticas y, especialmente en este caso, nuestra notación ".
Caldwell y Xiong comienzan con matemáticos griegos clásicos. No contaron 1 como número, como 2, 3, 4, etc. 1 se consideró un número, y el número constaba de varios dígitos. Por esta razón, 1 no puede ser simple: ni siquiera es un número.
Al-Kindi , un matemático árabe del siglo noveno, escribió que esto no es un número y, por lo tanto, no es par ni impar. Durante muchos siglos, ha prevalecido la noción de que una unidad es el bloque de construcción para compilar todos los números, pero no el número en sí.
En 1585, el matemático flamenco Simon Stevin señaló que en el sistema decimal no hay diferencia entre 1 y cualquier otro número. En todos los aspectos, 1 se comporta como cualquier otra cantidad. Aunque no de inmediato, pero esta observación finalmente llevó a los matemáticos a aceptar 1 como cualquier otro número.
Hasta finales del siglo XIX, algunos matemáticos prominentes consideraron uno simple y otros no. Por lo que puedo decir, esto no fue motivo de desacuerdo; Para las preguntas matemáticas más populares, la diferencia no era crítica. Caldwell y Xiong citan a G. H. Hardy como el último matemático importante que considera que 1 es simple (lo indicó explícitamente como primo en las primeras seis ediciones de The Course of Pure Mathematics, publicado entre 1908 y 1933, y en 1938 cambió la definición y llamado 2 el menos simple).
El artículo menciona, pero no comprende en detalle, los cambios en las matemáticas, debido a que 1 fue excluido de la lista de números primos. En particular, uno de los cambios importantes fue el desarrollo de conjuntos fuera del conjunto de enteros que se comportan como enteros.
En el ejemplo más simple, podemos preguntar si el número -2 es primo. La pregunta puede parecer inútil, pero nos impulsa a expresar con palabras el papel único de la unidad entre los enteros. El aspecto más inusual de 1 es que su inverso también es un número entero (el inverso de
x es el número que, cuando se multiplica por
x, da 1. Para 2, el inverso de 1/2 se incluye en el conjunto de números racionales o reales, pero no es entero: 1/2 × 2 = 1). El número 1 resultó ser su propio número inverso. Ningún otro entero positivo tiene un valor inverso en el conjunto de enteros. Un número con un valor inverso se llama
elemento invertible . El número -1 también es un elemento reversible en el conjunto de enteros: de nuevo, es un elemento invertible por sí mismo. No consideramos los elementos reversibles como simples o compuestos, porque puede multiplicarlos por otros elementos reversibles sin muchos cambios. Entonces podemos suponer que el número -2 no es tan diferente de 2; en términos de multiplicación. Si 2 es primo, entonces −2 debe ser igual.
¡Evité cuidadosamente en el párrafo anterior la definición de una
simple debido al hecho desafortunado de que tal definición no es adecuada para estos conjuntos grandes! Es decir, es un poco ilógico, y elegiría otro. Para enteros positivos, cada
p primo
tiene dos propiedades:
No se puede escribir como el producto de dos enteros, ninguno de los cuales es un elemento reversible.
Si el producto
m × n es divisible por
p , entonces
m o
n debe ser divisible por
p (por ejemplo,
m = 10,
n = 6 y
p = 3.)
La primera de estas propiedades es cómo podríamos caracterizar los números primos, pero, desafortunadamente, aquí
se obtiene un
elemento irreducible . La segunda propiedad es un
elemento simple . En el caso de los números naturales, por supuesto, los mismos números satisfacen ambas propiedades. Pero esto no se aplica a cada conjunto interesante de números.
Como ejemplo, considere un conjunto de números de la forma
a + b√ - 5 o
a + ib√5 , donde
a y
b son enteros e
i es la raíz cuadrada de −1. Si multiplica los números 1 + √ - 5 y 1-√ - 5, obtiene 6. Por supuesto, también obtiene 6, si multiplica 2 y 3, que también están en este conjunto de números con
b = 0 . Cada uno de los números 2, 3, 1 + √ - 5 y 1 - √ - 5 no puede representarse como el producto de números que no son elementos reversibles (si no toma mi palabra, no es demasiado difícil de verificar). Pero el producto (1 + √ - 5) (1 - √ - 5) es divisible por 2, y 2 no es divisible por 1 + √ - 5 o 1 - √ - 5 (nuevamente, puede verificar si no me cree) ) Por lo tanto, 2 es un elemento irreducible, pero no simple. En este conjunto de números, 6 puede descomponerse en elementos irreducibles de dos maneras diferentes.
El número anterior, que los matemáticos pueden llamar Z [√-5], contiene dos elementos reversibles: 1 y −1. Pero hay conjuntos similares de números con un número infinito de elementos reversibles. Dado que tales conjuntos se convirtieron en objetos de estudio, tiene sentido distinguir claramente entre las definiciones de elementos reversibles, irreducibles y simples. En particular, si hay conjuntos de números con un número infinito de elementos reversibles, se hace cada vez más difícil entender lo que queremos decir con la factorización única de números, a menos que se aclare que los elementos invertibles no pueden ser simples. Aunque no soy historiador de las matemáticas y no me ocupo de la teoría de los números y me gustaría leer más sobre cómo sucedió este proceso, creo que esta es una de las razones por las que Caldwell y Xiong consideran la razón de la exclusión del 1 de los números primos.
Como suele suceder, mi respuesta inicial clara y concisa a la pregunta de por qué todo está organizado como está, finalmente se convirtió en una parte del problema. Gracias a mi amigo por hacer una pregunta y ayudarme a aprender más sobre la compleja historia de la simplicidad.