Una explicación asequible de la hipótesis de Riemann.

Dedicado a la memoria de John Forbes Nash Jr.

¿Recuerdas qué son los "números primos"? Estos números no son divisibles por otros que no sean ellos mismos y 1. Y ahora haré una pregunta que ya tiene 3000 años:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p . ¿A qué es p igual? 31. ¿Cuál será la próxima p ? 37. ¿Y la próxima p ? 41. ¿Y el siguiente? 43. Sí, pero ... ¿cómo sabemos cuál será el próximo significado?

Proponga un juicio o fórmula que (al menos en pecado) prediga cuál será el próximo número primo (en cualquier serie de números dada), y su nombre estará asociado para siempre con uno de los mayores logros del cerebro humano. Estarás a la par con Newton, Einstein y Gödel. Comprenda el comportamiento de los números primos y luego podrá descansar en los laureles toda su vida.

Introduccion

Las propiedades de los números primos han sido estudiadas por muchas grandes personas en la historia de las matemáticas. Desde la primera prueba de la infinidad de primos euclidianos hasta la fórmula del producto Euler, que relaciona los primos con la función zeta. Desde la formulación del teorema principal de Gauss y Legendre hasta su prueba inventada por Hadamard y Valle-Poussin. Sin embargo, Bernhard Riemann todavía es considerado el matemático que realizó el mayor descubrimiento en la teoría de los números primos. En su artículo, publicado en 1859, que consta de solo ocho páginas, se hicieron nuevos descubrimientos previamente desconocidos sobre la distribución de números primos. Este artículo todavía se considera uno de los más importantes en teoría de números.

Después de la publicación, el artículo de Riemann siguió siendo el trabajo principal en la teoría de los números primos y, de hecho, se convirtió en la razón principal para probar el teorema sobre la distribución de números primos en 1896. Desde entonces, se han encontrado varias pruebas nuevas, incluidas pruebas elementales de Selberg y Erdös. Sin embargo, la hipótesis de Riemann sobre las raíces de la función zeta sigue siendo un misterio.

¿Cuántos números primos hay?

Comencemos con uno simple. Todos sabemos que un número es primo o compuesto . Todos los números compuestos son simples y se pueden descomponer en sus productos (axb). En este sentido, los números primos son los "bloques de construcción" o "elementos fundamentales" de los números. En 300 a. C., Euclides demostró que su número es infinito. Su elegante prueba es la siguiente:

Teorema Euclidiano

Supongamos que el conjunto de números primos no es infinito. Crea una lista de todos los números primos. Entonces dejemos que P sea el producto de todos los primos en la lista (multiplicamos todos los primos de la lista). Añadir al resultado 1: Q = P +1. Como todos los números, este número natural Q debe ser simple o compuesto:

• Si Q es primo, entonces hemos encontrado un primo que no está en nuestra "lista de todos los primos".
• Si Q no es simple, entonces es compuesto, es decir compuesto por primos, uno de los cuales, p, será un divisor de Q (porque todos los números compuestos son productos de primos). Cada primo p del que se compone P es obviamente un divisor de P. Si p es un divisor tanto para P como para Q, entonces debe ser un divisor por su diferencia, es decir, la unidad. Ningún número primo es un divisor de 1, por lo que el número p no puede estar en la lista, otra contradicción al hecho de que la lista contiene todos los números primos. Siempre habrá otro primo p que no está en la lista y es un divisor de Q. Por lo tanto, hay infinitos primos.

¿Por qué los números primos son tan difíciles de entender?

El hecho de que cualquier recién llegado entienda el problema anterior habla elocuentemente sobre su complejidad. Incluso las propiedades aritméticas de los números primos, a pesar del estudio activo, son poco conocidas por nosotros. La comunidad científica confía tanto en nuestra incapacidad para comprender el comportamiento de los números primos que la factorización de números grandes (la definición de dos números primos, cuyo producto es un número) sigue siendo uno de los fundamentos fundamentales de la teoría del cifrado. Puedes verlo de la siguiente manera:

Entendemos bien los números compuestos. Todos estos son números que no son primos. Consisten en números primos, pero podemos escribir fácilmente una fórmula que prediga y / o genere números compuestos. Tal "filtro de número compuesto" se llama tamiz . El ejemplo más famoso es el llamado "tamiz de Eratóstenes", inventado alrededor del año 200 a. C. Su trabajo es que simplemente marca valores que son múltiplos de cada número primo hasta un límite dado. Supongamos que tomamos el número primo 2 y marcamos 4,6,8,10, y así sucesivamente. Luego tome 3 y marque 6,9,12,15, y así sucesivamente. Como resultado, solo tendremos números primos. Aunque es muy fácil de entender, el tamiz de Eratóstenes, como puedes imaginar, no es particularmente efectivo.

Una de las funciones que simplificará enormemente nuestro trabajo será 6n ± 1. Esta función simple devuelve todos los números primos, con la excepción de 2 y 3, y elimina todos los números que son múltiplos de 3, así como todos los números pares. Sustituya n = 1,2,3,4,5,6,7 y obtenga los siguientes resultados: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43. Los únicos números no primos generados por la función son 25 y 35, que se pueden factorizar 5 x 5 y 5 x 7. Los siguientes números no primos, como se puede adivinar, serán 49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11, Y así sucesivamente. Todo es fácil, ¿verdad?

Para mostrar esto visualmente, utilicé lo que llamo la "escalera de los números compuestos", una forma conveniente de mostrar cómo se organizan y combinan los números compuestos generados por la función. En las primeras tres columnas de la imagen a continuación, vemos cómo los números primos 5, 7 y 11 suben maravillosamente cada escalera de números compuestos, hasta el valor 91. El caos que ocurre en la cuarta columna, que muestra cómo el tamiz eliminó todo excepto los primos, es excelente Una ilustración de por qué los números primos son tan difíciles de entender.

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Recursos fundamentales

¿Cómo se relaciona todo esto con el concepto sobre el que se puede escuchar, con la "hipótesis de Riemann"? En pocas palabras, para comprender mejor los números primos, los matemáticos del siglo XIX dejaron de intentar predecir la ubicación de los números primos con absoluta precisión y, en cambio, comenzaron a considerar el fenómeno de los números primos en su conjunto. Riemann se convirtió en el maestro de este enfoque analítico , y en el marco de este enfoque se creó su famosa hipótesis. Sin embargo, antes de comenzar a explicarlo, es necesario familiarizarse con algunos recursos fundamentales.

Filas Armónicas

Las series armónicas son series interminables de números que fueron explorados por primera vez en el siglo XIV por Nikolai Orem. Su nombre está asociado con el concepto de armónicos musicales: armónicos que son más altos que la frecuencia del tono fundamental. Las filas son las siguientes:


Los primeros miembros de una serie armónica infinita.

Orem demostró que esta suma es divergente (es decir, sin un límite finito; no se acerca y no tiende a ningún número en particular, sino que se dirige al infinito).

Funciones Zeta

Las series armónicas son un caso especial de un tipo de función más general llamada función zeta ζ (s). La función zeta real se define para dos números reales r y n :


Función Zeta

Si sustituimos n = 1, obtenemos una serie armónica que diverge. Sin embargo, para todos los valores de n> 1, la serie converge , es decir, la suma con r creciente tiende a un cierto número y no llega al infinito.

La fórmula de Euler

Euler estableció la primera conexión entre las funciones zeta y los números primos cuando mostró que para dos números naturales (entero y mayor que cero) n y p , donde p es primo, lo siguiente es cierto:


Producto de Euler para dos números n y p, donde ambos son mayores que cero y p es primo.

Esta expresión apareció por primera vez en un artículo de 1737 titulado Variae Observaciones alrededor de la serie infinitas . De la expresión se deduce que la suma de la función zeta es igual al producto de las cantidades inversas a la unidad, menos la inversa de los números primos de grado s . Esta sorprendente conexión sentó las bases para la teoría moderna de los números primos, en la cual la función zeta ζ (s) comenzó a utilizarse desde entonces como una forma de estudiar los números primos.

La prueba de la fórmula es una de mis pruebas favoritas, por lo que la presentaré, aunque para nuestros propósitos esto no es necesario (¡pero es igual de maravilloso!):

Prueba de la fórmula del producto Euler

Euler comienza con una función zeta común


Función Zeta

Primero, multiplica ambas partes por el segundo término:


Función Zeta multiplicada por 1/2 ^s

Luego resta la expresión resultante de la función zeta:


Función Zeta menos 1/2 ^s veces la función zeta

Repite este proceso, multiplicando ambos lados por el tercer término.


Función Zeta menos 1/2 ^s veces la función zeta multiplicada por 1/3 ^s

Y luego resta la expresión resultante de la función zeta


Función Zeta menos 1/2 ^s veces la función zeta menos 1/3 ^s veces la función zeta

Si repite este proceso indefinidamente, al final tendremos la expresión:


1 menos todos los valores inversos a primos multiplicados por la función zeta

Si este proceso le resulta familiar, es porque Euler esencialmente creó un tamiz muy similar al tamiz de Eratóstenes. Filtra números no primos de la función zeta.

Luego dividimos la expresión en todos sus términos, que son inversos a los números primos, y obtenemos:


Relación funcional de la función zeta con primos para los primeros primos 2,3,5,7 y 11

Para simplificar la expresión, mostramos lo siguiente:


La fórmula para el trabajo de Euler es una igualdad que muestra la relación entre primos y la función zeta

¿No fue hermoso? Sustituimos s = 1, y encontramos una serie armónica infinita, probando repetidamente el infinito de primos.

Función Mobius

August Ferdinand Mobius reescribió el trabajo de Euler, creando una nueva cantidad. Además de las cantidades inversas a los números primos, la función Mobius también contiene cada número natural, que es el producto de un número par e impar de factores primos. Los números excluidos de su serie son números que son divisibles por algún número primo al cuadrado. Su suma, denotada como μ (n) , tiene la siguiente forma:


La función Mobius es una versión modificada del producto Euler para todos los números naturales.

La suma contiene los valores inversos:

1. Para cada número primo;
2. Para cada número natural, que es el producto de un número impar de números primos diferentes, tomado con un signo menos; y
3. Para cada número natural, que es el producto de un número par de números primos diferentes, tomado con un signo más;

Los primeros miembros se muestran a continuación:


Serie / suma de unidades divididas por la función zeta ζ (s)

La suma no contiene esos valores recíprocos que se dividen por el cuadrado de uno de los números primos, por ejemplo, 4.8.9, etc.

La función Mobius μ (n) solo puede tomar tres valores posibles: el prefijo (1 o -1) o la eliminación (0) de miembros de la suma:


Tres valores posibles de la función Mobius μ (n)

Aunque esta cantidad engañosa fue determinada formalmente por primera vez por Mobius, cabe destacar que 30 años antes que él, Gauss escribió sobre esta cantidad en notas marginales:

“La suma de todas las raíces primitivas (primo p) o ≡ 0 (cuando p-1 es divisible por el cuadrado), o ≡ ± 1 (mod p) (cuando p-1 es el producto de primos desiguales); si su número es par, entonces el signo es positivo, pero si el número es impar, entonces el signo es negativo ".

Función de distribución de números primos

Volvamos a los números primos. Para comprender cómo se distribuyen los números primos al subir la línea numérica, sin saber exactamente dónde están, será útil calcular cuántos hay hasta un cierto número.

Es precisamente esta tarea la que cumple la función de distribución de los primos π (x) propuesta por Gauss: nos da el número de primos menor o igual que un número real dado. Como no conocemos las fórmulas para encontrar números primos, la fórmula para la distribución de números primos solo la conocemos como un gráfico o una función escalonada que aumenta en 1 cuando x es un número primo. El siguiente gráfico muestra la función hasta x = 200.


La función de distribución de los primos π (x) hasta x = 200.

Teorema de distribución de números primos

El teorema sobre la distribución de números primos, formulado por Gauss (e independientemente Legendre), establece:


Teorema de distribución de números primos

En el lenguaje ordinario, esto puede expresarse de la siguiente manera: "Cuando x se mueve al infinito, la función de distribución de los primos π (x) se acercará a la función x / ln (x)". En otras palabras, si sube lo suficiente y el gráfico de distribución principal se eleva a una x muy alta, luego dividiendo x por el logaritmo natural x, la relación de estas dos funciones tenderá a 1. A continuación, el gráfico muestra dos funciones para x = 1000:


La función de distribución de primos π (x) y una estimación aproximada por el teorema de distribución de primos hasta x = 1000

Desde el punto de vista de las probabilidades, el teorema de distribución de números primos dice que si elegimos al azar un número entero positivo x, entonces la probabilidad P (x) de que este número sea primo es aproximadamente igual a 1 / ln (x). Esto significa que la brecha promedio entre primos consecutivos entre los primeros x enteros es aproximadamente ln (x).

Logaritmo Integral

La función Li (x) se define para todos los números reales positivos, con la excepción de x = 1. Se define por la integral de 2 a x :


La representación integral de la función logaritmo integral.

Después de trazar esta función junto a la función de distribución principal y la fórmula del teorema de distribución principal, vemos que Li (x) es en realidad una mejor aproximación que x / ln (x):


El logaritmo integral de Li (x) , la función de distribución de los primos π (x) y x / ln (x) en el mismo gráfico

Para saber cuánto mejor es esta aproximación, podemos construir una tabla con grandes valores de x, el número de primos hasta xy el error entre las funciones antiguas (teorema sobre la distribución de números primos) y las nuevas (logaritmo integral):


El número de primos hasta una potencia dada de decenas y los errores correspondientes para dos aproximaciones

Como puede ver fácilmente, el logaritmo integral es mucho mejor en aproximación que la función del teorema sobre la distribución de números primos, "cometió un error" por solo 314,890 números primos para x = 10 a la potencia de 14. Sin embargo, ambas funciones convergen a funciones de distribución de primos π (x). Li (x) converge mucho más rápido, pero cuando x tiende al infinito, la relación entre la función de distribución de primos y las funciones Li (x) y x / ln (x) se aproxima a 1. Mostramos esto claramente:


La convergencia de las razones de dos valores aproximados y la función de distribución de primos a 1 en x = 10,000

Función gamma

La función gamma Γ (z) se ha convertido en un importante objeto de estudio desde que, en la década de 1720, Daniel Bernoulli y Christian Goldbach investigaron el problema de generalizar la función factorial a argumentos no enteros. Esta es una generalización de la función factorial n ! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x .... N ) desplazado hacia abajo por 1:


La función gamma definida para z

Su horario es muy curioso:


Gráfico de la función gamma Γ (z) en el intervalo -6 ≤ z ≤ 6

La función gamma Γ (z) se define para todos los valores complejos de z mayores que cero. Como probablemente sepa, los números complejos son una clase de números con la parte imaginaria , escrita como Re ( z ) + Im ( z ), donde Re ( z ) es la parte real (número real ordinario) e Im ( z ) es la parte imaginaria denotado por la letra i . El número complejo generalmente se escribe en la forma z = σ + it , donde sigma σ es la parte real y es imaginaria. Los números complejos son útiles porque permiten que matemáticos e ingenieros trabajen con problemas inaccesibles a los números reales ordinarios. En una forma gráfica, los números complejos extienden la recta numérica unidimensional tradicional en un plano numérico bidimensional, llamado plano complejo , en el que la parte real del número complejo se presenta a lo largo del eje xy el imaginario, a lo largo del eje y.

Para poder utilizar la función gamma Γ (z), generalmente se reescribe en la forma


Relación funcional de la función gamma Γ (z)

Usando esta igualdad, podemos obtener valores para z por debajo de cero. Sin embargo, no da valores para enteros negativos, porque no están definidos (formalmente son degeneraciones o polos simples).

Zeta y gamma

La relación entre la función zeta y la función gamma viene dada por la siguiente integral:

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Función Riemann Zeta

Habiéndonos familiarizado con todos los recursos fundamentales necesarios, finalmente podemos comenzar a establecer la conexión entre los números primos y la hipótesis de Riemann.

El matemático alemán Bernhard Riemann nació en 1826 en Brezlenets. Como estudiante de Gauss, Riemann publicó un artículo en el campo del análisis matemático y la geometría. Se cree que hizo la mayor contribución en el campo de la geometría diferencial, donde sentó las bases para el lenguaje de la geometría, más tarde utilizado por Einstein en la teoría general de la relatividad.


Su único trabajo en teoría de números, un artículo de 1859 de Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ("En primos menores que una cantidad dada") se considera el artículo más importante en esta área de las matemáticas. En solo cuatro páginas, describió:

• Definición de la función zeta de Riemann ζ (s) - función zeta con valores complejos;
• La continuación analítica de la función zeta a todos los números complejos s ≠ 1;
• La definición de la función xi de Riemann ξ (s): toda la función asociada con la función zeta de Riemann a través de la función gamma;
• Dos pruebas de la ecuación funcional de la función zeta de Riemann;
• Determinación de la función de distribución de primos Riemann J (x) utilizando la función de distribución de primos y la función Mobius;
• La fórmula explícita para el número de primos es menor que un número dado usando la función de distribución de los primos de Riemann definidos usando los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.

Este es un increíble ejemplo de ingenio y pensamiento creativo, que probablemente no se hayan visto desde entonces. Un trabajo absolutamente asombroso.

Función Riemann Zeta

Hemos visto la estrecha relación entre los números primos y la función zeta mostrada por Euler en su trabajo. Sin embargo, con la excepción de esta conexión, se sabía poco sobre su relación, y se requería la invención de números complejos para mostrarlos.

Riemann fue el primero en considerar la función zeta ζ (s) para la variable compleja s , donde s = σ + i t.


La función zeta de Riemann para n, donde s = σ + es un número complejo en el que σ y t son números reales.

Esta serie infinita, llamada función zeta de Riemann ζ (s), es analítica (es decir, tiene valores definibles) para todos los números complejos con la parte real mayor que 1 (Re (s)> 1). En esta área de definición, converge absolutamente .

Para analizar una función en áreas fuera de la región habitual de convergencia (cuando la parte real de la variable compleja s es mayor que 1), la función necesita ser redefinida. Riemann hizo frente con éxito a esto realizando una continuación analítica a una función absolutamente convergente en el semiplano Re (s)> 0.


La forma reescrita de la función zeta de Riemann, donde {x} = x - | x |

Esta nueva definición de la función zeta es analítica en cualquier parte del semiplano Re (s)> 0, con la excepción de s = 1, donde es una degeneración / polo simple. En este dominio de definición, se llama función meromórfica , porque es holomórfica (complejamente diferenciable en la vecindad de cada punto en el dominio de su definición), excepto por el polo simple s = 1. Además, es un excelente ejemplo de la función L de Dirichlet .

En su artículo, Riemann no se detuvo allí. Pasó a la continuación analítica de su función zeta ζ (s) a lo largo deplano complejo utilizando la función gamma Γ (z). Para no complicar la publicación, no daré estos cálculos, pero le recomiendo que los mire usted mismo para asegurarse de la sorprendente intuición y dominio de Riemann.

Su método utiliza la representación integral de la gamma Γ (z) para variables complejas y la función theta de Jacobi ϑ (x), que puede reescribirse de tal manera que aparezca una función zeta. Al decidir sobre zeta, obtenemos:


La ecuación zeta funcional para todo el plano complejo con la excepción de dos degeneraciones para s = 0 y s = 1.

En esta forma, notamos que el término ψ (s) disminuye más rápido que cualquier grado de x, y por lo tanto la integral converge a todos los valores de s.

Yendo aún más lejos, Riemann notó que el primer término entre paréntesis (-1 / s (1 - s)) es invariante (no cambia) si s se reemplaza por 1 - s. Gracias a esto, Riemann amplió aún más la utilidad de la ecuación eliminando dos polos en s = 0 y s = 1, y definiendo la función xi de Riemann ξ (s) sin degeneración:


Función Xi-Riemann ξ (s)

Ceros de la función Zeta de Riemann

Las raíces / ceros de la función zeta, cuando ζ (s) = 0, se pueden dividir en dos tipos, que se denominan ceros "triviales" y "no triviales" de la función zeta de Riemann.

La existencia de ceros con la parte real Re (s) <0

Los ceros triviales son ceros que son fáciles de encontrar y explicar. Son más notables en la siguiente forma funcional de la función zeta:


Una variación de la ecuación zeta funcional de Riemann.

Este producto se vuelve igual a cero cuando el seno se vuelve cero. Esto ocurre en valores kπ. Es decir, con un entero par negativo s = -2n, la función zeta se convierte en cero. Sin embargo, para enteros pares positivos s = 2n, los ceros son cancelados por los polos de la función gamma Γ (z). Es más fácil de ver en su forma funcional original; si sustituimos s = 2n, entonces la primera parte del término se vuelve indefinida.


Entonces, la función zeta de Riemann tiene ceros en cada entero par negativo s = -2n. Estos son ceros triviales, y se pueden ver en el gráfico de funciones:


La gráfica de la función zeta de Riemann ζ (s) con ceros en s = -2, -4, -6, etc.

La existencia de ceros con la parte real Re (s)> 1

De la formulación de Euler zeta, podemos ver instantáneamente que zeta ζ (s) no puede ser cero en una región con la parte real s mayor que 1, porque un producto convergente infinito puede ser cero solo si uno de sus factores es igual a cero. La prueba del infinito de números primos niega esto.


La fórmula de Euler

La existencia de ceros con la parte real 0 ≤ Re (s) ≤ 1

Encontramos los ceros triviales de la zeta en el semiplano negativo cuando Re (s) <0, y mostramos que en la región Re (s)> 1 no puede haber ceros.

Sin embargo, el área entre estas dos áreas, llamada franja crítica, ha sido el principal foco de atención en la teoría de números analíticos durante los últimos cientos de años.


La gráfica de las partes reales e imaginarias de la función zeta de Riemann ζ (s) en el intervalo -5 <Re <2, 0 <Im <60

En el gráfico anterior, mostré las partes reales de las zeta ζ (s) en rojo y las partes imaginarias en azul. Vemos los primeros dos ceros triviales en la esquina inferior izquierda, donde la parte real de s es -2 y -4. Entre 0 y 1, identifiqué una banda crítica y noté la intersección de las partes real e imaginaria de las zeta ζ (s). Estos son ceros no triviales de la función zeta de Riemann. El aumento de los valores más altos, vamos a ver más de ceros y dos funciones aparentemente al azar, que se vuelven más densas con valores crecientes de la parte imaginaria del s .


Gráfico de las partes real e imaginaria de la función zeta de Riemann ζ (s) en el intervalo -5 <Re <2, 0 <Im <120

Función Xi Riemann

Definimos la función xi de Riemann ξ (s) (la forma de una ecuación funcional en la que se elimina toda degeneración, es decir, se define para todos los valores de s) de la siguiente manera:


Función Riemann Xi sin degeneración,

esta función satisface la relación


Relación simétrica entre valores positivos y negativos de la función xi de Riemann.

Esto significa que la función es simétrica con respecto a la línea vertical Re ( s ) = 1/2, es decir, ξ (1) = ξ (0), ξ (2) = ξ (-1 ), y así sucesivamente. Esta relación funcional (las simetrías de sy 1 s ) en combinación con el producto Euler muestra que la función xi de Riemann puede tener ceros solo en el intervalo 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1. En otras palabras, los ceros de la función xi de Riemann corresponden a ceros zeta no triviales Funciones de Riemann. En cierto sentido, la línea crítica R (s) = 1/2 para la función zeta de Riemann ζ ( s ) corresponde a la línea real (Im ( s ) = 0) para la función xi de Riemann ξ ( s)

Al observar los dos gráficos que se muestran arriba, puede notar de inmediato que para todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann ζ ( s ) (ceros de la función xi de Riemann), la parte real de Re (s) es 1/2. En su artículo, Riemann mencionó brevemente esta propiedad, y su nota superficial como resultado resultó ser uno de sus mayores legados.

Hipótesis de Riemann

Para ceros no triviales de la función zeta de Riemann ζ (s), la parte real tiene la forma Re (s) = 1/2.

Esta es una formulación moderna de una suposición no probada hecha por Riemann en su famoso artículo. Establece que todos los puntos en los que zeta es cero (ζ (s) = 0) en la tira crítica 0 ≤ Re (s) ≤ 1 tienen la parte real Re (s) = 1/2. Si esto es cierto, entonces todos los ceros no triviales de la zeta tendrán la forma ζ (1/2 + i t).

Una formulación equivalente (declarada por el propio Riemann) es que todas las raíces de la función xi de Riemann ξ (s) son reales.

En el siguiente gráfico, la línea Re (s) = 1/2 es el eje horizontal. La parte real Re ( s ) de la zeta ζ ( s ) se muestra por la línea roja, y la parte imaginaria Im ( s ) se muestra por la línea azul. Los ceros no triviales son las intersecciones entre los gráficos rojo y azul en la línea horizontal.


Los primeros ceros no triviales de la función zeta de Riemann en la línea Re (s) = 1/2.

Si la hipótesis de Riemann resulta ser cierta, entonces todos los ceros no triviales de la función ocurrirán en esta línea como la intersección de dos gráficos.

Razones para creer en una hipótesis.

Hay muchas razones para creer la verdad de la hipótesis de Riemann con respecto a los ceros de la función zeta. Probablemente la razón más convincente para los matemáticos es las consecuencias que tendrá para la distribución de números primos. Una prueba numérica de una hipótesis a valores muy altos sugiere que es cierta. De hecho, la confirmación numérica de la hipótesis es tan fuerte que en otras áreas, por ejemplo, en física o química, podría considerarse probada experimentalmente. Sin embargo, en la historia de las matemáticas hubo varias hipótesis que se probaron con valores muy altos y, sin embargo, resultaron ser incorrectas. Derbyshire (2004) cuenta la historia del número de Skews, un número extremadamente grande que indica un límite superior y, por lo tanto, demostró la falsedad de una de las hipótesis de Gauss de que el logaritmo integral de Li ( x) siempre es mayor que la función de distribución de primos. Littlewood lo refutó sin un ejemplo, y luego se demostró que era incorrecto por encima de un gran número de Skewes: diez al poder de diez, al poder de diez, al poder de 34. Esto demostró que a pesar de la probada falacia de la idea de Gauss, un ejemplo de la ubicación exacta de tal desviación de la hipótesis está mucho más allá incluso de la potencia informática moderna. Esto puede suceder en el caso de la hipótesis de Riemann, que se probó "solo" en decenas de doce ceros no triviales.

Función zeta de Riemann y números primos

Basado en la verdad de la hipótesis de Riemann, el propio Riemann comenzó a estudiar sus consecuencias. En su artículo, escribió: "... hay una alta probabilidad de que todas las raíces sean materiales. Por supuesto, se necesita una prueba rigurosa aquí; después de hacer varios intentos fallidos, pospondré su búsqueda, porque parece ser opcional para el próximo propósito de mi investigación" . Su siguiente objetivo era relacionar los ceros de la función zeta con los números primos.

Recuerde la función de distribución de primos π ( x ), que cuenta el número de primos hasta un número real x . Riemann utilizó π ( x ) para determinar la función propia de la distribución de primos, es decir, la función de distribución de los primos de Riemann J ( x ). Se define de la siguiente manera:


Función de distribución de primos de Riemann

Lo primero que puede notar en esta función es que no es infinito. Para algún término, la función de distribución será cero, porque no hay primos para x <2. Es decir, tomando J (100) como ejemplo, obtenemos que la función consta de siete miembros, porque el octavo término contendrá la octava raíz 100, que es aproximadamente igual a 1.778279 .., es decir, este miembro de la distribución de primos se vuelve igual a cero, y la suma se vuelve igual a J (100) = 28.5333 ...

Al igual que la función de distribución de primos, la función de Riemann J ( x ) es una función escalonada, cuyo valor aumenta de la siguiente manera:


Posibles valores de la función de distribución de primos de Riemann

Para relacionar el valor de J ( x ) con el número de primos hasta x , incluyéndolo, volveremos a la función de distribución de primos π ( x ) usando un proceso llamado inversión de Mobius (no lo mostraré aquí). La expresión resultante se verá como


La función de distribución de los primos π (x) y su relación con la función de distribución de los primos de Riemann y la función de Mobius μ (n)

Recuerde que los valores posibles de la función Mobius son de la forma


Tres valores posibles de la función Mobius μ (n)

Esto significa que ahora podemos escribir cualquier función de distribución de primos como una función de distribución de primos de Riemann, lo que nos dará


La función de distribución de primos, escrita como la función de distribución de primos de Riemann para los primeros siete valores de n

Esta nueva expresión sigue siendo la suma final, porque J ( x ) es igual a cero para x <2, ya que no hay primos menores que 2.

Si ahora consideramos nuevamente el ejemplo con J (100), obtenemos la suma


Función de distribución de números primos para x = 100

Que, como sabemos, es el número de primos por debajo de 100.

Transformando la Fórmula del Producto Euler

Luego, Riemann utilizó el producto de Euler como punto de partida y obtuvo un método para la estimación analítica de los números primos en un lenguaje no calculable de matanálisis. Comenzando con Euler:


Producto de Euler para los primeros cinco primos

Primero, tomando el logaritmo en ambos lados y luego reescribiendo los denominadores entre paréntesis, dedujo la relación


Logaritmo de una fórmula reescrita para un producto Euler

Luego, usando la conocida serie Taylor-Maclaurin, expandió cada término logarítmico en el lado derecho, creando una suma infinita de sumas infinitas, una para cada término en una serie de números primos.


Expansión de Taylor para los primeros cuatro términos del logaritmo del producto Euler

Considere uno de estos miembros, por ejemplo:


El segundo término es la descomposición de Maclaurin por 1/3 ^ s

Este miembro, como cualquier otro miembro del cálculo, representa parte del área bajo la función J ( x ). En forma de integral:


La forma integral del segundo término de la expansión de Maclaurin para 1/3 ^ s

En otras palabras, usando el producto Euler, Riemann demostró que es posible representar una función discreta de distribución gradual de primos en forma de una suma continua de integrales. En el gráfico a continuación, el ejemplo del término que tomamos se muestra como parte del área debajo del gráfico de la función de distribución de los primos de Riemann.


La función de distribución de Riemann prepara J (x) hasta x = 50, en el que se distinguen dos integrales

Entonces, cada expresión en una suma finita, que constituye una serie de cantidades inversas a los números primos del producto Euler, puede expresarse como integrales que forman una suma infinita de integrales correspondientes al área bajo la función de distribución de los números primos de Riemann. Para un número primo 3, este producto infinito de integrales tiene la forma:


Un producto infinito de las integrales que forman el área bajo la función de distribución de números primos representados por un número entero 3

Si reunimos todas estas sumas infinitas juntas en una integral, entonces la integral bajo la función de distribución de los primos de Riemann J ( x ) se puede escribir en una forma simple:


El logaritmo de zeta, expresado como una serie infinita de integrales.

O mejor conocido


El equivalente moderno del producto Euler, que conecta la función zeta con la función de distribución de los primos de Riemann.

Gracias a esto, Riemann logró conectar en el lenguaje del matanálisis su función zeta ζ ( s ) con la función de distribución de los primos Riemann J ( x ) en una igualdad equivalente a la fórmula del producto Euler.

Error

Después de obtener esta forma analítica del producto Euler, Riemann comenzó a formular su propio teorema sobre la distribución de números primos. Lo presentó en la siguiente forma explícita:


"El teorema de distribución de cebadores de Riemann", que predice el número de primos menos que una cantidad dada x

Esta es una fórmula explícita de Riemann. Se convirtió en una mejora del teorema sobre la distribución de números primos, una estimación más precisa del número de números primos hasta el número x . La fórmula consta de cuatro miembros:

1. El primer término o "principal" es el logaritmo integral de Li ( x ), que es una aproximación mejorada de la función de distribución de los primos π ( x ) del teorema de distribución principal. Este es el término más grande y, como hemos visto, infla el número de primos a un valor dado de x .
2. El segundo término, o "periódico", es la suma del logaritmo integral de x a la potencia ρ , sumada sobre ρ , que son ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Este miembro controla la exageración del miembro central.
3. El tercer miembro es la constante -log (2) = -0.6993147 ...
4. El cuarto y último término es la integral, igual a cero para x <2, porque no hay primos menores que 2. Su valor máximo es 2, cuando su integral es aproximadamente 0.1400101 ...

La influencia de los dos últimos términos en el valor de la función al aumentar x se vuelve extremadamente pequeña. La principal "contribución" para grandes números se realiza mediante la función de logaritmo integral y la suma periódica. Vea su efecto en la tabla:


La función escalonada de la distribución de los primos π (x) , aproximada por la fórmula explícita para la función de distribución de los primos Riemann J (x) utilizando los primeros 35 ceros no triviales de la función zeta ρ Riemann.

En el gráfico anterior, aproximé la función de distribución principal π ( x ) usando la fórmula explícita de la función de distribución principal de Riemann J ( x ) y sumé los primeros 35 ceros no triviales de la función zeta de Riemann ζ (s). Vemos que el término periódico hace que la función "resuene" y comience a acercarse a la forma de la función de distribución de los primos π ( x ).

A continuación se muestra la misma gráfica que usa más ceros no triviales.


La función escalonada de la distribución de primos π (x) aproximada por la fórmula explícita para la distribución de primos Riemann J (x) utilizando los primeros 100 ceros no triviales de la función zeta ρ Riemann.

Usando la función explícita de Riemann, podemos aproximar con mucha precisión el número de primos hasta un número dado x . De hecho, en 1901, Niels Koch demostró que el uso de ceros no triviales de la función zeta de Riemann para corregir el error de la función de logaritmo integral es equivalente al límite "mejor" para el error en el teorema de distribución de números primos.

"... Estos ceros actúan como postes de telégrafo, y la naturaleza especial de la función zeta de Riemann ordena exactamente cómo el cable (su gráfico) debe colgar entre ellos ...", - Dan Rockmore

Epílogo

Después de la muerte de Riemann en 1866, solo a la edad de 39 años, su artículo pionero continúa siendo una guía en el campo de la teoría analítica de números y la teoría de los números primos. Hasta el día de hoy, la hipótesis de Riemann de ceros no triviales de la función zeta de Riemann sigue sin resolverse, a pesar de la investigación activa de muchos grandes matemáticos. Cada año, se publican varios resultados y conjeturas nuevos relacionados con esta hipótesis con la esperanza de que algún día la evidencia se vuelva real.