📫 🦒 🏂 Ciudad sin atascos 🚂 🍶 ✒️

Art El arte aplica sabiamente los semáforos

Art El arte de diseñar redes viales

Capítulo uno

El arte aplica sabiamente los semáforos

Pequeño prefacio

Todos los días, cuando estamos cerca de la intersección, vemos la misma imagen, a medida que los autos avanzan a toda velocidad en la luz verde y en la roja: se acumulan frente al semáforo en largas filas de espera inútil. Pero, ¿qué tan familiar es necesario al mismo tiempo y se puede hacer para que en su viaje por la ciudad, los automovilistas casi no tengan que "pararse" en la luz roja? Creo que muchos de nosotros hemos oído hablar de las míticas "olas verdes". Una vez en esa ola y manteniendo una cierta velocidad, el automovilista conducirá milagrosamente hasta cada intersección justo en el momento en que el semáforo se ilumine en su dirección con una luz verde. Es bastante simple organizar la propagación de tales "olas" a lo largo de una carretera aislada, pero no es del todo obvio si esto se puede hacer en las carreteras de toda la ciudad a la vez.

En el primer capítulo de este artículo, construiré una pequeña teoría para ciudades con un diseño "Manheton" y responderé a la pregunta de cómo regular mejor el tráfico en sus calles con la ayuda de los semáforos. El segundo capítulo estará dedicado a las posibilidades de utilizar intercambios y carreteras de varios niveles.

El material del primer capítulo no requiere formalmente al lector ningún conocimiento que vaya más allá del currículo escolar, aunque sí implica una cierta cultura de razonamiento, la presencia de un lápiz y una tarde libre, quizás no la única. Espero que el trabajo realizado sea útil para las personas que diseñan ciudades y planifican el tráfico urbano.

Descripción formal del problema

Imagine un modelo de ciudad construido sobre una mesa grande con bloques rectangulares y a través de carreteras (Figura 1). Es conveniente simular flujos de tráfico en un diseño de este tipo con tiras largas y estrechas de papel apiladas a lo largo de las calles, deslizándose continuamente, cada una en su propia dirección.

Fig. 1

A lo largo del capítulo, se supondrá que el movimiento de los flujos se produce a una velocidad constante y la misma para todos. En estas condiciones, el modelado de ondas verdes se reduce a dividir cada flujo (franja de papel) en zonas blancas y negras y se cree que los automóviles pueden moverse con el flujo solo dentro de sus zonas negras (Figura 2).

Fig. 2

Sin duda, se evitarán conflictos en el movimiento de automóviles si la situación del código no surge, la misma intersección está bloqueada por zonas negras de dos flujos que se cruzan a la vez.

Fig. 3

En relación con la partición en zonas, requerimos que sean periódicas, con el mismo período espacial T para todos los flujos, y que para cada uno de esos períodos debe haber solo una zona negra. En la práctica, este requisito significa que los ciclos de todos los semáforos tienen la misma duración y durante un ciclo la luz verde en cualquier dirección se enciende en el semáforo no más de una vez.

Primera solución

Ahora tiene todos los medios necesarios para tratar de encontrar la ubicación (sin conflicto) de "ondas verdes" en un diseño de bloque cuadrado. La buena noticia: existe al menos uno de estos arreglos, y para encontrarlo, ni siquiera necesita construir ninguna teoría: es suficiente para sentarse en un sillón durante media hora, mordiendo un lápiz. La Figura 4a muestra la posición de las zonas negras de todos los flujos de calles del primer alojamiento libre de conflictos en este artículo al mismo tiempo. Las flechas indican la dirección del movimiento.

Fig. 4a

Dado que la división de los flujos en zonas es periódica en el espacio, y las tasas de flujo son las mismas y constantes, la imagen que representa la posición de los negros en un mapa de la ciudad debe repetirse periódicamente en el tiempo. En la continuación del medio período (temporal) que sigue al momento de la Figura 4a, nada impide el movimiento libre de conflictos de las "flechas" y cubrirán una distancia de una cuarta parte, cada una. Una vez hecho esto (Figura 4b), las flechas estarán en una disposición mutua, repitiendo en detalle la ubicación en la Figura 4a (precisa para el reflejo del espejo), por lo tanto, la prueba de la inmovilidad de su movimiento adicional puede llevarse a cabo por simple inducción.

Fig. 4b

El papel de los semáforos, un plan para colocar olas verdes en una ciudad con tráfico bidireccional

¿Qué deben formarse las "ondas verdes" en la práctica o, en otras palabras, dividir correctamente los flujos en zonas blancas y negras?

Como probablemente ya haya adivinado, este rol se puede asignar a los semáforos. De hecho, existe una estrecha relación dual entre dividir los flujos en zonas y elegir un horario para el trabajo de los semáforos. Llamaremos al trabajo de un semáforo sin conflictos si nunca se ilumina en verde simultáneamente en dos direcciones cruzadas. Deje que primero se dé la división libre de conflictos de flujos de tráfico en zonas blancas y negras.

Cada vez que la intersección llegue al borde frontal de la siguiente zona negra de un arroyo, haremos que el semáforo en la intersección se ilumine en la dirección de este arroyo con luz verde y cambiaremos a rojo en el momento en que su borde posterior abandone la intersección; esto creará un horario libre de conflictos El trabajo de todos los semáforos. Por el contrario: al resaltar en negro esos intervalos dentro de los flujos, cuyos puntos pasan todos los semáforos que encontraron en luz verde, obtendrá una división de los flujos en zonas en blanco y negro.

Si el horario prescribe que los semáforos funcionen sin conflictos, entonces la partición inducida por este horario también estará libre de conflictos. Por supuesto, para que las divisiones de los flujos sean periódicas, con períodos idénticos en todos los flujos y para cada uno de esos períodos solo hay una zona negra, se deberán imponer algunos requisitos adicionales en los horarios de los semáforos.

Para nosotros, la simple consecuencia del dualismo descrito será especialmente importante:

La programación obtenida de la partición libre de conflictos de flujos en zonas induce exactamente la misma partición

Es digno de mención (trate de dar un ejemplo apropiado) que la declaración simétrica ya no es verdadera.

Y así, dado que dividir los flujos en zonas y establecer horarios de semáforos son formas intercambiables de describir el tráfico urbano, podemos usar cualquiera de ellos para la tarea de encontrar la ubicación de las olas verdes. Por lo general, el primero es más visual y conveniente, pero a veces, como en el siguiente ejemplo, es útil combinar ambos puntos de vista.

Nuestra primera solución fue colocar olas verdes en calles de sentido único. Ahora intentemos obtener su opción de "dos lados". Primero, tenga en cuenta que los semáforos de la Primera Solución se pueden dividir en dos categorías. Dentro de cada categoría, todos los semáforos funcionan sincrónicamente, mientras que el trabajo de los semáforos de diferentes categorías es antifase. Por ejemplo, en la siguiente mitad del período que sigue al momento que se muestra en la Figura 4a, todos los semáforos de la primera categoría se iluminarán en verde para las calles que se extienden a lo largo de la horizontal (en relación con la posición en la figura) y rojo - a lo largo de la vertical, y los semáforos de la segunda, por el contrario, son los mismos La mitad del período para las calles horizontales será rojo, y para las verticales, verde. Es de destacar que en la situación descrita, encender cualquier semáforo 180 grados no cambia el horario de su trabajo.

En este punto de la narración, será conveniente imaginar el diseño de la ciudad, junto con sus semáforos y flujos de tráfico, como una imagen animada en una pantalla transparente.

Deje que dos de estas pantallas transmitan sincrónicamente el movimiento de los flujos de la Primera Solución que se superponen con precisión entre sí. Si una de las pantallas ahora gira 180 grados alrededor del centro de alguna intersección, entonces el diseño de las calles de la pantalla superior se superpondrá nuevamente exactamente con el diseño de la pantalla inferior, pero al mismo tiempo, las direcciones de los flujos de tráfico superpuestos entre sí serán opuestas en todas las calles combinadas. Lo más notable aquí es el hecho de que el movimiento de flujos desde diferentes pantallas todavía no creará conflictos de zona en las intersecciones combinadas.

De hecho, la división de los flujos en zonas en la primera y en la segunda pantalla está completamente determinada por el trabajo de los semáforos, pero al girar, como se puede ver en la Figura 4a, todos los semáforos que se combinan entre sí siempre caen en las mismas categorías y, como consecuencia de la invariancia de categoría mencionada anteriormente, en las curvas de 180 grados, debería funcionar absolutamente sincrónicamente. Después de los comentarios hechos, el movimiento libre de conflictos de los flujos se convierte en una consecuencia del horario libre de conflictos de cada uno de los semáforos. Para aquellos lectores a quienes mi prueba les pareció demasiado confusa, les diré el buen "aspecto" griego (Figura 5)

Fig. 5 5

Ventajas obvias del diseño de Manhattan, restricciones ocultas del régimen de ola verde

Entonces, ¿por qué son buenos los bloques rectangulares y las carreteras que se extienden de un extremo a otro de la ciudad?

1) La objetividad de la percepción de distancias dentro de la ciudad.

Creo que una de esas situaciones divertidas ocurrió cuando muchas personas viajan durante cuarenta minutos de un lugar a otro durante todo un año, y luego resulta que son una de la otra en una caminata de quince minutos a lo largo de una pintoresca plaza. En una ciudad francamente "cuadrada", por el contrario, es difícil cometer un error en la distancia entre las calles numeradas. Sigue

2) Facilidad de esquemas de navegación personal y transporte público.

No se necesitan navegadores ni aplicaciones móviles: entre cualquier cuarto siempre hay una ruta desde no más de una sección de movimiento vertical y no más de una sección de movimiento horizontal. Si un tranvía o trolebús circula en cada una de las calles, entonces, utilizando el transporte público, no tendrá que hacer más de un cambio en un viaje.

3) El uso económico del espacio urbano, la tolerancia general a fallas de la red vial.

Por extraño que parezca, una gran área de carreteras construidas en ciudades formadas orgánicamente se utiliza con una eficiencia extremadamente baja. Por ejemplo, en medio de muchas calles pequeñas, a menudo callejones sin salida, de una forma u otra, debe colocar dos tiras de asfalto, incluso si el automóvil pasa por ellas solo una vez en un cuarto de hora. En las ciudades con un diseño de Manhattan, este problema está ausente: cada calle hace una pequeña contribución al tránsito total de transporte y, como resultado, no hay necesidad de grandes carreteras arteriales, cualquier accidente en el que fácilmente puede conducir a la pérdida de comunicación entre áreas enteras.

4) La ausencia de cualquier pérdida de tiempo significativa en previsión de semáforos.
Para hacer esto, es suficiente organizar un régimen de olas verdes a lo largo de cada camino. Si se hace esto, entonces, durante un viaje, la pérdida de tiempo en los semáforos es posible solo al comienzo del viaje y al pasar de una calle a otra.

Después de eso, espero, buena publicidad de la planificación de la ciudad de Manhattan, discutamos las dificultades que trae consigo la organización del tráfico en el modo de olas verdes.

Quizás la mayor de ellas es la restricción impuesta al uso eficiente de las carreteras, o, formalmente, la participación en el flujo de tráfico ocupado por las zonas negras en ella. Como no más de una de las dos calles pasa por una intersección a la vez, es imposible usar todas las calles a la vez con una eficiencia de más del 50 por ciento. Es de destacar que, en este sentido, la Primera Solución y su modificación para una ciudad con tráfico bidireccional utilizaban carreteras con la mayor eficiencia posible.

Tratemos ahora de estimar la longitud de las ondas verdes (el valor del período espacial de división en zonas) en general y el tamaño de los cuartos en las dos soluciones que ya se encuentran en particular. En mi experiencia de mente estrecha, un ciclo de semáforo conveniente no puede tener una duración de menos de un minuto, y una velocidad de conducción cómoda no puede ser inferior a 60 kilómetros por hora (1 km / min). Multiplicando la duración del ciclo por la velocidad, encontramos que las longitudes de onda verdes de cualquier solución deben ser de al menos 1 km. En ambos lugares que encontramos, la longitud de los cuartos era la mitad de la longitud de onda, es decir, el más pequeño podría ser de 500 metros.

Los barrios con una longitud de 500 metros no son infrecuentes en nuestras ciudades, aunque dicha longitud no puede considerarse cómoda para la vida. En áreas con edificios de gran altura, debido a la alta densidad de residentes, es preferible que cada edificio sea un barrio independiente.

¿Hay alguna manera de mantener el régimen de olas verdes en una red de transporte con una gran densidad de ubicación de carreteras?

Permítanos, en las ubicaciones que se muestran en las Figuras 4 y 5, tachar cada segundo "flecha" en cada flujo en orden (sería posible tachar cada dos de cada tres, o n - 1 de n). Las transmisiones actualizadas aún no entrarán en conflicto, y la duración de su período espacial se duplicará. Ahora exprima todo el diseño por la mitad, tanto vertical como horizontalmente. Como resultado de la compresión, los períodos espaciales de los verdes volverán a su tamaño original, y la longitud de cada cuarto se reducirá a la mitad.

Aunque el uso del truco descrito le permite aumentar ilimitadamente la densidad de la ubicación de las carreteras, desafortunadamente conlleva costos inaceptables: el coeficiente de eficiencia del uso de la carretera disminuye en proporción a su densidad. Por ejemplo, en comparación con el 50% de eficiencia en una red de carreteras con un tamaño de cuarto de bloque de 500 metros, para reducir el tamaño de los bloques a 250 metros tendrá que pagar una disminución de la eficiencia al 25%, y los bloques de 150 metros con este enfoque estarán delimitados por las carreteras utilizadas solo el 15%.

Por supuesto, me vienen a la mente dos preguntas. El primero de ellos es puramente práctico:

1) ¿Cómo, mientras se mantiene el régimen de olas verdes, aumentar la densidad de las carreteras a un valor cómodo y no perder mucho en la eficiencia de su uso?

El segundo es más bien el fruto del amor de los matemáticos por los objetos ideales y los casos extremos:

2) ¿Es posible aumentar ilimitadamente la densidad de las carreteras para que la eficiencia de uso de ninguna de ellas caiga por debajo de cierto valor límite (uno para todos)?

Una ligera digresión

Me vi obligado a abordar el problema del control óptimo del tráfico con motivo de mi otro artículo sobre el transporte urbano, y con el único propósito de pagar mi deuda histórica con esta, como me pareció, forma anticuada de organizar el tráfico. Cuando me pregunté por primera vez sobre el valor del coeficiente de eficiencia marginal (pregunta número dos), estaba listo para discutir con cualquiera que su valor simplemente debe ser igual a cero, y cualquier aumento en la densidad de caminos en la red ciertamente conducirá a una disminución en la eficiencia de aplicar el modo verde en ellos. olas, pero, como esto sucede a menudo en el trabajo de investigación, el hecho de no intentar probar una declaración falsa dio la clave para comprender el verdadero estado de las cosas. Del resto de esta sección, aprenderá acerca de un método que le permite construir la colocación de ondas verdes en redes que son interesantes desde el punto de vista de la aplicación práctica, y en redes poco realistas con una densidad arbitraria de carreteras. Al final de este capítulo, le dejaré un problema abierto que no he podido resolver, y ahora le pido que preste atención a una teoría pequeña y elegante.

Bandas de sombreado

La Figura 6 muestra en tres puntos diferentes en el tiempo dos flujos verticales y uno horizontal que los cruzan. Como ya se mencionó, se supone que las velocidades de todos los flujos son las mismas, y el movimiento, que no genera conflictos entre sus zonas negras. El fragmento A del flujo horizontal, que es negro, prohíbe que los fragmentos negros B y C de los flujos verticales sean negros.

Asociamos con el fragmento A una tira oblicua sincrónica que se mueve sincrónicamente con él, cuyas líneas de límite forman un ángulo de 45 grados con la vertical de la figura. Por analogía con la sombra que A proyectaría en los rayos oblicuos del sol, si fuera un objeto opaco, llamamos a esta tira "sombra". Como se puede ver en la misma figura, la región de intersección de la banda de sombra asociada con A y cualquier flujo vertical ascendente (ascendente) permanece absolutamente estacionaria en relación con esta última y, lo más importante, no puede ser negra.

Con cada segmento negro de cualquier flujo horizontal, de hecho, vale la pena unir dos bandas de sombra a la vez: una de ellas se inclinará hacia el movimiento del segmento (como un árbol inclinado hacia el viento), y la otra lo encontrará. Acordaremos llamar a las bandas del primer tipo "rojo" y el segundo - azul (Figura 7).

Fig. 7 7

El papel de las barras de sombra rojas y azules en la teoría creada está determinado por sus propiedades: ni un solo segmento de la corriente ascendente que cayó en el "sombreado" de al menos una franja azul, y ni un solo segmento de la corriente descendente (la corriente vertical dirigida hacia abajo) que cayó en el sombreado de al menos uno Las rayas rojas no deben ser negras.

Veamos ahora cómo se ve en general el conjunto de todas las bandas de sombra, por ejemplo, el color rojo de una corriente horizontal (Figura 8).

Fig. 8

Ubicadas a lo largo del flujo T-periódicamente, sus zonas negras generan un patrón de línea periódica de franjas paralelas del mismo ancho. Más precisamente, este patrón es T-periódico (coincide completamente consigo mismo cuando se desplaza una distancia T) en la dirección horizontal, periódico con un período t = T / √2 en la dirección de la
normalidad (común) a los bordes de sus bandas y "soporta" cualquier cambio en paralelo Las bandas mismas. Es interesante observar cómo todo el patrón, junto con el flujo, se mueve hacia la derecha. El movimiento de cada tira individual (vector ʋ ) se puede representar como la suma del vector de su desplazamiento a lo largo de sí mismo (vector q ) y el movimiento simultáneo en una dirección perpendicular a su límite (vector p) Como se puede imaginar, es difícil para nuestra visión notar el movimiento de una franja interminable de sombras a lo largo de sí misma, si alguna tiene otro sentido que no sea formal, por lo que existe la ilusión de que el patrón no se mueve hacia la derecha con la corriente, sino en una dirección perpendicular a los bordes de sus rayas, moviéndose en relación con la imagen en diagonal a la derecha hacia abajo. De acuerdo con las leyes de la geometría, la velocidad del frente delantero de cada banda es exactamente √2 veces menor que la velocidad de la zona negra con la que está asociada.

Por cierto, el uso de alas barridas en la aviación supersónica probablemente se base en el mismo fenómeno: el movimiento del aire paralelo al ala en sí no debería afectar la fuerza de elevación de ninguna manera, y el componente normal de la velocidad con la que el flujo supersónico golpea su borde de ataque, debido al ángulo de barrido, menor velocidad de sonido, lo que permite que el ala trabaje en un modo subsónico que sea cómodo para él.

La descripción de la ilusión nos permite concluir que los siguientes tres tipos de movimiento parecen indistinguibles para cualquier banda de sombra roja y, por lo tanto, pueden considerarse equivalentes:

* movimiento a lo largo de la horizontal junto con la corriente con velocidad ʋ ;
* movimiento a lo largo de la diagonal de la figura hacia abajo con la velocidad ʋ / √2;
* movimiento hacia abajo a una velocidad de ʋ .

Después de reemplazar la palabra "abajo" con la palabra "arriba", todo lo que se dice sobre las propiedades del movimiento de las rayas rojas y los patrones de líneas rojas se vuelve válido con respecto al movimiento de las azules.

Rayas globales y patrones de líneas.

Deje que se proporcione algún arreglo de ondas verdes en alguna red de carreteras. Las franjas de sombra del mismo color, que se refieren a flujos que se mueven en una dirección, son necesariamente paralelas entre sí, pero pueden estar separadas, o parcialmente o incluso estar completamente superpuestas entre sí (Figura 9). Dado que su movimiento se dirige en la misma dirección y tiene la misma velocidad, estas bandas permanecen absolutamente inmóviles entre sí. Combinemos tiras de un color a la vez de todos los flujos (horizontales) que se mueven en una dirección. Como resultado de la superposición, las bandas de sombras que se cruzan de diferentes flujos se fusionan para formar bandas de sombras globales . Las nuevas franjas también serán paralelas entre sí, formando un patrón de línea global .

Fig. 9 9

El patrón de línea global es t-periódico a lo largo de una de las direcciones diagonales del diseño y puede soportar cualquier desplazamiento a lo largo del otro, ya que todos los patrones de línea de los flujos individuales a partir de los cuales se formó poseían esta propiedad. Por las mismas razones, el patrón global es T-periódico en las direcciones horizontal y vertical, aunque T a lo largo de estas direcciones puede que ya no sea su período más corto.

En total, se forman cuatro patrones de líneas globales, que difieren en el color y la pendiente de las rayas: compuestos de rojo derecho, rojo izquierdo, azul derecho y azul izquierdo. En la Figura 10a, todos los patrones globales generados por los flujos de la Figura 4a se combinan, y en la Figura 10b, su posición después de un cuarto del
período (de tiempo).

Fig. 10a

Figura 10b

Un rasgo característico de ambas ilustraciones es el patrón entre la disposición de las flechas y las diferentes zonas de color: las flechas derechas siempre aparecen en la intersección de las franjas rojas derecha e izquierda azul, las flechas izquierda - izquierda roja y derecha azul, las flechas arriba se encuentran exclusivamente dentro de las áreas libres de sombras rojas, y las flechas hacia abajo están dentro de las zonas libres de azul. La explicación de esta observación está contenida en la regla para construir bandas de sombra.

Patrones a cuadros

Cualquier par de patrones de líneas, cuyas rayas de sombra se extienden a lo largo de diferentes diagonales del patrón, es un patrón a cuadros , como un patrón de falda escocesa, un mantel de estilo provenzal o la camisa de su oficina. Los patrones a cuadros tienen propiedades simples y al mismo tiempo útiles para nuestra investigación, echemos un vistazo a ellos.

Fig. 11

Si dos bandas de sombra ubicadas en diagonal se mueven en la misma dirección con la misma velocidad ʋ , entonces, obviamente, el rectángulo, que es el área de su intersección, se mueve en la misma dirección con la velocidad ʋ (Figura 11a). Supongamos ahora que el movimiento de estas bandas ocurre a lo largo de una línea horizontal con velocidades iguales ʋ , pero en direcciones opuestas.

Aquí son posibles dos casos: ambas bandas se mueven hacia su pendiente (como todas las franjas globales rojas) o contra ella (como todas las franjas globales azules). En el primer caso, el movimiento de cada uno de ellos es indistinguible del movimiento vertical hacia abajo, donde se mueve a una velocidad ʋárea rectangular de su intersección. El segundo caso es completamente similar al primero, pero con la diferencia de que el área de intersección se mueve verticalmente hacia abajo.

Otra propiedad importante de los patrones a cuadros es la periodicidad heredada tanto en direcciones diagonales como a lo largo de los ejes principales. Deje que el patrón a cuadros se forme mediante la intersección de dos patrones de líneas diagonales, el primero de los cuales es p-periódico a lo largo de la dirección noreste, y el segundo q-periódico a lo largo del noroeste. En tal situación, el patrón a cuadros en sí será p-periódico a lo largo del noreste, q-periódico a lo largo de las direcciones noroeste y puede representarse como un mosaico rectangular de celdas p × q (Figura 12). Si p = q = T / √2, entonces este patrón también es T-periódico vertical y horizontalmente.

Fig. 12

Movimiento sincronizado de patrones a cuadros y ondas verdes.

Como ya se mencionó, cuatro patrones a cuadros se asocian con cualquier disposición periódica de ondas verdes: rojo-azul - en la intersección de las franjas globales derecha roja e izquierda azul, azul-rojo - en la intersección de las franjas globales derecha azul e izquierda roja, y dos simétricos - rojo- rojo y azul-azul .

Si todos los flujos de tráfico viajan a la velocidad ʋ , los anteriores resultados de párrafo en el anexo de medios de patrón a cuadros asociados que el patrón de color rojo y azul que se mueve a una velocidad de ʋ justo enfrente, azul-rojo - con la velocidad ʋ queda horizontal, rojo-rojo, y azul - patrones azules con velocidad ʋmoverse estrictamente verticalmente, el primero hacia abajo y el segundo hacia arriba.

De lo último se puede concluir que el movimiento de las zonas negras de los flujos de la carretera, indicado por las flechas en las figuras, y las celdas correspondientes a las zonas de patrones a cuadros resultan sincronizadas. Entonces, cualquier flecha derecha se mueve todo el tiempo dentro del rectángulo rojo-azul, mientras permanece estacionaria en relación con sus bordes, cualquier flecha izquierda está en una relación similar con algún rectángulo azul-rojo, cualquier flecha hacia arriba está con el rectángulo blanco-blanco del patrón azul-azul, y cualquier flecha hacia abajo, con un rectángulo blanco y negro con un patrón rojo - rojo.

El sincronismo del movimiento de flechas y celdas abre la posibilidad fundamental de usar patrones celulares para construir ondas verdes.

Ingeniería inversa

Lema de generación:

deje que una red de líneas horizontales y verticales con una dirección indicada en ellas, que denota flujos de tráfico, se marque en el avión. Deje también la posición de los dos patrones de cuadros diagonales iniciales: rojo-rojo y azul-azul, cada uno de los cuales es t-periódico a lo largo de las direcciones de la longitud de sus rayas.

Hay una manera canónica (estándar) de construir la colocación de ondas verdes en la red mencionada, en la cual:

*) las zonas negras de cada flujo se ubican T periódicamente en ella (T = t × √2);
**) en el tiempo cero, el patrón global rojo-rojo asociado con la colocación estará contenido completamente dentro del patrón rojo-rojo original, y el azul-azul global dentro del patrón azul-azul original (el término "patrón a cuadros A contenido dentro del patrón a cuadros B" significa el requisito de que cada tira incluida en el patrón A se encuentre completamente dentro de alguna tira del patrón B);

Inmediatamente, notamos la periodicidad T de los patrones iniciales a lo largo de las direcciones horizontal y vertical (ver el párrafo anterior). Cruzando las franjas derechas (inclinadas hacia la derecha) de uno de los patrones originales con las franjas izquierdas del otro, distinguimos dos patrones de cuadros derivados: azul-rojo y rojo-azul. Los patrones derivados también serán t-periódicos a lo largo de ambas direcciones diagonales del plano, y por lo tanto T-periódicos a lo largo de sus líneas verticales y horizontales. Como resultado, los intervalos en los cuales cualquier línea vertical u horizontal se divide por su intersección con las celdas de cualquiera de los patrones originales o derivados llenan esta línea con regularidad T-periódica.

En cada flujo ascendente, entre los intervalos en los que el flujo se cruza con las celdas blanco-blanco del patrón inicial azul-azul, tomamos un intervalo con una longitud máxima. Cuando el intervalo seleccionado se desplaza por un múltiplo de T hacia arriba o hacia abajo, nuevamente coincidirá con la intersección de su flujo y la celda blanco-blanca del patrón azul-azul. Consideremos todas esas áreas y consideremos las zonas negras de los flujos ascendentes (Figura 13).

Fig. 13

Para construir zonas negras en flujos descendentes, el procedimiento que se acaba de describir debe realizarse con respecto a los intervalos de su intersección con celdas blanco-blancas del patrón original rojo-rojo, para flujos a la derecha, con respecto a los intervalos de su intersección con rojo-azul, y para flujos a la izquierda - con celdas azul-rojas de patrones derivados.

Todos los flujos están ahora divididos en zonas, queda por demostrar que durante el movimiento no habrá conflicto entre ellos.

En el punto cero en el tiempo, no hay conflictos entre los flujos de acuerdo con la regla de prohibición de color: las zonas negras de flujos horizontales, ubicadas dentro de las celdas rojo-azul y azul-rojo, no pueden estar en intersección con las zonas negras de los flujos dirigidos hacia arriba, ya que se encuentran en celdas libres de azul, al igual que no pueden estar en intersección con las zonas negras de flujos dirigidos hacia abajo, porque estas últimas están dentro de celdas libres de rojo.

Habiendo entrado en movimiento, las zonas de todos los flujos, por condición, deben tener la misma velocidad ʋ . Haz que el patrón original rojo-rojo se mueva a una velocidad ʋabajo y azul-azul, a la misma velocidad, pero arriba. Mover los patrones originales hará que el patrón derivado rojo-azul se mueva a lo largo de la horizontal a una velocidad de ʋ a la derecha y azul-rojo, exactamente igual, pero a la izquierda. Resulta que las zonas negras de los flujos se moverán sincrónicamente con las celdas de los patrones de colores dentro de los cuales fueron construidas originalmente, lo que significa que la prueba basada en la regla de la prohibición de colores puede repetirse en cualquier momento.

Una propiedad importante del procedimiento de construcción canónica de ubicaciones es su "involución": si se aplica a la red de carreteras y patrones a cuadros asociados con un cierto patrón de tráfico, el resultado es el mismo patrón.

Se invita al lector a probar independientemente el segundo:

Lema sobre la optimización de las asignaciones construidas canónicamente

Entre todos los arreglos de ondas verdes que satisfacen los requisitos *) y **) del lema de generación, no hay uno que sea más eficiente que el arreglo construido canónicamente en al menos un hilo.

Uno de los patrones de tráfico prometedores en áreas con edificios de gran altura.

Anteriormente, se describía un método para obtener un patrón de tráfico con un coeficiente de eficiencia de 25 del patrón de tráfico bidireccional de la Figura 5, con el tamaño de trimestres a medio período (500 metros) y un nivel de eficiencia de uso del 50 por ciento de cada carretera, tachando cada segunda flecha en cada flujo % y el tamaño de los trimestres en un cuarto del período (250 metros).

Usando una visión engañosa de los patrones celulares y el Lema de generación, ahora construiremos una colocación de onda verde con el mismo valor de eficiencia en el 25% del uso de la carretera, pero en una red con tamaños trimestrales de solo 1/8 del período (125 metros). Tal alta densidad de carreteras puede ser preferible en partes de la ciudad, que están construidas principalmente con edificios de rascacielos, que, como saben, en términos de la cantidad de personas y la cantidad de automóviles, son bastante comparables con bloques enteros en áreas tradicionales.

La Figura 14a muestra fragmentos "elementales" de los patrones mencionados, y en la Figura 14b ambos se superponen simultáneamente en la parte superior de la red de carreteras, lo que nos permite dividir sus flujos en zonas en blanco y negro sin conflicto.

Fig. 14a

Fig. 14b

La red de carreteras propuesta para su uso, si se desea, se puede reponer con cualquier cantidad de flujos horizontales y verticales (carreteras), y el Lema de generación garantiza la posibilidad de colocar olas verdes en nuevas carreteras para que no entren en conflicto entre sí o con las olas verdes. en secuencias presentes en la red inicialmente.

Intente determinar qué posiciones de las nuevas carreteras le permitirán usarlas con una eficiencia del 25% para la dirección de movimiento seleccionada y para qué: este valor será significativamente menor. Encuentre ubicaciones en las que la utilización de carreteras sea cero.

Patrones de tráfico extremadamente eficientes

El uso generalizado del esquema de tráfico descrito en el párrafo anterior sin duda se verá obstaculizado por su eficiencia relativamente baja del uso de la carretera: dos veces menor que el nivel teóricamente alcanzable del 50%. Es natural entonces hacer la pregunta: "¿Cuáles pueden ser los patrones de tráfico que apoyan el régimen de las olas verdes y usan cada camino con un 50 por ciento de eficiencia"? Llamaremos a cualquier esquema de movimiento extremadamente efectivo .

Ahora describiremos un método general que le permite construir todos los patrones de tráfico más efectivos, y al final de la sección, los que son más prometedores para el uso práctico se dibujan por separado.

Deje que se dé un esquema de movimiento extremadamente efectivo.

Del requisito de la periodicidad T se deduce que cada uno de sus flujos se compone de zonas alternas blancas y negras de la misma magnitud igual a T / 2. En el esquema de movimiento considerado, así como en cualquier otro, al menos una corriente horizontal que se mueve hacia la derecha está necesariamente presente. El patrón de línea de las bandas de sombra rojas asociadas con esta secuencia debería parecerse a la Figura 16a.

Fig. 16a

Además, al menos un flujo horizontal que se mueve hacia la izquierda está necesariamente presente en el esquema. Sus franjas rojas de sombra se representan en la Figura 16b.

Fig. 16b

Ciertamente es imposible estar seguro de que el patrón de línea de las barras de sombra rojas de una sola secuencia tomada aleatoriamente que se mueve hacia la derecha coincidirá con el patrón de todas las bandas de sombra globales rojas derechas , así como uno no puede estar seguro de que el patrón de línea de las barras de sombra rojas de una sola secuencia tomada aleatoriamente que se mueve hacia la izquierda , coincidirá con el patrón de todas las barras de sombra global izquierda rojas. Pero veamos el patrón a cuadros (Figura 16c) que forman las bandas de sombra rojas de estas dos corrientes seleccionadas al azar (Figura 16c).

Fig. 16c

Este patrón se compone de cuadrados de igual tamaño con un valor diagonal de T / 2, por lo que se puede lograr una eficiencia del 50% por cualquier flujo dirigido hacia abajo, siempre que el camino reservado para él pase exactamente a través de las diagonales verticales de las celdas blancas y blancas del patrón . El patrón a cuadros examinado, generado por zonas negras de solo una parte de todos los flujos del patrón de movimiento, está contenido dentro del patrón rojo-rojo global asociado con este patrón. Pero, como podemos ver, una vez más mirando la Figura 16, agregue al menos una franja roja al patrón a cuadros representado en ella, o expanda las existentes solo una fracción, y ni un solo flujo descendente ya puede ser 50% eficiente.

La última observación nos permite sacar varias conclusiones sobre las propiedades de cualquier esquema de movimiento extremadamente efectivo:

El patrón de línea (rojo y azul) de cualquier flujo horizontal coincide con el global.
Las celdas de color de los cuatro patrones a cuadros asociados con el patrón de movimiento son cuadrados iguales con una larga diagonal T / 2.
La distancia entre las corrientes más cercanas entre sí que se mueven en la misma dirección es un múltiplo de T / 2.
El esquema de movimiento que se muestra en la Figura 5 tiene el tamaño de bloque más pequeño entre todos los esquemas bidireccionales de máxima eficiencia con respecto al período de ondas verdes.

Se pueden extraer algunas cadenas de nuestras conclusiones, obteniendo así:

Lema sobre la generación de esquemas de movimiento extremadamente efectivos

Tomemos dos patrones a cuadros ubicados arbitrariamente entre sí con una disposición diagonal de rayas, el primero de los cuales es rojo-rojo, y el segundo es azul-azul. Deje que las celdas de color de ambos patrones sean cuadrados iguales con una longitud diagonal igual a T / 2. Aplicamos cualquier red de flujos horizontales y verticales al plano, si solo sus posiciones satisfacen los siguientes requisitos:

Cada flujo dirigido hacia abajo debe pasar a través de las diagonales verticales de las celdas blanco-blancas del patrón rojo-rojo;
Cada flujo dirigido hacia arriba debe pasar a través de las diagonales verticales de las celdas blanco-blanco del patrón azul-azul;
Cada flujo dirigido hacia la derecha debe pasar a través de las diagonales horizontales de las celdas rojo-azul del patrón derivado rojo-azul;
Cada flujo dirigido hacia la izquierda debe pasar a través de las diagonales horizontales de las celdas azul-rojas del patrón derivado azul-rojo.

Si construimos canónicamente la colocación de ondas verdes a partir de estos patrones para una red de carreteras colocada en un avión, entonces como resultado se obtendrá un patrón de tráfico extremadamente efectivo. El hecho de que de la manera descrita es posible obtener todos los esquemas de movimiento extremadamente efectivos se deduce inmediatamente de la propiedad de involución del procedimiento de construcción canónica.

Entonces, ya tenemos un esquema de tráfico extremadamente eficiente con calles de dos vías, pero el tamaño de los barrios que supone es de hasta 500 metros. Los patrones de tráfico extremadamente eficientes son más atractivos desde el punto de vista de los costos de construcción de carreteras y ahorran espacio en la ciudad, sin embargo, existe una limitación en la distancia a la miel de los flujos dirigidos en una dirección: no puede ser menor que la media ola de la ola verde, o los mismos 500 metros .

¿Es posible hacer bloques más pequeños?

La única escapatoria lógica que nos queda es abandonar el tráfico bidireccional e intentar alternar flujos en direcciones opuestas: si tiene éxito, la longitud de los trimestres será solo una cuarta parte del período de la ola verde, o 250 metros bastante aceptables.

Afortunadamente, tal patrón de tráfico realmente existe y, aparentemente, es el más prometedor para la aplicación práctica. Una de las posiciones instantáneas de sus flujos se muestra en la Figura 17.

Fig. 17

¿Cómo debería cambiar la cara de las ciudades modernas?

Calculemos cuántos caminos más se necesitarán construir para que cada empleado pueda llegar a su lugar de trabajo en un automóvil personal. Para empezar, tome una ciudad relativamente pequeña con 150 mil personas con una densidad estándar de 10 mil personas por kilómetro cuadrado. Todo el territorio de dicha ciudad puede caber fácilmente dentro de la matriz de 16 × 16 cuartos (un cuadrado de 4 × 4 kilómetros), y un viaje entre sus dos puntos más distantes en carreteras libres no tomará más de diez minutos.

Suponemos que, en todos los sectores, se concentra el mismo número de empleos, al igual que los ciudadanos que viven allí permanentemente, mientras que no existe una relación estadística entre la dirección de la casa y el trabajo. En este caso, casi todos los residentes abandonarán sus habitaciones durante la migración matutina, y aproximadamente la misma cantidad de personas seguirá de cada trimestre a cada uno. Asumiremos que para la organización del tráfico, el esquema de transporte de la Figura 17 se usa con una restricción que permite la salida de los bloques solo en carreteras horizontales y el check-in solo en el lado vertical.

Tratemos de encontrar cuál será el flujo máximo de automóviles en una calle determinada en la hora pico de la mañana.

Fig. 18 años

La Figura 18 muestra un fragmento de un mapa con un patrón de tráfico similar, pero más pequeño. En este mapa están marcadas todas las rutas que, comenzando dentro del barrio seleccionado, luego divergen a lo largo de diferentes calles verticales. Cada trimestre tiene la misma cantidad de rutas (de acuerdo con la cantidad de calles verticales), y cada ruta tiene la misma cantidad de autos que la seguirán.

Si dibuja una línea a través de la carretera horizontal con un movimiento hacia la derecha, en el lado derecho
de los cuales quedarán X trimestres, y campo Y calles verticales, entonces esta línea cruzará rutas X × Y. El valor máximo de su número se observará exactamente en el medio de la carretera y, en el caso de que la calle se extienda por 16 bloques de longitud, será igual a 108 (16 bloques a la izquierda × 8 caminos verticales a la derecha). En cada trimestre, 1/4 × 1/4 × 10,000 = 625 personas viven, según las estadísticas, alrededor de 320 de ellas trabajan, por lo tanto, para cada una de las 16 rutas que conducen desde el trimestre, hay 20 personas, por lo tanto, el centro de cada calle horizontal está intersectado por 108 × 20 = 2200 autos.

Imagine que en nuestra hipotética ciudad hay una forma de vida conservadora, cuando la jornada laboral para la mayoría de los residentes comienza a las 9 de la mañana. Todos los empleados irán a trabajar aproximadamente al mismo tiempo, pero bajo la influencia de la edad, los rasgos de carácter y las circunstancias aleatorias, es probable que el período de inicio de la migración de la mañana se extienda aproximadamente un cuarto de hora.

Entonces, 2200 autos deberían pasar por la calle en un cuarto de hora, ¿cuántos carriles necesita construir para esto?

En un carril a una velocidad de 1 kilómetro por minuto, distancias de 30 metros y la eficiencia de usar la carretera en modo de olas verdes, solo 250 autos logran pasar el 50% en un cuarto de hora, y para 2200 autos tomará hasta 10 carriles, en otras palabras, " Leninsky Prospekt "en cada calle de una ciudad de provincia mediana.

Una vez, los cálculos realizados muestran que vale la pena deshacerse de las opiniones conservadoras, haremos que el día de trabajo comience para diferentes personas en diferentes momentos. En condiciones de un nuevo ritmo de vida, el número de bandas se puede reducir a un valor completamente aceptable. Por ejemplo, la llegada de empleados, distribuidos entre cuatro puntos: 9:00, 9:15, 9:30 y 9:59, costará solo caminos de tres carriles en cada calle.

Desafortunadamente, para las megaciudades, cómo no untar el comienzo del día con una taza de café, la cantidad de rayas sigue siendo monstruosa. Para una ciudad de 15 millones construida con toda su mente, la longitud de las calles, y con ella el número de carriles en las carreteras, aumentará aproximadamente 10 veces (sin el uso de pasos superiores, la raíz cuadrada del número de veces que la población ha aumentado).

30 carriles cada 250 metros: ¿es realmente la ciudad de tus sueños?

En resumen, me gustaría compartir mi visión de la situación:

Un automóvil es una invención útil, que en el estado actual de la tecnología debería estar disponible para todos los ciudadanos de una sociedad civilizada.
Con un enfoque razonable, no es nada difícil organizar la libre circulación, el almacenamiento y el acceso peatonal a los automóviles personales, sin perturbar la comodidad de las ciudades de un tamaño razonable. Para las ciudades con una población de menos de 1 millón, esto se puede lograr sin la construcción de pasos elevados.
El problema del tráfico de automóviles dentro de las megaciudades no se puede resolver solo en el marco de las carreteras con semáforos y hasta ahora permanece abierto.

Ha llegado el momento de abordar el problema de la relación entre la densidad de carreteras y la posibilidad de su uso efectivo.

Medidas de densidad y efectividad.

En primer lugar, nos libraremos de la necesidad de usar la frase "en relación con la magnitud del período espacial de las ondas verdes" cada vez y aceptaremos que a partir de ahora el período de todas estas ondas es igual a uno.

Una medida cuantitativa de la densidad de la ubicación de las carreteras dentro de la red es la longitud del barrio más largo de la ciudad. Acordamos llamar a este valor la minoría principal de la red . La finura de la mayoría se define correctamente para todos los modelos de ciudad (incluso con un número infinito de trimestres) de longitud finita.

Para una ubicación específicamente seleccionada de olas verdes, el valor de la eficiencia del uso de carreteras por sus flujos puede ser diferente para diferentes flujos. Es razonable llamar al límite inferior del conjunto de estos valores la eficiencia del minorate de la ubicación seleccionada. Para ubicaciones de olas verdes en redes con un número finito de carreteras, el valor de la eficiencia del minorato coincide con el valor de la eficiencia de la carretera más ineficientemente utilizada.

Daré algunas declaraciones relacionadas con este concepto, que el lector, espero, pueda probar fácilmente de forma independiente.

En cualquier disposición de ondas verdes, es posible recortar las zonas negras de todos los flujos, de modo que después de todo se conviertan en la misma longitud y la eficiencia de colocación del minorato no cambie.
Para algunas ubicaciones, tomamos los patrones celulares asociados con él y les aplicamos el Lema de generación canónica. La eficiencia múltiple de la colocación resultante no será menor que la del original.
Deje que la eficiencia minorrectal de un determinado arreglo sea D. Eliminamos de los patrones de cuadros rojo-rojo y azul-azul asociados con él primero todas las franjas de color cuyo ancho es menor que D / √2, reemplazándolas con un fondo blanco. Luego eliminamos todas las franjas blancas con un ancho menor que D / √2, pintándolas en cada caso con el color principal del patrón, después de lo cual usamos dos patrones ya modificados como los iniciales para el Lemma de generación canónica: el valor de la eficiencia del minorato de la colocación resultante será mayor o igual que D.

Tomemos toda la colocación posible de ondas verdes (con un solo período) en cualquier red seleccionada en particular. El límite superior del conjunto de eficiencias de minorato de estos arreglos se denomina eficiencia de minorato de la propia red.

En otras palabras, si E es la eficiencia del minorate de la red de carreteras, entonces hay arreglos de ondas verdes en esta red con la eficiencia del minorate arbitrariamente cerca de E.

Un hecho mucho más no trivial es que, al menos para una ubicación, la proximidad se convierte en igualdad exacta. Un plan de evidencia para esta declaración se da al final del artículo.

Objeto universal en el mundo de las redes de carreteras.

Imagine que se permite el movimiento en ambas direcciones a lo largo de cada línea horizontal y vertical. Es poco probable que al menos una ciudad en el mundo pueda presumir de dicha red de carreteras, pero como objeto matemático es bastante real y, además, tiene la propiedad útil de Universalidad: contiene cualquier otra red de carreteras tipo Manhattan como su subred. Cada colocación de ondas verdes en la Red Universal que tiene una eficiencia de minorato D (induce) genera en cada subred su colocación de ondas verdes con una eficiencia de minorato mayor o igual a D. Como resultado, la eficiencia de minorato de cualquier red de carreteras tipo Manhattan es mayor o igual al valor de la eficiencia de minorato para Red universal

La principal intriga ahora radica en la pregunta: es la eficiencia del minirato de la Red Universal igual a cero, y si no, cuál es su verdadero valor.

Mejor puntaje

La eficiencia múltiple de cualquier ubicación de ondas verdes en la Red Universal Road no excede 1/4.

La prueba es suficiente para mantener solo dichos lugares, cada uno de los cuales usa todas las carreteras con la misma eficiencia (declaración 1 del párrafo anterior). Elegimos arbitrariamente uno de estos arreglos y designamos su efectividad como δ (período T = 1). Cada flujo de esta disposición se compone de zonas negras alternas de longitud δ y zonas blancas de longitud 1 - δ. Construimos franjas de sombra rojas para cualquiera de las dos corrientes entrantes de la ubicación seleccionada. Intersecando, estas rayas forman un patrón a cuadros, un fragmento del cual se puede ver en la Figura 18.

Fig. 19

La celda unitaria de este patrón tendrá la forma de un cuadrado con una diagonal de longitud unitaria, y sus rayas rojas se cruzarán con cualquier línea recta horizontal o vertical a lo largo de un segmento de tamaño δ.

Las zonas negras de flujos descendentes solo pueden ubicarse dentro de las celdas blancas y blancas, por lo tanto, cada línea vertical debe tener un área de intersección con celdas blancas y blancas de una longitud mayor o igual a δ. La posición menos ventajosa, desde este punto de vista, es para las líneas que pasan exactamente en el medio entre las diagonales verticales de los cuadrados blancos (Figura 20).

Fig. 20

Denotando por x las longitudes de los segmentos a lo largo de los cuales cada una de estas líneas se cruza con celdas blanco-blancas y usando la similitud de triángulos, obtenemos la ecuación:

x + δ = 1/2. Por lo tanto, dada la desigualdad x ≥ δ, encontramos δ ≤ 1/4. Límite

inferior

La multiplicidad de efectividad de Universal Road Network es mayor o igual a 1/6.

Consecuencia:
en cualquier red de carreteras del tipo Manhattan, sin importar cuán densa y no periódica sea, siempre habrá una colocación de ondas verdes con una eficiencia menor mayor o igual a 1/6.

En la Red Universal, pude rastrear la ubicación de las ondas verdes con una eficiencia de 1/6. El patrón de cuadros generadores de esta disposición se muestra en la Figura 21:

Fig. 21

Como se puede ver en la Figura 21, cualquier línea vertical en su trayectoria necesariamente se cruza con uno de los rectángulos rojo-rojo a lo largo del segmento más grande posible, cuya longitud es solo 1/6. Junto con la periodicidad del patrón, esto sirve como prueba de que la eficiencia de todos los flujos dirigidos hacia abajo es igual a 1/6. Para flujos de otras direcciones, la eficiencia también es igual a 1/6, lo que se puede hacer usando la simetría del patrón a cuadros.

Fig. 22

Un buen desafío de investigación:

¿Cuál es el verdadero significado de la eficiencia multipunto de la Red Universal?
Esta pregunta puede responderse mediante programación lineal: el programa resultará bastante complicado, pero con un número modesto de restricciones. Sería interesante encontrar el valor de la eficiencia de alguna manera elegante. Quizás alguno de ustedes pueda hacer esta tarea.

¡Gracias por su atención y buena suerte!
Sergey Kovalenko.

Año 2019.

magnolia@bk.ru

Ciudad sin atascos