Estos juegos combinan entrelazamiento cuántico, infinito y la imposibilidad de calcular la probabilidad de ganar. Pero si los investigadores logran resolverlos, nos revelarán los secretos profundos de las matemáticas.
En la década de 1950, cuatro entusiastas de las matemáticas del Ejército de EE. UU. Utilizaron calculadoras electrónicas primitivas
para calcular la estrategia óptima de blackjack. Sus resultados se
publicaron más tarde en el diario de la Asociación Americana de Estadística y describieron las mejores decisiones que un jugador puede tomar en cualquier situación en el juego.
Sin embargo, esa estrategia, que los entusiastas del juego más tarde llaman las "reglas" [el libro], no garantiza la victoria de un jugador. El blackjack, así como el solitario, las damas o muchos otros juegos, tienen un cierto "límite" para el porcentaje de juegos que un jugador puede ganar, incluso si juega perfectamente cada vez.
Sin embargo, hay juegos especialmente extraños en los que, en principio, es imposible calcular la probabilidad máxima de ganar. En cambio, los matemáticos y los informáticos están tratando de determinar si es posible al menos dar una estimación aproximada del porcentaje de ganancias para tales juegos. Y la existencia de esta posibilidad depende de la compatibilidad de dos enfoques muy diferentes de la física.
Tales juegos "no locales" fueron inventados por primera vez en 1960 por el físico
John Stuart Bell , tratando de entender un fenómeno cuántico tan extraño como el
entrelazamiento cuántico . Aunque la confusión es algo complicado, los juegos no locales son intrínsecamente simples. Hay dos jugadores, a cada uno de los cuales se le hace una pregunta simple. Ganan si sus respuestas están conectadas de cierta manera. Desafortunadamente, no pueden comunicarse entre sí, por lo que tienen que adivinar la respuesta del otro. Bell demostró que si los jugadores pueden usar pares de partículas cuánticas enredadas, pueden mejorar la correlación de respuestas y ganar juegos más a menudo de lo que cabría esperar.
En los últimos años, los investigadores han desarrollado el trabajo de Bell, sobre el cual ya escribimos en el artículo "
Los juegos cuánticos simples revelan la complejidad primaria del universo ". El trabajo de William Slofstra de 2016 y Andrea Coladangelo y Yaleks Stark de 2018 demostró que en algunos juegos no locales se observa el patrón: cuantos más pares de partículas enredadas tienen los jugadores, mejor juegan. Y esta relación se mantiene en el infinito, es decir, para el mejor juego posible, los jugadores necesitarán un número infinito de pares de partículas (o partículas con un número infinito de propiedades independientes).
Una de las consecuencias de estos resultados es que es imposible calcular la probabilidad de un porcentaje máximo de ganar para algunos juegos no locales. Las computadoras no funcionan con cantidades infinitas, por lo que si una estrategia ideal requiere un número infinito de partículas enredadas, la computadora no puede calcular con qué frecuencia se justifica la estrategia.
"No existe un algoritmo tan generalizado que pueda ingresar una descripción del juego y obtener una respuesta en forma de probabilidad de un porcentaje máximo de ganancias", dijo
Henry Yuyen , especialista en informática teórica de la Universidad de Toronto.
Pero si no conocemos la probabilidad exacta del porcentaje máximo de ganancias, ¿no podemos calcularla con al menos algún error?
Los matemáticos están trabajando activamente en este tema. Curiosamente, su éxito depende de la compatibilidad de dos enfoques muy diferentes de la física.
Recuerde que los jugadores en un juego no local no pueden coordinar respuestas. Hay dos formas de lograr esto. El primero es aislarlos físicamente unos de otros colocándolos en diferentes habitaciones o en diferentes extremos del universo. El aislamiento espacial asegura que no haya comunicaciones. Los investigadores analizan esta situación utilizando el modelo de
producto tensorial .
Sin embargo, hay otra forma de evitar que los jugadores conspiren. En lugar de separarlos, se puede proponer otro requisito: la secuencia en la que dos jugadores miden las partículas enredadas y dan una respuesta no puede afectar sus respuestas. "Si el orden en el que toman las medidas no importa, entonces obviamente no pueden comunicarse entre sí", dijo Yuyen.
Cuando el orden de las acciones en matemáticas no afecta la respuesta, dicen que la operación es conmutativa: a × b = b × a. Este enfoque de los juegos no locales, basado en la independencia de la secuencia, en lugar de la separación espacial, se denomina modelo de "operador de conmutación".
El producto de los tensores y el operador de conmutación se utilizan en física, especialmente cuando se estudian las interacciones de partículas subatómicas en la teoría cuántica de campos. Estos modelos son dos enfoques diferentes para razonar sobre la independencia causal de los fenómenos físicos. Y aunque el modelo del producto de los tensores es más intuitivo, generalmente imaginamos la causalidad como separación espacial, el modelo del operador de conmutación proporciona una plataforma matemática más lógica. Esto se debe a que la "independencia espacial" es una idea vaga, y la relación de viaje se puede describir claramente.
"Para las personas que estudian la teoría cuántica de campos, el concepto de separación espacial de objetos no es natural", dijo Yuyen. "A nivel matemático, no siempre es posible colocar dos cosas independientes en dos lugares separados del Universo".
Y así es como todo se relaciona con los juegos no locales.
Los científicos informáticos pueden usar el modelo de producto tensor para calcular la probabilidad mínima del porcentaje máximo de ganancias. El algoritmo que utilizan garantiza que esta probabilidad esté por encima de cierto umbral. Del mismo modo, los investigadores pueden usar el modelo de operador de conmutación para limitar la probabilidad desde arriba. Este algoritmo asegura que la probabilidad no exceda un cierto umbral.
Con tales herramientas, los investigadores quieren unir estas limitaciones tan cerca como dos pistones. Saben que es imposible hacer que estos límites entren en contacto y dar el valor único y exacto de la probabilidad del porcentaje máximo de ganancias, en un trabajo reciente de Slofstra, Coladangelo y Stark demostraron que es imposible calcular la probabilidad exacta, pero cuanto más se acercan, más exactamente pueden determinar esta probabilidad.
De hecho, cuanto más tiempo funcionen estos algoritmos, más se acercan los dos pistones, dando una aproximación cada vez más precisa al promedio inexpresable que nunca lograrán. Sin embargo, no está claro si este aparente acercamiento se observará para siempre. “Estos algoritmos son completamente misteriosos. Esta no es una mejora gradual y suave en los valores. Simplemente no entendemos qué tan rápido se acercan ", dijo Yuyen.
La estrategia del pistón se basa en la equivalencia de los dos modelos. Ella sugiere que los límites superior e inferior exprimen el promedio. Si estos dos modelos son realmente equivalentes, entonces los dos pistones realmente se unirán a una distancia arbitrariamente pequeña. Y viceversa, si demuestra que los dos pistones se unirán a una distancia arbitrariamente pequeña, esto demostrará la equivalencia de los modelos.
Sin embargo, es posible que estos dos modelos no sean formas diferentes de designar la misma cosa. Es posible que sean inconmensurables y que al final resulte que el límite superior cae por debajo del inferior. Entonces los informáticos perderán su mejor estrategia de aproximación de probabilidad. Desafortunadamente, nadie lo sabe con certeza.
En los últimos años, el mayor progreso se expresa mediante dos pruebas, que demuestran solo la complejidad de toda esta tarea.
En 2018,
Thomas Vidik y
Anand Natarajan demostraron que estimar las probabilidades del porcentaje máximo de ganar en un juego no local es al menos tan difícil como resolver tareas increíblemente complejas como el problema del vendedor ambulante. En el mismo año, Yuyen, Vidik, Joseph Fitsimons y
Zhengfeng Ji demostraron que en el proceso de acercamiento del pistón, los recursos informáticos necesarios para su acercamiento adicional crecen exponencialmente.
Otro giro en la historia: la cuestión de la equivalencia de los modelos es una analogía directa del importante y complejo problema abierto de las matemáticas llamado hipótesis de incrustabilidad de Connes. Esta situación pone a los matemáticos y a los informáticos en una posición en la que puedes matar tres pájaros de un tiro. Una vez comprobada la equivalencia de los modelos de producto tensorial y el operador de conmutación, recibirán de inmediato un algoritmo para calcular las probabilidades del porcentaje máximo de victorias y determinar la verdad de la hipótesis de Conn. Tal logro merece reconocimiento en todas las áreas relacionadas con él.
Sería apropiado decir que todas estas preguntas están profundamente enredadas entre sí.