El teorema más bello de las matemáticas: la identidad de Euler

Después de ver una conferencia del profesor Robin Wilson sobre la identidad de Euler, finalmente pude entender por qué la identidad de Euler es la ecuación más hermosa. Para compartir mi admiración por este tema y fortalecer mi propio conocimiento, resumiré las notas hechas durante la conferencia. Y aquí puedes comprar su maravilloso libro.

¿Qué podría ser más misterioso que la interacción de números imaginarios con números reales, que no resulta en nada? Tal pregunta fue hecha por un lector de la revista Physics World en 2004 para enfatizar la belleza de la ecuación de Euler "e en grado i veces pi es menos uno" .


Figura 1.0 : Identidad de Euler: e en grado i multiplicado por pi, más uno es cero.

Anteriormente, en 1988, el matemático David Wells, quien escribió artículos para la revista matemática estadounidense The Mathematical Intelligencer , compiló una lista de 24 teoremas matemáticos y realizó una encuesta pidiendo a los lectores de su artículo que elijan el teorema más hermoso. Y después de que la ecuación de Euler ganara por un amplio margen, recibió el título de "la ecuación más bella de las matemáticas".


Figura 2.0 : Portada de la revista Mathematical Intelligencer


Figura 3.0 : encuesta de David Wells de una revista

Leonhard Euler es llamado el matemático más productivo de la historia. Otros matemáticos destacados se inspiraron en su trabajo. Uno de los mejores físicos del mundo, Richard Feynman, en sus famosas conferencias sobre física, llamó a la ecuación de Euler "la fórmula más notable en matemáticas" . Otro excelente matemático, Michael Atiyah, llamó a esta fórmula "... la contraparte matemática de la frase de Hamlet" ser o no ser ": muy breve, muy concisa y, al mismo tiempo, muy profunda" .

Hay muchos hechos interesantes sobre la ecuación de Euler. Por ejemplo, se encontró en algunos episodios de Los Simpson.


Figura 4.0 : En esta escena, la ecuación de Euler se puede ver en el segundo libro en la pila de la derecha.


Figura 5.0 : En esta escena, la ecuación de Euler está escrita en una camiseta de un personaje secundario.

Además, la ecuación de Euler se ha convertido en un punto clave en el caso penal . En 2003, el estudiante graduado del Instituto de Tecnología de California Billy Cottrell pintó la ecuación de Euler en los autos deportivos de otras personas. En el juicio, dijo: " Conozco el teorema de Euler desde que tenía cinco años, y todos deben saberlo ".


Figura 6.0 : Un sello emitido en 1983 en Alemania para conmemorar el bicentenario de la muerte de Euler.


Figura 7.0 : Un sello emitido por Suiza en 1957 en honor del 250 aniversario de Euler.

¿Por qué es tan importante la ecuación de Euler?

Tienes todo el derecho a preguntarte: ¿por qué Billy Cottrell pensó que todos deberían saber sobre la ecuación de Euler? ¿Y estaba tan seguro de esto que comenzó a escribirlo en las máquinas de otras personas? La respuesta es simple: Euler usó las tres constantes fundamentales de las matemáticas y aplicó las operaciones matemáticas de multiplicación y exponenciación para escribir una fórmula hermosa, que resultó en cero o menos uno.

• La constante e está relacionada con las funciones de potencia.
• La constante i no es real, sino un número imaginario igual a la raíz cuadrada de menos uno.
• La famosa constante π (pi) está conectada con círculos.

La identidad de Euler apareció por primera vez en 1748 en su libro Introductio in analysin infinitorum . Más tarde, otras personas vieron que esta fórmula está relacionada con las funciones trigonométricas del seno y el coseno, y esta conexión es sorprendente, porque la función de potencia tiende al infinito, y las funciones trigonométricas varían de -1 a -1.

e al poder de i veces ϕ (phi) = cos ϕ + i * sin ϕ

Figura 8.0 : función exponencial y = e ^x .


Figura 8.1 : Gráfico de identidad de Euler.


Figura 8.2 : Frecuencias emitidas por el circuito LC.

Las ecuaciones y gráficos mostrados arriba pueden parecer abstractos, pero son importantes para la física cuántica y los cálculos de procesamiento de imágenes, y al mismo tiempo dependen de la identidad de Euler.

1: número para la cuenta

El número 1 (unidad) es la base de nuestro sistema de cálculo. Con ella comenzamos a contar. ¿Pero qué pensamos? Para contar, utilizamos los dígitos 0–9 y un sistema de dígitos que determina el valor del dígito.

Por ejemplo, el número 323 significa 3 cientos, 2 decenas y 3 unidades. Aquí, el número 3 juega dos roles diferentes, que dependen de su ubicación.

323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

Hay otro sistema de cálculo llamado binario. En este sistema, se usa la base 2 en lugar de 10. Se usa ampliamente en computadoras y programación. Por ejemplo, en un sistema binario:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 en un sistema con base 10]

¿Quién creó el sistema de cálculo? ¿Cómo contaron las primeras personas objetos o animales?

¿Cómo surgieron nuestros sistemas de cálculo? ¿Qué pensaron las primeras civilizaciones? Sabemos con certeza que no utilizaron nuestro sistema de bits. Por ejemplo, hace 4000 años, los antiguos egipcios usaban un sistema numérico con diferentes símbolos. Sin embargo, combinaron los caracteres para crear un nuevo personaje para los números.


Figura 11 : los jeroglíficos que se muestran aquí forman el número 4622; Este es uno de los números tallados en la pared del templo en Karnak (Egipto).


Figura 12 : Los jeroglíficos son imágenes que representan palabras y, en este caso, números.

Al mismo tiempo, pero en otro lugar, otra sociedad descubrió un método de conteo, pero también se usaron símbolos. Además, la base de su cálculo fue 60, no 10. Utilizamos su método de conteo para determinar el tiempo; por lo tanto, 60 minutos en un minuto y 60 minutos en una hora.


Figura 13 : Números babilónicos de un sistema de números hexadecimales (con base 60).

Mil años después, los antiguos romanos inventaron los números romanos. Usaron letras para indicar números. La notación romana no se considera un sistema de bits, porque para muchos valores de nuestro sistema numérico, se usaron diferentes letras. Es por esta razón que usaron un ábaco para contar.


Figura 14 : ábaco romano en sistema de números hexadecimales (con base 16)


Figura 15 : tabla de conversión del árabe al romano

Los antiguos griegos tampoco utilizaron el sistema de dígitos. Los matemáticos griegos denotaron números por letras. Tenían letras especiales para números del 100 al 900. Muchas personas en ese momento consideraban que los números griegos eran confusos.


Figura 15 : tabla de letras griegas antiguas.

Al mismo tiempo, los matemáticos chinos comenzaron a usar pequeños palos de bambú para los cálculos. Este método de conteo chino se llama el primer sistema de lugar decimal.


Figura 16 : Manera china de contar con números de palo. Usado al menos desde 400 AC. El tablero de conteo cuadrado se usó hasta aproximadamente 1500, cuando fue reemplazado por un ábaco.

Sin embargo, el sistema de cuentas más exclusivo fue utilizado por los indios mayas. Su sistema numérico tenía una base de 20. Para indicar números del 1 al 19, utilizaron puntos y líneas. ¿Cuál fue la diferencia entre su sistema numérico? Para cada número usaron imágenes de cabeza y un símbolo cero 0 separado.


Figura 17: El sistema de números mayas con base 20, en el que los números se indican con cabezas


Figura 18 : Otra forma de escribir números mayas.

0: número para indicar nada

Algunas civilizaciones utilizaron espacios para, por ejemplo, distinguir el número 101 del 11. Después de un tiempo, comenzó a aparecer un número especial: cero. Por ejemplo, en una cueva en la ciudad india de Gwalior, los arqueólogos encontraron en la pared el número 270, en el que había cero. El primer uso registrado de cero se puede ver en la biblioteca Bodleian.


Figura 19 : El círculo tallado en la pared del templo en Gwalior denota cero. Tiene unos 1.500 años.


Figura 20 : los puntos negros en el manuscrito Bakhshali indican ceros; Este es el ejemplo escrito más antiguo del uso de números, tiene aproximadamente 1800 años.

Hace unos 1400 años, se escribieron las reglas para calcular con cero. Por ejemplo, agregar un número negativo y cero produce el mismo número negativo. La división por cero no está permitida, porque si se divide por cero, obtenemos un número que puede ser igual a cualquier número que necesitemos, lo que debería estar prohibido.

Poco después, muchas personas publicaron libros sobre aritmética que difundieron el uso de la notación indoárabe de números. A continuación se muestra la evolución de los números indoárabes. La mayoría de los países usan el sistema de numeración indoárabe, pero los países árabes todavía usan números arábigos.


Figura 21 : Este diagrama muestra la evolución de los números, que se originan a partir de los números de Brahmi y terminan con los números que usamos hoy.


Figura 22 : Un clásico grabado "Aritmética" de Margarita Philosophica de Gregor Reish, que representa una competencia entre Boecio, sonriendo después del descubrimiento de números indo-árabes y cálculos escritos, y Pitágoras con el ceño fruncido, aún tratando de usar un tablero de números.

Pi (π): el número irracional más famoso

Pi es el número irracional más popular que conocemos. Pi se puede encontrar de dos maneras: calculando la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro, o la razón del área de un círculo al cuadrado de su radio. Euclides demostró que estas relaciones son constantes para todos los círculos, incluso para la luna, el centavo, el neumático, etc.

π = círculo / diámetro O π = área del círculo / radio²

Figura 22 : Relación animada entre círculo y diámetro en relación con pi.

Dado que los números irracionales como pi son infinitos y no tienen repetición, nunca terminaremos de escribir pi. Continúa por siempre. Hay personas que recuerdan muchos lugares decimales pi (¡el registro actual es de 70,000 dígitos! Fuente: Guinness Book of Records ).


Figura 23 : Datos de la encuesta de 941 encuestados para determinar el porcentaje de personas que pueden recordar los caracteres pi después del punto decimal.


Figura 24 : Cientos de descargas de pi se registran en la pared de la estación de metro Karlsplatz en Viena.

Actualmente, las computadoras han podido calcular un total de 2.7 trillones de bits pi. Puede parecer mucho, pero en realidad este camino es interminable.

Como dije anteriormente, el número pi encontró a Euclides. Pero, ¿qué hacían las personas antes de Euclides cuando necesitaban encontrar el área de un círculo? Los historiadores han descubierto una tableta de arcilla babilónica, en la que se registró la relación del perímetro del hexágono con el diámetro del círculo descrito a su alrededor. Después de los cálculos, el número resultante resultó ser 3.125. Está muy cerca de pi.


Figura 24 : tableta de arcilla babilónica con la relación del perímetro del hexágono a la longitud del círculo circunscrito.


Figura 25 : Guerrero número

Los antiguos egipcios también se acercaron al significado de pi. Los historiadores han descubierto un documento que muestra cómo los antiguos egipcios encontraron el número pi. Cuando los historiadores tradujeron el documento, encontraron la siguiente tarea:

Por ejemplo, para encontrar el área de un campo con un diámetro de 9 sombreros (1 sombrero = 52,35 metros), debe realizar el siguiente cálculo:

Resta 1/9 del diámetro, a saber, 1. El resto es 8. Multiplícalo por 8, lo que nos da 64. Por lo tanto, el área será 64 setjat (unidad de área).

En otras palabras, el diámetro es 2r, y 1/9 del radio es (1/9 • 2r). Entonces, si restamos esto del diámetro inicial, obtenemos 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r). Entonces el área del círculo es 256/81 r². Es decir, pi es casi 3.16. Descubrieron este valor pi hace unos 4.000 años.

Figura 26 : Papiro matemático de Achmes .

Sin embargo, los matemáticos griegos encontraron una mejor manera de calcular pi. Por ejemplo, Arquímedes prefirió trabajar con perímetros. Comenzó a dibujar círculos que describían polígonos de diferentes tamaños. Cuando dibujó un hexágono, dibujó un círculo con un diámetro de 1. Luego vio que cada lado del hexágono es 1/2 y el perímetro del hexágono es 1/2 x 6 = 3. Luego aumentó el número de lados del polígono hasta que parecía un círculo . Trabajando con un polígono de 96 lados y aplicando el mismo método, obtuvo 2 dígitos decimales pi después del punto decimal: 3 y 10/71 = 3.14084. Muchos años después, el matemático chino Liu Hu usó un polígono de 3072 lados y obtuvo el número 3.14159 (5 dígitos decimales válidos de pi después del punto decimal). Después de eso, otro matemático chino, Zu Chunzhi, hizo un trabajo aún más impresionante. Trabajó con un polígono de 24000 lados y obtuvo 3.1415926, siete dígitos decimales válidos pi después del punto decimal.

Mil años después, el matemático alemán Ludolf Zeilen trabajó con 2 polígonos de ⁶² lados y recibió 35 dígitos decimales pi. Este número, llamado Lyudolfov, fue tallado en su lápida.




En 1706, el inglés John Machin, que durante mucho tiempo había sido profesor de astronomía, utilizó la fórmula de adición para demostrar que pi es igual a


Sin preocuparse por el origen de esta fórmula, Macin comenzó a usarla constantemente y luego escribió la serie que se muestra a continuación. Este fue el paso más grande en ese momento en el número de dígitos pi.


Figura 29 : fórmula de Machin para pi

Sin embargo, la primera mención de pi apareció en 1706. El profesor de matemáticas William Jones escribió un libro y primero propuso pi para medir círculos. ¡Así que pi apareció por primera vez en los libros!




Figura 30 : Juliabloggers

En 1873, William Shanks usó la fórmula de John Machin y recibió 707 dígitos decimales pi. Estos números están escritos en la sala del Palacio de los Descubrimientos de París. Sin embargo, los matemáticos posteriores descubrieron que solo 527 dígitos eran verdaderos.


Figura 31 : habitación pi

Por otro lado, Buffon descubrió una forma más interesante de encontrar pi. Su experimento se basó en agujas de dispersión aleatoria para evaluar pi. Dibujó varias líneas paralelas en el tablero a una distancia D y tomó agujas de longitud L. Luego, al azar, comenzó a tirar agujas en el tablero y anotó la proporción de agujas que cruzan la línea.


Figura 32.0 : Viernes de Ciencias

Y después de eso, otro matemático llamado Lazzarini arrojó la aguja 3408 veces y recibió seis dígitos decimales pi con una relación de 355/113. Sin embargo, si una aguja no cruzara la línea, recibiría solo 2 dígitos pi.


Figura 32.1 : Lanzar 1000 agujas para estimar el pi aproximado

e: historia de crecimiento exponencial

e es otro famoso número irracional. La parte fraccionaria e también es infinita, como pi. Usamos el número e para calcular el crecimiento de potencia (exponencial). En otras palabras, usamos e cuando vemos un crecimiento o disminución muy rápido.

Uno de los más grandes, y quizás el mejor matemático, Leonard Euler descubrió el número e en 1736 y mencionó por primera vez este número especial en su libro Mechanica .



Figura 33 : fuente

Para comprender el crecimiento exponencial, podemos usar la historia de un inventor de ajedrez. Cuando se le ocurrió este juego, se lo mostró al gobernante del Norte. Al rey le gustó el juego y prometió que le daría al autor cualquier recompensa. Luego, el inventor pidió algo muy simple: 2 ⁰ granos por primera celda de un tablero de ajedrez, 2 ¹ granos por segunda celda de un tablero, 2 ² granos por tercero, y así sucesivamente. Cada vez, la cantidad de grano se duplicó. El rey del Norte pensó que la solicitud sería fácil de cumplir, pero se equivocó, porque sería necesario poner 2 ⁶³ granos en la última celda, que es 9 223 372 036 854 775 808 . Este es el crecimiento exponencial. Comenzó en 1, se duplicó constantemente, y después de 64 pasos, ¡se convirtió en un gran número!

Si un inventor de ajedrez eligiera una ecuación lineal, por ejemplo 2n, obtendría 2, 4, 6, 8, ... 128 ... Por lo tanto, a largo plazo, el crecimiento exponencial a menudo supera con creces el polinomio.

Por cierto, 9.223.372.036.854.775.808-1 es el valor máximo de un entero con signo de 64 bits .

Figura 34 : fuente: Wikipedia

El número e fue descubierto por Euler. Sin embargo, Jacob Bernoulli también trabajó con el número e cuando calculó el interés compuesto para ganar más dinero. Si invierte $ 100 al 10% de los ingresos, ¿cómo crecerá esta cantidad? En primer lugar, depende de la frecuencia con la que el banco calcula los intereses. Por ejemplo, si calcula una vez, entonces recibiremos $ 110 al final del año. Si cambiamos de opinión y tomamos interés cada 6 meses, entonces en este caso recibiremos más de 110 dólares. El hecho es que el porcentaje recibido en los primeros 6 meses también recibirá su porcentaje. El monto total será igual a 110.25 dólares. Puedes adivinar que podemos obtener más dinero si tomamos dinero cada trimestre del año. Y si acortamos el intervalo de tiempo, las cantidades finales continuarán creciendo. ¡Un interés compuesto tan infinito nos hará ricos! Sin embargo, nuestros ingresos totales tienden al valor limitado asociado con e .

Bernoulli no llamó al número 2.71828 por el nombre e . Cuando Euler trabajó con 2.71828, elevó la función exponencial e a la potencia de x . Describió sus descubrimientos en el libro El análisis del infinito .

En 1798, Thomas Malthus utilizó una función exponencial en su ensayo sobre la deficiencia nutricional del futuro. Creó un gráfico lineal que muestra la producción de alimentos y un gráfico exponencial que muestra la población mundial. Malthus concluyó que a largo plazo, el crecimiento exponencial triunfará y el mundo enfrenta una grave escasez de alimentos. Este fenómeno fue llamado la "catástrofe maltusiana". Newton también usó este modelo para mostrar cómo se enfría una taza de té.


Figura 35 : Ley de Newton-Richmann


Figura 36 : desastre maltusiano

Número imaginario: i, raíz cuadrada -1

Durante mucho tiempo, los matemáticos tuvieron suficientes números ordinarios para resolver sus problemas. Sin embargo, en algún momento para su mayor desarrollo necesitaban descubrir algo nuevo y misterioso.Por ejemplo, el matemático italiano Cardano intentó dividir el número 10 en 2 partes, cuyo producto sería igual a 40. Para resolver este problema, escribió la ecuación: x (10-x) = 40. Cuando resolvió esta ecuación cuadrática, obtuvo dos soluciones: 5 más √-15 y 5 menos √-15, que en ese momento no tenía ningún sentido. Este resultado no tenía sentido, porque por la definición de la raíz cuadrada necesitaba encontrar un número cuyo cuadrado sería negativo. Sin embargo, los números positivos y negativos al cuadrado tienen un valor positivo. Sea como fuere, encontró su número único. Sin embargo , Euler fue el primer matemático en llamar a √-1 (la raíz cuadrada de menos uno) el número imaginario i .

Leibniz hizo un comentario sobre el número imaginario √-1:

Los números complejos son un hermoso y maravilloso refugio del espíritu divino, casi un anfibio de estar con la nada.

Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números imaginarios. La suma, la resta y la multiplicación son simples, y la división es un poco más complicada. Las partes real e imaginaria se pliegan por separado. En el caso de la multiplicación, i ² será igual a -1.

Después de Euler, el matemático Caspar Wessel introdujo números imaginarios geométricamente y creó un plano complejo. Hoy representamos cada número complejo a + bi como un punto con coordenadas (a, b).



Figuras 37 y 38 : números complejos

En la era victoriana, muchos sospechaban de números imaginarios. Sin embargo, el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton puso fin a estas dudas definiendo números complejos aplicados a los cuaterniones .

La ecuación más bella: la identidad de Euler

La identidad de Euler conecta una función exponencial con funciones seno y coseno cuyos valores varían de menos uno a uno. Para encontrar una conexión con funciones trigonométricas, podemos representarlas en forma de series infinitas, verdaderas para todos los valores



Figura 39 : Descubrimiento de la identidad de Euler


Figura 40 : Identidad de

Euler Euler nunca ha registrado esta identidad explícitamente, y no sabemos quién la grabó primero. Sin embargo, lo asociamos con el nombre de Euler en deferencia a este gran pionero de las matemáticas.