🕴🏿 👩🏽‍🚒 ⌛️ Generalización del problema de Brokar 🚣 👩🏻‍✈️ 🥈

La historia

Hilbert en 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos en París señaló la importancia práctica de la teoría de números. La solución de problemas abstractos a menudo condujo a la aparición de un nuevo aparato matemático. Un vívido ejemplo es el Gran Teorema de la Granja, durante el cual se demostró que, a fines del siglo XX, se investigaron las funciones meromórficas utilizadas por los ingenieros de diseño moderno en las fábricas de automóviles y aviones, así como por los especialistas en TI en el marco de la simulación. Los problemas de los "números hermosos": los gemelos simples y los números perfectos, que se consideraban casi inútiles en la antigua Grecia, ahora proporcionan criptografía moderna con algoritmos estables de generación de claves.

En 1913, Ramanujan popularizó la ecuación indefinida:

n! + 1 = m^{2} (1)

$n! + 1 = m ^ 2 (1)$

Anteriormente, apareció en las obras de Henri Brocard. Según los historiadores, dos matemáticos comenzaron a estudiar esta ecuación independientemente uno del otro. Obviamente, el factorial crece más rápido que el cuadrado, por lo que las primeras soluciones se pueden obtener rápidamente enumerando los valores de n. Obtenemos:

4! = 5^{2} - 1

$4! = 5 ^ 2-1$

5! = 11^{2} - 1

$5! = 11 ^ 2-1$

7! = 71^{2} - 1

$7! = 71 ^ 2-1$

En 2000, los valores se verificaron por enumeración por computadora $n$ antes $10 ^ 9$ , y no se pudieron encontrar nuevas soluciones. El artículo propone mi enfoque para verificar casos particulares del problema de Brokar, y también formula una versión generalizada del problema matemático, cuya solución permite, independientemente de la hipótesis ABC, resolver ecuaciones de la forma:

n! = P (x)

$n! = P (x)$

Prerrequisitos

La aritmética modular es una herramienta poderosa para una evaluación preliminar de la complejidad de un problema y la asignación de casos especiales. Por ejemplo, es fácil demostrar que incluso $m$ El problema de Brokar no tiene solución, ya que el factorial de cualquier número natural, excepto la unidad, es par. Un requisito previo para un par de valores. $(n, m)$ en la ecuación de Brokard es la divisibilidad del factorial por la expresión:

m^{2} - 1

$m ^ 2-1$

Factorial, por definición, es un producto de números naturales consecutivos. Usando las propiedades de la serie natural, se puede determinar el grado de uno u otro número primo en la factorización canónica del factorial. Por ejemplo $16!$ contiene 16 factores consecutivos. Cada segundo factor se divide por 2, cada 4º se divide por 4, cada 8º es 8 y cada 16º es 16. Por lo tanto, la descomposición $16!$ por factores contiene 2 al poder de $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ . De aquí si hay un par $(16, m)$ siendo una solución al problema de Brokar, entonces $m ^ 2$ debe dar un resto de 1 cuando se divide por cualquier potencia de dos hasta el 15, inclusive. Formulamos la condición necesaria para $m$ al resolver la ecuación 1:

Dejar $n!$ no excede en cierta medida $k$ numero primo $p$ y hay un número $m$ en que el par $(n, m)$ es una solución a la ecuación 1. Entonces $m ^ 2-1$ debe dividirse en todos los grados $p$ antes $F (k)$ donde $F$ - función de cálculo de grado $p$ en descomposición $n!$ . (2)

Propiedad P

Supongamos que existe un algoritmo A que verifica la condición necesaria 2 para algún número primo $p$ . Llamamos a dicho algoritmo una prueba P. Que también haya un natural $n$ Satisfacer la condición: $(n-1)! <m ^ 2 <n!$
Entonces decimos que el número $m$ posee una propiedad P

Considere un proceso de 2 pruebas para arbitrarias $m$ entre $1023!$ y $1024!$ . Para $m ^ 2$ Las siguientes afirmaciones serán ciertas:

$m ^ 2$ da un resto de 1 cuando se divide por todos los poderes de dos para $2 ^ {1023-10 = 1013}$ inclusive
$m ^ 2-1$ no dividido por $2 ^ {1024-10 = 1014}$ .

En la práctica, la mayoría de los números cuadrados entre $1023!$ y $1024!$ No pasa la prueba 2 en las primeras 200 iteraciones. Si el numero $m ^ 2$ desde el intervalo especificado y $m$ posee una propiedad de 2 en el sistema binario $m ^ 2$ termina en $100..001$ , donde los ceros son exactamente 1012. Luego, para verificar la condición 2, podemos calcular $m ^ 2$ hasta los últimos 8 dígitos y verifique los últimos 8 dígitos. Si hay una secuencia distinta de $0000 0001$ entonces la prueba 2 falló. Calcular secuencialmente cada valor probado con una precisión de 8, 16, 24, etc. caracteres, puede verificar rápidamente la condición 2 para un gran conjunto de valores utilizando un mínimo de recursos del sistema. Los tamaños de las cadenas que son múltiplos de 8 están justificados por la estructura de bytes de la RAM de las computadoras modernas: se usará un byte completo para almacenar cadenas más pequeñas. Para cadenas grandes no múltiplos de 8, también habrá bits de memoria no utilizados.

Deje que sea necesario verificar la declaración:
Entre $n$ de un segmento $[k_1, k_2]$ no hay soluciones para la ecuación 1 para ninguna $m$ donde $n, m, k_1, k_2$ - natural.

Usando la fórmula de Stirling, definimos las brechas $(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$ donde $l = k_2-k_1 + 1$ . Para la brecha i-ésima:

a_{i} = {(s / e)}^{s} e^{1 / 12 s + 1} s q r t 2 p i s

$a_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s + 1}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$

b_{i} = {(s / e)}^{s} e^{1 / 12 s} s q r t 2 p i s

$b_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$

s = k_{1} + i - 1

$s = k_1 + i-1$

Entonces la afirmación es verdadera:
Si entre los números cuadrados de $(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$ ninguno pasó la prueba 2, entonces la ecuación 1 no tiene solución en el intervalo $[k_1, k_2]$ . Lo contrario no es cierto.

Una generalización del problema de Brokar bajo las condiciones necesarias.

En general, un número cuadrado con una propiedad p tiene una base en el cálculo $p$ vista: $t00..001$ , con el número de ceros $F (k) -1$ . Entonces podemos generalizar el problema de la propiedad P:
Que se describan dos funciones: $F$ y $G$ devolver valores naturales para cualquier argumento natural, y $G$ no se puede representar como un polinomio con coeficientes enteros. Entonces es necesario formular un criterio para el cual entre los números $m$ acostado entre $G (t)$ y $G (t + 1)$ y teniendo en la notación en el cálculo con base p la forma:

k_{1} 00..00 k_{2} (3)

$k_100..00k_2 (3)$

puede elegir solo aquellos que tienen una raíz natural del enésimo grado, donde la función da el número de ceros en el registro 3 $F$ dependiente $t$ . Al hacerlo, $k_1$ puede ser un parámetro, un valor arbitrario o una constante, y $k_2$ - Siempre una constante. (4)

Por ejemplo, puede plantear el problema de la capacidad de extracción de la raíz cúbica de los números $n$ teniendo en notación hexadecimal $k00..001$ donde $k$ cualquier número hexadecimal es mayor que 1, y el número de ceros para un determinado $n$ igual al más grande $t$ para lo cual la desigualdad es válida:

2^{t} + 3 t - 1 < n

$2 ^ t + 3t-1 <n$

La base para escribir el artículo fue la declaración sobre una relación directa entre el número de ceros en el registro 3 en un cálculo arbitrario para el valor del lado izquierdo de la ecuación 1 al sustituir las raíces ya encontradas y el número $n$ . Si la ecuación 1 tiene exactamente 3 raíces, este hecho puede probarse resolviendo el caso especial correspondiente del problema 4. Lo contrario no es cierto.

Conclusión

Hablando de la importancia práctica de los problemas abstractos de la teoría de números, como un factor que estimula el desarrollo del aparato matemático, vale la pena mencionar una ecuación interesante en enteros, cuya solución es imposible en el marco de la generalización anterior:

11 + (2^{n^{2} - 1} - 2^{3 n - 3}) / (2^{n - 1} - 1) e q u i v 0 p m o d 2^{m + 1} - 1 (5)

$11 + ({2 ^ {n ^ 2-1} -2 ^ {3n-3}}) / (2 ^ {n-1} -1) \ equiv 0 \ pmod {2 ^ {m + 1} -1 } (5)$

Esta ecuación se deduce lógicamente de los intentos de aproximar los números de Luke por el método no recurrente. La solución al problema 5 ayudará a descubrir nuevas propiedades de los números de Mersenne y a formular las condiciones necesarias para acelerar el trabajo de los programas de búsqueda distribuidos para números primos grandes basados en la prueba de Luc-Lemer.

Por analogía con el débil problema de Goldbach, se supone que las pruebas P ayudarán a obtener un límite inferior grande para todas las raíces de la ecuación 1, aparte de $(4, 5), (5, 11)$ y $(7, 71)$ , y el estudio del problema 3 conducirá a la prueba de la insolubilidad de la ecuación 1 en enteros para valores suficientemente grandes de n.

Fuentes

Problemas de Hilbert
El desafío de Brokar