Introducción a la teoría de conjuntos

El concepto de infinito está ideológicamente lejos de la terminología matemática ordinaria: ningún otro tema va más allá de las matemáticas de tal manera que se convierta de una herramienta analítica práctica en un fenómeno de orden mítico. El concepto de infinito en un pie corto con temas culturales como la religión y la filosofía, y está envuelto en un misterioso aura de divinidad.

Érase una vez una creencia fundamental en todas las disciplinas académicas: solo hay un infinito .

Pero en 1874, un matemático poco conocido hizo una serie de observaciones revolucionarias que ponen en duda esta creencia universalmente aceptada y profundamente arraigada. Georg Cantor, en su publicación (ahora legendaria) Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales, demostró que muchos números reales son "más numerosos" que muchos números algebraicos. Así que primero demostró que hay infinitos conjuntos de diferentes tamaños (no se preocupe, para aclarar esto, pronto estudiaremos su artículo en detalle).


"Mucho es una gran cantidad que te permite percibirte como uno" - Georg Cantor

De 1874 a 1897, Cantor publicó vehementemente artículo tras artículo, ampliando su teoría de conjuntos abstractos en una disciplina floreciente. Sin embargo, fue recibida con obstinada resistencia y crítica; Muchos pedantes creían que sus teorías se movían al campo de la filosofía y violaban el principio de la religión.

Sin embargo, cuando comenzaron a encontrarse aplicaciones prácticas de análisis matemático , la actitud hacia la teoría cambió y las ideas y resultados de Cantor comenzaron a ganar reconocimiento. En la primera década del siglo XX, sus observaciones, teorías y publicaciones alcanzaron su culminación: el reconocimiento de la teoría de conjuntos moderna como un nuevo campo de matemáticas completamente único:

La teoría de conjuntos es una teoría matemática sobre conjuntos (conjuntos) definidos con precisión de objetos individuales llamados miembros o elementos de un conjunto.

¿Cuántos números hay entre 0 y 1?

La primera publicación de Cantor de cuatro páginas y media es un gran ejemplo de brevedad. Se divide en dos pruebas separadas, que conducen conjuntamente a la conclusión de que hay al menos dos tipos únicos de conjuntos.

En la primera parte de la teoría, estudiamos el conjunto de números algebraicos reales y demostramos que es un conjunto infinito contable . No debe confundirse: "contar" no significa necesariamente que la cuenta se mantenga estrictamente en números enteros; en el contexto de la teoría de conjuntos, "contable" significa que un conjunto, incluso si consiste en un número infinito de elementos, puede describirse mediante una serie repetitiva, por ejemplo, una función polinómica ordenada . Cantor llamó a esta propiedad de un conjunto infinito de números de correspondencia uno a uno con una serie, la presencia de una correspondencia uno a uno .

En resumen, el conjunto o conjunto de todos los números algebraicos reales se puede derivar usando algunas series teóricas de polinomios con varios grados y coeficientes; por lo tanto, el conjunto de todos los números algebraicos reales es un conjunto contable infinito .

En la segunda parte del trabajo de Cantor , se analiza el papel de los números complejos reales, también llamados números trascendentales . Los números trascendentales (los mejores ejemplos de los cuales son pi y e) tienen una propiedad curiosa: es matemáticamente imposible derivarlos usando una función polinómica: no son algebraicos. Independientemente de la magnitud, número de partes, grados o coeficientes, ninguna serie puede contar pi en su colección de un conjunto contable infinito.

Kantor luego indica que en cualquier intervalo cerrado [ a , b ] existe al menos un número trascendental que nunca se puede contar en un conjunto contable infinito. Como existe uno de estos números, se supone que en la familia de los números reales hay un número infinito de números trascendentales.

Por lo tanto, demostró una diferencia muy clara entre el conjunto de números continuos que fluyen incontables y el conjunto de números contables, que se pueden representar como una serie, por ejemplo, de todos los números algebraicos reales.

Siguiente: grabación y operaciones

La primera publicación de Cantor culminó con esta sorprendente confirmación de la existencia de al menos dos tipos diferentes de infinito. Después de su primer artículo, apareció una serie de adiciones, que lenta pero seguramente allanaron el camino hacia la teoría de conjuntos moderna.


También vale la pena compartir una observación interesante: la mayoría de las personas que usan la teoría de conjuntos en la práctica no valoran este teorema particular, sino el lenguaje generalizado que establece. Debido a su naturaleza abstracta, la teoría de conjuntos afecta secretamente muchas áreas de las matemáticas. En el análisis matemático, que requiere un cálculo diferencial e integral, es necesario comprender los límites y la continuidad de las funciones, finalmente fijadas en la teoría de conjuntos. En el álgebra de la lógica, las operaciones lógicas "y", "o" y "no" corresponden a las operaciones de intersección, unión y diferencia en la teoría de conjuntos. Y por último, pero no menos importante, la teoría de conjuntos sienta las bases para la topología : el estudio de las propiedades geométricas y las relaciones espaciales.

Armados con una comprensión básica de la historia de los conjuntos y habiendo hecho una breve inmersión en las profundidades de su influencia, podemos comenzar a familiarizarnos con los conceptos básicos del sistema de notación de la teoría de conjuntos.

Segunda parte Una breve descripción de las operaciones, notación y diagramas de Venn.

Como se indicó en la parte anterior, una de las ventajas fundamentales de la teoría de conjuntos no surge de ninguna teoría en particular, sino del lenguaje que creó. Es por eso que la parte principal de esta sección estará dedicada a la notación, operaciones y representación visual de la teoría de conjuntos. Comencemos explicando los símbolos básicos de la notación de un conjunto: los elementos que le corresponden. La siguiente tabla muestra un ejemplo de un conjunto A con tres elementos:


A es un conjunto con los elementos "1", "2" y "3"

"1" es un elemento del conjunto A

La primera línea muestra el conjunto A con tres elementos separados ( A = {1,2,3} ); la segunda línea muestra la forma correcta de designar un elemento concreto individual 1 que pertenece al conjunto A. Hasta ahora, todo es bastante simple, pero la teoría de conjuntos se vuelve significativamente más interesante cuando agregamos el segundo conjunto: comienza el viaje a través de las operaciones estándar.

Para la tabla anterior, introduzcamos dos conjuntos adicionales B y C que contienen los siguientes elementos: B = {3, A, B, C, D, E} , C = {1,2} . Aunque creamos tres conjuntos (A, B y C), en los ejemplos a continuación las operaciones se realizan simultáneamente con solo dos conjuntos, así que tenga cuidado con los conjuntos que se indican en la columna de la izquierda . La siguiente tabla muestra los cinco operandos de conjuntos más comunes:


Operaciones: intersección: el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B;

unión - un conjunto de elementos que pertenecen a un conjunto A o un conjunto B;

subconjunto - C es un subconjunto de A, el conjunto C está incluido en el conjunto A;

subconjunto propio (verdadero): C es un subconjunto de A, pero C no es igual a A;

Complemento relativo: un conjunto de elementos que pertenecen a A y no a B.

Aquí están, las operaciones más comunes en la teoría de conjuntos; son bastante populares en áreas fuera de las matemáticas puras. De hecho, es muy probable que ya haya visto tipos similares de operaciones en el pasado, aunque no del todo con esa terminología, e incluso las haya utilizado. Buena ilustración: pídale a cualquier alumno que describa un diagrama de Venn de dos grupos que se crucen, e intuitivamente llegará al resultado correcto.

Eche otro vistazo a la última línea, la suma relativa : ¿qué combinación inusual de palabras es? ¿Relativo a qué? Si el complemento relativo A - B se define como A y no B , entonces, ¿cómo denotamos todo lo que no es B?

Conjunto universal - conjunto vacío

Resulta que si queremos obtener una respuesta significativa, primero tenemos que proporcionar el contexto de todo nuestro conjunto de problemas de conjuntos. A menudo se define explícitamente al comienzo de una tarea cuando los elementos admisibles del conjunto se limitan a alguna clase fija de objetos en los que existe un conjunto universal que es un conjunto común que contiene todos los elementos para esta tarea en particular. Por ejemplo, si quisiéramos trabajar con conjuntos solo de las letras del alfabeto inglés, entonces nuestro conjunto universal U consistiría en 26 letras del alfabeto.

Para cualquier subconjunto A del conjunto U, el complemento del conjunto A (denotado por A o U - A ) se define como el conjunto de todos los elementos en la población general U que no está en A. Si volvemos a la pregunta planteada anteriormente, entonces el complemento del conjunto B es todo dentro del conjunto universal que no pertenece a B , incluido A.

Antes de continuar, debemos mencionar un conjunto de principios más, que es lo suficientemente importante para una comprensión básica: cero o conjunto vacío . Tenga en cuenta que hay un solo conjunto vacío, por lo tanto, nunca dicen "conjuntos vacíos". Aunque no consideraremos la equivalencia en este artículo, la teoría básica es que dos conjuntos son equivalentes si tienen los mismos elementos; por lo tanto, solo puede haber un conjunto sin elementos. Por lo tanto, hay un solo conjunto vacío.

Diagramas de Venn y el resto

Los diagramas de Venn, inventados oficialmente en 1880 por John Venn, son exactamente lo que imaginas, aunque su definición científica suena así:

Representación esquemática de todas las relaciones posibles de varios conjuntos.

A continuación se muestra una imagen de los seis diagramas de Venn más comunes, y casi todos muestran operandos estudiados recientemente:


Unión, intersección, complemento relativo, diferencia simétrica, subconjunto propio, complemento absoluto.

Comenzando con una notación muy simple para un conjunto y sus elementos, luego aprendimos sobre las operaciones básicas que nos permitieron dibujar esta pista visual. Examinamos todas las operaciones excepto la diferencia simétrica (abajo a la izquierda). Para no dejar brechas en el conocimiento, decimos que una diferencia simétrica, también llamada unión disyuntiva , es simplemente un conjunto de elementos que están en cualquiera de los conjuntos pero que no entran en su intersección .

Concluimos esta sección presentando el concepto de poder (número cardinal) . El poder de un conjunto, denotado por un símbolo de valor absoluto, es simplemente el número de elementos únicos contenidos en un conjunto particular. Para el ejemplo que se muestra arriba, la potencia de tres conjuntos es igual a: | A | = 3, | B | = 6, | C | = 2.

Antes de seguir adelante, te daré una reflexión: ¿cuál es la relación entre el poder y la cantidad de subconjuntos posibles?

Parte 3. Potencia y conjuntos exponenciales

En las dos partes anteriores, descubrimos los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. En la tercera parte, fortaleceremos nuestra comprensión al centrarnos en la propiedad más importante de cualquier conjunto: el número total de elementos únicos contenidos en él .

El número de elementos únicos en un conjunto, también conocido como potencia , nos proporciona un punto de referencia fundamental para un análisis más profundo y profundo de este conjunto. En primer lugar, el poder es la primera de las propiedades únicas que estamos considerando que nos permite comparar objetivamente diferentes tipos de conjuntos, verificando si existe una biyección (esto, con algunas advertencias, es simplemente un término más refinado para la función ) de un conjunto a otro. Otra forma de usar el poder, así como el tema de esta parte del artículo, el poder nos permite evaluar todos los subconjuntos posibles existentes en este conjunto . Que se puede aplicar literalmente en problemas cotidianos de distribución de decisiones, ya sea para la planificación del presupuesto para un viaje a una tienda de comestibles o para la optimización de una cartera de acciones.


Ejemplos de cardinalidad.

Por ejemplo, la tabla anterior muestra cinco conjuntos separados con su potencia indicada a la derecha. Como ya hemos dicho, el símbolo del poder se asemeja al símbolo del valor absoluto: el valor encerrado entre dos líneas verticales. Todos los ejemplos son comprensibles, con la posible excepción de la última línea, que enfatiza el hecho de que solo elementos únicos del conjunto influyen en el poder.

¿Recuerdas los subconjuntos de la parte anterior del artículo? Resulta que la cardinalidad de algunos conjuntos A y el número de subconjuntos posibles de A tienen una conexión sorprendente. A continuación se muestra que el número de subconjuntos que pueden estar compuestos de un determinado subconjunto aumenta con el orden de potencia en un valor predecible:

El número de subconjuntos posibles en C = 2 ^{| C |}

Echemos un vistazo más de cerca al ejemplo a continuación. Sin embargo, para empezar, reflexionemos sobre la fórmula. Imaginemos el poder como el número total de "posiciones", que es un conjunto. Al crear un subconjunto para cada posición posible, se toma una decisión booleana (sí / no) . Esto significa que cada elemento único agregado al conjunto (es decir, aumentar la potencia en uno) aumenta el número de subconjuntos posibles en un factor de dos. Si usted es un programador o científico, puede comprender esta lógica un poco más profundamente si comprende que todos los subconjuntos de un conjunto se pueden calcular utilizando una tabla de números binarios.

Conjunto exponencial (bulean)

Antes de calcular todos los subconjuntos para un ejemplo del conjunto C , me gustaría presentar el último concepto: el booleano .

Un bulean se denota con la letra S mayúscula, seguido del conjunto inicial S (C) entre paréntesis. Un booleano es el conjunto de todos los subconjuntos de C, incluidos el conjunto vacío y el conjunto C. La siguiente tabla muestra el S booleano (C) con todas las permutaciones de los posibles subconjuntos para el conjunto C contenidos en un conjunto grande.


Por conveniencia de formateo, eliminé comas entre conjuntos ***

¿Cómo puede ser útil un boulean? De hecho, lo más probable es que haya usado booleanos intuitivamente muchas veces sin siquiera darse cuenta. Cada vez que selecciona un subconjunto de elementos de un conjunto más grande, selecciona un elemento booleano. Por ejemplo, un niño está estudiando cuidadosamente una pastelería con un billete de $ 5, ¿qué elemento del boulean del conjunto de todos los dulces disponibles elegirá? O si toma un ejemplo más técnico: usted, como desarrollador de software, puede necesitar solicitar a todos los posibles usuarios de la base de datos que también tengan las propiedades X e Y , otro caso en el que se selecciona un subconjunto de todos los subconjuntos posibles.

Equivalencia y función biyectiva.

Ahora entendemos cuál es el poder del conjunto, por qué es importante y su conexión con el booleano. Por lo tanto, volvamos brevemente a lo que se mencionó al principio: ¿qué define específicamente la equivalencia en la teoría de conjuntos?

Obviamente, dos conjuntos con el mismo poder tienen alguna propiedad común, pero las similitudes terminan allí: ¿qué pasa si hay un elemento múltiple en uno de los conjuntos? ¿Qué pasa si dos conjuntos tienen la misma potencia y número de elementos? No se puede negar que son "equivalentes" en cierta medida, pero incluso en este caso todavía existe la posibilidad de diferencias, porque cada conjunto puede tener elementos diferentes que se repiten el mismo número de veces. El punto aquí es que el concepto de equivalencia en la teoría de conjuntos es un poco ajeno a otras áreas de las matemáticas. El establecimiento de la equivalencia en este mundo requiere familiaridad con este concepto y un nuevo lenguaje. En la última parte de este artículo, presentamos el concepto de equivalencia, así como propiedades básicas como las funciones inyectiva, biyectiva y surjectiva.

Parte 4. Funciones.

En esta parte, hablaremos más sobre las funciones dentro de la teoría de conjuntos. Como en el caso de los conceptos anteriores, la terminología de las funciones estándar en la teoría de conjuntos es ligeramente diferente de otras áreas de las matemáticas, y por lo tanto requiere explicación. Hay mucha terminología, ¡así que vamos a trabajar inmediatamente! La primera tabla a continuación refleja los conceptos de un dominio de definición, un dominio de valores y un valor de función:


Una función en el mundo de la teoría de conjuntos es simplemente la correspondencia de algunos (o todos) elementos del Conjunto A con algunos (o todos) elementos del Conjunto B. En el ejemplo anterior, el conjunto de todos los elementos posibles de A se denomina dominio de definición ; Los elementos de A utilizados como valores de entrada se denominan argumentos en particular . A la derecha, el conjunto de todos los valores de salida posibles (denominado en otras áreas de las matemáticas el "dominio de valores") se denomina co-región ; El conjunto de elementos de salida reales B correspondientes a A se denomina imagen .

Hasta ahora, nada realmente complicado, solo una nueva forma de establecer parámetros de función. A continuación, hablaremos sobre cómo describir El comportamiento de estas funciones coincidentes utilizando los tipos habituales de funciones.

Inyección, surjection y bijection

En la teoría de conjuntos, generalmente se utilizan tres conceptos para clasificar la correspondencia de conjuntos: inyección , sobreyección y biyección . Desafortunadamente, estos conceptos tienen varios nombres diferentes que aumentan la confusión, por lo que primero veremos cada definición y luego veremos ejemplos visuales. Los tres términos describen la forma en que los argumentos se asignan a las imágenes:

• Una función es inyectiva ( o "uno a uno" ) si cada elemento de la corregión se asigna a no más de un elemento en el área de definición.
• , . ( .)
• , .

La guinda del pastel para estas definiciones complejas fueron los posibles significados adicionales de las palabras "inyectivo", "sobreyectivo" y "biyectivo". Cuando se usan para describir una función (correspondencia), el valor anterior será verdadero; sin embargo, también será cierto identificar funciones (correspondencias) únicamente por estas características. Es decir, una función con comportamiento inyectivo se llama inyección , una función con comportamiento surjective se llama surjection , y una función con comportamiento bijective se llama bijection .

Lea la lista de puntos arriba nuevamente. Una biyección es simplemente una función que satisface los dos requisitos anteriores; es decir, la función es inyectiva ysurjective. La función inyectiva no debería ser sobreyectiva, y la sobreyectiva no debería ser inyectiva. El siguiente es un ejemplo visual en el que estas tres clasificaciones condujeron a la creación de funciones definidas por cuatro combinaciones posibles de propiedades inyectivas y surjectivas:


Biyección (inyección + surjection), inyección (inyección + no surjection), surjection (no inyección + surjection), sin clasificación (no inyección + no surjection) ¡

Eso es todo! Ahora tenemos una comprensión elemental de las relaciones más comunes que se encuentran en el mundo de los conjuntos. Sin embargo, este no es el final de nuestro viaje: al contrario, este es el comienzo.

Los fundamentos fundamentales de la teoría de conjuntos son la clave para comprender las áreas de matemáticas de nivel superior. Para continuar nuestro movimiento ascendente hacia estas diversas áreas, necesitaremos usar nuestro conocimiento de la teoría de conjuntos para aclarar una de las teorías más revolucionarias de la historia de las matemáticas: el sistema de axiomas Zermelo-Frenkel .