El arte sutil de la hipótesis matemática.

Esto no es una prueba, sino una conjetura respaldada por el conocimiento. Pero una buena hipótesis lleva las matemáticas hacia adelante, señalando el camino hacia la oscuridad matemática.

El autor del artículo es Robert Dijkgraaf , físico teórico, especialista en teoría de cuerdas, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y profesor de la Universidad de Amsterdam.

El alpinismo es una metáfora popular para la investigación matemática. Tal comparación es casi imposible de evitar: un mundo helado, aire frío enrarecido, la dura rigidez del montañismo se asemeja a un paisaje inexorable de números, fórmulas y teoremas. Así como un escalador contrasta sus capacidades con un objeto inquebrantable, en su caso, un muro de piedra, un matemático a menudo lucha en la batalla de la mente humana contra la lógica rígida.

En matemáticas, el papel de los picos de las montañas lo juegan las grandes hipótesis: afirmaciones bien formuladas, muy probablemente ciertas, pero sin evidencia convincente. Estas hipótesis tienen raíces profundas y amplias consecuencias. La búsqueda de sus soluciones es una gran parte de las matemáticas. La gloria eterna espera a su primer conquistador.

Curiosamente, los matemáticos han elevado la formulación de hipótesis al nivel de alto arte. La ciencia más rigurosa ama las formas más suaves. Una declaración bien elegida, pero no comprobada, puede hacer famoso a su autor en todo el mundo, tal vez incluso más que la persona que ofrece la prueba final. La conjetura de Poincare sigue siendo la conjetura de Poincare, incluso después de que fue probada por Grigory Yakovlevich Perelman . Y después de todo, el británico George Everest, el topógrafo principal de la India en la primera mitad del siglo XIX, nunca subió a la montaña que lleva su nombre.

Como en cualquier forma de arte, una gran hipótesis debe cumplir varios criterios obligatorios. En primer lugar, debe ser no trivial, difícil de probar. Los matemáticos a veces dicen: "La tarea vale la pena el trabajo solo si resiste", o "Si la tarea no te molesta, probablemente sea demasiado fácil para ti". Si se demuestra una hipótesis dentro de unos meses, su creador podría haber pensado un poco más antes de abrirla al mundo.

El primer intento de reunir una colección exhaustiva de los mayores problemas matemáticos fue realizado a principios del siglo pasado por David Hilbert , quien es llamado el último matemático universal. Aunque su lista de 23 temas resultó ser bastante influyente, en retrospectiva, nos parece bastante confuso.

Incluye favoritos universales desde hace mucho tiempo, como la hipótesis de Riemann , a menudo considerada la más grande de las grandes, permaneciendo en el Everest para matemáticos durante más de cien años. Cuando se le preguntó a Hilbert qué le gustaría saber primero, al despertar después de un sueño de 500 años, inmediatamente recordó esta hipótesis. Describe la noción intuitiva básica de la distribución de números primos (átomos de aritmética) y su demostración tendrá enormes implicaciones para muchas ramas de las matemáticas.

Pero Hilbert enumeró objetivos mucho más vagos y no rigurosos, como "un estudio matemático de los axiomas de la física" o "el desarrollo de métodos de cálculo de variaciones ". Una de las hipótesis con respecto a la composición igual de poliedros de igual tamaño fue decidida por su estudiante Max Dan en el mismo año en que se publicó la lista. Muchos de los picos descritos por Hilbert resultaron ser más como colinas.

Los picos más altos no se presentan con un solo intento. Las expediciones establecen cuidadosamente campamentos base y cuerdas de estiramiento, y luego suben lentamente a la cima. En matemáticas, atacar un problema grave a menudo también requiere construir estructuras complejas. Un ataque directo se considera estúpido e ingenuo. La construcción de estas construcciones matemáticas auxiliares a veces lleva siglos, y como resultado, a veces resultan ser más valiosas que el teorema conquistado. Entonces estos bosques se convierten en una adición permanente a la arquitectura de las matemáticas.

Un ejemplo perfecto de este fenómeno será la prueba del gran teorema de Fermat , que fue obtenido en 1994 por Andrew John Wiles. Se sabe que Fermat escribió su hipótesis al margen de la "Aritmética" de Diophantus en 1639. Pero su prueba requirió más de trescientos años para desarrollar herramientas matemáticas. En particular, los matemáticos tuvieron que crear una combinación muy avanzada de teoría de números y geometría. Esta nueva área, la geometría aritmética , es ahora una de las teorías matemáticas más profundas y de mayor alcance. Va mucho más allá de la hipótesis de Fermat, y se ha utilizado para resolver muchos problemas pendientes.

La gran hipótesis también debe ser profunda y estar en el medio de las matemáticas. De hecho, la metáfora de conquistar el pico no refleja todas las consecuencias de obtener evidencia. Conseguirlo no es el objetivo final de un viaje difícil, sino el punto de partida de una aventura aún mayor. Una forma más adecuada sería un paso de montaña, una silla de montar, que permita al viajero moverse de un valle a otro. Esto es lo que hace que la hipótesis de Riemann sea tan poderosa y popular. Revela muchos otros teoremas e ideas, y de allí se desprenden amplias generalizaciones. Los matemáticos estudian el rico valle al que da acceso, a pesar de que sigue siendo puramente hipotético.

Además, una evidencia lo suficientemente sólida debe apoyar la hipótesis. Bien dicho por Niels Bohr: “Lo contrario de una declaración correcta es una declaración falsa. Pero lo opuesto a la verdad profunda puede ser otra verdad profunda ”. Sin embargo, para la gran hipótesis este claramente no es el caso. Como la evidencia indirecta extensa generalmente habla a su favor, su negación parece poco probable. Por ejemplo, los primeros 10 billones de casos de la hipótesis de Riemann se verificaron numéricamente en una computadora. ¿Quién aún puede dudar de su lealtad? Sin embargo, dicho material de apoyo no satisface a los matemáticos. Exigen una certeza absoluta y quieren saber por qué la hipótesis es cierta. Solamente la evidencia convincente puede dar tal respuesta. La experiencia muestra que es fácil engañar a una persona. Los contraejemplos pueden esconderse bastante lejos, como el que encontró Noam Elkis, un matemático de Harvard que refutó la hipótesis de Euler, una variación de la hipótesis de Fermat, que decía que un número de cuarto grado no se puede escribir en forma de otros tres números en cuarto grado. ¿Quién hubiera adivinado que en el primer contraejemplo habría un número de 30 dígitos?

20 615 673 ⁴ = 2 682 440 ⁴ + 15 365 639 ⁴ + 18 796 760 ⁴

Las mejores hipótesis suelen tener raíces bastante modestas, como el comentario fugaz de Fermot al margen de un libro, pero sus consecuencias crecen con los años. También es útil si la hipótesis se puede expresar brevemente, preferiblemente a través de una fórmula con un pequeño número de caracteres. Una buena hipótesis debería caber en una camiseta. Por ejemplo, la hipótesis de Goldbach dice: "Cualquier número par, comenzando con 2, puede representarse como la suma de dos números primos". Esta hipótesis, formulada en 1742, aún no ha sido probada. Se hizo famosa gracias a la novela "Tío Petros y el problema de Goldbach" del autor griego Apostolos Doksiadis, sobre todo porque el editor ofreció un truco publicitario de $ 1 millón a cualquiera que pudiera probarlo dentro de los dos años posteriores a la publicación del libro. La concisión de la hipótesis se desarrolla con su belleza externa. Incluso puede definir la estética matemática como "la cantidad de influencia por personaje". Sin embargo, una belleza tan elegante puede ser engañosa. Las formulaciones más concisas pueden requerir la evidencia más larga, lo que nuevamente demuestra la observación engañosamente simple de Fermat.

A esta lista de criterios, quizás se pueda agregar la respuesta del famoso matemático John Conway a la pregunta de qué hace que la hipótesis sea grandiosa: "Debe ser atroz". Una hipótesis atractiva también es algo ridícula o fantástica, con un área de influencia y consecuencias imprevistas. Idealmente, combina componentes de áreas que están lejos el uno del otro, que no se encontraron previamente en una declaración, como ingredientes inesperados en un plato expresivo.

Finalmente, será útil comprender que la aventura no siempre es exitosa. Así como una hendidura insuperable puede surgir frente a un escalador, los matemáticos pueden ser derrotados. Y si pierden, pierden por completo. No existe una prueba del 99%. Durante dos milenios, las personas han intentado probar la hipótesis de que el quinto axioma euclidiano, el infame axioma del paralelismo , que dice que las líneas paralelas no se cruzan, puede deducirse de los cuatro axiomas anteriores de la planimetría. Y luego, a principios del siglo XIX, los matemáticos crearon ejemplos concretos de geometría no euclidiana, refutando esta hipótesis.

Pero la geometría no terminó allí. En un sentido pervertido, la refutación de la gran hipótesis puede resultar incluso una noticia mejor que su prueba, ya que el fracaso indica que nuestra comprensión del mundo matemático es muy diferente de la realidad. Perder puede ser productivo, algo opuesto a una victoria pírrica. La geometría no euclidiana resultó ser un importante predecesor del espacio-tiempo curvo de Einstein, que juega un papel tan importante en la comprensión moderna de la gravedad y el espacio.

De manera similar, cuando Kurt Gödel publicó su famoso teorema de incompletitud en 1931, que mostró que en cualquier sistema matemático formal hay afirmaciones verdaderas que no se pueden probar, él, de hecho, respondió negativamente a uno de los problemas de Hilbert con respecto a la consistencia de los axiomas de la aritmética. Sin embargo, el teorema de la incompletitud, que a menudo se considera el mayor logro de la lógica desde Aristóteles, no proclamó el fin de la lógica matemática. En cambio, llevó a un apogeo que condujo al desarrollo de computadoras modernas.

Entonces, al final, la búsqueda de una solución a las grandes hipótesis tiene similitudes ligeramente diferentes con las expediciones de montaña a los picos más altos. Solo cuando todos regresen a casa, en forma segura, sin importar si se logró el objetivo o no, la verdadera amplitud de la aventura se vuelve clara. Y entonces llega el momento de las heroicas historias de ascensión.