La aleatoriedad, al parecer, complica la prueba de los teoremas. Pero, de hecho, a menudo su efecto es lo contrario.
De todas las herramientas disponibles para los matemáticos, la aleatoriedad parece tener las menores ventajas. Las matemáticas operan con lógica y conceptos estrictos. Sus objetivos comunes son la búsqueda de orden y estructura en un vasto mar de objetos. Toda la historia matemática parece posible precisamente porque el mundo de las matemáticas no es accidental.
Sin embargo, el artículo reciente, "
Las superficies aleatorias ocultan un orden complejo "
, se ocupó de una nueva prueba en la que la aleatoriedad decide todo. El resultado incluye la aparición de patrones como las celdas de ajedrez que aparecen en espacios geométricos construidos al azar. Los autores de la prueba encontraron que la aleatoriedad en el espacio geométrico simplifica la descripción de estos patrones. "De manera inesperada, agregar aleatoriedad le permite hacer más" que sin eso, dijo
Nicholas Curien , matemático de la Universidad de París-Sur XI, coautor de ese trabajo.
Y resulta que la aleatoriedad ayuda en matemáticas de muchas maneras.
Por ejemplo, los matemáticos a menudo quieren demostrar que hay un objeto con ciertas propiedades, por ejemplo, una figura geométrica con ciertas simetrías. La forma más directa de resolver el problema de la existencia es encontrar un ejemplo de un objeto que tenga las propiedades que necesita. Sin embargo, intenta hacerlo. "Puede ser muy difícil imaginar un objeto específico con la propiedad deseada", dijo
Martin Hairer , poseedor de la medalla Fields, cuyo trabajo está asociado con procesos aleatorios.
Si es poco probable que un ataque frontal a un problema tenga éxito, puede intentar ir desde el flanco. Por ejemplo, se puede mostrar que si examinamos todos los objetos de cierto tipo y luego seleccionamos uno de ellos al azar, entonces existe una posibilidad distinta de cero de seleccionar un objeto con las propiedades deseadas. Tal "método probabilístico" fue aplicado por primera vez por el matemático
Pal Erdös .
La aleatoriedad también se puede utilizar para encontrar soluciones a problemas no aleatorios. Esto se hizo en evidencia reciente con respecto a los patrones de ajedrez en la parrilla. Los investigadores están interesados en un proceso llamado filtración, cuando se necesita comprender en qué condiciones es posible pasar por puntos de un solo color de una parte de la cuadrícula a otra.
Dibujando tal patrón de acuerdo con reglas deterministas, a lo largo de líneas claramente definidas de la red correcta, cada próximo paso en el camino dependerá de cada uno de los pasos anteriores. En el caso de una red compleja, este requisito se convierte en una carga. Esto es similar a lo fácil que es colocar los primeros elementos en el juego Tetris, puedes ponerlos en cualquier lugar, pero los posteriores son más difíciles de colocar, ya que tienen que satisfacer la situación de todos los anteriores.
Y cuando su ruta es aleatoria, ya no necesita preocuparse por los pasos anteriores. En cada sentido, cada nuevo paso se convierte en el primero: lanzar una moneda para decidir a dónde ir después.
Los matemáticos intentan usar este hecho. Existe una
relación hipotética , conocida como la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), que permite a los matemáticos convertir un resultado obtenido en una red aleatoria en un resultado para uno determinista, y viceversa. "En teoría, esto significa que puedes hacer tanto allí como allá", ya sea de forma aleatoria o determinista, dijo
Olivier Bernardi , matemático de la Universidad de Brandeis y coautor de un trabajo reciente. Este trabajo es consistente con los resultados anteriores (que son mucho más difíciles de probar) con respecto a la fuga a través de una red estándar, que confirma la validez de la ecuación CSW.
Si las matemáticas fueran más simples, los matemáticos no tendrían que recurrir al azar. Sin embargo, es demasiado difícil para los matemáticos encontrar respuestas a las preguntas matemáticas más importantes. "Esto puede parecer obvio, pero es útil recordar que en la mayoría de los casos, cuando se plantea un problema en matemáticas o física teórica, no se puede resolver", dijo
Paul Burgad , matemático de la Universidad de Nueva York. "Simplemente no tenemos las herramientas para resolverlo". En algunas de estas situaciones, la aleatoriedad simplifica la situación lo suficiente como para hacer posible una solución.