Entrada

¿Alguna vez sucedió que quieres sumar algunas series infinitas, pero no puedes obtener una suma parcial de la serie? ¿Aún no has usado la derivada discreta? ¡Entonces vamos a ti!

Definición

Secuencia derivada discreta $$$a_n$ llama a esta secuencia $$$\ Delta a_n$ que para cualquier natural $$$n> 1$ realizado por:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

Considere los siguientes ejemplos:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n-1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

Bueno, entiendes el punto. Algo así como una derivada de una función, ¿verdad? Entendimos cómo calcular derivadas discretas de las secuencias "más simples". Ejem, pero ¿qué pasa con la suma, diferencia, producto y cociente de secuencias? El derivado "ordinario" tiene algunas reglas de diferenciación. ¡Vamos a crear una discreta!

Primero, considere la cantidad. Es lógico que la suma de secuencias también sea algún tipo de secuencia. Intentemos encontrar la derivada por definición:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} + b_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

Fenomenalmente! ¡Hemos obtenido que la derivada de la suma de secuencias es la suma de las derivadas de estas secuencias! gracias cap
Tratemos de probar lo mismo con la diferencia

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n - 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

¡Y pasamos al trabajo!
Del mismo modo, encontramos por definición:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {n -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_n \ Delta {b_n } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

Genial, verdad? Considere el cociente:

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ frac {a_nb_ {n-1 } -a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1}} = \\ = \ frac {a_nb_ {n-1} -a_nb_n + a_nb_n-a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1 }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

Genial ...

Pero todo esto es derivado. Tal vez hay una discreta antiderivada ? Resulta que hay!

Más definiciones

Secuencia primitiva discreta $$$a_n$ llamar a tal secuencia $$$A_n$ que para cualquier natural $$$n> 1$ realizado por:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {\ Delta (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

Esto es entendible. ¡A Guo se le ocurre un análogo de Newton-Leibniz!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ \ = A_ {n} - A_0$$

Vamos! ¡Esta broma es una coincidencia! Y ahora el mismo más bonito:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

Y generalizar al conjunto de números naturales de $$$a$ antes $$$b$ :

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^ b$$

Solicitud

¿Quién recuerda la fórmula misma para la suma de una serie de cuadrados de números naturales de $$$1$ antes $$$n$ ? Y aquí no me acuerdo. ¡Vamos a sacarla!
Pero primero necesitas encontrar la antiderivada para la secuencia $$$a_i = i ^ 2$ :

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

Y ahora, de hecho, la suma misma:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6}$$

¿Qué pasa con la suma de los cubos?

Primero calculamos

$$

$$\ Delta i ^ 4 = i ^ 4 - (i-1) ^ 4 = i ^ 4- (i ^ 4 - 4 i ^ 3 + 6i ^ 2-4i + 1) = 4i ^ 3 - 6i ^ 2 + 4i-1$$

Antiderivada para $$$i ^ 3$ :

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i (i + 1 )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ 2$$

Ejem, parece, nada complicado ...

Para avanzado

Encontrar la integral no siempre es tan fácil, ¿verdad? ¿Qué hacemos en casos difíciles? Así es, integrar en partes. Tal vez hay un análogo? No lo atormentaré, lo es, y ahora lo sacaremos.

Supongamos que necesitamos calcular la suma de una serie

$$

$$p = const \\\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =?$$

Que hacer Es poco probable que pueda recoger tan fácilmente la antiderivada discreta de la secuencia. Vamos a mirar

Ya sabemos que:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

Entonces

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Y ahora un paso no trivial:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a +1) g (a + 1) - f (a) g (a) + \\ + ... + f (b) g (b) -f (b-1) g (b-1) = f ( b) g (b) -f (a-1) g (a-1)$$

Sustituya la igualdad obtenida antes:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Finita la comedia.

Encuentra la misma cantidad:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ $$

A alguien le puede parecer que la fórmula se ha vuelto aún más engorrosa, y solo complicamos nuestro trabajo. Pero esto no es así. Dejar $$$f (i) = i, g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ entonces:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

Rompecabezas genial

Propongo practicar esto con el ejemplo de una tarea desde la selección en los cursos de Tinkoff Generation hasta Machine Learning . Aquí está el problema en sí mismo:

Estás cansado de resolver problemas desde las selecciones hasta los cursos de Tinkoff Generation y decidiste tomar un descanso viendo varios episodios de la nueva serie de los que todos hablan.

Comienzas a ver todas las series, comenzando por la primera. Cada episodio dura una hora. Después de ver la próxima serie, usted con probabilidad constante ppp comienza a ver la siguiente, de lo contrario su descanso terminará y volverá al trabajo.

El hambre, el sueño y otras necesidades no te detienen, y la serie tiene un número infinito de episodios; en teoría, tu descanso puede durar para siempre.

¿Cuánto durará tu descanso promedio ?

Hablando estrictamente, aquí necesitamos encontrar la expectativa matemática. Vamos a hacerlo bien.

Solución

La probabilidad de que el descanso dure 1 hora es:

$$

$$P (1) = 1 - p$$

2 horas

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

n horas:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

Entonces la expectativa es:

$$

$$E [X] = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * (1-p) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

Es familiar, ¿verdad?

Ya encontramos que

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2} $$$

entonces la fila que necesitamos es bastante obvia:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

Y la tarea se reduce a encontrar el límite de secuencia

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

donde $$$p <1$ desde $$$p$ - probabilidad del evento.
Probamos ahora que

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0, \ space \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x, \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' }} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} f ( x) = 0 \ implica \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1), \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}}} = \\ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {(q ^ {x}) '}} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} f (x) = 0 \ implica \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0 $$$
  
  

Ahora es fácil entender que

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (p-1) ^ 2}$$

Y

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} {1-p}$$

Algunos arriba

Fuh ... Fue muy fácil , incluso para mí, queridos lectores. Lista de logros para hoy:

1. Entendimos qué es una derivada discreta.
2. Derivó las reglas inherentes de diferenciación
3. Entendimos qué es una antiderivada discreta.
4. Derivamos un análogo de la fórmula de Newton-Leibniz
5. Derivado un análogo de integración por partes
6. Resolvimos la difícil tarea de seleccionar un curso de Machine Learning en Tinkoff Generation

No está mal para empezar, ¿qué te parece?

¡Los comentarios son bienvenidos!