Una breve guía matemática para extranjeros

De que se trata

¿Y cómo se puede componer el material requerido de los primeros cursos de la universidad en los cuartos diez y con aversión al álgebra?

¡A la locura de los valientes cantamos una canción!

El público objetivo de la Guía son aquellos que de repente están interesados ​​en las matemáticas o sienten la necesidad de aumentar su efectividad profesional, pero por alguna razón no pueden dedicar varios años de sus vidas a la educación académica. Si necesita comprender, pero le faltan conocimientos fundamentales, y se siente como un extranjero en un país de matemáticas, donde hablan un idioma incomprensible, trate de hacerlo como turista. Toda la ruta es un recorrido turístico y está diseñada para varios días, un máximo de dos semanas. A modo de comparación: un curso académico completo dura aproximadamente cinco años. El objetivo final de la ruta propuesta es familiarizarse con los principios de una sección altamente especializada: la criptografía elíptica. Sin embargo, no es necesario ir al final si esta sección se encuentra fuera del alcance de sus intereses o si se enfrenta a serias dificultades o peligros. Pero, dado que recogió la Guía, aún trate de llegar al menos al final de la sección "Lenguaje de fórmulas".

Al igual que un diccionario, esta guía también se puede utilizar para la traducción inversa. Tal vez sea útil para los matemáticos que se ven obligados a contactar y trabajar en estrecha colaboración con los no matemáticos, superando constantemente la brecha de malentendidos. Este caso parece tan difícil que la línea de Maxim Gorki en el epígrafe es una respuesta universal para ambos lados. En cualquier caso, espero recibir comentarios y tratar de reponer nuestro conocimiento sobre por qué no nos entienden y cómo se puede solucionar.

Y ahora, sabiendo que no hay caminos reales aquí, intentaremos pavimentar al menos un camino turístico.

Lenguaje de fórmulas

Me dijeron que cada fórmula incluida en el libro reducirá a la mitad el número de clientes. Entonces decidí prescindir de las fórmulas. Es cierto que al final todavía escribí una ecuación: la famosa ecuación de Einstein E = mc ^ 2. Espero que no asuste a la mitad de mis lectores potenciales.
Stephen Hawking - Una breve historia del tiempo

Si el editor de Hawking tiene razón, entonces agregar solo 33 fórmulas es suficiente para que el número de lectores potenciales sea cercano a cero. ¿Lo intentaremos?

En primer lugar, es necesario lograr un nivel suficiente de comprensión de la notación. Recuerda, las matemáticas son un lenguaje.

En una primera aproximación, se pueden distinguir varias capas de comprensión de un texto matemático. La primera capa es la selección de lexemas, el llamado análisis léxico. El segundo es la construcción de expresiones y otras construcciones semánticas. Los programadores llaman a esto la palabra análisis, es decir, análisis, y los matemáticos generales generalmente no lo llaman en absoluto, ya que usan este mecanismo de manera inconsciente. Luego están las capas responsables de comprender el área temática, el significado físico y todo eso.

Algunos matemáticos ven a los programadores como no matemáticos. Esto es injusto. En primer lugar, los programadores tienen que lidiar con una máquina que no perdona las omisiones en el texto de los programas. Compare con un artículo científico típico, donde las expresiones "obvio", "fácil de mostrar", "no obvio", etc., se usan a menudo, pero en realidad las transiciones no son muy obvias. Por lo tanto, gracias a la programación, nació toda una rama de las matemáticas dedicada a los lenguajes formales y su análisis. En segundo lugar, en condiciones difíciles, los lenguajes de programación y las herramientas relacionadas han evolucionado. Vea cómo los lenguajes modernos y elegantes resuelven el problema de combinar variables con objetos. Por cierto, un problema grave es no confundirse en la notación cuando hay demasiados y provienen de diferentes fuentes. Y si pasa un poco de tiempo en una descripción rápida de lenguajes específicos como Coq, Agda, Idris, verá la conexión más cercana entre las matemáticas y la programación misma.

Análisis léxico

Solía ​​saber cómo se escriben las letras, creía en el poder de las palabras.
Crematorio - Última oportunidad

Primero, pregúntele a un amigo programador qué son un lexer y un analizador sintáctico. No necesitas profundizar, solo comprende con ejemplos qué es un token. Si escuchas palabras extrañas como "el-er-parser" o "árbol de sintaxis", sal de la habitación en silencio. Lo más probable es que ya tenga suficiente, ya no se necesita el programador. Digest tu conocimiento. Entonces necesitas aprender a distinguir tokens en textos matemáticos reales. Practica en artículos descargados al azar. Evite documentos en formatos que no sean pdf, así como textos presentados inmediatamente en páginas web. Sin embargo, hay sitios sobre los cuales se sabe de manera confiable que pueden mostrar correctamente textos matemáticos (Wikipedia y Habr están incluidos en la lista blanca). Los libros de papel también son generalmente adecuados. No intente extraer significado de los textos encontrados, solo entrene para analizar fórmulas.

Cartas

• Por lo general, se usan las letras de dos alfabetos: latín y griego, pero a veces se encuentran letras cirílicas y hebreas. Sucede que las letras de diferentes alfabetos coinciden en estilo. En la carta, esto no causa problemas, ya que dos letras diferentes con el mismo tipo no se usan en el mismo texto. Sin embargo, puede encontrar la burla de los matemáticos si, por ejemplo, lee B en voz alta como "ser" cuando quiere decir "beta". Prepárate psicológicamente para esto, tienes que aguantar.
• Las letras mayúsculas y minúsculas representan diferentes objetos. (Para algunos, esto parece demasiado obvio, pero considero que es necesario pronunciarlo explícitamente. Una vez que necesité explicar la esencia de mi trabajo a mis colegas del departamento de patentes. Cuando casi llegué al personaje de la anécdota "papá, ¿dónde está el mar?", Me di cuenta de repente que las chicas consideren que mis designaciones my M se refieren al mismo objeto. Tan pronto como se eliminó el malentendido, todo el proceso, gracias a su profesionalismo en su trabajo, terminó rápida y decisivamente en un éxito total).
• La misma letra, escrita en diferentes fuentes, significa diferentes objetos.

Como regla (en álgebra), una letra es una ficha independiente. Si se escriben varias letras en una fila, entonces la multiplicación está implícita. Por ejemplo, abc significa el producto de a, byc. Sin embargo, hay excepciones. En primer lugar, este es el nombre de muchas funciones estándar y otra notación, que es un token de varias letras: $$$\ sin, \ cos, \ min, \ max, \ sup, \ lim$ etc. Por lo general, se representan en un estilo recto (romano), a diferencia de otras fichas de letras escritas en cursiva. Además, en informática y en algunas otras áreas, se apartan de esta regla, donde una secuencia de letras denota una sola palabra-token. Si en un caso particular existe incluso la más mínima duda, consulte a un especialista.

Soportes

El papel más importante en términos de análisis se juega entre paréntesis. Probablemente ya sepa o adivine que los paréntesis se usan para agrupar tokens. Pero hay excepciones. Si la fórmula le parece extraña y contiene pares adicionales de paréntesis, o incluso el equilibrio de los paréntesis está roto, lo más probable es que encuentre un ejemplo con un uso alternativo de paréntesis. Ir a un especialista para aclaraciones.

Índices

Presta atención a los índices superiores e inferiores. Así es como se ve la tipografía superíndice y subíndice. El superíndice es más simple: como regla, significa exponenciación. Con el fondo un poco más duro. Se puede entender de dos maneras:

• Como una operación de mapeo. Por ejemplo $$$x_i$ Es tal función $$$x$ que toma como argumento $$$i$ . Si ahora este punto no está claro, está bien, este lugar se puede omitir por ahora.
• Como una forma de formar un nuevo token cuando las letras convenientes ya han terminado. A menudo se puede suponer que $$$a_1, a_2, a_i$ - estos son solo tres objetos diferentes.

En algún momento, puede parecerle que ambos puntos son esencialmente lo mismo. No te preocupes, esto es normal, te has acercado un poco más a la iluminación. Programe una reunión con un especialista.

Otros personajes

Los matemáticos son estetas. Aman cuando no solo el contenido sino también la forma es hermosa. Están satisfechos cuando las fórmulas se escriben en una tipografía buena y adecuada. Knut hizo un delicioso pan de jengibre llamado $$$\ TeX$ . Tome un tutorial sobre las fórmulas de mecanografía y composición tipográfica y encuentre las tablas de símbolos allí. Ahora es importante para usted cómo se clasifican estos símbolos: letras, operadores, signos de relación, flechas ... Sin profundizar en el significado matemático de los símbolos, intente comprender cómo se usan sintácticamente los símbolos de cada clase. Por ejemplo, hay una clase de operaciones binarias para las cuales los equidistantes derecho e izquierdo del símbolo de la operación deberían ser algún tipo de subexpresión.

Figuras

Los no matemáticos creen que los matemáticos creen. De hecho, los matemáticos rara vez se consideran, y los números se usan principalmente para numerar objetos. Aparentemente, por lo tanto, la sección "Números" se agregó rápidamente e ilógicamente sigue la sección "Otros Símbolos". Usted mismo puede decirles a los expertos cómo se forman los tokens digitales y qué significan.

Convenciones de notación

Sean a, b, c, d, e, f números reales, donde e no es necesariamente igual a la base de los logaritmos naturales, aunque puede coincidir con ellos.

En matemáticas, hay convenciones sobre qué caracteres usar en qué casos. Sin embargo, en diferentes secciones estos acuerdos pueden variar. Es como los dialectos de un idioma. Hay anotaciones estandarizadas en todas las matemáticas. Consulte las convenciones que se aceptan en su área temática. Además, algunos académicos son negligentes y a veces violan los acuerdos generalmente aceptados. Desafortunadamente, en la mayoría de los casos no hay un conjunto de reglas sobre este tema, en ocasiones puede discutirlo con su especialista.

Aunque las matemáticas son generalmente supranacionales, existen diferencias culturales. Puede encontrarlos si se desvía demasiado de la ruta sugerida por la Guía. Por ejemplo, se distinguen las designaciones en inglés y ruso de funciones tangentes, cotangentes e hiperbólicas. Además, las mismas letras se pueden pronunciar de manera diferente según las tradiciones culturales. Para ahorrar esfuerzo, aprenda los nombres en inglés de todas las letras, incluido el griego. Si no se ha saltado la escuela, al menos no habrá problemas con el alfabeto latino. Si los usa en ruso, sus interlocutores pueden fruncir el ceño, pero esta vez tendrán que aguantar. Si quieres hacerlos felices, aprende los nombres de las letras latinas y griegas aceptadas en la cultura matemática de habla rusa.

Analizando

Expresiones

Lo más probable es que hayas escuchado el término "árbol" no en el botánico, sino en el sentido matemático. Esto es algo bastante simple, si es necesario, actualice su conocimiento. Entonces, una expresión matemática tiene una estructura de árbol. Esto significa que la expresión consiste en subexpresiones que consisten en subexpresiones ... Pero este proceso no es interminable, sino que termina con algunas subexpresiones que consisten en tokens.

Algunas fichas son expresiones elementales. Por ejemplo, números (más precisamente, literales numéricos) y variables. Y algunos requieren que se les agreguen argumentos en ciertas posiciones, es decir, algún tipo de subexpresión. Luego forman una expresión más grande. Por ejemplo, el símbolo de una operación de suma requiere expresiones a la derecha e izquierda de la misma. Podemos decir que el lexema tiene cierta aridad o, si prefiere la química, la valencia, es cuántos y en qué lugares necesita agregar al lexema de subexpresiones para formar una expresión. Para la operación + arity se puede describir de la siguiente manera: $$$\ cdot + \ cdot$

Esta entrada significa exactamente que el token + requiere argumentos a la izquierda y a la derecha. Las diferentes fichas requieren un número diferente de argumentos, además, la ubicación de los argumentos no se limita a "derecha" e "izquierda", sino que puede ser, por ejemplo, "arriba", "abajo", "abajo-derecha". También hay tokens compuestos que han existido desde la antigüedad, pero los mixfixes obtuvieron un nombre especial a medida que se desarrollaron los lenguajes de programación. Por ejemplo, un producto escalar de vectores se denota de la siguiente manera: $$$\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ .

A veces, los tokens entran en conflicto porque no pueden decidir a quién pertenece el argumento escrito entre ellos. Luego tienes que agregar corchetes.

Variables

Algunas fichas tienen un significado que se les ha atribuido desde arriba, ya sea en algún lugar más alto en el texto o por enlaces en otros textos. O el significado está implícito como generalmente aceptado en una disciplina dada o en todas las matemáticas. Por ejemplo, el símbolo más denota una operación de suma. Además, él está en África más. Sin embargo, tal vez en algún lugar más cerca del final de su ruta se encontrará con un símbolo más con un significado inusual. Todavía hay tokens (generalmente alfabéticos) que no están indicados explícitamente por nada, se llaman variables, de los cuales hay varios tipos.

• Parámetro. Esta es una variable sobre la cual se dice que está significada por algo, pero no se dice qué exactamente. Si le pareció extraño, puede omitirlo por ahora, y cuando cumpla con los parámetros, comprenderá todo inmediatamente con ejemplos.
• Variable libre Si se encuentra una variable en la expresión acerca de la cual no se dice nada, entonces dicha variable se llama libre. Estrictamente hablando, no se puede decir absolutamente nada. Tiene derecho a preguntarle al autor de la fórmula de la que se toma la variable libre. No dude en preguntar, esto es útil: incluso si las explicaciones resultan incomprensibles, lo tomarán un poco más en serio.
• La variable ligada. Si no le gusta la libertad de las variables libres, hay varias formas de limitar su libertad. Puede agregar algo a la expresión, de modo que obtenga una nueva expresión en la que la variable previamente libre esté bloqueada. Y la nueva expresión, a diferencia de la anterior, ya no dependerá de esta variable. Si tiene curiosidad acerca de qué es este "algo", mire los cuantificadores o una determinada integral. Intenta mirar solo la sintaxis, no profundizando en el significado, pero, ya sabes, adictivo.

Contexto

Sucede que, mirando la fórmula, es imposible distinguir una variable libre de un parámetro. Esto significa que se necesita tomar información adicional del contexto, que generalmente se expresa mediante otras fórmulas o texto en lenguaje humano. Dependiendo del contexto, la fórmula puede tener diferentes significados. Si necesita comprender la fórmula, estudie siempre el contexto y busque comprensión.

Sin embargo, las fórmulas pueden existir sin contexto, simplemente como un objeto sintáctico en el que se pueden realizar transformaciones. Los matemáticos a menudo pueden generalizar primero: “olvidar” el contexto, luego hacer cálculos, luego “recordar” el contexto y volver a comprender el significado de las fórmulas obtenidas.

Símbolo igual

El signo igual es muy importante. Se usa de diferentes maneras, y debe ser capaz de distinguirlas.

• Valoración de una variable por valor. Esto es cuando la variable está a la izquierda y la expresión está a la derecha. En algunas disciplinas, en tales casos, en lugar de = escriben: = o incluso :: =.
• Identidad A la izquierda y a la derecha hay algunas expresiones, y la persona que escribió esto afirma que ambas expresiones son iguales. El símbolo también se usa aquí. $$$\ equiv$ . ¿Has pensado en lo que significa "igual"? Vale la pena discutirlo, pero puede llevarlo lejos de la ruta.
• Ecuación Esta es una forma de describir entidades fundamentalmente nuevas. Los matemáticos lo hacen de esta manera: toman varias variables libres, construyen expresiones sobre ellas y las conducen a una ecuación o incluso a un sistema de varias ecuaciones, para que estén aún más cerca. Y luego observan cómo estas desafortunadas variables se apresuran en restricciones, formando conjuntos extraños. Y luego estudian estos conjuntos con gran interés. (Por cierto, su ruta pasa por el territorio de la teoría de conjuntos, debe conocerlos mejor). Describir el conjunto obtenido es resolver la ecuación. Los niños en la escuela generalmente reciben ecuaciones que dan lugar a conjuntos muy simples de un elemento, a veces dos o ninguno. Pero los científicos adultos en este asunto son grandes artistas. Y algunos físicos pueden generar todo el universo con una ecuación.

Extrayendo significado de fórmulas

Algo está escrito, pero entre paréntesis OH. Lo intentaron, y realmente, OH.

El cerebro de un matemático en características físicas no difiere fundamentalmente del cerebro de un representante típico de la mayoría intelectual. Incluso en términos de memoria y velocidad computacional, la diferencia no es tan grande. ¿Cómo logran los matemáticos entender fórmulas engorrosas y entenderlas?

Parte de la respuesta radica en la capacidad de destacar lo principal y abstraer de lo no importante. Como recordará, una expresión consiste en subexpresiones. Cuando vea una expresión grande y aterradora, no se apresure a mirar todas las subexpresiones a la vez, abriendo todos los cuadros, cuadros, cuadros y cuadros. : , . , , . , - , , , — , , , .

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Volviendo a la caja de arena de conjuntos finitos, verifique una vez más qué tan bien recuerda la notación. Juega con conjuntos finitos de tamaños pequeños. Intenta aplicarles operaciones básicas. Construye muchos subconjuntos. Si olvidó lo que es una biyección , actualice sus conocimientos en los libros de texto para preescolares. Después de todo, usted conocía este concepto desde el período anterior al discurso, en ese momento no se llamó de ninguna manera, ¿verdad? Asegúrese de que su intuición esté en perfecta armonía con las definiciones y declaraciones básicas. Si este no es el caso, contacte a un especialista.

Antes de partir, mire a su alrededor nuevamente. En el borde de la caja de arena puedes ver una esquina de ultrafinitivos. Todo es simple con ellos. Salúdalos, solo no digas que saliste del cajón de arena.

Una vez más sobre la notación

lo difícil que es vivir entre gente aburrida
dijo Michael de tres años
entre los aburridos
corrigió Igor, treinta años y con gafas

Grupos abelianos -> espacio lineal -> operadores -> funcionales en espacio lineal. Pero después de descargar esta rama, puede activar la palabra "funcional" en la descripción de la funcionalidad del software.

Ya conoce algunos términos matemáticos y continuará aprendiendo más. Intente no usarlos en vano cuando se comunique con especialistas sobre temas relevantes. Por ejemplo, en lugar de la expresión "grupo de métodos", por si acaso, es mejor decir "conjunto de métodos" o "conjunto de métodos" para que nadie piense que ha construido una operación sobre un conjunto de métodos que satisfacen los axiomas del grupo. Si durante la comunicación informal sobre temas matemáticos no tiene suficientes palabras de uso común debido al hecho de que se encuentran ocupados con los términos, es mejor usar las llamadas variables metasintácticas: "basura", "basura", "shnyaga", etc., también pueden ser emocionalmente pintar con adjetivos: "torpe", "liso", "enfermizo". No suena tan inteligente, pero es más probable que lo entiendas. Después de un tiempo, se librará de las palabras sustitutivas feas y su discurso no causará dolor ni a los filólogos ni a los matemáticos.

No use el cuantificador universal en vano. El cuantificador de universalidad expresado en el lenguaje ordinario está representado por las palabras "siempre", "todos", "todos", "todos", "cualquiera", etc. Las palabras "nunca", "en ninguna parte", etc. también representan este cuantificador, pero con negación, es decir, "nunca" significa "siempre no". Los matemáticos a menudo interpretan las declaraciones con el cuantificador universal literalmente, después de lo cual, después de haber presentado un contraejemplo, prueban su error formal. ¿No necesitas estrés adicional? Por supuesto, hay casos en que el cuantificador universal puede y debe usarse.

En matemáticas, a menudo hay homonimia. Esto es cuando una sola palabra o símbolo designa varios conceptos completamente diferentes. En primer lugar, esto se debe a la falta de buenas palabras y caracteres. En segundo lugar, a diferencia de los lenguajes naturales, muy a menudo los conceptos diferentes después de alguna generalización resultan ser prácticamente lo mismo. Los matemáticos que notan que esto es lo mismo, a menudo pueden experimentar el orgasmo cerebral a partir de esta conciencia. Surgen sensaciones especialmente fuertes si el investigador ha realizado una parte importante del camino hacia la conciencia por sí mismo. Es posible que también experimente las mismas sensaciones fuertes. Pero si no, está bien, también está bien. Siéntase libre de compartir sus sentimientos con expertos.

Por lo general, la homonimia no dificulta la comprensión, ya que los matemáticos se aseguran cuidadosamente de que todas las definiciones sean rigurosas y correctas.

La lógica

Tienes que trabajar casi exclusivamente con objetos finales. Esto significa que sus ideas intuitivas sobre la lógica son probablemente suficientes y, lo más importante, no conducirán a contradicciones. Por si acaso, lea sobre modus ponens, incluso si el nombre no le es familiar, definitivamente conoce la esencia.

En general, la lógica se trata de cómo hacer nuevas declaraciones basadas en las existentes. Echa un vistazo a tu alrededor. En todas partes a su alrededor dichos: grande, pequeño, obvio, incomprensible. Puede suponer que las declaraciones se dividen en dos tipos: verdadero y falso. ¡Y aquí están las figuras! Como te gusta eso

$$

$$\ int e ^ x = f (u_n)$$

Esta afirmación no es verdadera ni falsa, no tiene sentido (al menos desde el punto de vista de las matemáticas), porque lo que está escrito a la izquierda del signo igual no es una expresión. Puede agregar dx a la integral, pero quedan varias variables libres, por lo que la expresión no es una declaración. Tendrán que significar algo o conectarlos, para que podamos hablar sobre la verdad.

Bueno, consideremos solo declaraciones significativas. ¿Deberían ser verdaderos o falsos? Resulta que no. Algunas declaraciones no se pueden probar ni refutar; se llaman insolubles. Es poco probable que se encuentren comentarios irresolubles en su camino. Sin embargo, seguramente se encontrarán con aquellos acerca de la verdad que hasta ahora ninguno de los vivos sabe.

Si la última vez que no obedeció y se asomó al abismo de los fundamentos de las matemáticas, probablemente podría notar que hay más de una lógica, y hay muchas diferentes. Afortunadamente, en su camino este conocimiento, que genera muchas penas, no será necesario. Si te sientes cómodo creyendo que la verdad es siempre la misma, sigue pensando que sí.

Teoría de la categoría

"Desoxirribonucleico", le dije. - Este es un ácido. Desoxirribonucleico.
Él sonrió miserablemente, se ajustó el pinzazo.
"Ácido", repitió con voz interceptada. "¿Por qué es ella así?"
"No puedes llamarla de otra manera", le dije con simpatía. "A menos que se abrevie como ADN". Sí, te lo pierdes, Fedya, sigue leyendo.
"Sí, sí", dijo. "Prefiero extrañarlo".
Arkady y Boris Strugatsky - El cuento de los tres

Aunque la teoría de categorías en sí misma es casi tan peligrosa como la teoría de conjuntos, necesitamos extraer un par de conceptos que se relacionan formalmente con esta sección.

• Clases de adyacencia. Esta es una de las formas de construir nuevas estructuras a partir de las existentes. Lea la definición, vea algunos ejemplos. Si no está claro, puede omitir. Pero si aún penetras, obtendrás una bonificación por entender otras cosas. Por ejemplo, sobre el anillo. $$$\ mathbb {Z} _n$ (esto se necesitará un poco más tarde) es más conveniente pensar como una clase de deducciones, y no como resultado de la operación de tomar el resto de la división. Además, la definición escolar de un vector como un segmento con una flecha te parecerá ridícula e incluso incorrecta. Puedes enseñar a tus amigos que un vector no es un segmento, sino una clase de segmentos.
• Morfismos El morfismo es una relación entre un par de objetos. Conoces uno de esos tipos de morfismo aproximadamente a la edad de tres años: esta es una biyección entre conjuntos finitos. Lea la definición de isomorfismo y comprenda que este es un caso más general de biyección. Obtenga una buena comprensión, esto es importante. Si es necesario, consulte a un especialista. Además, puede leer sobre el homomorfismo (¡no debe confundirse con el homeomorfismo!). Si hay homomorfismofobia u otras dificultades, puede omitir.

En general, toda la teoría de categorías es la sección más abstracta de las matemáticas; no hay nada allí excepto pequeñas cosas y flechas. A pesar de cierto peligro para la psique, la teoría de categorías puede recomendarse para la terapia de sustitución de otros tipos de adicción. Sin embargo, no se automedique, en su ciudad, lo más probable es que haya especialistas disponibles.

Álgebra

Honestamente, no sospeché que durante más de cuarenta años he estado hablando en prosa.
Jean-Baptiste Moliere - Comerciante en la nobleza

El nombre de la disciplina debe ser familiar para usted desde la escuela. De hecho, el álgebra trabaja con estructuras algebraicas, y en una escuela solo los números enteros y racionales pasan de las estructuras, así como (en una forma fuertemente truncada) las reales. La buena noticia es que ahora no tienes que resolver las ecuaciones algebraicas que te atormentaron en la escuela. Si surge alguno en su camino, entonces ya está decidido. En todo caso, la computadora contará para usted, es hierro. Tienes que familiarizarte con algunas estructuras algebraicas específicas.

En primer lugar, es importante comprender claramente el concepto de estructura algebraica . Lea la definición, obtenga una buena comprensión. Revise la definición del grupo . En la carga están las definiciones de todos los subgrupos, como monoides, semigrupos, groupoids. Léalos también, pero no se moleste en recordar. Solo necesitas grupos. Luego, estudie la definición de un anillo y un campo .

Atencion Evite los lugares donde las estructuras con un portador infinito se mencionan explícitamente. Todavía necesitamos algunos objetos interminables, pero usted está familiarizado con ellos. A saber: un anillo de enteros $$$\ mathbb {Z}$ , campo de números racionales $$$\ mathbb {Q}$ y el campo de los números reales $$$\ mathbb {R}$ . Juegue con ellos, recuerde reglas escolares como "la cantidad no cambia al cambiar los términos de los términos" y justifique el hecho de que estas estructuras son realmente anillos / campos. Explica por qué los enteros no forman un campo.

Dado que el objetivo final de esta guía es precisamente la criptografía elíptica, deberá familiarizarse con el concepto de un polinomio sobre un campo . Para no estudiar las definiciones generales, comuníquese con un especialista para que solo le diga qué es relevante para el propósito de su viaje.

Si te gusta más la geometría que el álgebra, puedes mirar las curvas elípticas sobre el campo $$$\ mathbb {R}$ . Pero tenga en cuenta que, a pesar del nombre, estos objetos visuales están completamente lejos de su camino.

En aras del interés, también puede meditar en las definiciones de otras estructuras algebraicas: álgebra (sí, el álgebra es una estructura algebraica; no se alarme, esto no es recursión, sino solo homonimia), espacio vectorial (lineal) ...

Regreso a la ruta. Estás esperando el campo final . Lee un artículo sobre ellos. En realidad, no todo es necesario. Este es otro caso cuando, para ahorrar esfuerzo, es mejor buscar inmediatamente el consejo de un especialista. Darse cuenta de la clasificación de campos finitos, es simple. Por cierto, será interesante saber por qué los campos finitos también se llaman campos de Galois. Recuerda lo que hiciste en 20 años y avergüénzate.

Si te gusta el curricán y aprecias tus habilidades, trata de reconocer a los bourbacistas y anti-bourbacistas en el foro temático y únelos.

Teoría de la información

Si nació después de 1970, lo más probable es que le hayan dicho en la escuela secundaria sobre bits y bytes. Los bytes en ciencia básica no son particularmente necesarios, pero el concepto de un bit necesita ser conocido claramente. Echa un vistazo al libro de texto si es necesario.

Cuente o descubra en el libro de texto cuántas secuencias de bits totales de una longitud dada existen. Juega con el alfabeto codificando las letras en una secuencia de bits. Piense o lea en el libro de texto cómo codificar enteros. Considere lo que es útil en la teoría de la información es el logaritmo de la base dos.

Teoría de la probabilidad

Cualquiera que tenga debilidad por los métodos aritméticos para obtener números aleatorios es pecador sin ninguna duda.
John von Neumann

La incomprensión de la teoría de la probabilidad y su aplicación a cuestiones prácticas es la fuente más importante de error humano. Este es un tema muy importante, trate de dedicar un tiempo para familiarizarse con sus conceptos básicos. No necesariamente en este momento, porque para el objetivo final de nuestra ruta, solo una de sus subsecciones aplicadas es suficiente: la generación de números aleatorios.

Ahora es suficiente para que te des cuenta de que el problema de generar números aleatorios es muy complicado, institutos enteros lo han estado tratando durante décadas. Incluso determinar qué oportunidad es es muy complicado. No puedes simplemente tomar y tomar un número aleatorio. Desafortunadamente, hay una trampa de idioma que dificulta la comprensión del tema. La palabra aleatorio, así como su equivalente ruso, "aleatorio", aunque en menor medida, esencialmente significa "horrible", mientras que para muchas aplicaciones, especialmente para la criptografía, debe elegir lejos de lo aleatorio.

Si le pareció que comprende bien la teoría de la probabilidad, consulte a un especialista. Si el tiempo lo permite, ve a ver la interpretación multimundo (Everett) de la mecánica cuántica. No te dejes llevar, estás esperando en casa.

Teoría de la computabilidad

¿Es posible hacer que este compilador siempre advierta que el programa puede ir en ciclos?

No necesitará esta sección en este momento. Es simplemente útil darse cuenta de que no existe una algoritmo que lo calcule para ninguna función matemáticamente definida. Si siente la fuerza en sí mismo, realice una excursión a través de la historia del problema, intente comprender las definiciones básicas y los resultados. No trabajes demasiado, este tema es opcional.

Solo para reducir su estrés al darse cuenta de su propia ignorancia, le informaré que la pregunta presentada en el epígrafe me la hizo un respetado profesor de física y matemáticas, cuya esfera de intereses se encuentra a cierta distancia de la informática. Si comprende la situación anecdótica, su excursión fue útil. Anímate a ti mismo.

Teoría de la complejidad

Desafortunadamente, la ciencia clásica ha evolucionado para que la teoría de la complejidad, estrictamente hablando, se base en la teoría de los límites del análisis matemático. Todo esto se debe a que los matemáticos egoístas no te han cuidado. Se acercaron a la complejidad, ya de pie sobre los hombros de los gigantes, y utilizaron las herramientas que ellos mismos poseían a la perfección. Para nuestros objetivos modestos, fue posible construir nuestra propia pequeña teoría separada de la complejidad, que incluso a los ultrafinitivos les gustaría. Pero, por ejemplo, no tengo ni la fuerza ni la motivación para terminar de construir una parte justa del paisaje. Por lo tanto, aún debe recurrir a lo que se llama la palabra matan.

Análisis matemático

No soy un botan, simplemente amo a matan.

Lea la definición del límite de secuencia (no necesita un límite de función). Reemplace todas las expresiones como "tal y tal espacio" con "un conjunto de números reales", a los matemáticos les gusta generalizar, pero no lo necesita. Asegúrese de poder analizar expresiones que tengan una palabra $$$\ lim$ . Lo más probable es que tenga dificultades, esto es normal. Créame, el concepto de límite es muy intuitivo, solo necesita estimular la parte correspondiente de su intuición. Pídale a un especialista que comente sobre el texto de la definición. Dibuja gráficos, juega con secuencias simples. Si el tiempo lo permite, realice una excursión para ver el segundo límite maravilloso.

Incluso si no tiene una comprensión completa del límite, puede proceder inmediatamente a la notación O. Solo necesita "O" grande , pero la carga va "O" pequeña y todo tipo de theta y omega. No trabajes demasiado, para empezar solo necesitas comprender aproximadamente cuáles son $$$O (1), O (N), O (\ log N)$ . Averigüe, pero trate de adivinar por qué $$$O (\ log N)$ solo un logaritmo, no un logaritmo por alguna razón. Luego descansa un poco y sostén tus manos $$$O (N ^ 2)$ y $$$O (2 ^ N)$ . Mira $$$O (N ^ k)$ (recuerde el contexto: aquí N es una variable, k es un parámetro). Piensa en por qué hablan de crecimiento polinómico cuando $$$N ^ k$ - solo un monomio, es decir, un caso especial de un polinomio, pero no colocan muchos polinomios completos bajo "O". (Incluso si no hablas latín, probablemente ya hayas adivinado que un polinomio es lo mismo que un polinomio, y un monomio es un monomio). Sugerencia: la razón es muy similar a la que "es simplemente un logaritmo" y no "qué logaritmo al suelo ". Póngase en contacto con un especialista para aclarar estos problemas. Aprenda a comparar estas "O" entre sí.

Nota: la notación o es un ejemplo raro cuando la notación matemática no es consistente. En el registro $$$f (N) = O (N)$ se utiliza el signo igual, mientras que implica algo más, a saber: "función $$$f (N)$ pertenece a clase $$$O (N)$ ". Es decir, se debe utilizar un signo asimétrico. $$$\ en$ Pero esa es la tradición. Bueno, ahora ves que los matemáticos no son sin pecado. Quizás sea un poco más fácil para ti darte cuenta de este hecho.

Teoría de la complejidad computacional - continuación

Logaritmo: una función, en principio, limitada.

Después de una pequeña inserción del matan, puede dominar fácilmente la escala para medir la complejidad asintótica. La complejidad de los algoritmos generalmente se mide en términos de su tiempo de ejecución: a veces hablan sobre el tiempo habitual medido usando el reloj (bueno, ¿cuándo se cargará esta pestaña del navegador?), A veces sobre el número de ciclos de procesador o pasos de una computadora abstracta. Aquellos que están más inclinados hacia la física prefieren medir la complejidad en unidades de energía, por ejemplo, en la cantidad de combustible diesel consumido para una máquina Turing. Todos estos métodos de medición son más o menos equivalentes. Es importante saber cómo el tiempo gastado (o energía) depende del tamaño de los datos de entrada del algoritmo. Esto es N bajo "O" grande en la estimación asintótica y es el tamaño de los datos de entrada, expresados ​​en bits. Los especialistas acordaron considerar que si la complejidad del algoritmo no crece más rápido que un polinomio, entonces es "fácil", de lo contrario "difícil". Aquí es apropiado retroceder un poco y recordar cómo comparar funciones entre sí en términos de frescura, es decir, en términos de la tasa de crecimiento asintótico.

Si notas que la afirmación hecha en el epígrafe es falsa, anímate. Fue entregado por un profesor universitario en métodos computacionales. Conociendo este contexto, piense específicamente lo que tenía en mente.

Funciones unidireccionales. Lee la definición. . , , , .

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Agradecimientos

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