Una ciudad sin atascos

Capítulo 2
( el enlace al Capítulo 1 )

El arte de diseñar redes viales

Problemas de transporte de una ciudad a través de los ojos de un informático

Si me recomendaran un artículo con el título "El arte de diseñar redes de carreteras", inmediatamente preguntaría cuántas redes de carreteras se construyeron con la participación de su autor. Debo admitir que mi actividad profesional estaba lejos de la construcción de carreteras y recientemente se asoció con el diseño de microprocesadores donde, entre otras responsabilidades, me dediqué al consumo de recursos para el cambio de datos. En ese momento, mi mesa estaba justo enfrente de la ventana panorámica que abría una hermosa vista de la larga sección de la autopista de Volgogrado y parte del Tercer Anillo de Transporte con sus interminables embotellamientos de mañana a tarde, de horizonte a horizonte. Un día, tuve un repentino shock de reconocimiento: “Las complejidades del proceso de cambio de datos con el que lucho en un chip pueden ser similares a las dificultades que enfrentan los autos a medida que fluyen a través del laberinto de la red de carreteras”.
Probablemente, esta visión desde el exterior y la aplicación de métodos que no eran tradicionales para el área en cuestión me dieron la oportunidad de comprender la causa de los atascos de tráfico y hacer recomendaciones sobre cómo superar el problema en la práctica.

Entonces, ¿cuál es la novedad del enfoque?

Históricamente, se considera que el objetivo principal de las carreteras es la oportunidad que brindan para viajar largas distancias rápidamente (entre Roma y las provincias). Tal juicio se justifica cuando se trata de la red de autopistas interurbanas a nivel federal: las ciudades que conectan parecen pequeños puntos raros en el atlas, y la mayoría de los automóviles que viajan entre estas ciudades pasan por su lado sin girar a ninguna parte.

Sin embargo, tan pronto como pasamos varias páginas y abrimos un mapa detallado de una gran ciudad, la imagen cambia de inmediato: el número de direcciones donde se puede iniciar o finalizar el viaje llega a aproximadamente diez mil, todas ellas están muy densamente distribuidas y relativamente pequeño en tamaño. Al mismo tiempo, cientos de miles de automóviles pueden estar en movimiento en las calles de dicha ciudad a la vez, además, el objetivo de cada uno de ellos no es solo llenar caminos ya vacíos, sino también mover a una persona o carga de un apunte con una dirección específica X a un punto con una dirección específica Y. En conjunto, esto significa que el sistema de transporte urbano debe adaptarse para resolver eficazmente el problema del direccionamiento simultáneo múltiple. Por lo tanto, las funciones del sistema de transporte urbano se vuelven aún más similares a la red telefónica o informática que la red vial interurbana.

Considerar la red de carreteras como un circuito de conmutación para un desarrollador o ingeniero de hardware en el campo de las tecnologías de transferencia de información es una forma completamente natural de hablar sobre un problema, pero entre las personas involucradas en la investigación sobre problemas de transporte, esta opinión es, que yo sepa, nuevo

La teoría de la conmutación de señales es una ciencia de ingeniería estrecha y, por sí sola, por supuesto, no es suficiente para planificar una calle separada, cruce de carreteras o predecir el comportamiento de un flujo de tráfico en una sección recta y aislada de una carretera. Afortunadamente, los problemas enumerados anteriormente están bien investigados hoy, y los métodos desarrollados para resolverlos ya se han puesto en práctica con éxito. La teoría del cambio, a su vez, permite al arquitecto mitigar el riesgo, en el que la ciudad entra en un estado de colapso del transporte a pesar del hecho de que todos los elementos de la red de carreteras se ejecutan perfectamente. Este riesgo existe porque realizar direccionamiento simultáneo múltiple es una tarea que consume muchos recursos y tiempo, cuya clave para una solución efectiva no está en el ancho de las calles y la conveniencia de los intercambios de transporte, sino en la elección competente de qué cambio en particular esquema que implementará la red vial propuesta.

A partir de esta investigación, por ejemplo, descubrirá por qué las redes de transporte de tipo "arterial", que todavía se utilizan con frecuencia en las ciudades modernas, son "malas" y, junto con el crecimiento de la población, necesariamente conducirán a atascos. Otro resultado interesante, que está bien de acuerdo con las observaciones, explica por qué la expansión de las carreteras por sí sola, si antes de que ocurrieran todos los atascos de tráfico exclusivamente en las proximidades de los intercambios, es poco probable que mejore la situación de alguna manera, incluso si el número de automóviles en La ciudad sigue siendo la misma.

Cuando escribí este artículo, fue crucial para mí que fuera comprensible para el arquitecto más común, que pudiera ser útil a través de su trabajo. Traté de introducir al lector en temas de cambio en un lenguaje simple, para desarrollar criterios para evaluar qué tan bien una red de carreteras en particular hará frente a la tarea de direccionamiento concurrente, y usando ejemplos de modelos mostré cómo usar este conocimiento en la práctica.

El artículo está dirigido a un amplio círculo de lectores que están un poco familiarizados con el curso universitario de matemáticas, la teoría de algoritmos y están listos para dedicarle de 1 a 5 días.

Separación y fusión de flujos de automóviles.

Es una observación obvia para muchos conductores que las dificultades de tráfico surgen principalmente en aquellas partes de la carretera donde los automóviles, por alguna razón, se ven obligados a cambiar de carril. Los ejemplos incluyen bifurcaciones de carreteras, estrechamientos, áreas adyacentes a las salidas de carreteras y caminos de acceso, secciones de carreteras donde algunos carriles están bloqueados por un accidente o obras viales.
En esta sección, se intentará dar una descripción cuantitativa de los procesos que ocurren en tales casos, y comenzaremos por comprender cómo los automóviles cambian de carril.

Dos estrategias para cambiar a un carril de tráfico adyacente.
El tráfico a lo largo de una carretera tiene un desnivel natural: alguien prefiere conducir un poco más rápido, alguien un poco más lento, entre algunos autos la distancia disminuye y se vuelve difícil de manejar, mientras que entre los demás aumenta tanto que permite que los autos quepan. allí desde carriles adyacentes. La aparición de tales brechas en el flujo del carril adyacente directamente en el lado del conductor aleatorio puede ser frecuente o poco frecuente. Si, en el momento en que necesita hacer una maniobra, no hay espacio, el conductor puede recurrir al menos a dos estrategias de comportamiento:

Estrategia 1
Varios espacios adecuados pueden simplemente ubicarse cerca de la ubicación del conductor. Si el movimiento es lo suficientemente denso, entonces es poco probable que el conductor pueda agregar velocidad y atrapar el espacio necesario, pero al reducir la velocidad un poco, el conductor permitirá que los vecinos fluyan adelantando el automóvil para que sea igual al espacio que originalmente estaba detrás, no sería un gran problema. Los costos de esta estrategia son obvios: el propio conductor y los automóviles que circulan por su carril pierden algo de tiempo debido a la necesidad de reducir la velocidad.

Estrategia 2
Para esperar, debe tener paciencia y tener el tiempo necesario para esto. Una alternativa puede ser un intento de realizar la maniobra necesaria "aquí" y "ahora". Según esta idea, el conductor da una señal a los autos detrás de él del carril al que se va a mover. Aquellos, a su vez, en respuesta a su señal deberían reducir la velocidad un poco y "dejar que los autos que se mueven delante de ellos avancen", creando así la brecha del tamaño necesario en su flujo. Los costos de tiempo en este caso se distribuyen entre los autos del carril, en los cuales el conductor finalmente cambia.

En la vida real, ambas estrategias están involucradas al mismo tiempo: al principio, el conductor disminuye la velocidad, esperando una brecha relativamente grande en el flujo del carril adyacente, y solo después de eso, dan una señal a los autos que se mueven en él. sobre su intención de hacer una maniobra de cambio.

Sin lugar a dudas, las carreteras de acceso, las salidas de autopista y los estrechos no son la única razón para cambiar de carril, lo que vale la pena recordar al diseñar carreteras. La capacidad de los automóviles con velocidades más altas para adelantar el tráfico sin prisas es necesaria para evitar la situación en la carretera cuando se degrada a una gran cola que se arrastra a la velocidad del tractor más lento. Sin embargo, el problema de la coexistencia de vehículos que se mueven en una carretera a diferentes velocidades tiene una naturaleza ligeramente diferente y puede separarse de los problemas en cuestión, ya que el proceso de adelantamiento y el cambio respectivo entre carriles no son forzados por el conductor. Si el conductor no se apresura, de acuerdo con la teoría de la probabilidad, se le dará al conductor una oportunidad conveniente para realizar una maniobra de forma natural y para ello no necesita perturbar el movimiento de otros conductores.

El costo de un solo cambio
El comportamiento de los conductores en realidad puede ser muy complicado, pero es fundamental para nosotros que el resultado obtenido dentro de las condiciones del modelo siga siendo plausible: cada cambio forzado entre carriles impone una penalización de tiempo a los participantes del tráfico.

Vamos a evaluar ahora cómo la cantidad de tiempo perdido depende de la densidad del tráfico en la carretera.

Consideraremos el movimiento a lo largo de cada carril como una corriente separada. Al tratar de mantenerse a una distancia cómoda de los automóviles en el mismo carril, los conductores reservan un tramo de carretera con una cierta longitud característica d en la corriente. Deje que los autos ρ caigan en una corriente por unidad de longitud. Acordamos llamar pequeña a la densidad de flujo, o decir que ρ es pequeño si el producto ρ × d es mucho menor que 1.

En el momento en que el conductor se da cuenta de la necesidad de pasar a la siguiente fila, la probabilidad de que un tramo de carretera con la longitud d , que el conductor iba a ocupar, no sea libre, a una pequeña ρ , será aproximadamente proporcional a ρ en sí mismo Si el evento descrito realmente se lleva a cabo, entonces dos autos que compiten por un lugar experimentarán en total, como resultado de las maniobras, algún retraso en el valor constante promedio δ .

Asumiendo que ρ es pequeño, podemos descuidar la probabilidad de que sus acciones en este momento afecten el movimiento de otros autos. Por lo tanto, cuando ρ es pequeño, la pérdida de tiempo de una conmutación será α⋅ρ , donde el coeficiente α es una cantidad empíricamente medible que depende de la cultura, el clima, los límites de velocidad (y así sucesivamente), pero que permanece aproximadamente constante en este tiempo en particular y para esta ciudad en su conjunto.

Tasa de intensidad de pérdida en un tramo de carretera antes de la salida
Los autos que se dirigen a la salida, antes de llegar a la rampa (Gráfico 2), tienen que, a veces incluso varias veces, cambiar a la fila adyacente a la derecha. Cada maniobra perturba el flujo y, como resultado, la velocidad promedio en la sección antes de la salida es notablemente más baja que en las secciones de “tránsito” (privadas de las salidas, entradas y horquillas) de la carretera.


Gráfico 2

Pasar una parte del camino a una velocidad más baja: representa para los conductores (y sus pasajeros) una cantidad adicional de tiempo dedicado al viaje. En otras palabras, el área de la carretera adyacente a la salida es un generador constante de pérdidas de tiempo.

Supongamos que la velocidad promedio del automóvil ν y la densidad de flujo ρ en el límite frontal de este tramo son las mismas para todos los carriles.

Además, supongamos que la densidad ρ y la velocidad de flujo q en dirección a la salida (el número promedio de automóviles que caen en la rampa por unidad de tiempo) son simultáneamente pequeños, y s es el número de carriles en la carretera. Para llegar a la salida, el conductor hará 1 a s maniobras de cambio. Si la densidad de flujo en la rampa es mucho más baja que ρ , solo la última maniobra será para el conductor prácticamente “gratis”, mientras que el resto en cualquier caso causará pérdidas de α⋅ρ . En promedio, deberá realizar (0 + 1 + 2 + ... + s - 1) / s = ( s - 1) / 2 maniobras "caras".

Dadas las dificultades causadas por todos los automóviles que se dirigen a la salida, podemos crear la fórmula para la intensidad de las pérdidas de tiempo:

I _out = q ⋅ α ρ ⋅ ( s - 1) / 2 = ( α / 2 ν ) ⋅ q ⋅ ( sρν ) ⋅ (1 - 1 / s )

El valor p = ( sρν ) no es más que la velocidad de flujo de todos los automóviles que se mueven a lo largo de la carretera en la dirección en cuestión (el número promedio de automóviles que pasan por una parada de autobús por unidad de tiempo). El último comentario nos da la oportunidad de reescribir la fórmula para I de una forma más simétrica:

I _out = ( α / 2 ν ) ⋅ pq ⋅ (1 - 1 / s )

Tasa de intensidad de pérdida en la sección contigua de la carretera de acceso
La situación que surge en la carretera detrás de la sección donde se conecta la carretera de acceso repite en gran medida la situación en la sección antes de la salida, aunque hay algunas diferencias. Deje que un pequeño flujo de automóviles de potencia q atraviese la rampa lateral se vierta en el tráfico principal de la carretera (Gráfico 3).


Gráfico 3

La rampa tiene solo una longitud finita, por lo que todos los autos recién llegados deben cambiarse al carril derecho de la carretera. Como resultado, la densidad del tráfico en el carril derecho del borde1 es localmente más alta que el promedio en la carretera, por eso algunos conductores en él deciden cambiar a un carril adyacente menos concurrido a la izquierda, que, a su vez, conduce a un local aumento de densidad ya en el segundo carril. Este proceso de cambio entre carriles continuará hasta que la densidad del flujo se nivele en todo el ancho de la carretera. Suponiendo que la velocidad media ν sea ​​la misma para todos los n carriles, podemos esperar que, una vez finalizados los procesos de conmutación, la potencia de flujo en cada uno de ellos aumente exactamente (1 / s ) ⋅ q .

Para ver cuánto costará dicha conmutación a los controladores, primero calculamos la potencia de todos los flujos de conmutación. El flujo desde la rampa hasta el primer carril de la autopista ya lo conocemos: es igual a q . Para igualar el aumento de la potencia del primer carril a (1 / s ) ⋅ q , el flujo del primer carril al segundo debe ser (1 - 1 / s ) ⋅ q , del segundo al tercero = ( 1 - 2 / s ) ⋅ q , de la k -ésima a la ( k + 1) th = (1 - k / s ) ⋅ q . Según la última fórmula, la capacidad del flujo de conmutación al carril del borde izquierdo será (1 - ( s - 1) / s ) ⋅ q = (1 / s ) ⋅ q , según lo ordena el sentido común.

Dado que conocemos la penalización de tiempo de una sola conmutación y la potencia de todos los flujos de conmutación, ahora podemos calcular la intensidad total de las pérdidas generadas por ellos:

I _in = α ρ ⋅ q + α ρ ⋅ (1 - 1 / s ) ⋅ q + α ρ ⋅ (1 - 2 / s ) ⋅ q + ... + α ρ ⋅ (1 / s ) ⋅ q =

α ρ q (1 + 2 + ... + s ) / s =

α ρ q ( s + 1) / 2 =

( α / 2 ν ) ⋅ q ⋅ ( sρν ) ⋅ (1 + 1 / s ).

Recordando nuevamente que sρν es la potencia p del flujo de todos los automóviles a lo largo de la carretera, obtenemos la fórmula del costo en su forma final:

I _in = ( α / 2 ν ) ⋅ pq ⋅ (1 + 1 / s ).

Tasa de intensidad de pérdida en la bifurcación simétrica
En los párrafos anteriores, encontramos pérdidas por la interacción de flujos, uno de los cuales era necesariamente grande y el otro era necesariamente pequeño. Para demostrar un enfoque para resolver problemas cuando las capacidades de ambos flujos son comparables en potencia, consideremos otro extremo: una bifurcación en la que ambas direcciones de rama son igualmente populares para los conductores (Gráfico 4).


Gráfico 4

Por conveniencia, los autos que van a la derecha en la bifurcación se llamarán "azules" y los autos que salen a la izquierda - "rojos". Inicialmente, los automóviles de ambos "colores" se mueven mezclados, dispersos entre los 2 carriles de la carretera. A medida que se acercan a la bifurcación, los automóviles rojos comienzan a desplazarse lentamente hacia los n carriles izquierdos, y los azules hacia el derecho s : hay flujos de conmutación en las dos direcciones entre carriles adyacentes. A diferencia del ejemplo del camino de acceso, estos flujos ya no son "relativamente pequeños". Por cierto, solo entre los dos carriles centrales hay un intercambio forzado de tráfico, cuya intensidad en cualquiera de las direcciones (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda) es igual a una cuarta parte de la potencia de todo el corriente que se mueve a lo largo de la carretera. Afortunadamente, en esta situación hay una manera suficientemente buena de estimar los costos generados.
Al principio, podemos notar que el proceso de dividir los autos en "rojo" y "azul" probablemente comienza mucho antes de la bifurcación y continúa lentamente, por lo tanto, por un lado, debería tener poco efecto sobre la densidad del tráfico en una fila separada y, por otro lado, haga que los flujos de conmutación se extiendan a lo largo de largas distancias, dando así la oportunidad de representar cada uno de ellos como una combinación de un gran número de flujos de baja potencia (Gráfico 5).



Gráfico 5

Como ahora estamos hablando de pequeños flujos, aunque en grandes cantidades, nada nos impide reducir el problema en cuestión a los ya resueltos. Podemos dividir mentalmente la carretera en el centro en dos partes iguales, y luego conectarlas con una mayor cantidad de caminos de un solo carril, permitiendo que los autos rojos lleguen a la izquierda y los azules a la derecha (Gráfico 6). Debido a la obvia simetría, al calcular las pérdidas generadas, podemos centrarnos en el automóvil de cualquier color, por ejemplo, azul, y al final simplemente duplicar el resultado.


Gráfico 6

Deje que la velocidad ν y la densidad ρ sean las mismas para todos los carriles y permanezca constante durante todo el tramo donde los automóviles están separados por colores. En este caso, la potencia de flujo de todos los automóviles que se mueven a lo largo de la carretera será:

p = 2 sρv .

Supongamos que q ₁ , q ₂ , ... q _m denotan los flujos de automóviles azules que se mueven a lo largo de caminos de puentes imaginarios hacia la mitad derecha de la autopista. Supongamos que poco antes de la sección de separación en cada carril de la autopista, ambos colores se representan con proporciones iguales del 50%, lo que implica que en total
q ₁ + q ₂ + ... + q _m es igual a sρv / 2, o en otras palabras, p / 4.

Pérdidas generadas por el flujo q _i debido a su pequeño tamaño, podemos calcular mediante la fórmula:

I _i = I _out + I _in = ( α / 2 ν ) ⋅ ( p / 2) ⋅ q _i (1 - 1 / s ) + ( α / 2 ν ) ⋅ ( p / 2) ⋅ q _i (1 + 1 / s ) = ( α / 2 ν ) p q _i

Resumiendo la última fórmula sobre todo i , encontramos las pérdidas generadas solo por los autos azules:

I _azul = ( α / 2 ν ) ⋅ p ⋅ ( q ₁ + q ₂ + ... + q _m ) = ( α / 2 ν ) p 2/4.

Las pérdidas totales, como ya se mencionó, serán el doble y ascenderán a:

I _div = ( α / 2 ν ) p 2/2 .

Análisis de las fórmulas obtenidas.
Si dividimos la intensidad I , que es la cantidad de tiempo totalmente perdido por los participantes por segundo, por el flujo lateral q , que por definición es igual al número de automóviles que se conectan o salen de la carretera en un segundo, obtendremos el pérdidas promedio causadas por uno de esos autos:

i _in = I _in / q = ( α / 2 ν ) ⋅ p ⋅ (1 + 1 / s )

i _out = I _out / q = ( α / 2 ν ) ⋅ p ⋅ (1 - 1 / s )

Quizás lo más importante en estas fórmulas es la proporcionalidad directa entre el flujo de energía de los automóviles en la autopista p y los costos unitarios i . Todo se ve como si un automóvil buscara unirse, o viceversa, para abandonar el flujo principal, lo que causa molestias constantes a todos los conductores cercanos.

La segunda observación, interesante y muy inesperada, se refiere al efecto extremadamente débil sobre la intensidad de las pérdidas generadas en el número de carriles cerca de la carretera directamente al lado del cruce. Como puede ver, mirando la fórmula para I _out , la salida es generalmente la más eficiente en el tiempo para un camino de un solo carril ( s = 1, i _out = 0), y las dificultades causadas por el camino de acceso contiguo para un las autopistas de tres y seis carriles difieren solo por

100% ⋅ [(1 + 1/3) - (1 + 1/6)] / (1 + 1/3) = 12.5%.

Si consideramos que cada automóvil que alguna vez se ha unido al tráfico en la carretera eventualmente tendrá que abandonarlo, entonces parece bastante legítimo usar un valor unificado en lugar de entrar y _salir cuando se calculan las pérdidas de intercambio

i _av = ( i _in + i _in ) / 2 = ( α / 2 ν ) ⋅ p .

A pesar del hecho de que la fórmula para i _av no depende explícitamente del número de carriles, debe recordarse que su creación (ver los supuestos para entrar y _salir ) se basa en gran medida en el supuesto de baja densidad de automóviles en la carretera , por lo que es poco probable que dé resultados satisfactorios cuando se aplica a carreteras demasiado estrechas con demasiado tráfico.

Hallazgos preliminares
En áreas cercanas a los cruces, inevitablemente ocurren obstáculos de tráfico, que les quitan tiempo a los conductores, reducen la velocidad promedio, esto último conduce a un aumento en la densidad de los automóviles y, como consecuencia, la posible ocurrencia de atascos de tráfico. Las pérdidas de tiempo asociadas con la separación y fusión de los flujos de automóviles se denominarán pérdidas por conmutación.

Las pérdidas de un tipo similar están presentes de una forma u otra en cualquier esquema de conmutación: ya sea una red telefónica o informática, un microprocesador multinúcleo o un servicio de entrega de correo.

Cuando el conductor se une o, por el contrario, deja el tráfico en la carretera, los costos de cambio incurridos por sus acciones son proporcionales a la potencia del flujo de automóviles observado en ese momento en la carretera.

Para reducir las pérdidas de conmutación en toda la ciudad, es necesario considerar cuidadosamente la red de carreteras implementada en ella en la etapa de diseño. Un poco más tarde analizaremos esta tarea en detalle, pero ahora se pueden enumerar algunas recomendaciones obvias:

1. las pérdidas de conmutación son proporcionales a la potencia de flujo en la carretera: no es necesario ampliar las carreteras sin la necesidad, dos autopistas pequeñas son el doble de buenas que una grande;
2. las pérdidas de conmutación son proporcionales a la potencia de los flujos laterales: vale la pena diseñar la red para que el conductor tenga que girar la menor cantidad de veces posible durante su viaje;
3. la perturbación mutua causada por los conductores de los flujos principales y secundarios debería ser menor a escala de toda la ciudad si tratamos de evitar la fusión de rutas que se superponen solo en una sección corta de la carretera.

Prerrequisitos económicos para la existencia de ciudades.
Un modelo de ciudad con 'acceso aleatorio' ²

(Nota 2: el término se toma del concepto RAM y significa aleatorio por probabilidad e incluso por consumo de tiempo).
Quizás la primera etapa de cualquier proyecto para diseñar (o rediseñar) el sistema de transporte de la ciudad es tratar de determinar qué tipo de cambio necesita realmente la ciudad ahora y cómo cambiarán sus necesidades en el futuro.

Tal análisis puede llevarse a cabo si primero dividimos la ciudad en áreas no demasiado grandes, pero no demasiado pequeñas, y luego, para cada par de dichas zonas, indique qué número aproximado de viajes a un lado u otro necesitan sus habitantes en una u otra hora del día Al colocar las predicciones hechas en una matriz, recibirá una matriz de necesidades de migración de los residentes de la ciudad.

Exactamente para esta matriz, debemos buscar una red que permita a los conductores y pasajeros pasar el menor tiempo posible en un viaje separado, requiriendo de las autoridades de la ciudad la menor cantidad de recursos posible para la realización de la red.

Cuando se trata de ciudades existentes, es importante no cometer un error y no reemplazar el número de viajes que la gente realmente necesita con el número de viajes que históricamente se han establecido bajo la influencia de algunos obstáculos o dificultades en el momento de El trabajo de diseño. Probablemente, la red de transporte de Berlín "antes" y "después" de la caída del muro de separación puede servir como la ilustración más llamativa de lo que se ha dicho.

Esta sección se ocupará principalmente de cuestiones humanitarias en las que no soy especialista, pero creo que discutirlas como aficionado es, sin embargo, más correcto que simplemente evitar el problema.

Para representar mejor las necesidades de migración de la población, vale la pena comenzar con la pregunta fundamental: "¿Para qué son las ciudades y cuál es su función útil?"

Intentemos responderlo no como residentes ordinarios de ciudades (y pueblos), sino desde la perspectiva de la persona responsable del proceso de urbanización en algún estado grande y desarrollado. Desde este punto de vista, ya no es importante qué motivos históricos alguna vez hicieron que tanta gente se apiñara en un pequeño pedazo de tierra, o las razones por las que continúan haciéndolo ahora, es crucial: qué efecto económico producen las ciudades de un tamaño u otro y por qué mecanismos se logra este efecto.

En mi opinión, la razón principal de la existencia de grandes ciudades es, por un lado, la oportunidad para que las empresas de tecnología encuentren empleados de profesiones raras y, por otro lado, la oportunidad para que las personas que dominan profesiones raras vendan sus servicios a empresas interesadas en ellos en condiciones competitivas. En una ciudad pequeña (no especializada), la producción de muchos bienes y servicios es simplemente imposible, o pone a las empresas de tecnología y a sus empleados en la posición de rehenes mutuos, sin dar a uno u otro ninguna alternativa.

Por ejemplo, tome la profesión no tan rara de un maestro de literatura escolar. Según las estadísticas, la necesidad de ellos es de aproximadamente 1 maestro por cada 1000 personas. En una escuela regular, 3-4 tutores enseñan literatura. La elección de un trabajo para un profesor de literatura puede llamarse competitiva si hay al menos 4-5 escuelas secundarias en la ciudad, lo que, en términos de población, corresponde a unas 15 mil personas.

Aparentemente, las personas con una especialización en ingeniería se sienten cómodas en el mercado laboral en ciudades con una población de al menos 100 mil. Por supuesto, también existen tales profesiones, cuya demanda solo aparece en ciudades con más de un millón de personas, sin embargo, la existencia de ciudades multimillonarias no tiene ningún sentido económico para mí.

Después de todo lo mencionado anteriormente, dos hipótesis parecen bastante razonables (la validez de las cuales, sin embargo, no afecta la verdad de los contenidos principales del artículo):

1. el adulto promedio tiene la necesidad de viajar con mayor frecuencia en distancias que capturan 4-5 de los trabajos más prometedores para ellos;
2. Para una parte importante de la población que representa las profesiones raras y económicamente más valiosas, la distancia de los viajes más frecuentes puede ser comparable con el radio de su ciudad.

Como un reflejo mejorado de las hipótesis 1 y 2, en mis ejemplos a menudo utilizaré el modelo de la ciudad con 'acceso aleatorio', suponiendo que el poder de los flujos del viaje requerido sea el mismo entre dos cuartas partes de la misma, o en otras palabras, en todas las celdas de la matriz de necesidades de migración hay el mismo número positivo. Si observa aleatoriamente los registros de los viajes realizados en una ciudad de este tipo durante el día, para el próximo viaje marcado todos los trimestres tendrán la misma probabilidad de ser el inicio o el final de dicho viaje, y ninguna relación entre la posición del Se deben observar los trimestres 'inicial' y 'final'.

Redes de carreteras con la topología más simple.

Intentemos aplicar las ideas descritas en los párrafos anteriores a algunos tipos de planes de la ciudad tomados de la vida.

Ciudad lineal

Los primeros asentamientos grandes se originaron predominantemente a lo largo de la costa, en áreas de una delgada franja de tierra entre el mar y los acantilados, o a lo largo de los caminos de carreteras transitadas, por lo que en el proceso de crecimiento adquirieron estrechas fronteras alargadas. Muchos de estos asentamientos han sobrevivido hasta nuestros días, conservando su forma alargada y convirtiéndose en ciudades modernas (consulte la ilustración a continuación).


(un área excluida de Río de Janeiro, el autor es desconocido)

A menudo, en una ciudad así, solo hay un camino ancho alrededor del cual se construye. Suponga que cada trimestre (zona de división territorial) genera una corriente de viajes con potencia 1, el número de todos esos trimestres es igual a n , y la ciudad misma sigue el modelo de migración de 'acceso aleatorio'.


Gráfico 7

Intentemos encontrar para los parámetros enumerados anteriormente cómo el tiempo de viaje promedio y el área de carretera requerida cambian con el aumento de n .

Entonces, deje que todos los trimestres tengan la misma forma y tamaño, y su número se multiplique por λ (lambda) veces. Es obvio que

• La longitud de la carretera principal aumenta en un factor de λ .

Debido al modelo aceptado de 'acceso aleatorio', el 50% de los viajes que comenzaron en la mitad derecha de la ciudad terminarán en su mitad izquierda (lo contrario también será correcto), por lo tanto, con un aumento en el número de barrios por un factor de λ , la potencia del flujo que pasa por el centro de la ciudad también se multiplicará por λ veces. Discusiones similares con la misma inferencia serán ciertas si, en lugar del medio, tomamos algún punto dividiendo la ciudad en una proporción dada (1: 3, 2: 5), lo que implica que

• la potencia del flujo a lo largo de la carretera principal aumenta en un factor de λ ;
• El número de carriles de la carretera principal requerido en cada sección se multiplica por λ veces.

Más o menos obvio que la duración promedio del viaje, y con ello

• El tiempo de viaje neto empleado para cubrir la distancia aumenta en un factor de λ .

Todo lo que queda por calcular es el número de veces que aumentará el tiempo perdido debido a los costos de cambio en un viaje. Un flujo lateral con potencia 1 entra y sale de cada cuarto, que en conjunto generan pérdidas de tiempo con intensidad:

I = I _in + I _out = ( α / 2 ν ) p ⋅ 2,

donde p es el poder del flujo en la carretera principal. Ya sabemos que el número de trimestres y la potencia de flujo en la carretera principal aumenta en un factor de λ , por lo tanto, las pérdidas de tiempo totales generadas por la red se multiplican por λ ² veces. Por otro lado, el número de viajes generados por la red, entre los cuales como resultado se asignan todas estas pérdidas, aumenta en un factor de λ , por eso

• El tiempo de viaje neto perdido debido a los costos de cambio aumenta en un factor de λ .

Expongamos todos los resultados en una tabla:

Topología lineal
El número de puntos de dirección (cuartos) con potencia 1 ........................ n
Área total de la carretera ............................................... ....................................... O ( n ² )
Tiempo de viaje neto,
gastado para cubrir la distancia ............................................. ...................... O ( n )
Tiempo de viaje neto,
perdido debido a los costos de cambio ............................................. ........................ O ( n )
Número de nodos de conmutación .............................................. ..................... O ( n )
Número de nodos de conmutación, dada la potencia de los flujos laterales ............. O ( n )

La notación utilizada ' y = O ( x )' significa que los parámetros x e y son funcionalmente dependientes, y cuando x crece sin límite, la relación x / y tiende a un número finito, diferente de cero.

Ciudad celular

El segundo método de planificación bastante común es organizar los cuartos en forma de matriz rectangular, similar a cómo se colocan las piezas en porciones en una barra de chocolate.

Acordamos llamar a estas ciudades 'celulares' ".


(Los Ángeles, foto: Slava Stepanov)

El cuadro 8 muestra un patrón de una ciudad celular que consta de n (teniendo en cuenta las 'mitades') cuartos, formando juntos un cuadrado regular. Los cuartos están separados entre sí por un total de √ n caminos, que se extienden condicionalmente de oeste a este, y √ n caminos que se extienden de sur a norte.En total, estos caminos forman √ n × √ n cruces, cada uno de los cuales se puede implementar como una intersección de semáforo o a través de puentes / pasos elevados.


Gráfico 8

Independientemente de si hay tráfico de una o dos vías, cualquier viaje desde el punto A al punto B en una ciudad celular se puede realizar a lo largo de una ruta que involucra no más de dos calles y no más de un giro en una intersección.

Suponiendo que, como en el ejemplo anterior, cada trimestre genera una corriente de viajes con potencia 1, y las necesidades de migración de la población siguen el modelo de 'acceso aleatorio', podemos calcular, ahora para una ciudad celular, las leyes por las cuales el el tiempo de viaje promedio y la intensidad de los recursos de la construcción de la red vial cambiarán con la cantidad creciente de trimestres.

Si el número de trimestres aumenta en un factor de λ , entonces:

• the area of ​​the city multiplies by λ times, and its linear dimensions while maintaining the proportions — by √ λ ,
• the average travel distance and the net time to cover it, being proportional to the linear dimensions, multiply by √ λ times,
• the number of streets and the number of quarters adjacent to one given street multiply by √ λ times,
• the power of the traffic flow, being proportional to the number of quarters with which the flow is 'in contact' (an explanation of this term will be given later), multiplies by √ λ times,
• the required area of ​​all roads grows as (number of streets) × (length of one street) × (power of street flow) = √ λ ⋅ √ λ ⋅ √ λ = λ √ λ

Los flujos laterales se dividen en los que van desde o hacia los cuartos y los que giran de una calle a otra en las intersecciones. El poder de los primeros flujos, según las condiciones, siempre permanece igual a la unidad. A través de los segundos, casi todo el tráfico se mueve, entra o sale de la autopista, si tenemos en cuenta que hay muchos más barrios en la ciudad que barrios en una calle determinada. Como resultado, el cambio en la potencia de los segundos flujos se puede estimar mediante la fórmula (cambio en la potencia del flujo) / (aumento en el número de intersecciones en una calle en particular) = √ λ / √ λ= 1. La igualdad de la última relación con la constante sugiere que estos flujos no cambian significativamente con un aumento en el número de trimestres, por lo tanto, el aumento en los costos de conmutación generados por la red en su conjunto será: (aumento en el total número de cuartos + intersecciones) × (cambio en el valor del flujo en una sola calle) = λ √ λ . Como el poder del flujo de migración generado por todos los trimestres aumentó en un factor de λ , entonces

• el tiempo de viaje neto perdido debido a los costos de cambio aumenta en un factor de √ λ

Expongamos todos los resultados en una tabla:

Topología celular

El número de puntos de dirección (cuartos) con potencia 1 ..................... n
Área total de la carretera ............................................... .................................... O ( n √ n )
Tiempo de viaje neto,
gastado para cubrir la distancia ............................................. ................... O (√ n )
Tiempo de viaje neto,
perdido debido a los costos de cambio ............................................. .................... O (√ n )
Número de nodos de conmutación .............................................. .................. O ( n )
Número de nodos de conmutación, dada la potencia de los flujos laterales .......... O ( n )

Al comparar las redes lineales y celulares entre sí, es difícil no darse cuenta de que el aumento en la intensidad de los recursos necesarios para la construcción y el tiempo dedicado a un viaje, con el crecimiento de la ciudad, es mucho más rápido para la primera red que para El segundo. Por ejemplo, una ciudad celular que consta de 100 cuartos requiere 10 veces menos asfalto, y recorrerla en promedio requiere 10 veces menos tiempo en comparación con una ciudad lineal del mismo tamaño. Por lo tanto, tiene sentido usar redes de carreteras con topología lineal solo en ciudades muy pequeñas.

Si por un tiempo nos olvidamos de la existencia de costos de cambio, entonces la topología celular puede considerarse una forma ideal de diseñar redes de carreteras, ya que proporciona una estimación O óptima asintóticamente para la longitud promedio del viaje y el área de la carretera requerida. De hecho, para cualquier ubicación más o menos 'compacta' de la ciudad (con acceso aleatorio), la duración del viaje no crecerá más lentamente que la raíz cuadrada del área de la ciudad, que a su vez suele ser directamente proporcional a la población . Como resultado, obtenemos todos los mismos O (√ n ).

El hecho de que una ruta típica en una ciudad celular corre a lo largo de una 'esquina' en lugar de una línea recta, en principio, implica la oportunidad de buscar las mejores formas de planificar ciudades, pero los ahorros en la cantidad del 20% (ese es el máximo que podemos ganar si los automóviles aprenden a atravesar paredes) es poco probable que algún día obligue a los arquitectos a abandonar la disposición rectangular de calles y carreteras.

El límite más bajo posible de los costos de construcción (y mantenimiento) de la red se puede obtener recordando que cada automóvil reserva una parte del carril para su movimiento. Como resultado, el área total de carreteras es proporcional al producto del tiempo de viaje promedio (duración promedio del viaje) y el número de autos en la ciudad: O (√ n ) × O ( n ) = O ( n √ n ) (compárese con la tabla para una ciudad celular).

Si hablamos de la cantidad de tiempo que se pierde en el viaje debido a los costos de cambio, entonces, sorprendentemente, su relación con la cantidad de tiempo para cubrir la distancia no depende asintóticamente del número de trimestres en una ciudad celular o lineal (O (√ n ) / O (√ n ) = O (1), O ( n ) / O ( n ) = O (1)). En otras palabras, el porcentaje de tiempo perdido en viajes debido al cambio, tanto en ciudades grandes como pequeñas, será el mismo. De esto podemos concluir que, si no hubo problemas serios con los costos de cambio en una ciudad pequeña (podemos sugerir que ganaron al 10-20%), entonces en una gran ciudad aún no deberían observarse, y si lo fueran, entonces seguirían existiendo, sin importar cómo creciera y se ampliara la ciudad.

Como no sabemos cuál de las alternativas es verdadera (o mejor dicho, sabemos que existen problemas con el tráfico en las grandes ciudades), vale la pena intentar mejorar la topología de una ciudad celular para que los costos de cambio disminuyan al menos por un factor de algunos tiempos constantes.

Ejemplos útiles de redes poco realistas.

Probemos si la topología celular sigue las recomendaciones que hemos desarrollado analizando el cambio de flujos en la carretera.

1) No agrande las carreteras sin la necesidad.
- si. El tráfico se distribuye en muchas carreteras (compárese con una ciudad lineal).

2) Evite diseñar la red donde el conductor tiene que girar muchas veces en un solo viaje.
- si. Cualquier viaje probablemente se llevará a cabo a lo largo de una ruta que requiera solo un giro en las calles.

3) Intente evitar la fusión de rutas que se superponen solo en una sección corta de la carretera.
- Aquí, tal vez, hay algo en lo que trabajar. A pesar del número mínimo de vueltas por viaje, la ruta como parte del flujo de la autopista principal pasa a través de una gran cantidad de nodos de conmutación (O ( n )), en cada uno de los cuales se pierde un tiempo valioso.

El último comentario motiva a investigar la siguiente pregunta: "¿Cuál es el mínimo del número promedio de nodos de conmutación a través de los cuales debe pasar un viaje a través de una red de carreteras que conecta n cuartos?"

La tarea de buscar una red de este tipo tiene sentido, por supuesto, solo con la condición de que el número de flujos combinados o divididos por cualquier nodo de conmutación esté limitado preliminarmente desde arriba por un cierto valor fijo. De lo contrario, siempre puede presentar una red de carreteras con n puntos de dirección y una sola megaunión.


(el autor es desconocido)

Es mucho más fácil investigar el problema real si antes era posible revelar al menos parte de los patrones utilizando algunos ejemplos de modelos simples, aunque no realistas. Siguiendo esta lógica, nos olvidaremos temporalmente de las limitaciones geométricas de la construcción de carreteras y la necesidad de los viajeros de cubrir distancias, centrando toda nuestra atención en cómo las redes abstractas resuelven el problema del direccionamiento paralelo. Con respecto a los nodos de conmutación, asumiremos por ahora que cada uno de ellos divide el flujo en dos partes (el nodo de división) o combina dos flujos en uno.


Gráfico 9

Árbol de direcciones
Deje que haya un punto de dirección de inicio , donde todos los viajes, sin excepción, comiencen y otros n puntos de dirección de finalización en los que finalicen con la misma probabilidad (Gráfico 9).

Es necesario construir una red de transporte que permita al conductor pasar por la menor cantidad posible de nodos de conmutación.

La solución obvia (para los programadores), que se sugiere aquí, es usar un árbol binario equilibrado, al mismo tiempo que necesitamos colocar un único punto de inicio en la parte superior del árbol, y colocar los n puntos de finalización restantes en cada uno. de sus hojas (Gráfico 10). La red construida de la manera descrita se llamará como el árbol de Dirección directa.


Gráfico 10

Cambiando las direcciones de todos los flujos en el árbol de Dirección directa al opuesto, obtenemos así el árbol de Dirección inversa , cuyo propósito es conectar n puntos de inicio con un único punto final.

En los casos en que n es una potencia de dos, cualquier ruta dentro del árbol de Dirección pasa exactamente a través _de los nodos de conmutación log ₂ n , que sin duda (asintóticamente) es menor que el mismo indicador para una red con celular (O (√ n )), o topología lineal (O ( n )).

Dos tipos más simples de redes logarítmicas.

Utilizando redes 'en forma de árbol' como bloques de construcción, no es difícil generalizar la solución anterior al caso cuando hay k puntos de inicio. Hay dos formas fáciles de hacer esto.

La primera forma es utilizar el árbol de Dirección inversa para recopilar primero las rutas de todos los viajes en una secuencia común y luego, utilizando el árbol de Dirección directa, dividir esta secuencia en subflujos dirigidos a su destino (Gráfico 11, esquema superior )


Gráfico 11

Si k y n son potencias de dos, entonces, al final, cualquier ruta pasa exactamente a través de los nodos de conmutación log ₂ k + log ₂ n . Acordamos referirnos a las redes diseñadas de acuerdo con el algoritmo que se acaba de describir como redes logarítmicas (unidireccionales) con fusión preliminar .

La segunda forma de resolver el mismo problema se puede realizar invirtiendo en la primera solución el orden de las operaciones de fusión y división. Su implementación se puede describir de la siguiente manera: para cada punto de inicio creamos un conjunto único de duplicados imaginarios de todos los puntos finales, y después de eso, lo conectamos a estos duplicados (ya no imaginarios) con un árbol de Dirección directo.

Para completar el diseño de la red, solo queda conectar ahora cada punto final con sus k duplicados imaginarios aplicando el árbol de Dirección inversa (Gráfico 11, esquema inferior).

Siempre que n y k sean potencias de dos, el número de nodos de conmutación a lo largo de cualquier ruta dentro de la red recién construida será nuevamente igual a log ₂ k + log ₂ n . Acordamos referirnos a redes tales como redes logarítmicas (unidireccionales) con división preliminar .

Conversión de redes unidireccionales en simétricas.
En general, nos referimos a cualquier red como unidireccional si los puntos de dirección conectados por ella se dividen estrictamente en puntos de inicio y finalización. Por defecto, para redes unidireccionales, se supondrá que proporciona al menos una ruta de posible viaje desde cualquier punto de inicio a cualquier punto de finalización.

Además de un viaje de por vida, es difícil encontrar ejemplos en los que algunos puntos de dirección sirvan solo como inicio de una ruta, y otros solo sean su final. Acercaremos nuestro razonamiento a la realidad si también incluimos redes en las cuales dos puntos de dirección están conectados por rutas en ambas direcciones. Acordamos referirnos a tales redes como simétricas.

De hecho, no existe una brecha ideológica entre las redes unidireccionales y simétricas: cada red simétrica también se puede usar como una red unidireccional, y cada red unidireccional, que conecta inicialmente un número igual de puntos de inicio y finalización, puede ser transformado en uno simétrico (Gráfico 12).


Gráfico 12

Los gráficos 13a y 13b muestran las formas 'simétricas' de la red logarítmica con fusión preliminar y la red logarítmica con división preliminar. Sus ejemplos demuestran la posibilidad fundamental de conectar n cuartos por un tipo de red de este tipo, dentro del cual el número de nodos de conmutación durante cualquier viaje será proporcional al logaritmo del número de cuartos en la ciudad.


Gráfico 13 a


Gráfico 13 b

Estimación precisa del límite inferior

Hasta ahora se ha acumulado una amplia variedad de redes, cada una de las cuales incluye una función propia que describe la dependencia del número promedio de nodos de conmutación a lo largo del viaje en el número de puntos de dirección en la ciudad. Sin embargo, todavía no sabemos cuán pequeño puede ser este número en principio para un número determinado de trimestres. La estimación del límite inferior se puede obtener utilizando el enfoque de información.

En realidad, permita que alguna red de carreteras conecte n puntos de dirección entre sí, y las necesidades de migración de la población son tales que cualquier viaje, sin importar dónde comenzó, tiene la misma probabilidad de terminar en cualquier lugar de la ciudad.

Para resolver el problema en cuestión, generaremos un mensaje informativo auxiliar, siguiendo esta receta: durante un largo período de tiempo, recopilaremos registros de todos los viajes que tienen un punto de inicio fijo y anotaremos al azar las direcciones donde estos viajes terminado El mensaje resultante será una secuencia aleatoria que consta de los nombres de n puntos de dirección de la ciudad.

Una forma de transmitir este mensaje a Marte es, en primer lugar, codificar todos los nombres en palabras binarias de la misma longitud, convirtiendo así el mensaje original en una secuencia de 0s y 1s, y en segundo lugar enviar la secuencia resultante a través de un canal de comunicación digital. Dado que para la codificación distinguible del conjunto de n nombres se requieren palabras binarias de log ₂ n de longitud, la longitud del mensaje digital será:

(número de registros) × log ₂ n caracteres.

Lo más interesante es que, según la teoría de la información, independientemente del algoritmo de codificación utilizado, es simplemente imposible transmitir el mismo mensaje con un número menor de caracteres binarios.

Una alternativa para transmitir directamente los nombres codificados de los puntos de llegada puede ser un método en el que se indique para cada viaje en qué dirección posible giró la ruta en la siguiente bifurcación. Según nuestras suposiciones, todas las bifurcaciones en la red solo pueden tener dos ramas, por lo tanto, para indicar la dirección en cada caso, se requiere exactamente 1 bit. Para cualquiera que tenga un mapa de la ciudad y conozca el punto de partida, la cadena de bits será suficiente para rastrear cada ruta y restaurar la secuencia original de sus destinos. Si el número promedio de bifurcaciones (nodos de división) visitados durante un viaje es x , entonces la longitud del mensaje binario con el nuevo método de codificación será: (número de registros) × x .

Como se dijo anteriormente, el nuevo método de codificación no puede ser más eficiente que el método directo de transferencia de direcciones binarias, por lo tanto: (número de registros) × x ≥ (número de registros) × log ₂ n , por eso:

x ≥ log ₂ n .

Aunque la última desigualdad se dedujo inicialmente para un grupo de viajes que tenían un punto de inicio fijo común, resultó ser independiente de la elección específica de este punto. Es por eso que podemos extender el resultado a todos los viajes en la ciudad a la vez, obteniendo así la primera parte de la estimación en cuestión:

P1 ) Siempre que cada nuevo viaje tenga la misma probabilidad de terminar en cualquiera de los n puntos de dirección de la ciudad, el número promedio de nodos de división por ruta no puede ser menor que log ₂ n .

Haciendo retroceder mentalmente el reloj, podemos convertir cada punto final del viaje en el punto inicial y cada nodo binario de la división de la red, el nodo binario de la fusión. Este pequeño truco nos permite obtener automáticamente de P1 la segunda parte faltante de la estimación:

P2 ) Siempre que cada viaje completado tenga las mismas posibilidades de comenzar en cualquiera de los n puntos de dirección de la ciudad, el número promedio de nodos de fusión por ruta no puede ser inferior a log ₂ n .

Si recordamos la existencia de una red logarítmica con fusión preliminar y una red logarítmica con división preliminar, inmediatamente obtenemos dos ejemplos de redes que son óptimas en términos de la cantidad de nodos de conmutación, que, en promedio, se visita dentro de ellos durante Un viaje Veamos si esta calidad ayuda a reducir la intensidad de las pérdidas de conmutación generadas.

Costos de cambio en redes logarítmicas

Si comparamos las redes con la fusión preliminar y la división preliminar, la primera parece mucho más atractiva debido a su simplicidad. Desafortunadamente, esta simplicidad también tiene el reverso de la moneda: la combinación de todas las rutas en un flujo contradice la recomendación de i1 , lo que puede causar grandes pérdidas de tiempo. La red con división preliminar parece cumplir con los requisitos i1 - i3 , sin embargo, a juzgar por la Tabla 13b, tiende a aumentar rápidamente el número de extremidades de carretera y nodos de conmutación utilizados. La última calidad puede hacer que las redes de este tipo sean demasiado caras para un uso práctico.

Analizaremos estas preguntas con más detalle. Para comenzar, estamos de acuerdo en que la ciudad sigue el modelo de migración con 'acceso aleatorio', y el flujo generado por cualquiera de sus puntos de dirección tiene un poder 1.

Pérdidas en las redes con fusión preliminar.

En el gráfico 14 puede ver un diagrama de flujos que surgen de las condiciones mencionadas anteriormente dentro de la red con fusión preliminar.


Gráfico 14

Me pareció conveniente representar la red en su forma unidireccional, lo que implica que cada punto de inicio y finalización, firmado con los mismos números en el Cuadro, en realidad significa el mismo punto de dirección en la ciudad.

Según el diagrama, podemos calcular la intensidad de los costos de conmutación generados en la red. Comencemos desde la mitad izquierda, donde a través del árbol de Dirección inversa, todas las rutas se agrupan en un flujo. Cada nodo de conmutación en esta parte de la red representa el lugar donde dos carreteras unidireccionales se fusionan en una sola (Gráfico 15).


Gráfico 15

Si inicialmente cada una de las carreteras se carga eficientemente, luego de su fusión, no hay necesidad de reducir el número de carriles, como resultado, no debería haber ningún costo de cambio respectivo.

Supongamos que un flujo con potencia 1 ya es suficiente para cargar efectivamente el camino a lo largo de al menos dos carriles. En este caso, llegaremos a una conclusión bastante inesperada: la fusión de los flujos de automóviles dentro de la red logarítmica con la fusión preliminar ocurre absolutamente 'gratis', sin causar pérdidas de tiempo.

El cálculo de los costos que surgen en la mitad derecha no es mucho más difícil. Esta parte de la red es un árbol de direcciones directo, cada nodo del cual es una bifurcación simétrica que ya hemos estudiado. Cuando el flujo entrante con potencia p , la intensidad de las pérdidas que surgen en la bifurcación es ( α / 2 ν ) ⋅ p 2/2 . La potencia del flujo que ingresa a la bifurcación raíz es: n , por lo tanto, la intensidad de las pérdidas en el nodo raíz es: ( α / 2 ν ) ⋅ n 2/2 . En cada próxima generación del árbol de direcciones, el número de horquillas se duplica y la potencia del flujo entrante se reduce a la mitad. Como resultado, la fórmula de las pérdidas dentro de todo el árbol tomará la forma:

I _{t_div1} = ( α / 2 ν ) ⋅ (1/2) ⋅ [ n ² + 2 ( n / 2) ² + 4 ( n / 4) ² + ... + ( n / 2) ⋅ 2 ² ] =

( α / 2 ν ) ⋅ ( n / 2) ² [1 + 1/2 + 1/4 + ... + 2 / n ] ≈ ( α / 2 ν ) ⋅ n ²

Dado que la potencia del flujo de viajes generados conjuntamente por todos los puntos de dirección es n , los costos de tiempo por viaje son en promedio ( α / 2 ν ) ⋅ n , lo que muestra una dependencia lineal del tamaño de la ciudad.

Cuando se trata de redes abstractas, es difícil dar una estimación significativa del área de las carreteras que utilizan. Como una medida alternativa de la complejidad estructural, se puede calcular la potencia total de todos los flujos laterales. Según lo planeado, el valor resultante debe reflejar la intensidad de recursos de la construcción de todos los intercambios requeridos por la red. No puedo decir que en la práctica este método siempre tendrá una buena interpretación, pero probablemente se obtendrá una idea aproximada de la cantidad de trabajo por delante.

Dentro de la red logarítmica con fusión preliminar, los flujos laterales solo existen en el árbol Directo de direcciones, y su potencia total para cada generación de nodos es la misma: n / 2. En total, hay log ₂ n de generaciones de nodos en el árbol, por lo tanto, un nuevo método para evaluar la complejidad proporciona una estimación de la complejidad: O ( n log ₂ n ).

Redes logarítmicas con fusión preliminar.

El número de puntos de dirección con potencia 1 .......................................... .......... n
Tiempo de viaje promedio
perdido debido a los costos de cambio:
asintóticas ................................................. .................................................. ... O ( n )
valor exacto ................................................ .................................................. ..... ( α / 2 ν ) ⋅ n
Número de nodos de conmutación .............................................. ................................ O ( n )
Número de nodos de conmutación, dada la potencia de los flujos laterales ....................... O ( n log ₂ n )

Pérdidas en las redes con división preliminar.

Pasamos ahora al análisis de la red logarítmica con división preliminar, asumiendo nuevamente que la red se utiliza para conectar los puntos de dirección con la potencia 1 en la ciudad con 'acceso aleatorio'.
El gráfico 16 muestra un fragmento que consta de un punto de dirección junto con los árboles de dirección directa e inversa adyacentes a este punto.


Gráfico 16

En primer lugar, podemos estimar la intensidad de las pérdidas de conmutación generadas por el fragmento.
Los costos incurridos durante la división de los flujos se pueden encontrar mediante la siguiente ecuación I _{t_div1} = ( α / 2 ν ) ⋅ n ² , que se dedujo para el árbol de Dirección directa en el ejemplo anterior, 1 en lugar de n . De hecho, los árboles de Dirección directa en los Gráficos 16 y 14 tienen la misma profundidad e involucran flujos similares en potencia (nota: similitud significa la capacidad de obtener un conjunto de valores multiplicando los valores de otro conjunto por algún número fijo , para ilustrar, la similitud entre triángulos por sus lados). Debido a la relación cuadrática entre el valor de los costos de cambio que ocurren en una sola bifurcación y la potencia de su flujo entrante, una disminución simultánea en todos los flujos en n veces reducirá las pérdidas en todo el árbol en n ² veces, por lo tanto, en su lugar del antiguo ( α / 2 ν ) ⋅ n ² , obtenemos un valor igual a:

I _{t_div2} = ( α / 2 ν ).

Ahora podemos calcular el valor de los costos en la mitad izquierda del fragmento.
Debido al poco valor de los flujos combinados de la carretera dentro del árbol de Dirección inversa, esta vez no sería razonable construir una carretera más ancha que dos carriles. La fusión en tales condiciones ya no es gratuita: en contraste con el ejemplo anterior, hay áreas de estrechamiento en la carretera (Gráfico 17), donde los costos de cambio serán necesariamente necesarios.


fig. 17

Suponiendo que el conductor esté al tanto del próximo estrechamiento de antemano, podemos suponer que el proceso de cambio desde el carril del callejón sin salida es lento y se extiende cientos de metros a lo largo de la carretera. En este caso, tenemos derecho a recurrir al truco que utilizamos anteriormente para calcular las pérdidas en la bifurcación simétrica: dividir el flujo de migración total q en muchas partes pequeñas q _i y luego interpretar cada una de ellas como una corriente lateral desde la rampa Las pérdidas generadas por cada subcorriente se calculan mediante la fórmula:

I _i = ( α / 2 ν ) ⋅ p q _i ⋅ (1 + 1 / s ), sin embargo, aquí hay dos sutilezas.

La primera es que los automóviles no migrarán más allá de la siguiente fila.
De hecho: los flujos en los dos carriles centrales, debido a una simetría obvia, siempre deben tener aproximadamente la misma densidad, por lo que los conductores no tendrán muchas razones para cruzar la línea media. A partir de la observación realizada, se puede inferir que en la fórmula para pérdidas causadas por flujo lateral parcial, s es igual a 1.

A medida que los automóviles salen de los carriles de borde, cambiando a dos carriles centrales, la potencia de flujo dentro de los carriles centrales aumenta gradualmente, cambiando en cada caso de P / 2 a P. Por lo tanto, la segunda sutileza es la dependencia significativa de p en el número de la sub corriente i , lo que nos hace escribir:

no
I _i = ( α / 2 ν ) ⋅ p q _i ⋅ (1 + 1 / s ),
pero:
I _i = ( α / 2 ν ) p ( i ) ⋅ q _i ⋅ (1 + 1 / s ).

En el caso de que muchas partes pequeñas, en las que se dividió el flujo de migración, fueran todas del mismo tamaño, la dependencia p ( i ) se expresa mediante un gráfico lineal (Gráfico 18)


Cuadro 18

Para calcular la tasa de intensidad de pérdida, debemos recurrir a la integración o (esto hace posible hacer una forma particularmente simple de una función integrable) tomar como p ( i ) el valor promedio en el gráfico igual a 3 P / 4. Dado que el flujo de migración total desde el lado de cada carril de borde es P / 2, la intensidad de las pérdidas en un nodo de fusión separado será:

_Fusiono = 2 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ (3 P / 4) ⋅ ( P / 2) =

= ( α / 2 ν ) 3 P 2/4.

Para encontrar las pérdidas de tiempo generadas dentro de un fragmento en el árbol de Dirección inversa, podemos aplicar la fórmula para _fusionar a cada uno de sus nodos:

I _{t_merge} = (3/4) ⋅ ( α / 2 ν ) [1 ⋅ (1/2) ² + 2 ⋅ (1/4) ² + 4 ⋅ (1/8) ² + ... + ( n / 2) ⋅ (1 / n ) ² ] ≈

≈ (3/4) ⋅ ( α / 2 ν ) [1/4 + 1/8 + 1/16 + ...] =

= (3/8) ⋅ ( α / 2 ν ) [1/2 + 1/4 + 1/8 + ...] =

= (3/8) ⋅ ( α / 2 ν ).

Los costos totales que surgen dentro del fragmento debido a la fusión y división de flujos serán:

I _{t_merge} + I _{t_div2} = ( α / 2 ν ) [1 + 3/8] = 11/8 ( α / 2 ν ).

Una red logarítmica con división preliminar contiene solo n fragmentos de este tipo, y sus puntos de dirección generan exactamente n flujos con potencia 1, por lo que el valor que acabamos de encontrar es exactamente igual a las pérdidas de conmutación por viaje promedio.

De hecho, es más importante para nosotros ni siquiera un número específico, que es igual a los costos de cambio específicos, sino el hecho de que estos costos permanecen constantes al aumentar n . Esto último hace que la red logarítmica con división preliminar sea asintóticamente la más económica con respecto a las pérdidas de conmutación entre todos los tipos de redes que estudiamos anteriormente.

Lamentablemente, el liderazgo no es gratis. A pesar del valor desvanecedoramente pequeño del abrumador número de flujos, cada árbol de direcciones incluido en la red contiene aproximadamente 2 n extremidades de carretera de dos carriles y aproximadamente n nodos de conmutación de tamaño completo. Hay 2 n árboles en la red, lo que significa O ( n ² ) miembros y nodos, lo que lo hace no solo el más económico en términos de eficiencia de tiempo, sino también la red más costosa de construir, entre todos los ejemplos considerados.

En cuanto a la suma de los flujos laterales, su valor, como se puede calcular fácilmente, crece con la velocidad O ( n log2 n ) y en este caso no tiene mucho significado.

Redes logarítmicas con división preliminar.

El número de puntos de dirección con potencia 1 .......................................... ............ n
Tiempo de viaje promedio
perdido debido a los costos de cambio:
asintóticas ................................................. .................................................. ...... O (1)
valor exacto ................................................ .................................................. ........ 11/8 ( α / 2 ν ).
Número de nodos de conmutación .............................................. ................................... O ( n ² )
Número de nodos de conmutación, dada la potencia de los flujos laterales ........................... O ( n log ₂ n )

Red logarítmica equilibrada

Las pérdidas de conmutación excepcionalmente pequeñas y, al mismo tiempo, el considerable consumo de recursos de la construcción de la red, derivado de la aplicación de una red logarítmica con división preliminar, nos hacen querer encontrar alguna forma de cambiar su diseño para que el consumo de recursos se reduzca significativamente, mientras que el los costos de cambio no aumentarían sustancialmente.

Obviamente, el principal culpable de un número excesivamente grande de carreteras en la red es la eficiencia extremadamente baja de su uso. Esto último se ve claramente en el Gráfico 19, que muestra un diagrama detallado de flujos dentro de un árbol de Dirección directo adyacente al i-ésimo punto de dirección.


Gráfico 19

En el cuadro, el número sobre la rama del árbol denota la potencia del flujo que pasa a lo largo de la rama, y ​​el rango a continuación es el conjunto de puntos de dirección entre los cuales este flujo finalmente se distribuirá. Suponemos que todas las ramas presentadas en la tabla son carreteras de dos carriles, la cantidad de ramas en cada generación del árbol se indica en la parte inferior de la figura.

Tras una cuidadosa consideración, puede observar que la regla por la cual se divide el flujo en un nodo particular está determinada únicamente por la posición de este nodo dentro del Árbol de direcciones y no depende del número del punto de dirección que dio inicio a estos viajes. .

Si hay varios flujos dirigidos al mismo conjunto de puntos, y cada uno de los flujos no es lo suficientemente potente como para llenar el camino asignado, entonces, ¿por qué no los combinamos en una sola carretera? De hecho, esta idea esencialmente simple hace posible construir una buena red abstracta que genera pérdidas de conmutación relativamente pequeñas y es económica en términos de la cantidad de caminos utilizados.

Volviendo al árbol de direcciones del i-ésimo punto, vemos que el flujo que ingresa al nodo raíz se divide en dos flujos hijo con una capacidad de 1/2 cada uno. El primer flujo hijo consiste en viajes dirigidos a puntos del rango [1; n / 2], el segundo consiste en viajes dirigidos a puntos del rango [( n / 2) + 1; n ].

Siguiendo la idea esbozada anteriormente, combinamos los flujos hijo del mismo tipo en cada punto impar y el punto de dirección que lo sigue en orden con un número par. Esta técnica nos permite que cada par de puntos seleccionados tenga, en lugar de cuatro flujos con una potencia de 1/2, solo dos flujos con potencia 1 (Gráfico 20). Nombraremos el fragmento obtenido de la red futura como BN ₂ [i; i +1].


Gráfico 20

Si los flujos hijo no se combinaron, sino que todavía estaban dentro del árbol de Dirección, luego, en la próxima generación de nodos, cada uno de ellos se dividiría nuevamente en dos partes, iguales por potencia y por el tamaño de los conjuntos de puntos de dirección a hacia donde se dirigen los viajes.

¿Por qué romper la tradición establecida, porque después del proceso de combinación todavía tenemos el mismo conjunto de tipos de flujo que antes, pero con solo menos representantes de cada tipo? A cada uno de los flujos de salida de BN ₂ [i; i +1], podemos aplicar exactamente la misma regla de división que se aplicaría a un flujo de su tipo dentro del árbol de Dirección.

No hay razón para no repetir inductivamente la construcción lógica descrita anteriormente para la combinación-división de los mismos flujos. El gráfico 21 muestra un esquema para combinar dos fragmentos
BN ₂ en un fragmento de BN ₄ , por otro lado, el Gráfico 22 muestra el mismo algoritmo en el caso general.


Gráfico 21


Cuadro 22

Al final, el proceso de ampliación de fragmentos se completará y nos llevará al único elemento BN _n [1; n ]. Lo llamaremos la red logarítmica equilibrada (Gráfico 23).


Gráfico 23

Examinemos esta red para ver la complejidad y el valor de las pérdidas de conmutación generadas.
Según la naturaleza inductiva del diseño de red equilibrada, la ecuación recurrente puede describir el número de nodos de conmutación incluidos en su estructura:

nodos (BN _k ) = 2 nodos (BN _{k / 2} ) + 2 k ,

con la siguiente limitación:

nodos (BN ₁ ) = 0.

La solución a este sistema de ecuaciones es la función:

nodos (BN _n ) = 2 n log ₂ n .

Dado que el diseño de BN _n requiere pasos de inducción de log ₂ n , cada viaje pasará por nodos de división de log ₂ n y el mismo número de nodos de fusión, alternando entre ellos en su camino (Gráfico 24).


Gráfico 24

Pérdidas generadas dentro de cada nodo de división:
( α / 2 ν ) ⋅ (1) 2/2 .

Pérdidas generadas dentro de cada nodo de fusión:
( α / 2 ν ) ⋅ 3 ⋅ (1/2) 2/4 = 3/16 ( α / 2 ν ).

Teniendo en cuenta que el número de ambos en la Red equilibrada es n log ₂ n , podemos obtener el valor exacto de las pérdidas de conmutación totales:
11/16 ( α / 2 ν ) n log ₂ n ,

que por viaje es:
11/16 ( α / 2 ν ) log ₂ n

Red logarítmica equilibrada

El número de puntos de dirección con potencia 1 .......................................... .......... n
Tiempo de viaje promedio
perdido debido a los costos de cambio:
asintóticas ................................................. .................................................. ... O (log ₂ n )
valor exacto ................................................ .................................................. .... 11/16 ( α / 2 ν ) log ₂ n
Número de nodos de conmutación .............................................. ............................... O ( n log ₂ n )
Número de nodos de conmutación, dada la potencia de los flujos laterales ....................... O ( n log ₂ n )

Las cifras obtenidas anteriormente nos permiten considerar la Red equilibrada como un buen compromiso entre la cantidad de pérdidas de tiempo introducidas y la complejidad estructural general. Su uso como red de carreteras de una ciudad real es en principio posible, pero difícilmente económicamente viable. Me parece que el área donde el uso de la Red equilibrada puede ser realmente de gran beneficio son los sistemas de información a gran escala con requisitos estrictos para la cantidad de retraso de la señal, como las comunicaciones celulares, Internet, la informática distribuida y las computadoras multiprocesador. . Para nosotros, el mayor valor de la Red equilibrada es el método por el cual fue diseñada. Un poco más tarde, utilizando una modificación de este método, podremos mejorar las redes de ciudades lineales y celulares que son realmente cruciales en términos prácticos.

¿Por qué las ciudades históricas están condenadas a atascos?

Mi declaración puede parecer inesperada, pero la respuesta a la pregunta de por qué las ciudades en desarrollo natural, generalmente sufren de atascos de tráfico, ya la encontramos en los párrafos anteriores. Entonces, ¿cuál es la esencia de esto?

El hecho es que muchas ciudades históricas que sobrevivieron después de la era de las fortalezas medievales (por ejemplo, casi todas las capitales del "Viejo Mundo") heredaron de esta época la estructura radial de las calles. Desafortunadamente (para sus residentes modernos), una red de carreteras con una topología similar no escala bien: la densa disposición de las carreteras radiales cerca del centro se está volviendo demasiado rara en la periferia. Como resultado, en el proceso de crecimiento de la población, las calles que inicialmente se ubicaban al margen de los pocos caminos que conducen a la fortaleza se hicieron más grandes y las calles que aparecieron en la periferia fueron cortas y no adquirieron suficiente importancia de tránsito para crecer en amplitud Como resultado, la red de carreteras que vemos ahora en las grandes ciudades históricas con mayor frecuencia se refiere a sistemas de transporte de tipo Arterial, y en nuestra terminología,a las redes logarítmicas con fusión preliminar (incompleta).


(Carreteras de Moscú, foto: Slava Stepanov)

Si hablamos de la longitud de las carreteras por las que debe conducir un conductor, la implementación de este tipo de red no es mala: la distancia recorrida a menudo difiere poco de la distancia en línea recta, y su El valor promedio en la ciudad, como debería ser para los sistemas de transporte “decentes”, crece a una tasa de O (√ n ). El problema es que con la ampliación de la ciudad en la red logarítmica con fusión preliminar, los costos de cambio generados por ella aumentan demasiado rápido: la cantidad de tiempo por el cual, en promedio, el viaje se prolonga debido a ellos, depende del número de personas que viven en la ciudad como O ( n ). Está claro que a partir de alguna n, esta vez prevalecerá sobre el tiempo neto para superar la distancia, en otras palabras, aparecerán atascos en la ciudad.

Sin lugar a dudas, la reorganización del sistema de transporte en las grandes ciudades históricas es una tarea que se puede resolver. Sin embargo, es importante comprender que la construcción de otra, dos o cinco arterias de transporte grandes, aunque mejoren ligeramente la situación en la ciudad, no eliminarán la causa raíz de los atascos. Aparentemente, la única forma de superar los inconvenientes de la red logarítmica con la fusión preliminar es utilizar otra red. Un buen candidato aquí puede ser una red con topología celular, dentro de la cual el tiempo para cubrir la distancia está creciendo, al menos, al mismo ritmo que aumentan las pérdidas de conmutación.


(noche Berlín, foto: Vincent Laforet)

Quizás es por eso que el Berlín moderno, aunque con grandes carreteras arteriales, ya se distingue por una estructura celular claramente visible.

Hay muchas soluciones interesantes en el mundo sobre cómo hacer que los residentes de las ciudades históricas sean más móviles, pero el premio principal en la lucha por la accesibilidad del transporte probablemente debería otorgarse a los ingenieros de Barcelona.


(Red de carreteras actualizada de Barcelona, ​​foto: Vincent Laforet)

Una mirada más cercana a las redes de ciudades lineales y celulares

Después de encontrar y perfeccionar los métodos de análisis en redes abstractas, ahora es el momento de aplicarlos a casos más realistas de ciudades con topología lineal y celular. En esta sección, trataremos de analizar en detalle las características de sus redes de transporte, establecer el valor numérico de la tasa de intensidad de pérdidas de conmutación, descubrir cómo su valor depende del tamaño de los cuartos y analizar posibles variaciones y mejoras.

Ciudad lineal
Esta vez, consideraremos un ejemplo de una ciudad en la que hay dos carreteras de sentido único: la autopista occidental con tráfico hacia el norte y la autopista oriental con tráfico hacia el sur (Gráfico 25).


Gráfico 25

Deje que cada trimestre genere un flujo con potencia 1. En este caso, la potencia de una ruta que se dirige de una cuarta parte a otra equivale a 1 / n .

Para comenzar, definiremos el poder de los flujos laterales en las carreteras. La carretera es única manera occidental al GET a la cuarta parte del i de las del trimestre ( n - i ) hacia el sur, está situado, y el único camino a la obtener la cuarta parte de la i es el barrio de los ( i - 1) en dirección norte localizados. Significa que el poder del intercambio de tráfico fluye entre la autopista occidental y el trimestre i es:

q _{W_out} = ( n - i ) / n- la potencia del flujo lateral que sale de la autopista occidental,
q _{W_in} = ( i - 1) / n - la potencia del flujo lateral entrante.

Está claro que la potencia de los flujos laterales en la autopista del Este depende de i de forma simétrica:
q _{E_out} = ( i - 1) / n - la potencia del flujo lateral que sale de la autopista del Este,
q _{E_in} = ( n - i ) / n - la potencia del flujo lateral entrante.

Por supuesto, la suma de los flujos que salen del i -ésimo trimestre:
q _{E_in} + q _{W_in}= ( n - 1) / n ,

coincide con la suma de los flujos que ingresan:
q _{E_out} + q _{E_out} = ( n - 1) / n ,

y ambos valores no dependen de i (cada trimestre tiene un flujo con potencia 1 / n , este flujo consiste en viajes que comienzan y terminan dentro del trimestre dado).

Para calcular la potencia de los flujos principales, dibujaremos una línea imaginaria a través de la autopista occidental en el mismo nivel con el i -ésimo trimestre. En total, esta línea se cruzará:
(el número de cuartos hacia el sur) × (el número de cuartos hacia el norte) = (n - i ) ( i - 1) de rutas que juntas crean un flujo con la potencia:

P _W ( i ) = ( n - i ) ( i - 1) / n .

La misma fórmula:
(número de trimestres hacia el norte) × (número de trimestres hacia el norte) / n ,
debe expresar la potencia del flujo de tráfico en la autopista oriental P _E , en otras palabras:

P _E ( i ) = P _W ( i ) = P ( i ).

Conociendo la potencia de todos los flujos principales y secundarios, podemos calcular la tasa de intensidad de pérdidas que ocurre en la red en el área cercana al i -ésimo trimestre:

I ( i ) = ( α / 2 ν ) ⋅ P ( i ) ⋅ [( q _{E_in} + q _{W_in} ) ⋅ (1 + 1 / s ) + ( q _{E_out} + q _{E_out} ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= ( α / 2 ν ) ⋅ P ( i ) ⋅ [(1 - 1 / n ) ⋅ (1 + 1 / s ) + (1 - 1 / n ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= ( α / 2 ν ) ⋅ 2 P ( i ) ⋅ (1 - 1 / n ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ ( n - i ) ( i - 1) / n =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ ( n - i ) ⋅ ( i - 1) ⋅ (1 / n ).

Si resumimos la última expresión en i , obtendremos la tasa de intensidad de pérdidas generada por toda la red en su conjunto.

I = ∑ _i I ( i )
= ∑ _i 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ ( n- i ) ⋅ ( i - 1) ⋅ (1 / n ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ n ² ⋅ ∑ _i (1 - i / n ) ⋅ ( i / n - 1 / n ) ⋅ (1 / n ) ≈
≈ 2 ( α / 2 ν ) ⋅ n ² ⋅ ∑ _i (i / n ) ⋅ (1 - i / n ) ⋅ (1 / n ).

La suma ∑ _i ( i / n ) ⋅ (1 - i / n ) ⋅ (1 / n ) para cualquier n grande se puede reemplazar con buena precisión por la integral:

∫ t (1 - t ) d t ( t ∈ [ 0; 1]) = 1/2 - 1/3 = 1/6.

En base a esto, podemos obtener que la intensidad de las pérdidas de conmutación en una ciudad lineal conn cuartos con potencia de 1 a cantidades:

I = ( α / 2 ν ) n ² /3.

Hasta este punto, consideramos solo ejemplos en los que los cuartos siempre generaron flujos con energía 1. Consideremos si la fórmula para cambiar las pérdidas de una ciudad lineal cambiará si para cada trimestre no hay una fuente de flujo con energía 1, pero - λ (los cuartos se volverán λ veces más grandes).

Tomemos una ciudad con m cuartos. Si cuartas partes generan los flujos con el poder 1, entonces las pérdidas de conmutación serían ( α / 2 ν ) m ² /3.

Un aumento en la potencia de producción de disparo por trimestre por un factor de λ conduce a un aumento en los flujos principales y secundarios por un factor de λ . Como resultado, los costos en cada unión, y por lo tanto dentro de la red como un todo, el aumento en un factor de lambda ² veces, y las transformadas pérdidas fórmula en:

I = ( α / 2 ν ) m ² ⋅ lambda ² /3 .

En gran medida, no importa cómo las pérdidas de conmutación dependan del número de barrios de la ciudad, lo principal para nosotros es cómo dependen de la potencia de flujo de todos los viajes generados dentro de ella, o en otras palabras, en el número nfuentes con poder de 1. En este caso, n es igual a m ⋅ lambda , por tanto:

I = ( α / 2 ν ) m ² ⋅ lambda ² /3 =
= ( α / 2 ν ) ( m ⋅ lambda ) ² / 3 =
= ( α / 2 ν ) n ² /3.

En otras palabras, cambiar las pérdidas en una ciudad lineal no depende de cuán pequeña se elija la fragmentación de su territorio en barrios.

Ciudad celular

Imagine una ciudad celular en la que las carreteras de calles perpendiculares se asignan a diferentes alturas / niveles. Esto sería posible, por ejemplo, si todas las carreteras que se dirigían de norte a sur se elevaran sobre puentes, y las carreteras que se extienden de oeste a este se construyan en la superficie de la tierra. Si, además, todas las autopistas tienen tráfico en ambos sentidos, entonces la red de carreteras en dicha ciudad se referirá a la topología celular estándar (Gráfico 26).

El punto aquí, por supuesto, no es llevar a la práctica la red descrita anteriormente: no se vería demasiado estéticamente agradable en el contexto del paisaje de la ciudad y, además, debido a la necesidad de intercambios de varios niveles, se comería arriba la mejor mitad del espacio de la calle. Sin embargo, esta red puramente hipotética es una buena manera de obtener las estimaciones necesarias, que luego pueden extenderse fácilmente a redes de carreteras que son realmente interesantes desde el punto de vista de su aplicabilidad en ciudades reales.

Como de costumbre, asumiremos que las necesidades de migración de los residentes están descritas por el modelo de 'acceso aleatorio', y comenzaremos nuestra consideración con el caso cuando la potencia de todos los flujos generados por un trimestre dado es 1.

En el ejemplo de la ciudad celular estándar, es conveniente apartarse de la tradición establecida y considerar como el punto de dirección no un barrio separado, sino una zona territorial de forma cuadrada dentro de la intersección de carreteras y 1 / 4s de todos los barrios. adyacente a ella. El cuadro 27 muestra el posicionamiento relativo de varias de esas zonas y muestra un patrón de tráfico dentro de una de ellas. Este cuadro demuestra claramente que cualquier conductor, que abandona el trimestre, tiene la oportunidad de ingresar a la autopista y moverse en dirección a cualquiera de los cuatro lados del mundo.


Gráfico 26

Para calcular el valor de los costos de cambio generados por la ciudad, calcularemos la potencia de todos los flujos principales y secundarios dentro de cada una de sus zonas territoriales. La forma y el posicionamiento mutuo de las zonas nos permiten recurrir a una analogía del ajedrez para resolver el problema en cuestión, considerando las zonas como celdas de campo y el movimiento de los automóviles entre ellas, como movimientos de la torre (Gráfico 27). En un caso general, la torre se puede mover de una celda a otra en dos movimientos; si ambas celdas están en la misma línea horizontal o vertical, entonces, en un solo movimiento.


Gráfico 27

Para evitar muchas reservas inconvenientes, asumimos que el movimiento en el que la torre no se mueve a ninguna parte también está permitido de acuerdo con nuestras reglas. La ruta de movimiento de la torre, que consta de dos movimientos, uno de los cuales se realiza necesariamente verticalmente, y el otro, horizontalmente, se llamará el más simple. Es razonable considerar el movimiento 'parado' como vertical y horizontal al mismo tiempo. En este caso, resulta ser cierto que cualquiera de las dos celdas en el tablero están conectadas entre sí por exactamente dos rutas más simples diferentes.

Para los conductores, la ruta más simple es la forma más fácil de llegar, con una mínima interferencia, de una zona territorial a otra, por lo que es razonable suponer que se realizarán viajes reales a lo largo de líneas de ruta elementales. Según el modelo de 'acceso aleatorio', el flujo con la potencia 1 generada por el punto de dirección (zona territorial) debe distribuirse equitativamente entre todos los puntos de dirección n = d ² de la ciudad. Por lo tanto, la potencia del flujo que pasa a lo largo de una línea de ruta es 1 / (2 n ).

Podemos calcular el flujo con qué potencia pasa a través de la celda ( i , j ) en la dirección del sur al norte. La ruta más simple cruza la celda ( i , j) del sur al norte en solo dos situaciones. El primero de ellos (Gráfico 28 a la izquierda):

1a) la celda de inicio de la ruta se encuentra en una de las últimas ( d - i ) líneas horizontales (filas);
2a) el punto final de la ruta es una de las primeras ( i - 1) celdas de la j -ésima línea vertical (columna);
3a) la ruta comienza con una sección horizontal, o se encuentra completamente dentro de la columna j .


Gráfico 28

Las condiciones que describen la segunda situación parecen simétricas (Gráfico 28 a la derecha):

1a) el punto de inicio de la ruta es una de las últimas ( d - i ) celdas de la línea vertical j ;
2a) la celda de llegada de la ruta se encuentra en una de las primeras ( i - 1) líneas horizontales;
3a) la ruta comienza con una sección vertical, o se encuentra completamente dentro de la columna j .

En el tablero de ajedrez solo hay 2 × [ d ⋅ ( i - 1) + 1⋅ ( i - 1)] × ( d - i) rutas más simples adecuadas para los requisitos, que juntas crean un flujo con la potencia:

P _SN ( i , j ) = ( d + 1) ⋅ ( i - 1) ⋅ ( d - i ) / n (= P _SN ( i )).

Fijando j , obtendremos la función

( P _SN ) _j ( i ) = P _SN ( i , j = Const),

Dependencia de la Describiendo la potencia del flujo de los norte mueven a lo largo de la j carretera verticales -ésimo de la distancia al límite superior de la o de la ciudad, la medida en células.
Hay varias observaciones más o menos obvias con respecto a las funciones ( P _SN ) _j ( i ), hablemos de ellas.

Comencemos con una circunstancia que sería difícil de pasar por alto: P _SN ( i , j ) prácticamente independiente del segundo argumento. Como resultado, las funciones ( P _SN ) _j ( i ) = P _SN (i ) tienen la misma forma para todos los valores de j , en otras palabras, la posición específica de la carretera dentro de la ciudad celular no afecta su carga. Formalmente, la última declaración se prueba solo para la carretera que se dirige hacia el norte, pero debido a las simetrías de la ciudad, también se aplica automáticamente a la carretera de otras direcciones.

Ahora veamos la fórmula para P _SN ( i ) en sí:

( d + 1) ⋅ ( i - 1) ⋅ ( d - i ) / (2 n ).

Como vemos, toda la dependencia de P _SN dei on i se encuentra en la expresión ( i - 1) ⋅ ( d - i ). Esta expresión puede interpretarse como el producto de las longitudes de los tramos derecho e izquierdo en los que la sección entera de longitud d se divide después de que el elemento i-ésimo se excluye de él (Gráfico 29a).


Gráfico 29a


Gráfico 29b

Está claro que si cambia "derecha" a "izquierda" e "izquierda" a "derecha" (Gráfica 29b), el resultado del producto seguirá siendo el mismo. Basado en una observación tan simple, podemos sacar dos inferencias que, en esencia, son muy útiles para nosotros:

1. the function P _SN ( i ) is symmetric with respect to the midpoint of the street i = (d + 1)/2, in order words, the flow power at a distance Δ from the lower boundary of the city is exactly the same as at a distance from the lower boundary of the city is exactly the same as at a distance Δ from the upper boundary.
2. On the whole, the city itself is symmetrical up and down, therefore, to get the function ( P _NS ) _j ( i ), which describes the power flow on the j -th highway, but in a southward direction, it's enough to simply mirror the function graph ( P _SN ) _j ( i ) in the line i = ( d + 1)/2. Since ( P _SN ) _j ( i ) = P _SN ( i ), and the graph P _SN ( i ) with respect to the line i = ( d + 1)/2 is symmetric, then ( P _NS ) _j ( i ) = P _SN ( i ) = P _vert ( i ),, in other words,
3. direct and oncoming traffic flows have equal power at any point of the city. A closer graph of P _SN ( i )is shown in Chart 30 (it is believed that d >> 1, i >> 1, d − i >> 1).

Gráfico 30

Los poderes de los flujos principales a lo largo de las carreteras horizontales se encuentran fácilmente utilizando simetrías rotacionales; formalmente, este proceso puede implementarse mediante una simple sustitución de i por j en P _SN ( i ) y una pequeña corrección del índice inferior.

El siguiente paso a seguir es encontrar el poder de los flujos laterales. Los viajes que entran o salen del tráfico en una autopista vertical dentro de la celda ( i , j ), se pueden dividir convenientemente en cuatro categorías:

1. the flow q _{in_transit} : start point is in any cell of the i -th horizontal, finish point is in any cell of the j -th vertical, except for the ( i , j ) itself (Chart 31a);
2. the flow q _{out_transit} : start point is in any cell of the the j -th vertical, except for the ( i , j ) itself, finish point is in any cell of the i -th horizontal (Chart 31b);
3. the flow q _in : start point is the ( i , j ) itself, finish one is any cell outside the i -th horizontal (Chart 31c);
4. the flow q _out : start point is in any cell outside the i -th horizontal, finish point is the ( i , j ) itself (Chart 31d);

Gráfico 32: abcd

Habiendo contado el número de líneas de ruta que pertenecen a cada categoría separada, podemos concluir que las potencias de los cuatro flujos son iguales e iguales:

q ₀ = d ⋅ ( d - 1) / (2 n )

Tener el valores de las potencias de los flujos principales y laterales en una carretera vertical, no es difícil calcular el valor de los costos de conmutación respectivos. Dentro de una sola celda ( i , j ) los costos de cambio serán iguales a:

I _vert ( i , j ) = ( α / 2 ν ) ⋅ P_vert ( i ) ⋅ [( q _in + q _{in_transit} ) ⋅ (1 + 1 / s ) + ( q _out + q _{out_transit} ) ⋅ (1 - 1 / s )]
= 4 ( α / 2 ν ) ⋅ ( d + 1) ( i - 1) ( d - i ) ⋅ d ( d - 1) / 2 n ² ≈
≈ 2 ( α / 2ν ) ⋅ d ⁵ ⋅ ( i / d ) (1 - i / d ) ⋅ (1 / d ) ⁴ =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ d ² ⋅ ( i / d ) (1 - i / d ) ⋅ (1 / d ).

Para encontrar los costos incurridos en todas las calles verticales dentro de toda la ciudad, necesitamos sumar I _vert ( i , j) para ambos índices:

I _vert = ∑ _ij I _vert ( i , j ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ d ² ⋅ ∑ _ij ( i / d ) (1 - i / d ) ⋅ (1 / d ) .

Dado que el valor de los sumandos no depende de j de ninguna manera, sumar sobre el segundo índice es equivalente a multiplicar por d :

∑ _ij ( i /d ) (1 - i / d ) ⋅ (1 / d ) = d ⋅ ∑ _i ( i / d ) (1 - i / d ) ⋅ (1 / d ).

La última cantidad puede ser aproximada por la integral que ya conocemos:

∑ _i ( i / d ) (1 - i / d ) ⋅ (1 / d ) ≈ ∫ t (1 - t ) d t (t ∈ [0; 1]) = 1/2 - 1/3 = 1/6.

En esta Based, podemos obtener:

I _vert = ( α / 2 nu ) ⋅ d ³ /3 = ( α / 2 nu ) ⋅ n √ n / 3.

Podemos responder a la pregunta cuál es el valor de los costos I _horiz , que surgen en las carreteras horizontales, utilizando la simetría de la ciudad:

I _horiz = I _vert = ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n / 3.

Por lo tanto, la tasa de intensidad de pérdidas de conmutación dentro de toda la red de la ciudad celular estándar es igual a:

I = I _vert + I _horiz = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n ,

y por viaje, en promedio, los costos de cambio serán

2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ √ n

El efecto del tamaño de celda en el valor de las pérdidas de cambio

Los trimestres que generan flujos con potencia 1 son una limitación bastante artificial de las condiciones del problema. Podemos extender los resultados obtenidos anteriormente a los casos en que la potencia del flujo generado por una celda es igual a λ .
Deje que la ciudad consista en m de tales celdas. Si todas las celdas fueran potencia 1, entonces la intensidad de las pérdidas de conmutación totales sería I ₁ = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ m √ m . Un aumento en el número de viajes por un factor de λ se multiplicará por λveces las potencias de todos los flujos principales y secundarios en las carreteras, lo que a su vez causará el aumento por un factor de λ ² en todos los costos de cambio generados dentro de la ciudad. La nueva fórmula para la tasa de intensidad de pérdidas tomará la siguiente forma:

I = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) λ ² ⋅ m √ m

Si suponemos que la celda consiste en puntos de dirección λ con potencia 1, entonces el total El número de tales puntos será: n = λm . Expresemos I como una función de n y λ :

I = 2/3⋅ ( α / 2 ν ) λ ² ⋅ m √ m =
2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ √ λ ⋅ ( λ √ λ ) ⋅ ( m √ m )
= 2/3 ⋅ √ λ ( α / 2 ν ) ⋅ ( λ m ) √ ( λ m ) =
= 2/3 ⋅ √ λ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n .

El costo promedio por viaje bajo las nuevas condiciones será 2/3 ⋅ √ λ ( α / 2 ν ) ⋅ √ n , siendo √ λ más alto que su valor en una ciudad compuesta por barrios con poder 1.

La última fórmula nos dice que para la misma población, densidad de población y área total de todas las carreteras, cuanto mayor sea el tamaño de los barrios elegidos por su arquitecto, mayores serán los costos de cambio. En el caso de que la población de la ciudad esté distribuida de manera desigual en su territorio, por supuesto, debemos prestar atención no a las dimensiones geométricas, sino en primer lugar al número promedio de personas dentro del barrio y su actividad migratoria.


(Foto del centro de Nueva York: Vincent Laforet)

La observación anterior es especialmente importante cuando se diseñan áreas con edificios rascacielos. Debido a la combinación de la alta densidad de población y su alta movilidad, es crucial diseñar barrios en áreas de gran altura varias veces más pequeñas de lo habitual para edificios estándar. En las civilizaciones, donde la construcción de rascacielos tiene una larga historia, la práctica de aislar incluso grandes edificios separados como una cuarta parte está muy extendida.

Una ciudad celular con regulaciones de semáforos
En cada caso, cuando las líneas de dos carreteras concurridas se cruzan en el mapa, el arquitecto debe elegir: levantar una de estas carreteras hacia el puente, permitiendo que el flujo de la otra pase libremente por debajo, o realizar la intersección en el mapa. forma de una intersección, y resolver el conflicto de flujo mediante la regulación del semáforo. La segunda opción a menudo se elige en las ciudades, ya que es atractiva y simple, no implica la necesidad de construir estructuras de ingeniería a gran escala y, además, proporciona a los peatones una forma fácil de cruzar la calle.


(cuartos de negocios de Los Ángeles en la tarde, foto: Boris Shein)

El uso de semáforos en redes con topología celular tiene sus propias características. En el Capítulo 1, se demostró que con la sincronización adecuada de los semáforos, los automóviles, mientras se mueven por la misma calle, ni siquiera tienen que detenerse en las intersecciones: una luz verde siempre se iluminará en su dirección. Este tipo de fenómeno generalmente se denomina gestión del tráfico de la ola verde. Para crearlo, los flujos de tráfico deben dividirse en dos alternados: llenos de automóviles y libres de ellos. A continuación, se selecciona un modo de operación de semáforos que en el período de tiempo en que la siguiente "porción" pasa la intersección a lo largo de una de las calles, la porción anterior de automóviles que se mueven a lo largo de la calle perpendicular ya la ha pasado, y la siguiente uno aún no ha llegado (Gráfico 33).


Gráfico 33

La gestión del tráfico de olas verdes conlleva sus propios costos e impone ciertas restricciones en el diseño de las calles de la ciudad.

Mirando nuevamente la Tabla 33, es fácil ver que en un momento dado no se usa exactamente la mitad del área de todas las carreteras. Para compensar este tiempo de inactividad, en la mitad utilizada activamente, la potencia local de los flujos de automóviles y el número de carriles necesarios para ellos debe ser el doble que en una ciudad con pasos elevados.

La segunda circunstancia más importante asociada con el uso de ondas verdes es la estricta regulación del tamaño permitido de los cuartos: su longitud (para calles de dos vías) debe ser un múltiplo de la longitud de la onda verde llena (una sección del flujo dentro del cual es posible un movimiento sin obstáculos), que asciende a unos 500 metros. Como se señaló en el párrafo anterior, las áreas con una alta densidad de población requieren una mayor frecuencia de ubicación de las carreteras, por lo que la restricción de la distancia entre autopistas (el tamaño permitido de los barrios) puede causar dificultades de tráfico.

Es interesante observar que en la gestión del tráfico de la ola verde, las reglas de conmutación dentro de la red cambian ligeramente. Por ejemplo, la adición de un automóvil más al flujo de tráfico principal se puede realizar en los intervalos entre las zonas llenas, sin causar costos de cambio serios (punto 1 en el Gráfico 34a).


Gráfico 34

Por supuesto, este automóvil tendrá que perder algo de tiempo esperando la zona vacía más cercana antes de ingresar a la autopista, y luego permanecer en el semáforo hasta que llegue la siguiente zona llena (punto 2, Gráfico 34a), sin embargo El valor de estas pérdidas no depende ni del tamaño de la ciudad ni del ajetreo del tráfico en la calle, por lo tanto, pueden descuidarse a gran escala.

La situación es completamente diferente si un automóvil intenta salir del tráfico de la autopista (Gráfico 34b). Aquí, aparentemente, ya no hay formas difíciles de reducir las pérdidas de conmutación creadas por el controlador. Además, debido a la duplicación de la potencia local del flujo dentro de las zonas llenas, dejar un automóvil seleccionado al azar del mismo causa que el tiempo cueste el doble que en una ciudad con pasos elevados. En total, la "entrada" más barata y la "salida" más cara se compensan entre sí, lo que hace que la ciudad de Traffic Light Cellular a este respecto casi no sea mejor, pero no peor que la estándar.

Paso elevado Ciudad celular con tráfico unidireccional

Además del uso de semáforos, hay al menos una oportunidad más para evitar los intercambios monstruosos de la ciudad estándar. Implica dividir las carreteras de dos vías espacialmente (Gráfico 35).


Gráfico 35

Como resultado de tales cambios, el número de calles se duplicará, todas se convertirán en calles de un solo sentido, pero lo más importante, los intercambios se simplificarán enormemente (Gráfico 36).


Gráfico 36

Dado que la cantidad de autopistas que se dirigen a cada uno de los lados del mundo y la cantidad de viajes que pasan por ellas siguen siendo las mismas, las potencias de todos los flujos junto con los costos de cambio en la ciudad celular unidireccional y la ciudad estándar con Los cuartos 2 veces más grandes (linealmente) deben coincidir. Si comparamos las ciudades Standard y One-way con los mismos cuartos de tamaño, entonces las pérdidas de cambio en la segunda serán dos veces más altas.

Redes viales avanzadas

Calle "lineal"

¿Cómo se podrían reducir las pérdidas de conmutación en una red celular? La respuesta a esta pregunta se puede encontrar seleccionando una analogía correcta, con la ayuda de un poco de comprensión.

Consideremos una modificación algo inusual de la red celular, lo que implica que todas las carreteras que se extienden de oeste a este son bidireccionales, mientras que las carreteras perpendiculares a ellas son de una sola dirección: norte o sur, y estas direcciones se alternan desde la calle a la calle

Como siempre, asumiremos que la ciudad sigue el modelo de acceso aleatorio y que cada cuarto genera un flujo con potencia 1.

En este caso, parece bastante plausible que el flujo se origine dentro del barrio ( i , j) se distribuye entre las calles más cercanas de la siguiente manera: 1/4 de ellas irá a la carretera horizontal hacia el norte, 1/4 - a la carretera horizontal hacia el sur, 1 / 4⋅ i / d - a la carretera vertical hacia el norte y 1 / 4 ⋅ (1 - i / d ) - a la segunda autopista vertical hacia el sur (Gráfico 37).

Gráfico 37

De hecho, de acuerdo con los algoritmos de ruta discutidos anteriormente, según las estadísticas, la mitad de los viajes comenzarán desde una sección horizontal, y para los conductores que preferirían esta mitad, en gran medida no debería importar si su ruta se encuentra hacia el norte o hacia el sur del barrio ( i , j ). La mitad restante de los viajes comenzará desde una sección vertical del tráfico y se dividirá entre autopistas que se dirigen hacia el sur y el norte como una proporción del número de cuartos que se encuentran hacia el sur desde el cuarto ( i , j ) al número de cuartos que se encuentran hacia el norte de ella.

En cuanto al flujo de viajes hacia el trimestre ( i , j), la regla de su división con respecto a las carreteras que rodean el barrio será simétrica (gráfico 38).


Gráfico 38

Entre las cuatro intersecciones adyacentes al cuarto ( i , j ), podemos considerar por separado los flujos laterales en la intersección de la carretera horizontal inferior y la calle vertical con tráfico hacia el norte (Gráfico 38). El flujo de automóviles que entran en la intersección y se dirigen desde la calle horizontal hacia la vertical es:
1 / 2⋅ (número de cuartos en la horizontal) × (número de cuartos en la vertical no inferior a ( i , j )) ⋅ 1 / d ² =
= 1/2 ⋅ d ⋅ i / d ² =
= 1/2 ⋅ i/ d .

La potencia del flujo lateral en la dirección opuesta es:
1 / 2⋅ (el número de cuartos en la vertical es estrictamente menor que ( i , j )) × (el número de cuartos en la vertical) ⋅ 1 / d ² =
= 1/2 ⋅ ( d - i ) ⋅ d / d ² =
= 1/2 ⋅ (1 - i / d ).

Ahora volvamos nuestra atención de la ciudad celular en su conjunto a cualquiera de sus calles verticales, llamémosla My_street. En virtud de las simetrías, no limitaremos nuestro razonamiento de ninguna manera, si suponemos que el movimiento a lo largo de My_street se dirige de sur a norte (Gráfico 39).


Gráfico 39 El

Gráfico 40 muestra la potencia de los flujos principales y laterales en la autopista a lo largo de My_street, que, como puede notar el lector, son increíblemente similares a gráficos similares para la autopista de un sentido de una ciudad lineal (Gráfico 26).



Gráfico 40

En estos ejemplos, los diagramas de flujo coinciden completamente si dentro de My_street los flujos laterales relacionados con cada par de cuartos opuestos y la carretera horizontal debajo de ellos están formalmente asignados a una celda territorial imaginaria. Como se puede ver en las tablas anteriores, la red de carreteras de una ciudad lineal genera algunas de las mayores pérdidas de conmutación entre las redes que ya hemos estudiado. Desde este punto de vista, el patrón de tráfico dentro de los límites de una sola calle de una ciudad celular parece extremadamente ineficiente y es un elemento que debería mejorarse en primer lugar.

Red de ciudad lineal avanzada

Por lo tanto, nos enfrentamos a la tarea de mejorar una red lineal para que no se convierta en una "cuadrada". La circunstancia que representa la mayor ineficiencia en la operación de la Red Lineal es la fusión de todas las rutas en solo dos flujos de tráfico muy grandes. En esta situación, un paso razonable sería dividir los flujos a lo largo de sus dos carreteras en Q partes iguales. Dado que los costos de tiempo causados ​​por cada automóvil que se une o sale del tráfico son proporcionales a la intensidad del tráfico en él, como resultado de dividir las líneas de la calle en Q partes aisladas (Gráfico 41a), las pérdidas de cambio dentro de una ciudad lineal deberían haber disminuido Q veces .


Gráfico 41

Incluso después de la construcción de diez carreteras cercanas, no podemos esperar que los propios conductores se distribuyan equitativamente entre ellos; desafortunadamente, no parece tener una posibilidad de éxito. Una decisión mucho más reflexiva sería diseñar la red de manera que cada camino no conduzca a todos los barrios, sino solo a un pequeño "segmento" de la ciudad, donde sería difícil llegar sin usar el camino dado (Gráfico 41b )

Puede ver una idea similar en el esquema de movimiento de los ascensores dentro de edificios de varios pisos donde cada ascensor le permite entrar y salir no en todos los pisos, sino solo dentro de un cierto rango de alturas. Al aceptar este concepto, echemos un vistazo más de cerca a la carretera r _k , que da acceso al segmento Δ_k = ( x _k , x _{k +1} ] para viajes que comenzaron (no estrictamente) hacia el sur desde xk (se cree que la numeración de los trimestres se realiza de abajo hacia arriba).

De cada trimestre qué número es menor (no estrictamente ) que x _k , una q _en flujo con una potencia de Δ _k | / n (1 / n por cada cuarto dentro de Δ _k ) ingresa a la carretera r _k , al mismo tiempo se supone que no hay posibilidad de girar de r _khacia cualquiera de los barrios mencionados, ya sea debido a las normas de tránsito establecidas o debido a un diseño especial de la red de carreteras.

Los carros acumulados en el segmento [1, x _k ] eventualmente se distribuirán uniformemente entre los cuartos dentro de Δ _k , por lo tanto, si no hubo viajes cuyos puntos de inicio y finalización se encuentren dentro de Δ _k , entonces el lado fluye q _{hacia afuera} en la dirección de cada uno de los trimestres en esta sección tendría la potencia x _k / n (Gráfico 42).


Gráfico 42

De hecho, la contribución de los viajes "internos" a la potencia de los flujos laterales existe, sin embargo, el valor de esta contribución nunca excede | Δ _k | / n , por lo tanto, en el caso cuando x _k >> | Δ _k |, puede ser simplemente descuidado. La potencia p _k del flujo principal a lo largo de r _k con las simplificaciones realizadas estará representada por un gráfico de dos secciones rectas con un P _k máximo igual a x _k ⋅ | Δ _k | / n. El valor aproximado de las pérdidas de conmutación en la carretera r _k se puede encontrar mediante la fórmula:

I _k = ( α / 2 ν ) ⋅ ∑ _x [ q _in ( x ) ⋅ p _k ( x ) ⋅ (1 + 1 / s ) ] + ( α / 2 ν ) ⋅ ∑ _x [ q _fuera ( x ) ⋅ p _k ( x ) ⋅(1 - 1 / s )] =

= ( α / 2 ν ) ⋅ (1 + 1 / s ) ∑ _x [| Δ _k | / n ⋅ p _k ( x )] + ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / s ) ∑ _x [ x _k / n ⋅ p _k ( x )]

= ( α / 2 ν ) ⋅ (1 + 1 / s) ⋅ ( x _k ⋅ | Δ _k | / n ) ⋅ ( ∑ _x p _k ( x )) / x _k + ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / s ) ⋅ ( x _k ⋅ | Δ _k | / n ) ⋅ ( ∑ _x p _k ( x )) / | Δ _k |,

donde la primera suma se toma sobre un segmento x ∈ [1, x _k ], y la segunda sobre x ∈ Δ _k . Las expresiones:

( ∑ _x p _k ( x )) / x _k , x ∈ [1, x _k ] y

( ∑ _x p _k ( x )) / | Δ _k |, x ∈ Δ _k

no son más que la potencia promedio del flujo a lo largo de r _kdentro de los intervalos indicados. Dado que el gráfico de potencia dentro de estos intervalos tiene la forma de una línea recta, la potencia promedio en ambos casos es P _k / 2. Reemplazando

x _k ⋅ | Δ _k | / n por
P _k ,

finalmente presentamos la fórmula para la tasa de intensidad de pérdidas en su forma más simple:

I _k = 2 ( α / 2 ν ) ⋅ P _k ⋅ P _k / 2 = ( α / 2 ν ) ⋅ P _k ²

Tratemos ahora de calcular la secuencia x _k de los números de esos trimestres por los cuales una ciudad lineal debe dividirse en segmentos. Como criterio para la selección de segmentos, podemos tomar el requisito de que la potencia máxima de los flujos de tráfico P _k en las carreteras que se aproximan a ellos debe tener el mismo valor, independiente de k , en otras palabras:

x _k ⋅ | Δ _k | = Const.

Recordando eso | Δ _k | = x _{k + 1} - x _k , podemos inferir la ecuación de diferencia:

x _{k + 1} - x_k = Const / x _k .

Suponiendo que x y k son variables continuas, y reemplazando

x _{k + 1} - x _k = x ( k + 1) - x ( k )

por d x / d k ⋅ 1,

podemos aproximar la ecuación de diferencia por la diferencial:

d x / d k = Const / x <=> x d x = Const ⋅ d k .

de donde podemos inferir una solución para x _k en la forma general:

x _k = C ₁ √ ( k + C ₂ ).

Nos queda por determinar el valor de las constantes C ₁ y C _{2 en} función de sus condiciones de contorno, sin embargo, hay una sutileza importante en este asunto. A diferencia de la situación en otros segmentos, todos los automóviles que llegaron desde la autopista occidental a los barrios del segmento con el número 1, comenzaron sus viajes dentro del mismo segmento. Como resultado, el gráfico de la potencia de flujo en la primera carretera hacia el norte tendrá la forma de una parábola invertida regular.

Al mismo tiempo, las condiciones a priori a partir de las cuales se obtuvo la fórmula para x _k esencialmente suponían que los gráficos de potencia de flujo en todas las carreteras deberían estar cerca de una vista triangular, y los viajes en sí mismos deberían comenzar principalmente fuera del segmento donde se dirigen a. Estos requisitos se pueden cumplir con una precisión razonable si dividimos formalmente el primer segmento en dos partes iguales, sin aumentar el número de carreteras. La mayoría de los viajes que tienen lugar a lo largo de la primera autopista comienzan en su mitad sur y terminan en la mitad norte. Considerando solo ellos, por lo tanto no cometemos un gran error al calcular las pérdidas de conmutación, pero ahora el diagrama de potencia del flujo principal tendrá solo una forma triangular (Gráfico 43).


Gráfico 43

Es el medio del primer segmento que debe considerarse el punto x ₁ en la fórmula para x _k . Esto nos permite obtener la primera condición límite:

x ₂ = 2 x ₁ o

√ (2 + C ₂ ) = 2 ⋅ √ (1 + C ₂ ) =>

C ₂ = - 2/3.

La segunda condición límite se puede obtener del requisito de que las carreteras y los segmentos de todo sean exactamente Q , lo que significa que x _{Q + 1} debe ser posterior al trimestre con el mayor número en la ciudad:

C₁ √ ( Q + 1 - 2/3) = n + 1, de donde

C ₁ ≈ ( n + 1) / √ Q .

Por lo tanto:

x _k ≈ ( n + 1) ⋅ √ ( k - 2/3) / √ Q ,

El | Δ _k | ≈ d x / d k = ( n + 1) / 2√ ( k - 2/3) ⋅ √ Q

P _k = x _k ⋅ | Δ _k | / n =

= ( n + 1) ² /2 n ⋅ Q ≈ n / 2 Q

I _k = ( α / 2 ν ) ⋅ P _k ² =

= ( α / 2 ν )⋅ ( n / 2 Q ) ² .

Como todas las autopistas 2 Q generan pérdidas de la misma intensidad, el valor de los costos de conmutación dentro de toda la red será:

I = 2 Q ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ ( n / 2 Q ) ² = ( α / 2 ν ) ⋅ n ² /2 Q .

Como puede ver, se logró el resultado deseado: después de dividir las carreteras principales en Qpartes, las pérdidas de hecho disminuyeron en un factor de Q (excepto por el aumento del coeficiente constante de 1/3 a 1/2, en comparación con la fórmula para la ciudad lineal habitual). Bueno, estamos a medio camino, solo queda aplicar este resultado para mejorar la ciudad con la arquitectura celular.

'Elevador de rascacielos' en una ciudad celular

Para simplificar, consideraremos un ejemplo de una ciudad en la que todas las calles son de sentido único. Usando la analogía entre una ciudad lineal y las calles individuales de una ciudad celular, podemos dividir la carretera a lo largo de esta última en Qpartes Por defecto, se cree que al salir del trimestre, el conductor puede elegir cualquier carretera que pase cerca de él. Al mismo tiempo, entre todas las carreteras ubicadas a lo largo de una calle, hay un giro hacia un barrio específico desde exactamente una de ellas. En el proceso de establecer reglas, su uniformidad y simplicidad son extremadamente importantes. Echemos un vistazo a la tabla 44:


En el cuadro 44,

todas las calles tienen la misma vista y las mismas reglas en cuanto a cuál de las carreteras abre el acceso a qué barrio. El cuadro 45 muestra un diagrama de giros permitidos entre carreteras. Mirando esta imagen, es difícil no confundirse. Lo mismo se suele decir sobre el esquema subterráneo en alguna gran ciudad. Sin embargo, en ambos casos, todo se vuelve claro y simple si conoce la lógica de la idea. La regla lógica de los giros permitidos parece bastante simple: si conduce a lo largo de una carretera, cruza las carreteras perpendicularmente a su movimiento y puede convertirse en un cuarto ubicado directamente detrás de ellas, puede girar en cualquiera de estas carreteras.


Gráfico 45

La topología del 'elevador de rascacielos' es compatible con las intersecciones y los pasos elevados de los semáforos. Es difícil, pero posible generalizarlo a redes no necesariamente de estructura celular o lineal. Esto último es realmente importante para las ciudades históricas, donde es poco probable que sea una decisión correcta demoler la mitad de los monumentos históricos para diseñar muchas calles pequeñas y rectas, pero en las que ya hay calles bastante grandes que pueden acomodar varios dos - o autopistas de tres carriles.

Sobre los problemas de transporte y el trabajo de un matemático

Es agradable completar el trabajo laborioso de 6 meses. El trabajo que escribí, por supuesto, no resuelve todos los problemas y dificultades del diseño de carreteras: este problema requiere una gran cantidad de personas muy versátiles y con múltiples habilidades. Sin embargo, sus resultados brindan la oportunidad de ver errores importantes en ciudades ya construidas y proporcionan métodos para evitar dichos errores en el futuro. Este artículo no pretende ser un libro de referencia que cubra todos los casos posibles que un ingeniero puede enfrentar en la práctica: consideré que mi objetivo principal es dar un nuevo punto de vista, desarrollar una nueva forma de razonar y hablar sobre el problema, proporcionar el lector con el mínimo necesario de ejemplos de modelos simples que el lector podría ampliar aún más.

Se vuelve triste cuando te das cuenta de cuánto tiempo perdieron los residentes de la ciudad en atascos de tráfico solo porque en el momento adecuado no había un matemático que pudiera pasar la noche en un problema completamente solucionable. ¿Cuántos de esos problemas aún rodean nuestra vida o se esconden en su profesión? ¿Hay una persona sentada cerca de usted en el trabajo cuyas herramientas son un lápiz y una hoja de papel?

Espero que todo cambie para mejor.

Quisiera expresar mi sincero agradecimiento a Janine Lacroix (seudónimo) por su trabajo en la traducción de este texto del ruso original al inglés.
¡Gracias por su atención y buena suerte!
Sergei Kovalenko

2019
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(Foto: Vincent Laforet)