Resolver problemas de un artículo sobre aleatoriedad perfecta

¿Existe un objetivo, una oportunidad ideal, o es el resultado de nuestra ignorancia?

En septiembre, se publicaron varios problemas, con la ayuda de los cuales estudiamos procesos aleatorios en objetos cotidianos: cerraduras para bicicletas o rompecabezas. Veamos ahora las soluciones a estos problemas.

Riddle 1: combinaciones aleatorias

La tarea fue la siguiente:

Considere un código de bloqueo simple para una bicicleta, similar a la imagen a continuación. Tiene tres discos giratorios, cada uno de los cuales muestra 10 dígitos en orden. Cuando estos tres discos se giran para obtener la combinación deseada, 924, se abre el bloqueo. Cuando desee cerrarlo, debe mezclar los números para que estén muy lejos de la combinación dada. Pero, ¿qué significa "lejos" en este contexto? Si mueve el disco tanto como sea posible en 5 posiciones, establecerá el número 479. Sin embargo, será fácil para un atacante tropezar accidentalmente con esta posición si simplemente gira los cinco discos al mismo tiempo y ve si se abre el bloqueo. Imagine que una galleta tiene tiempo para probar cinco combinaciones diferentes. En cada caso, nuestro ladrón potencial prueba nuestro castillo después de una de las siguientes acciones (y en caso de falla, devuelve el castillo a su configuración original):

1. Gire una unidad en un número aleatorio de posiciones.
2. Gire dos discos simultáneamente en un número aleatorio de posiciones.
3. Gire los tres discos al mismo tiempo por un número aleatorio de posiciones.
4. Gire dos discos en diferentes ángulos.
5. Gire los tres discos de manera diferente.

Nuestro enigma es este: si el código de desbloqueo de bloqueo es 924, ¿qué conjunto de números mixtos será el más estable para intentos aleatorios de abrir el bloqueo, y cuántos conjuntos existen? ¿Cuál es la probabilidad de detectar código?

La primera formulación del problema resultó ser algo ambigua, porque al principio no indiqué que después de cada paso el ladrón gira el candado a su posición original. Uno de los lectores analizó este problema, siempre que el "número aleatorio" en los primeros tres casos no sea igual a cero, y los ángulos de rotación "diferentes" en las opciones 4 y 5 no sean necesariamente iguales. Sin embargo, otro lector señaló que si acepta la última suposición y gira los discos de bloqueo para que dos discos giren en un ángulo y el tercero en el otro, como, por ejemplo, en la combinación 036, entonces el ladrón no podrá abrir el bloqueo, ya que ninguno de opciones no funciona tal combinación.

La solución al problema tiene en cuenta que en los pasos 4 y 5, los discos se pueden girar en diferentes ángulos. También asumimos que en las tres primeras variantes el ladrón puede girar los discos seleccionados un giro completo, es decir por 10 (o 0) dígitos y devolverlos a su estado original. Habiendo especificado esto, calculamos la probabilidad de cada una de las acciones del ladrón. Tenga en cuenta que cualquier acción tomada por un ladrón para obtener una determinada combinación es potencialmente reversible; para esto, debe realizar una rotación inversa que complemente la primera y tenga la misma probabilidad. Por lo tanto, la probabilidad de que una rotación aleatoria del disco izquierdo nos lleve de la combinación 924 a 624 es 1 de 10 posibilidades, al igual que la probabilidad de que una rotación aleatoria nos lleve de vuelta de 624 a 924. Y esto es cierto independientemente de si rotamos accidentalmente tenemos una unidad, dos o tres. Por lo tanto, para calcular cuántas combinaciones necesitará un ladrón para seleccionar la deseada, si realiza una determinada acción, podemos comenzar con nuestra combinación 924 dada y luego calcular cuántas combinaciones de tres dígitos podemos obtener de ella.

1. A partir del número 924 y girando un dial, puede obtener combinaciones de tres dígitos de la forma x24, 9x4 y 92x, donde x es cualquiera de los 10 dígitos. Hay 10 combinaciones de este tipo cada una. Sin embargo, sería innecesario incluir la misma combinación 924 en la segunda y tercera variantes, por lo que en realidad obtenemos 10 + 9 + 9 = 28 combinaciones diferentes. Y si accidentalmente giramos los números del castillo para cerrarlo, tenemos una de estas 28 combinaciones, entonces el ladrón tendrá una probabilidad de 1/28 de abrir el castillo.
2. Girar dos discos juntos nos da posibles combinaciones de la forma 9 ##, # 2 # y ## 4, donde los signos # indican la diferencia entre los dígitos de la combinación resultante y los dígitos iniciales (y esta diferencia será la misma para ambos discos). También hay 10 piezas cada una, y excluyendo 924 de la segunda y tercera forma, también obtenemos 28 combinaciones y 1/28 de posibilidades de éxito.
3. La rotación de los tres discos le permite obtener 10 combinaciones: 035,146, 257, 368, 479, 580, 691, 702, 813 y 924, y una probabilidad de 1/10 de éxito.
4. Una rotación aleatoria de dos discos, no necesariamente en los mismos ángulos, da acceso a todas las combinaciones que comienzan con 9 (de 900 y superiores), todas las combinaciones con 2 en el medio y todas las combinaciones que terminan con 4. Cada uno de los tipos puede ser 100 piezas Sin embargo, en las combinaciones 9xx, ya se han contado 10 combinaciones, que terminan en 4 y 10 variantes de la combinación x2x; Además, otras nueve combinaciones que terminan en 4 ya se han contado en combinaciones x2x. Por lo tanto, el número total de combinaciones será 300 - 10 - 19 = 271 para este paso, y tendrá una probabilidad de 1/271 de éxito.
5. Girar los tres discos en un ángulo aleatorio nos da todas las combinaciones de tres dígitos y una probabilidad de éxito de 1/1000.

Tenemos dos conjuntos de números "seguros", los más resistentes a los intentos de piratería. No se pueden obtener por los primeros cuatro métodos, pero solo puede tropezar en el quinto método, donde la probabilidad de éxito es 1/1000. La primera combinación persistente se puede obtener girando cada uno de los tres discos en un ángulo diferente para que ninguno de ellos permanezca en su posición original. Dichas posiciones serán 9 × 8 × 7 = 504. Se puede obtener otro conjunto de combinaciones estables girando dos discos en un ángulo distinto de cero y el tercero en otro ángulo distinto de cero. Esto es 3 x 9 x 8 = 216 combinaciones, y se obtiene un total de 720. Por lo tanto, 720 combinaciones son más seguras que otras.

Enigma 2: de la aleatoriedad al orden en acertijos

La tarea fue la siguiente:

Supongamos que resolvemos un rompecabezas que consta de piezas hexagonales, como panales. La imagen del rompecabezas es una vid sinuosa. Dado que el patrón se repite y es similar, no se puede garantizar que dos piezas adyacentes encajen físicamente entre sí, incluso si encajan en la imagen. Suponga que otros tres pueden ir a cada borde de una pieza dada. Por lo tanto, cuando dos piezas encajan entre sí en la imagen, la probabilidad de que encajen físicamente será del 33,33%. Sin embargo, si puede encontrar otra pieza que se ajuste a ambos, es decir, una que tenga una ventaja común con cada uno de estos dos, entonces aumentará su confianza en el éxito. Intentemos evaluar cuánto crece.

1. Usted ha encontrado tres piezas que parecen encajar a primera vista, sin el desplazamiento obvio del patrón de lianas en sus bordes adyacentes. ¿Cuál es la medida de su confianza en la selección correcta de piezas?
2. Has encontrado una pieza hexagonal central y seis que la rodean, y en la imagen parecen coincidir. ¿Cuál es la medida de su confianza en la selección correcta de piezas?

Cuanto más grandes sean los grupos de piezas, mayor será su confianza en el ensamblaje correcto. Es razonable suponer que tres grupos aislados, en los que hay un total de siete piezas conectadas, no son comparables con el único hexágono rodeado descrito anteriormente.

La tercera parte de este acertijo tiene correcciones, y es un intento de cuantificar la diferencia anterior. ¿Es posible llegar a una medida del grado de finalización de un rompecabezas parcialmente resuelto? Este método debería permitirle asignar un número de 0 a 100 a cualquier rompecabezas parcialmente ensamblado de 10x10 hexágonos. Este número debe indicar el grado de finalización, correlacionando aproximadamente con la proporción del estado actual del rompecabezas en relación con la versión terminada.

El lector respondió las dos primeras preguntas de la siguiente manera:

1. Para tres piezas dispuestas en un triángulo, la respuesta será p = (2/3) ³ , ya que hay tres caras que se pueden quitar, y la probabilidad de eliminar cada una de ellas es 2/3. Esto nos da 1 - p = 0.7037, es decir, confianza en 70.37%.
2. Seis piezas pueden no coincidir 6 + 6 = 12 caras, lo que nos da 1 - p = 1 - (2/3) ¹² = 0.9923 o una confianza del 99.23%.

Usando tales datos de confianza, podemos elegir una métrica simple basada en la suma de los valores de confianza para las partes terminadas del rompecabezas, de modo que un rompecabezas completamente completado dé el 100% de confianza. Se hace así. Tome todos los grupos completos de dos o más piezas conectadas. Sume la cantidad de confianza para cada una de las piezas individuales. Es decir, para un grupo de tres piezas con un vértice común, obtenemos 3 × 0.7037 = 2.11%, y para un hexágono completo obtenemos 7 × 0.9923 = 6.95%. Un rompecabezas parcialmente completado de tres grupos de tres piezas y un hexágono te dará 6.95 + 2.11 + 2.11 + 2.11, o 13.3%. Por otro lado, si tienes dos hexágonos completos, tu total será 6.95 + 6.95 = 13.9%, aunque en este caso usaste dos piezas menos.

El lector desarrolló aún más esta idea y propuso una medida que utiliza logaritmos y está asociada con el concepto de entropía, una medida natural de desorden y aleatoriedad. Su medida para una cuadrícula de 10 × 10 es n - 100 × (log m) / (log 100), donde m es el número de diseños alternativos, y n es el número total de piezas colocadas en el campo.

Riddle 3: ¿es posible una coincidencia perfecta?

Hoy, la opinión predominante es que la física cuántica se basa en la naturaleza intrínseca, la aleatoriedad objetiva e ideal. Animé a los lectores a compartir sus puntos de vista sobre este enigma filosófico uniéndose al equipo de Einstein (E) o al equipo de Bohr (B). El Equipo B acepta la aleatoriedad objetiva del mundo cuántico, y el Equipo E considera que la aleatoriedad física es una imposibilidad lógica, revelando nuestra ignorancia de los fenómenos casuales deterministas que ocurren en escalas de subplank. Las voces de los lectores se dividieron aproximadamente por igual [como en nuestro voto / aprox. transl.].

Un lector con el apodo RRG describió mi motivación para ofrecer esa discusión:

En mecánica cuántica, si consideramos el experimento estándar de dos rendijas , no podemos predecir exactamente dónde aparecerá una partícula en particular en la pantalla, pero podemos predecir la probabilidad de que llegue a un lugar en particular. Y estas probabilidades pueden ser extremadamente precisas y confiables. Esta fiabilidad y precisión de las probabilidades es una clara señal de la presencia de algún tipo de proceso oculto.

Lo que está sucediendo es similar a la termodinámica. Podemos medir con precisión la temperatura en una habitación, sin saber qué hace exactamente cada una de las moléculas de aire. Al igual que las probabilidades en la física cuántica, la temperatura se manifiesta sobre la base de un nivel físico más profundo.

¡Así es como razoné! ¿Por qué una determinada partícula que pasa a través de una doble rendija golpea, por ejemplo, la parte superior izquierda de la pantalla y no la inferior derecha? Una cierta cadena causal (posiblemente fluctuaciones de masa-energía a nivel de gravedad cuántica) debería haber llevado a la elección de un determinado lugar en un caso determinado. Si es así, entonces la aleatoriedad cuántica no es una parte ideal, objetiva y mágica del Universo, sino una consecuencia de nuestra ignorancia de los principios de la física subyacente, al igual que una aleatoriedad clásica.

Como el lector escribió Mark Thomas, el espacio de probabilidad definido por la energía de masa de Planck puede ser enorme. Puede ser lo suficientemente grande como para lograr indicadores cercanos a la aleatoriedad perfecta en el sentido de Kolmogorov (gracias a otro lector por un enlace con explicaciones sobre la complejidad y aleatoriedad de Kolmogorov). Pero en este caso, la ecuación de Schrödinger será una aproximación, y no puede interpretarse como algo intocable, y no puede usarse como base para la ahora popular "interpretación multimundo" basada en consideraciones de simplicidad matemática. El último enfoque es defendido por el físico Sean Carroll .

El lector Rob McChern comentó sobre este pasaje mío: "Si supieras todas las fuerzas que actúan sobre una moneda lanzada o un dado, si tuvieras suficiente potencia informática, podrías predecir el resultado" de la siguiente manera:

Esta afirmación es incorrecta. También necesita conocer todas las condiciones iniciales asociadas con este experimento. Y aquí yace el problema. En cualquier situación difícil, el contenido de información de las condiciones iniciales es mucho mayor que el contenido de información de todas las fuerzas o leyes de la naturaleza. En consecuencia, es mucho más difícil (y a menudo incluso imposible en principio) obtener toda la información necesaria sobre las condiciones iniciales que obtener un conocimiento preciso de todas las leyes.

Estoy de acuerdo en que no se puede obtener un conocimiento ideal de las condiciones iniciales con una precisión infinita. Pero creo que la mayoría de los físicos estarán de acuerdo en que es posible obtener conocimiento sobre el lanzamiento de una moneda en una habitación con suficiente precisión y predecir el resultado en la mayoría de los casos. Por supuesto, esto no será posible si un huracán vuela repentinamente hacia la ventana y organiza el caos. Es posible que las fluctuaciones de masa-energía antes mencionadas en las escalas de Planck sean los huracanes que constantemente causan estragos, que es la verdadera causa de la aleatoriedad cuántica. Pero incluso en este caso, en principio, debe existir una cadena causal. El equipo E simplemente dirá que no conocemos todos los detalles.

El lector Abhinav Deshpande dio una descripción hermosa, equilibrada, completa y respaldada por la evidencia del estado actual de las cosas en esta área, así como enlaces a artículos muy interesantes. Afirma correctamente: "No creo que el fundador de la teoría de la relatividad esté bien dispuesto hacia la no localidad (incluso si la no localidad no permite la transmisión de información más rápido que la luz)". Pero debemos recordar que el teorema de Bell se demostró diez años después de la muerte de Einstein. Y ante la evidencia experimental convincente de las desigualdades de Bell, el Equipo E no tuvo más remedio que modificar la opinión inicial de Einstein y aceptar el hecho de no localidad y "acción a largo plazo aterradora". Esto significa que puede haber conexiones superluminales o superespaciales entre los componentes de un objeto cuántico enredado, incluso si la transmisión externa de información está limitada por la velocidad de la luz según la teoría de la relatividad, y la no localidad nunca da una fuga visible.

De alguna manera me encontré con una imagen tan brillante: imagina un lago con una superficie opaca. Un enorme elefante de madera al revés flota en él, casi del tamaño de todo el lago, y sus patas sobresalen en las cuatro esquinas del lago como columnas, y su cuerpo está oculto bajo el agua y no es visible. Primero puede decidir que las cuatro columnas son objetos independientes. Sin embargo, entonces ves que sus movimientos están perfectamente correlacionados entre sí, están confundidos. Del mismo modo, las partículas enredadas forman una entidad única que puede extenderse a todo el Universo, y sus conexiones internas pueden ser superligeras o superespaciales. Una idea interesante está relacionada con esto, conocida como ER = EPR , una hipótesis misteriosa presentada por brillantes físicos teóricos, Juan Maldasena y Leonard Sasskind . La idea es que las partículas enredadas (EPR) estén conectadas por un agujero de gusano, el Puente Einstein-Rosen (ER). Inicialmente, se propuso en el contexto del estudio de los agujeros negros, pero tal vez funcione para todas las partículas enredadas. Como muestra la teoría de Bohm , el determinismo y la mecánica cuántica pueden coexistir y negar la localidad con conexiones superluminales internas sin la necesidad de aleatoriedad objetiva.