Trayectorias cuánticas y con qué comen

Esta pequeña nota trata sobre cómo dibujar imágenes hermosas, bueno, un poco sobre física, de la que rara vez se habla, sobre la mecánica cuántica de Bomov.

Pequeña introducción

Como le gusta decirnos a cualquier ciencia ficción y sin sentido pseudocientífico, como la película El secreto, las leyes del micromundo son muy diferentes de las clásicas a las que estamos acostumbrados.
En el mundo de la mecánica cuántica, la probabilidad dada por la función de onda rige todo. $$$\ psi$ (los interesados ​​en los detalles pueden ver, por ejemplo, en la publicación "Catálisis de muones desde el punto de vista de la química cuántica. Parte I: hidrógeno ordinario versus hidrógeno de muones" ).
Las piernas de todo tipo de cosas divertidas, como los gatos Schrödinger , los principios de incertidumbre de Heisenberg y las desigualdades de Bell, surgen de las propiedades probabilísticas de un quantummech.

Pero todas estas imágenes con todo tipo de orbitales de electrones no respondieron a la pregunta "¿cómo vuela un electrón en el espacio". Para aclarar esta situación, los físicos pasaron mucho tiempo, pero no pudieron hacer frente. Pero David Bohm (conocido por muchos por el efecto Aaronov-Bohm ) finalmente creó uno de los formalismos de la mecánica cuántica (nombre de sí mismo) , en el que todavía hay trayectorias a lo largo de las cuales se mueve la partícula cuántica. Y, a diferencia de las integrales de la ruta de Feynman , esta ruta para cada partícula es exactamente una. Esta propiedad fundamentalmente le permite rastrear el movimiento de partículas y comparar el movimiento de partículas clásicas y cuánticas, que trataremos en este artículo.

Trayectorias clásicas y cuánticas.

Consideraremos un sistema bastante aburrido: un electrón en el campo de varios protones. Puede leer sobre este sistema, así como sobre la mecánica clásica y cuántica en la primera y segunda parte de las publicaciones "Catálisis de muones desde el punto de vista de la química cuántica".

El problema clásico del movimiento de partículas en cierto potencial viene dado por la segunda ley de Newton:

$$

$$m \ ddot {x} = F$$

donde m es la masa de partículas, x es la coordenada, F es la fuerza que actúa sobre la partícula y $$$\ ddot {x} = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2}$ - la segunda derivada de la coordenada de la partícula en el tiempo, o aceleración. Si solo actúan fuerzas potenciales en el sistema, entonces la fuerza se puede expresar a través de una nueva entidad, la energía potencial V como

$$

$$F = - \ frac {dV} {dx}$$

En nuestro caso, un electrón en el campo de varios protones,

donde el electrón interactúa con cada uno de los protones de acuerdo con la ley de Coulomb

$$

$$V (R) = - k e ^ 2 / R$$

, donde k es un coeficiente igual a 1 en unidades atómicas, e es la carga de electrones, y R es la distancia del electrón al protón.
En este caso, el potencial total que actúa sobre el electrón será igual a

$$

$$V = \ sum_ {n = 1} ^ N V_n (R_n) = - \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {k e ^ 2} {R_n} \,$$

donde el índice n numera los protones (protones totales N piezas), y R _n es la distancia desde el electrón hasta el enésimo protón.

Resolver numéricamente la diferencia, que es la segunda ley de Newton, es una tarea trillada, lo principal es establecer la posición inicial y la velocidad. Si el electrón vuela demasiado rápido, saldrá de la atracción de los protones y volará al infinito, y si solo hay un poco de energía, revoloteará para siempre en el campo de uno de los núcleos, sin visitar nunca a los demás.

Entonces, lo que sucede en los clásicos, lo sabemos.

Pero, ¿qué pasará en la dinámica de Bomov?
En este caso, la partícula también se moverá de acuerdo con la segunda ley de Newton con potencial $$$V = V_ \ mathrm {C} + V_ \ mathrm {Q}$ donde $$$V_ \ mathrm {C}$ - el potencial clásico de la ley de Newton habitual, que en nuestro caso tiene la forma dada anteriormente.
Es decir Además del potencial clásico, otra entidad actuará sobre él: el potencial cuántico $$$V_ \ mathrm {Q}$ tener (en el caso 1D) la forma

$$

$$V_ \ mathrm {Q} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2mA} \ frac {d ^ 2A} {dx ^ 2}$$

donde A es la amplitud (módulo) de la función de onda $$$A = | \ psi |$ ( $$$\ psi = A \ exp (i \ varphi)$ donde $$$\ varphi$ - fase de la función de onda).
Entonces, para obtener la ecuación de movimiento de una partícula cuántica, aún necesitamos saber algo sobre la función de onda.


En el caso de un protón, sabemos (ver, por ejemplo, aquí ) la expresión exacta de la función de onda de electrones en el estado fundamental (1s) [ en unidades atómicas ]:

$$

$$\ psi (R) = \ exp (-R)$$

En el caso de varios protones, en el marco del método de los orbitales moleculares como combinaciones de orbitales atómicos ( MO LKAO , ver aquí ), el estado fundamental con un grado suficiente de precisión estará dado por la suma de los orbitales 1s de cada uno de los átomos:

$$

$$\ psi \ approx \ sum_ {n = 1} ^ N \ psi_n (R_n) = \ sum_ {n = 1} ^ N \ exp (-R_n)$$

Ahora, para descubrir el potencial cuántico, solo necesita usar esta expresión.

Como resultado, podemos escribir nuestro potencial cuántico como

$$

$$V_ \ mathrm {Q} \ approx \ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {\ exp (-R_n)} {R_n}$$

y con esta expresión ya podemos conducir la dinámica de Bohm de un electrón en el campo de muchos protones.

Implementación

Por toda esta desgracia, el código fue escrito en python, está disponible aquí:

Solo discutiremos algunos puntos.
La segunda ley de Newton se integra utilizando el algoritmo Verlet :

$$

$$x (t + \ Delta t) = 2 x (t) - x (t - \ Delta t) + \ frac {F (t)} {m} \ Delta t ^ 2$$

La posición inicial se genera seleccionando aleatoriamente uno de los protones, se selecciona aleatoriamente una dirección a su alrededor (utilizando coordenadas esféricas). Para establecer la velocidad inicial, debe establecer otra posición anterior. Se selecciona usando otro pequeño vector aleatorio.

Al activar / desactivar el potencial cuántico, cambiamos a modos de movimiento cuántico / clásico.

Bueno, entonces, puedes construir bellas imágenes usando Gnuplot para el átomo de hidrógeno

y para la molécula H2 ⁺


Como puede ver, las trayectorias clásicas (superior, azul) están muy localizadas o, si el electrón se ve obligado a moverse demasiado rápido, huyen de los núcleos. En el caso cuántico (inferior, rosa), el potencial cuántico permite que los electrones caminen significativamente más lejos del núcleo, y en el caso de la molécula H2 ⁺ , le permite correr de un protón a otro, que es una visualización indirecta de enlaces químicos.

Algunas palabras sobre la creación de imágenes: para crear un efecto de neón, cada trazado se dibuja muchas veces, desde el blanco delgado al negro grueso, a través de las sombras del color de interés. Para la conveniencia de elegir dicha paleta, puede, por ejemplo, usar el sitio https://www.color-hex.com/
Un script de ejemplo se da a continuación.

Conclusión

Las trayectorias de Bomov, aunque difíciles de entender y calcular, le permiten dibujar imágenes hermosas que muestran cuánto más divertido y más rico que la mecánica clásica.

Si tiene comentarios, preguntas, sugerencias: escriba. :)