Un nuevo trabajo sobre el problema de la "alineación igual" explica cuándo es posible cortar una figura y ensamblar otra.
Si tiene dos piezas planas de papel y tijeras, ¿puede cortar una pieza y reorganizar las piezas para obtener la otra? Si puede, estas dos figuras son "congruentes en tijera" [
igual ].
Sin embargo, los matemáticos están interesados en saber si es posible detectar tal relación en las figuras sin usar tijeras. En otras palabras, ¿estas cifras tienen características que podrían medirse de antemano y determinar si son congruentes?
Para figuras bidimensionales, la respuesta es simple. Solo necesita medir su área; si coinciden, entonces las figuras son congruentes en tijera.
Pero para figuras en dimensiones más altas, por ejemplo, para una bola tridimensional o una rosquilla de once dimensiones que es imposible de imaginar, la cuestión de cortar y volver a ensamblar en una forma diferente se vuelve mucho más complicada. Y a pesar de siglos de esfuerzo, los matemáticos no pudieron determinar las características que confirman la composición igual para la mayoría de las figuras de mayor dimensión.
Sin embargo, este otoño, dos matemáticos lograron el avance más significativo en la solución de este problema en varias décadas. En un artículo presentado en la Universidad de Chicago el 6 de octubre,
Jonathan Campbell de la Universidad de Duke e
Inna Zakharevich de la Universidad de Cornell dieron un paso significativo para demostrar la congruencia de tijera para formas de cualquier dimensión.
Pero no solo eso. Como la mayoría de los problemas matemáticos más importantes, la ecuanimidad es un agujero de conejo: una declaración humilde que atrae a los matemáticos al profundo agujero de las matemáticas complejas. En un intento por comprender la congruencia de tijera, Campbell y Zakharevich pueden haber mostrado una nueva forma de hablar sobre un área completamente diferente de esta ciencia: las ecuaciones algebraicas.
Primer corte
La alineación equitativa puede parecer una tarea simple. Hace más de 2000 años, Euclides se dio cuenta de que dos figuras bidimensionales de la misma área se pueden reorganizar de una a otra. Es razonable suponer que las cifras de dimensiones superiores del mismo volumen pueden rehacerse de manera similar.
Pero en 1900,
David Hilbert sugirió que esta tarea en realidad no es tan simple.
En ese año, hablando en el
Congreso Internacional de Matemáticas en París, identificó
23 problemas abiertos , que, en su opinión, guiarán el pensamiento matemático en el próximo siglo. El tercero de ellos estaba relacionado con la congruencia de tijera [composición igual de poliedros iguales]. Hilbert sugirió que no todas las figuras tridimensionales del mismo volumen son congruentes, y desafió a los matemáticos al proponer encontrar un par de figuras que lo prueben.
Un año después del discurso, el estudiante de Hilbert,
Max Dan , hizo exactamente eso. Tal término parecía sospechoso para los matemáticos. "Algunas personas creen que Hilbert incluyó esta tarea en la lista solo porque su alumno ya la había resuelto", dijo Zakharevich.
Ya sea una conspiración o no, el resultado de Dan cambió la idea de los matemáticos de una representación equitativa. Él demostró que un tetraedro de un solo volumen no es igual a un cubo del mismo volumen. No importa cómo corte el primero, nunca puede ensamblar las piezas del segundo.
Además de demostrar que la igualdad de volumen no es suficiente para determinar la composición igual, Den propuso una nueva forma de medir formas. Él demostró que las figuras tridimensionales, iguales entre sí, deben tener el mismo volumen y también coincidir en una nueva medida.
Dan se concentró en las esquinas interiores entre las dos caras de la figura tridimensional. Por ejemplo, dentro de un cubo, todas las caras se encuentran en ángulo recto. Pero en formas más complejas, los ángulos son diferentes y tienen diferente importancia. Los ángulos entre los bordes más largos influyen más en la forma de la figura que los ángulos entre los bordes más cortos, por lo que Den asignó un peso a las esquinas en función de la longitud de los bordes que las forman. Combinó esta información en una fórmula compleja que produjo un solo número, el "Den invariante", para una cifra dada.
Los matemáticos quieren saber cuándo se puede cortar una figura y ensamblar otra.
Las figuras bidimensionales están igualmente espaciadas si tienen la misma área.
Las figuras tridimensionales están igualmente compuestas si tienen el mismo volumen y Dehn invariante.
El cubo y el tetraedro no están compuestos de la misma manera: tienen el mismo volumen, pero diferentes invariantes de Den.
Las formas se pueden cortar en pedazos, y las gráficas de ecuaciones se pueden cortar en subgrafos. Los matemáticos están buscando un análogo de la invariante de Dehn, que muestra que dos ecuaciones consisten en piezas idénticas.Deng demostró que cualquier figura tridimensional equidistante entre sí debe tener el mismo volumen y la invariante Deng. Pero no pudo responder una pregunta más compleja: si las figuras tridimensionales tienen el mismo volumen y la invariante de Dan, ¿significa esto que son necesariamente iguales? Jean-Pierre Sidler finalmente lo demostró en 1965. Tres años más tarde, Björg Jessen demostró que estas mismas dos características determinan la equidimensionalidad en cuatro dimensiones.
Los resultados de Sidler y Jessen fueron pasos importantes hacia adelante, pero los matemáticos son un pueblo codicioso: ¿hay suficiente volumen y la invariante de Dan para determinar la composición igual de figuras en todas las dimensiones? ¿Son suficientes estas medidas en espacios geométricos que no sean euclidianos, en geometría esférica (imagine la latitud y longitud en la superficie de la Tierra) o en el universo en forma de silla de montar de la geometría hiperbólica?
A finales del siglo XX, el matemático Alexander Borisovich Goncharov propuso un enfoque que, en su opinión, podría resolver todo el problema de una vez por todas, y al mismo tiempo relacionar la igualdad con un campo matemático completamente diferente.
Conexiones extrañas
Las matemáticas están llenas de conexiones inesperadas. Zakharevich dice que hacer matemáticas es como tropezar con algo extraño en la naturaleza y tratar de entender por qué es así.
"Si te encuentras con un anillo de hongos en un bosque y no sabes cómo crecen los hongos, ¿pensarás en cómo saben crecer? Ella dijo. "La razón es que los hongos tienen un micelio que crece bajo tierra".
En 1996, Goncharov formuló un conjunto de hipótesis que sugerían la existencia de una estructura matemática, también oculta debajo de la superficie. Si esta estructura existe, será capaz de explicar por qué algunos fenómenos matemáticos, incluida la composición igual, funcionan de esa manera.
Una hipótesis establece que el volumen de la
figura y su invariante Dan es suficiente para determinar la composición igual de figuras de cualquier dimensión y en cualquier espacio."Goncharov dijo que los mismos principios que se aplican en tres dimensiones se aplican a todos", dijo Charles Weibel de la Universidad de Rutgers.
Pero Goncharov, ahora empleado en Yale, también predijo que esta estructura oculta explicaría mucho más que eso. Dijo que la alineación igual es un concepto más universal, y que es aplicable no solo para cortar formas geométricas, sino también para cortar formas generadas por soluciones de ecuaciones algebraicas, por ejemplo, la gráfica de la ecuación x
2 + y
2 + z
2 = 1. Y La información necesaria para clasificar por igual composición refleja la información necesaria para clasificar las ecuaciones algebraicas, de modo que las ecuaciones de la misma clase se componen de piezas idénticas.
La conexión fue impactante, como si un principio adecuado para sistematizar animales permitiera de alguna manera sistematizar elementos químicos también. Muchos matemáticos encuentran esta idea tan extraña como parece a primera vista.
“Esto es completamente misterioso. A primera vista, estas cosas no deberían estar conectadas en absoluto ”, dijo Campbell.
Cortar ecuaciones
Para comprender cómo las formas geométricas y las ecuaciones algebraicas pueden ser similares, primero será útil comprender cómo las soluciones de ecuaciones se pueden dividir en partes. Para hacer esto, regresemos a nuestro ejemplo anterior y dibujemos una gráfica de la ecuación x
2 + y
2 + z
2 = 1.
Será una esfera. Sin embargo, esta superficie no es solo una colección de soluciones a esta ecuación: también es una colección de muchos gráficos más pequeños, o subgrafos, de soluciones a otras ecuaciones. Por ejemplo, en la superficie de una esfera, puede dibujar un círculo a la manera del ecuador terrestre. Esta es una subgrafía que representa soluciones de la ecuación algebraica x
2 + y
2 = 1. O bien, puede aislar un solo punto en el polo norte de la esfera correspondiente a la ecuación z = 1. Al estudiar las distintas subgrafías que se pueden dibujar dentro de un gráfico más grande, algo así como sus partes constituyentes - Puede encontrar algunas propiedades de un gráfico más grande.
Durante más de 50 años, los matemáticos han desarrollado la teoría de subgrafos de ecuaciones algebraicas. Así como la materia ordinaria consiste en átomos, de acuerdo con los matemáticos, las ecuaciones algebraicas consisten en partes fundamentales llamadas "motivos". El término proviene del motivo de la palabra francesa, que denota los elementos básicos de la melodía.
Inna Zakharevich de la Universidad de Cornell“Los motivos son componentes fundamentales. Hablarán sobre todo en lo que consisten las ecuaciones algebraicas, como una melodía, que consta de varios componentes ”, dijo Zakharevich. Una esfera, por ejemplo, consiste en círculos, puntos y planos. Cada uno de ellos consta de componentes (manifestados como resultado de acciones matemáticas sobre ellos), y así sucesivamente, más y más, hasta que llegamos a los motivos, el supuesto fundamento de las ecuaciones algebraicas.
Los matemáticos necesitan clasificar las ecuaciones algebraicas de acuerdo con sus motivos para obtener una imagen completa y sistemática de las ecuaciones que pertenecen a los objetos matemáticos más importantes. Esta es una tarea difícil e inacabada. Pero en 1996, Goncharov sugirió que ordenar las figuras por igual composición y ordenar las ecuaciones algebraicas por motivos son dos lados de una tarea, es decir, clasificar una te dará un principio por el cual la otra puede clasificarse.
Sugirió que esta conexión se basa en el análogo de la invariante de Dehn. Solo en lugar de aparecer a partir de los cálculos geométricos más simples, este análogo debería surgir de un cálculo similar de los motivos de las ecuaciones algebraicas ("
coproducto de motivos").
"La idea es que el problema invariante de Dan es paralelo a otro problema relacionado con los motivos", dijo Weibel.
Pero para descubrir esa conexión, los matemáticos primero deben probar que el invariante de Dehn sí clasifica las figuras por grupos iguales. El propio Den demostró que cualquier figura tridimensional equidistante tiene volúmenes iguales y la Den invariante. Sin embargo, Den, y todos los demás después de él, no refutaron la posibilidad de que haya ciertas figuras de dimensiones superiores del mismo volumen y con el mismo Dan invariante, que no son igualmente iguales. En su nuevo trabajo, Campbell y Zakharevich intentaron cerrar permanentemente esta oportunidad.
Dos por el precio de uno
En junio de 2018, Campbell y Zakharevich trabajaron juntos durante tres semanas en el Instituto de Investigación Avanzada de Princeton, Nueva Jersey. Llevaban mucho tiempo interesados en la igualdad de trato, pero Zakharevich creía que las hipótesis de Goncharov eran demasiado complejas para ser tratadas en tan poco tiempo. Pero Campbell todavía quería intentarlo, y Zakharevich no tuvo que persuadir durante mucho tiempo.
"Jonathan dijo: 'Tenemos tres semanas, intentemos abordar esto y ver qué sucedió, al final de la primera", dijo Zakharevich. Dos semanas después, desarrollaron muchas ideas clave que subyacen en su nuevo trabajo.
En el trabajo, realizan un experimento de pensamiento contraintuitivo. Para entenderlo, imagina que tienes un hotel con muchas habitaciones. Debe organizar todas las figuras iguales entre sí en la misma habitación. No sabemos cómo determinar que las cifras están igualmente espaciadas: esta es la raíz del problema. Sin embargo, para nuestro experimento mental, imaginemos que esto es posible. O, como dice Zakharevich, "Fingiremos que hay una cierta persona omnisciente que sabe si dos figuras son iguales o no".
Después de ordenar las figuras por habitaciones, verificamos que todas las figuras en la misma habitación tengan el mismo volumen y la misma Den invariante. También es importante verificar que todas las figuras del mismo volumen y con el mismo Den invariante estaban en la habitación correcta, que las figuras que se habían caído del colectivo no estaban dando vueltas en el bar del hotel. El objetivo de un experimento mental es demostrar la existencia de una correspondencia ideal, uno a uno, entre grupos de figuras iguales y grupos de figuras que tienen el mismo volumen y la misma invariante Dan. La existencia de dicha correspondencia demostrará que solo el volumen y la invariante de Dan serán suficientes para determinar la composición igual de las figuras.
Goncharov predijo la existencia de tal correspondencia, y Campbell y Zakharevich demostraron su presencia, bajo una condición. La correspondencia existe si otro resultado no probado relacionado con las hipótesis de
Beilinson es verdadero.
Las dos hipótesis de Goncharov: la clasificación de cifras iguales por volumen y la invariante de Dehn, así como la clasificación de las ecuaciones algebraicas por el análogo de la invariante de Dehn, no están totalmente demostradas por Campbell y Zakharevich. Sin embargo, su trabajo, sin embargo, proporciona a los matemáticos una idea más clara de cómo demostrarlos a todos: si puedes probar las hipótesis de Beilinson, entonces, gracias al trabajo de Campbell y Zakharevich, también recibirás igualdad gratuita.
"Su trabajo realmente reconsidera esta tarea", dijo Weibel. "Cuando conecta dos hipótesis de esta manera, arroja luz sobre la estructura del objeto que se estudia".
Campbell y Zakharevich ahora están trabajando con otro matemático,
Daniil Rudenko, de la Universidad de Chicago, tratando de determinar la relación entre el corte de figuras y el análisis en partes de las ecuaciones propuestas por Goncharov. Rudenko ya había hecho algunos progresos en esta dirección. Ahora, junto con Campbell y Zakharevich, espera avanzar mucho más.
“Creo que tenemos todas las oportunidades para lograr un progreso significativo. Tal vez de esta manera incluso resulta probar las hipótesis de Goncharov ", dijo Rudenko.