Los matemáticos han encontrado un patrón, entendiendo cómo evitar su aparición.

Finalmente descubrimos qué tan grande debería ser el conjunto de números para garantizar que contenga un patrón llamado "progresión polinómica"

Algunos patrones en matemáticas son tan raros que pueden buscarse durante toda su vida y no encontrarse. Otros son tan comunes que parecen imposibles de evitar.

La nueva evidencia , presentada por Sarah Pilius de la Universidad de Oxford, muestra que un patrón numérico de un tipo particularmente importante es esencialmente inevitable: se garantiza que se encuentre en cualquier colección de números suficientemente grande, independientemente de cómo se elijan.

"Hay un tipo de indestructibilidad inherente a estos patrones", dijo Terence Tao, de la Universidad de California, Los Ángeles.

La prueba de Pilyus se refiere a una secuencia de números llamados "progresiones polinómicas". Son fáciles de crear, puede hacer los suyos muy rápidamente, y se relacionan con la conexión entre la suma y la multiplicación de números.

Durante varias décadas, los matemáticos han sabido que con un pequeño conjunto (o "conjunto") de números, es decir, cuando contiene relativamente pocos números, es posible que no tenga ninguna progresión polinómica. También sabían que a medida que el conjunto crecía, eventualmente pasa un cierto umbral, después del cual ya contiene tantos números que una de esas secuencias debe cumplir allí. Parece un tazón de sopa con letras de masa: cuantas más letras tenga, más probable es que pueda agregar palabras de ellas.

Pero antes de Pilius, los matemáticos no sabían cuál era este umbral. Su prueba proporciona una respuesta a esta pregunta: una fórmula exacta que determina qué tan grande debe ser el conjunto para garantizar ciertas progresiones polinómicas.

Y antes de eso, los matemáticos solo tenían ideas vagas de que las progresiones polinómicas se encuentran entre los enteros (1, 2, 3, etc.). Ahora saben exactamente dónde buscarlos.

En busca de patrones

Para imaginar estos patrones, considere uno de ellos, un poco más simple que el que trabajó con Pilius. Comencemos con el número 2 y agregaremos un triple: 2, 5, 8, 11, 14, etc. Este patrón, que comienza desde un número y agrega otro, se llama "progresión aritmética". Esta es una de las progresiones más estudiadas y frecuentes en matemáticas.



Con respecto a la frecuencia de ocurrencia de progresión aritmética entre enteros, se deben entender dos cosas.

Endre Cemeredi demostró ser uno de ellos en 1975. Primero, dijo, elige la longitud de tu progresión aritmética. Esto puede ser un patrón con cuatro miembros (2, 5, 8, 11), o una familia (14, 17, 20, 23, 26, 29, 32), o en general con cualquier número. Después de eso, demuestra que tan pronto como el conjunto de números alcance un cierto tamaño (que no pudo determinar), definitivamente encontrará una progresión aritmética de tal longitud. Por lo tanto, reforzó la idea de que en conjuntos de números suficientemente grandes en algún lugar hay necesariamente un patrón.

“Semeredi, de hecho, dijo que un desastre completo es imposible. No importa cuántos tomes, alguna estructura siempre logrará entrar en ella ”, dijo Ben Green de Oxford.

Sin embargo, el teorema de Szemeredi no dice nada acerca de cuán grande debe ser la colección de números para que estos patrones se vuelvan inevitables. Simplemente dijo que para una progresión aritmética de cualquier longitud elegida, debe haber una multitud de números de tamaño desconocido que la contengan.

Más de dos décadas después de eso, los matemáticos determinaron este tamaño, demostrando así el segundo hecho básico con respecto a las leyes aritméticas.

En 2001, Timothy Gowers de la Universidad de Cambridge demostró que si quiere encontrar, por ejemplo, una progresión aritmética de cinco miembros, necesita muchos números de al menos un cierto tamaño, y determinar qué tamaño será (es difícil describir el tamaño exacto, esto la fórmula incluye grandes números exponenciales).

Para comprender lo que ha hecho Gowers, debe comprender qué quieren decir los matemáticos al hablar del "tamaño" de un conjunto de números y la idea de un "tamaño bastante grande".

Primero, seleccione un intervalo en una línea numérica, por ejemplo, del 1 al 1000, o algo más aleatorio, como del 17 al 1016. El principio y el final del intervalo no importan, solo su longitud es importante. Luego, determine la fracción de números de este intervalo que desea agregar al conjunto. Por ejemplo, si crea un conjunto de 100 números del 1 al 1000, el tamaño de su conjunto será el 10% del intervalo.

La prueba de Gowers funciona independientemente de cómo elija los números de este conjunto. Puede tomar los 100 primeros números impares del rango de 1 a 1000, los 100 primeros números que terminan en 6 o incluso 100 números aleatorios. Y Gowers demostró que, independientemente del método, tan pronto como el conjunto ocupe un espacio suficientemente grande (no necesariamente el 10%) en un intervalo suficientemente largo, inevitablemente aparecerá en él una progresión aritmética de cinco miembros. Probó lo mismo para la progresión aritmética de cualquier longitud.

"Después de Gowers, sabemos que si me dan una progresión aritmética de cualquier longitud, entonces cualquier subconjunto de" números de cierto tamaño necesariamente contendrá esta progresión ", dijo Pilius.

El trabajo de Pilius es similar al logro de Gowers, solo que ella se concentró en progresiones polinómicas.

En la progresión aritmética, seleccionamos un número inicial y le agregamos otro. En la forma de la progresión polinómica que estudió Pilius, selecciona el valor inicial y le agrega las potencias de otro número. Por ejemplo: 2, 2 + 3 ¹ , 2 + 3 ² , 2 + 3 ³ , 2 + 3 ⁴ . Es decir, 2, 5, 11, 29, 83. En su progresión, también hubo solo un miembro para cada grado; este requisito simplifica el trabajo con ellos.

Estas progresiones polinómicas están estrechamente relacionadas con una regularidad tan importante como la progresión geométrica, que se forma elevando el número en un grado creciente: 3 ¹ , 3 ² , 3 ³ , 3 ⁴ , ... Aparecen naturalmente en muchas áreas de las matemáticas y la física, y deleitan a los matemáticos por varios milenios Las progresiones geométricas son menos comunes incluso en grandes conjuntos de números, sin embargo, si lo corrige un poco, por ejemplo, agregando una constante a cada término, obtendrá una progresión polinómica. Pero solo parecen aparecer en todas partes.



“Puedes crear grandes conjuntos de números que no contengan progresiones geométricas. Pero si te das un poco de libertad y mueves la progresión geométrica, "creando una progresión polinomial, entonces grandes conjuntos parecen estar obligados a contenerlos", dijo Sean Prendeville, de la Universidad de Lancaster, quien trabajó con Pilius en progresiones polinómicas.

En 1996, Vitaly Bergelson y Alexander Leibman demostraron que cuando alcanzan un tamaño suficientemente grande por una multitud, necesariamente deben aparecer progresiones polinómicas: este fue el equivalente polinómico del trabajo de Cemeredi. Sin embargo, los matemáticos no tenían idea de cuán grande debería ser un conjunto "suficientemente grande".

Pilius respondió a esta pregunta de una manera contra intuitiva, pensando en qué propiedades deberían tener muchos números para que no haya tales patrones.

Luchando patrones con patrones

Pilius quería determinar qué tan grande debería ser el conjunto, qué porcentaje de los números en el intervalo debería contener, para asegurarse de que contendría la progresión polinómica dada. Para hacer esto, presentó todas las formas en que muchos números pueden evitar la aparición de progresión en él, y luego demostró que incluso exceder un cierto tamaño no funciona, incluso la más ingeniosa de estas estrategias.

Esta tarea puede considerarse como una competencia. Suponga que alguien le pide que cree un conjunto que contenga la mitad de los números del 1 al 1000. Usted gana si el conjunto no tiene los primeros cuatro miembros de la progresión polinómica. ¿Cómo elegirías los números?


Sarah Pilius de la Universidad de Oxford.

Puede intentar instintivamente seleccionar números al azar. Pero este instinto será erróneo.

“La mayoría de los conjuntos están en el medio de una distribución normal . Contienen el número promedio de progresiones polinomiales ”, dijo Prendeville. Y este valor promedio es mucho más de cero requerido por usted.

Es como si fueras a elegir una persona aleatoria de toda la población del planeta y obtener una cuyo crecimiento sea cercano al promedio. Si su objetivo es encontrar un espécimen más raro de más de 2 m de altura, debe realizar búsquedas de una manera más direccional.

Por lo tanto, para ganar el concurso de selección de números, necesita una forma más organizada de decidir qué números incluir en su conjunto de 500 piezas. Por ejemplo, puede notar que si selecciona solo números pares, puede eliminar la probabilidad de que el conjunto contenga progresiones polinómicas que contengan números impares. Progreso! Naturalmente, de esta manera aumenta la probabilidad de que su conjunto contenga progresiones polinómicas que consisten en números pares.

Sin embargo, la conclusión es que habiendo ideado una forma estructurada de seleccionar 500 números, puede eliminar la probabilidad de estar en un conjunto de ciertas progresiones polinómicas. En otras palabras, es necesario observar un patrón para evitar un patrón.

Pilius decidió probar que cuando se alcanza un cierto tamaño, incluso los conjuntos compuestos de manera inteligente deberán incluir progresiones polinómicas. De hecho, ella quería determinar el punto crítico en el que, cada vez que evitaba la inclusión de progresiones polinómicas de un tipo, llegaba a la presencia de progresiones polinómicas de otro tipo, como es el caso de los números pares e impares.

Para hacer esto, necesitaba encontrar una manera de cuantificar la estructuración del conjunto.

Medida de estructura

Antes del trabajo de Pilius, muchos matemáticos intentaron comprender exactamente cuándo aparecen progresiones polinómicas en muchos números. Muchos de los matemáticos muy exitosos se dedicaron a esto, pero ninguno de ellos pudo hacer un progreso significativo para descubrir el tamaño del conjunto que debe alcanzar para contener progresiones polinómicas de varias longitudes.

El principal obstáculo para ellos era que los matemáticos no tenían idea de cómo caracterizar las estructuras que evitan la aparición de progresiones polinómicas. Había una técnica potencial para esto, pero cuando Pilius comenzó a trabajar en esta área, no se pudo aplicar a preguntas relacionadas con progresiones polinómicas.

Esta técnica apareció en el artículo de 2001 de Gowers sobre progresiones aritméticas. Gowers creó la prueba, llamándola la "norma de Gauers", que detecta estructuras de cierto tipo en una multitud de números. La prueba produce un solo número que determina la cantidad de estructuralidad en el conjunto, es decir, muestra numéricamente qué tan lejos se ha movido el conjunto de un conjunto simple de números aleatorios.

"El concepto de 'conjunto parece aleatorio' no está claramente definido matemáticamente", dijo Green. Gowers encontró una manera de cuantificar este concepto.

Muchos pueden estar más o menos estructurados. Los conjuntos que contienen números aleatorios no tienen estructura, por lo tanto, con alta probabilidad contienen patrones numéricos. Tales conjuntos tienen una baja norma de Gowers. Los conjuntos que contienen solo números impares, o solo números divisibles por 10, tienen una estructura rudimentaria. Es fácil demostrar que si se excede un cierto tamaño, también aparecerán varias regularidades en conjuntos de una estructura tan simple.

Lo más difícil es trabajar con muchas estructuras muy complejas. Pueden parecer aleatorios, pero al mismo tiempo se construyen de acuerdo con una regla muy complicada. Su norma de Gowers es alta, y brindan la mejor oportunidad de evitar sistemáticamente patrones cuando crece el tamaño del conjunto.

Dado que Gowers utilizó estas técnicas para buscar respuestas a preguntas relacionadas con progresiones aritméticas, no se pudieron aplicar a preguntas relacionadas con progresiones polinómicas. Las progresiones aritméticas tienen intervalos iguales, y los números en progresiones polinómicas saltan muy activamente. Las normas de Gowers fueron útiles para estudiar las progresiones polinómicas, así como un cortacésped para limpiar la pintura vieja de una casa: la idea es similar, aunque no es del todo adecuada para este trabajo.

En la nueva evidencia, Pilius utilizó la idea básica de la norma de Gowers para crear una nueva forma de analizar las estructuras asociadas con las progresiones polinómicas. Ella utilizó la técnica de "bajar el grado" para demostrar que en los procedimientos con progresiones polinómicas que le interesan, solo debe preocuparse por estructuras simples con una baja norma de Gowers. El hecho es que las progresiones polinómicas cambian tanto durante la transición de un término a otro que inevitablemente rompen obstáculos numéricos menos duraderos, como un elefante empujando escaparates de una tienda de porcelana.

La fórmula de Pilius es difícil de describir en términos simples. Implica el doble logaritmo de la longitud del intervalo original desde el cual selecciona números para su conjunto. El tamaño mínimo obtenido por ella no será necesariamente el más pequeño posible: en trabajos futuros se puede encontrar que el umbral real es aún más bajo. Pero hasta que apareció su prueba, los matemáticos generalmente no tenían una comprensión cuantitativa de la apariencia de una garantía de la existencia de progresiones polinómicas.

"Ella fue la primera persona en mostrar cuán grande debería ser el tamaño del set", dijo Prendivil.

Proof Pilius responde cuantitativamente una pregunta relacionada con las progresiones polinómicas. Ahora los matemáticos lo usan con la esperanza de obtener una respuesta a otra pregunta, en cuanto a cuándo aparecen las progresiones polinómicas en conjuntos enteramente compuestos por números primos, los números más importantes en matemáticas, que se resisten obstinadamente a cualquier secuencia. Antes de que apareciera esta prueba, los matemáticos no tenían idea de cómo abordar esta pregunta.

"Hay esperanza de que algunos de los argumentos de mi trabajo puedan aplicarse en el campo de los números primos", dijo Pilius.