Los matemáticos consideran la hipótesis de Collatz como un "pantano", y se advierten mutuamente que vale la pena mantenerse alejado de ella. Ahora, sin embargo, Terence Tao ha progresado más que nadie en décadas.
Toma cualquier número. Si es par, divídalo en dos. Si es impar, multiplique por tres, agregue uno. Repetir ¿Algún número llega a ser 1?Los matemáticos experimentados aconsejan a los principiantes que se mantengan alejados de
la hipótesis de Collatz . Lo llaman una canción de sirena: cae bajo su influencia, y nunca puedes llegar a un trabajo significativo.
La hipótesis de Collatz, quizás el más simple de los problemas no resueltos de las matemáticas, es precisamente lo que la hace tan traidoramente atractiva.
“Esta es una tarea muy peligrosa. La gente se obsesiona con él, a pesar de que es completamente imposible ", dijo
Jeffrey Lagarias , matemático de la Universidad de Michigan, experto en la hipótesis de Collatz.
Pero en 2019, uno de los mejores matemáticos del mundo se atrevió a abordarlo y recibió el resultado
más significativo de todos en varias décadas.
El 8 de septiembre de 2019,
Terence Tao publicó una prueba que muestra que la hipótesis de Collatz es al menos "casi" verdadera "casi" para todos los números. Aunque el resultado de Tao no es una prueba completa de la hipótesis, este es un avance muy serio para una tarea que no es tan fácil de revelar todos sus secretos.
"No esperaba resolver el problema por completo", dijo Tao, un matemático de la Universidad de California, Los Ángeles. "Pero logré hacer más de lo que esperaba".
Collatz Puzzle
Lothar Collatz probablemente presentó una hipótesis del mismo nombre en la década de 1930. El desafío suena como un truco de fiesta. Toma cualquier número. Si es par, divídalo en dos. Si es impar, multiplique por tres, agregue uno. Obtén un nuevo número. Aplica las mismas reglas para él. La hipótesis dice qué sucederá si repite este proceso persistentemente.
La intuición sugiere que el número inicial afecta el resultado final. Quizás algunos números eventualmente disminuyan a 1. Quizás otros números aumenten indefinidamente.
Sin embargo, Collatz predijo que esto no es así. Sugirió que si comienzas con un número entero positivo y repites la secuencia indicada durante mucho tiempo, entonces, desde cualquier número inicial, llegarás a 1. Y llegando a la unidad, las reglas de la hipótesis te atraparán en un bucle sin fin: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, y así sucesivamente, hasta el infinito.
Con los años, muchos amantes de las tareas se han sentido atraídos por la simplicidad atractiva de la hipótesis de Collatz, o "problema 3x + 1", como también se le llama. Los matemáticos ya han verificado un quintillón de ejemplos (este es un número con 18 ceros), sin encontrar una sola excepción a la predicción de Collatz. Usted mismo puede intentar ver algunos ejemplos con cualquiera de las muchas "
calculadoras Collatz " disponibles en Internet. Internet está lleno de evidencia amateur no justificada de una hipótesis, cuyos autores afirman que pudieron probarla o refutarla.
“Solo necesitas poder multiplicar por 3 y dividir por 2, y ya puedes comenzar a jugar con él. Y es muy tentador ", dijo
Mark Chamberlain , matemático de Grinnel College, quien grabó un popular video de YouTube sobre este problema llamado" El más simple de los problemas imposibles ".
Pero hay poca evidencia verdadera.
En la década de 1970, los matemáticos mostraron que casi todas las secuencias de Collatz, una lista de números que obtienes cuando repites el proceso, finalmente llegan a un número menor que el inicial. Esta fue una evidencia débil de que casi todas las secuencias de Collatz conducen a 1, pero no obstante, lo fue. Y desde 1994 hasta el resultado del Tao en 2019, Ivan Korets mantuvo el
récord de demostrar el valor mínimo. Otros trabajos de manera similar intentaron atacar la tarea, sin acercarse a su objetivo principal.
"Realmente no entendemos la pregunta de Collatz lo suficientemente bien, por lo que no ha habido un trabajo significativo sobre este tema", dijo
Kannan Saundararajan , matemático de la Universidad de Stanford que trabajó en esta hipótesis.
La inutilidad de estos intentos llevó a muchos matemáticos a concluir que esta hipótesis simplemente no está disponible en el nivel actual de conocimiento, y que es mejor para ellos dedicar su tiempo a otros estudios.
"El problema de Collatz es conocido por su complejidad, tanto así que los matemáticos generalmente preceden a cada discusión con una advertencia de no perder el tiempo", dijo
Joshua Cooper de la Universidad de Carolina del Sur.
Consejos inesperados
Por primera vez, Lagarias se interesó en esta hipótesis como estudiante hace al menos 40 años. Durante décadas, fue un curador no oficial de todo lo relacionado con ella. Recopiló una
biblioteca completa de obras relacionadas con ella, y en 2010 publicó algunas de ellas en forma de libro titulado: "El
desafío decisivo: Tarea 3x +1 ".
"Ahora sé mucho más sobre este problema, y aún puedo decir que es imposible resolverlo", dijo Lagarias.
Tao generalmente no pasa su tiempo en tareas imposibles. En 2006, recibió el
Premio Fields , el premio más alto en matemáticas, y es considerado uno de los mejores matemáticos de su generación. Está acostumbrado a resolver problemas, no persiguiendo castillos en el aire.
"Estos son los riesgos asociados con la profesión de las matemáticas", dijo. "Puede obsesionarse con una de las grandes tareas conocidas que están más allá de las capacidades de cualquier persona y pierden un montón de tiempo".
Sin embargo, Tao no siempre logra resistir las tentaciones de esta área. Todos los años pasa uno o dos días en el más famoso de los problemas no resueltos en matemáticas. Con los años, adoptó varios enfoques de la hipótesis de Collatz, pero fue en vano.
Luego, en agosto, un lector anónimo dejó un comentario en el blog de Tao. Sugirió tratar de resolver la hipótesis de Collatz "para casi todos" los números, sin tratar de demostrarlo completamente.
"No respondí, pero me hizo pensar en esta tarea nuevamente", dijo Tao.
Y se dio cuenta de que la hipótesis de Collatz era de alguna manera similar a los tipos especiales de ecuaciones (ecuaciones diferenciales parciales) que aparecieron en los resultados más significativos que recibió durante su carrera.
Entradas y salidas
Las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) se pueden usar para modelar muchos de los procesos físicos más fundamentales del Universo, como la evolución de los líquidos o el paso de ondas gravitacionales a través del espacio-tiempo. Aparecen en situaciones en las que la posición futura del sistema, por ejemplo, el estado del estanque cinco segundos después de arrojarle una piedra, depende de la contribución de dos o más factores, como la viscosidad y la velocidad del agua.
Parece que las PDE complejas tienen poco que ver con una pregunta aritmética tan simple como la hipótesis de Collatz.
Pero Tao se dio cuenta de que tenían algo en común. Es posible sustituir valores en el PDE, obtener otros valores, repetir el proceso y todo esto para comprender el estado futuro del sistema. Para cada LDPE dado, los matemáticos necesitan saber si los valores iniciales en la entrada conducirán a valores infinitos en la salida, o si las ecuaciones siempre producirán valores finales, independientemente de los iniciales.
Terence Tao, inspirado por el comentario en su blog, ha hecho el mayor progreso en décadas en el estudio de la hipótesis de Collatz.Para Tao, este objetivo era del mismo orden que si siempre obtienes el mismo valor (1) del proceso de Collatz, independientemente del valor inicial. Como resultado, se dio cuenta de que las técnicas para estudiar PDEs podrían ser adecuadas para estudiar la hipótesis de Collatz.
Una técnica particularmente útil utiliza un método estadístico para estudiar el comportamiento a largo plazo de un pequeño número de valores iniciales (algo así como un pequeño número de configuraciones iniciales de agua en un estanque) y extrapola el resultado al comportamiento a largo plazo de todas las configuraciones iniciales posibles del estanque.
En el contexto de la hipótesis de Collatz, imagine que comenzamos con una gran muestra de números. Nuestro objetivo es estudiar cómo se comportan estos números cuando les aplicamos el proceso de Collatz. Si casi el 100% de los números en la muestra llegan a 1 o muy cerca de 1, podemos concluir que casi todos los números se comportarán igual.
Pero para que esta conclusión se justifique, es necesario seleccionar cuidadosamente la muestra. Esta tarea es similar a recopilar una muestra de votantes en las elecciones presidenciales de los Estados Unidos. Para un muestreo cuidadoso de toda la población, se deben usar proporciones ponderadas para republicanos y demócratas, hombres y mujeres, y así sucesivamente.
Los números tienen sus propios parámetros "demográficos". Números pares e impares, números divisibles por 3 y números que difieren entre sí en formas aún más complicadas. Al crear una selección de números, puede asegurarse de que ciertos tipos de números entren en él y otros no, de acuerdo con un principio equilibrado, y cuanto mejor elija los pesos, más precisas serán sus conclusiones sobre todos los números en general.
Elección ponderada
La tarea de Tao fue mucho más complicada que simplemente entender cómo crear una selección inicial de números con los pesos correctos. En cada paso del proceso de Collatz, los números con los que trabaja cambian. Un cambio obvio es que casi todos los números en la muestra están disminuyendo.
Otro cambio, quizás menos obvio, es que los números pueden comenzar a acumularse en grupos. Por ejemplo, puede comenzar con una hermosa distribución uniforme de números de uno a un millón. Pero después de cinco iteraciones, es probable que los números se concentren en varios intervalos pequeños de la recta numérica. En otras palabras, puede comenzar con una buena muestra, que en cinco pasos se distorsionará irremediablemente.
"Por lo general, puede esperar que la distribución después de la iteración sea completamente diferente de la inicial", dijo Tao. Sin embargo, su idea clave fue cómo crear una muestra de números que en su mayor parte conserven sus pesos originales en el proceso de Collatz.
Por ejemplo, la muestra inicial de Tao está ponderada para que no tenga números divisibles por tres, ya que el proceso de Collatz todavía elimina bastante rápidamente dichos números. Algunos otros pesos elegidos por Tao son más difíciles. Prefiere los números cuyo resto de dividir por 3 es 1, y se aparta de los números cuyo resto de dividir por 3 es 2.
Como resultado, la muestra con la que comienza Tao conserva su carácter incluso después del inicio del proceso de Collatz.
"Encontró una manera de continuar este proceso para que después de unos pocos pasos todavía esté claro lo que está sucediendo", dijo Saundararajan. "Cuando vi este trabajo por primera vez, estaba muy feliz y decidí que era increíble".
Tao utilizó su técnica de asignación de peso para demostrar que casi todos los valores iniciales, al menos el 99%, finalmente llegaron a un valor muy cercano a 1. Esto le permitió concluir que el 99% de los valores iniciales son mayores que un billón , como resultado, llegar a valores inferiores a 200.
Este es posiblemente el resultado más fuerte en la larga historia de esta hipótesis.
"Este es un gran avance en nuestro conocimiento de lo que está sucediendo con esta tarea", dijo Lagarias. "Este es definitivamente el mejor resultado en mucho tiempo".
Es casi seguro que el método Tao no puede llegar a la prueba completa de la hipótesis de Collatz. La razón es que su selección inicial todavía está un poco distorsionada después de cada paso. La distorsión será mínima, mientras que la muestra todavía contiene muchos valores diferentes, lejos de 1. Pero en el proceso de Collatz, todos los números en la muestra comienzan a tender a uno, y una pequeña distorsión se vuelve más grande, al igual que un pequeño error al calcular el resultado de la votación no tiene un valor grande en el caso de una muestra grande, pero afecta fuertemente el resultado cuando la muestra es pequeña.
Cualquier evidencia de una hipótesis completa probablemente se basará en un enfoque diferente. Como resultado, el trabajo de Tao es tanto un triunfo como una advertencia para todos los interesados: tan pronto como te parece que has acorralado la tarea, elude.
"Puedes acercarte arbitrariamente a la hipótesis de Collatz, pero sigue siendo inalcanzable", dijo Tao.