La traducción del artículo fue preparada especialmente para los estudiantes en los cursos básicos y avanzados "Matemáticas para la ciencia de datos" .
Durante el año pasado, los matemáticos y los informáticos han hecho grandes avances en teoría de números, teoría de grafos, aprendizaje automático y computación cuántica, e incluso revisaron nuestros conceptos fundamentales de matemáticas y redes neuronales.
Para matemáticos y especialistas en informática, 2019 fue un año de repetición y estudio minucioso. Algunos revisaron los principios fundamentales, mientras que otros encontraron evidencia sorprendentemente simple, nuevos métodos para resolver problemas o comprendieron soluciones inesperadas a problemas de larga data. Algunos de estos logros ya han encontrado una amplia aplicación en física y otras disciplinas científicas. Otros existen únicamente como una teoría (o simplemente por diversión), y desde un punto de vista práctico hoy en día no tienen ningún beneficio.
Quanta decidió resaltar un intento de una década para eliminar las matemáticas del signo de igualdad y reemplazarlo con un concepto más flexible de "equivalencia". También hablamos sobre nuevas ideas en la teoría general de las redes neuronales que podrían dar a los especialistas en informática la codiciada base teórica para el éxito de los algoritmos de aprendizaje profundo.
Mientras tanto, los objetos matemáticos ordinarios, como las matrices y las redes, revelaron nuevas ideas inesperadas en breves pruebas elegantes, y los problemas de diez años de la teoría de números finalmente obtuvieron soluciones. Los matemáticos aprendieron más sobre cómo surgen la regularidad y el orden en sistemas caóticos, números aleatorios y otras áreas aparentemente aleatorias. De una forma u otra, el aprendizaje automático se estaba volviendo más poderoso, cambiando enfoques y áreas de investigación científica, mientras que las computadoras cuánticas llegarían a un punto crítico.
Sentar las bases de la comprensión
¿Qué pasaría si el signo igual, el fundamento de todas las matemáticas, fuera solo un error? Un número creciente de matemáticos, liderados en parte por Jacob Lurie del Instituto de Estudios Avanzados, quieren reescribir la ciencia, reemplazando la "igualdad" con un lenguaje más libre de
"equivalencia" . "Hoy en día, los conceptos básicos de las matemáticas se basan en conjuntos de objetos llamados conjuntos, pero hace diez años varios matemáticos comenzaron a trabajar con grupos más universales llamados categorías, que transmiten más información que conjuntos y reflejan más posibles relaciones que" igualdad ". Desde 2006, Lurie ha publicado más de mil páginas de teoría matemática sobre cómo traducir las matemáticas modernas al lenguaje de la teoría de categorías.
No hace mucho tiempo, otros matemáticos comenzaron a establecer los principios fundamentales de un campo en el que no existe un dogma predominante que pueda descartarse: el campo del aprendizaje automático. La tecnología que subyace a los algoritmos de aprendizaje automático más exitosos de la actualidad es cada vez más necesaria en la ciencia y la sociedad, sin embargo, pocas personas realmente entienden cómo funciona. En enero, escribimos sobre los intentos de crear una
teoría de las redes neuronales , que explica el efecto de la estructura en las capacidades de la red.
Una nueva mirada a los viejos problemas
Solo porque el camino parece familiar, no se puede decir que no quedan secretos en él. Durante siglos, matemáticos, físicos e ingenieros han trabajado con términos matemáticos, como "valores propios" y "vectores propios", utilizándolos para matrices que reflejan transformaciones de objetos de diferentes maneras. En agosto, tres físicos y un matemático dedujeron una nueva
fórmula simple que relaciona los dos conjuntos de cantidades de una manera nueva, simplificó enormemente el trabajo de los físicos en el estudio de los neutrinos y dio lugar a nuevos descubrimientos matemáticos. Después de la publicación de su estudio, los científicos descubrieron que esta relación fue descubierta hace mucho tiempo, pero fue ignorada todo el tiempo.
Un día, la rutina de la informática se iluminó con el descubrimiento de un matemático que de repente resolvió uno de los mayores problemas abiertos en esta área, demostrando la hipótesis de la "sensibilidad" (https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-computer-science-conjecture -in-two-pages-20190725 /), que describe la probabilidad de que pueda afectar la salida del chip cambiando los datos en una entrada. La prueba resultó ser desarmadamente simple y lo suficientemente compacta como para generalizarse en un solo tweet. Al mismo tiempo, en el mundo de la teoría de grafos, otro artículo espartano (esta vez con un peso de solo tres páginas) refutó la
hipótesis de hace diez años sobre cómo elegir colores para los nodos de la red, una hipótesis que afecta los mapas, el diseño de los asientos y el sudoku.
Señal en ruido
Las matemáticas a menudo implican encontrar algún tipo de orden dentro del desorden, extrayendo patrones ocultos de la aparente aleatoriedad. En mayo, un equipo usó las llamadas
funciones mágicas para mostrar que las mejores formas de organizar puntos en espacios de ocho y 24 dimensiones también son universalmente óptimas, es decir, resuelven un número infinito de tareas que van más allá del apretado conjunto de esferas iguales. Todavía no está claro por qué las funciones mágicas son tan universales. "Hay algunos problemas en matemáticas que se resuelven con la ayuda de la perseverancia y la fuerza bruta", dijo el matemático Henry Cohn. "Además, hay momentos en que parece que las matemáticas quieren que algo suceda".
Otros científicos, sin embargo, encontraron patrones en lo impredecible. Sarah Paluse demostró que las secuencias numéricas llamadas
"progresiones polinómicas" son inevitables en conjuntos de números suficientemente grandes, incluso si los números en ellas se seleccionan al azar. Incluso los matemáticos demostraron que, bajo ciertas
condiciones, los patrones surgen en un proceso dos veces al azar de análisis de formas de manera aleatoria si las formas mismas también son aleatorias. Además, reforzando la conexión entre el caos y el orden, en marzo Tim Austin demostró que todas las descripciones matemáticas de los cambios son, en última instancia, una mezcla de
sistemas ordenados y aleatorios , e incluso los ordenados necesitan un elemento de aleatoriedad. Finalmente, en el mundo real, los físicos están trabajando para comprender cuándo y cómo los sistemas caóticos, desde las luciérnagas parpadeantes hasta las neuronas encendidas, pueden sincronizarse y moverse como
un todo .
Juego con números
En la escuela primaria, todos aprendimos a multiplicar de la manera tradicional, pero en marzo de 2019, dos matemáticos describieron
un método más rápido de multiplicación . En lugar de multiplicar cada dígito del primer número por cada dígito del segundo, que es bastante inútil para números grandes, la calculadora puede combinar varios métodos, que incluyen la suma, la multiplicación y la permutación de los números, para finalmente obtener el resultado en un número mucho menor de pasos. Esta es en realidad la forma más efectiva de multiplicar números con diferencia.
Otros descubrimientos interesantes en el mundo de los números este año hablan sobre cómo expresar el número 33 como la
suma de tres cubos , lo que demuestra una hipótesis de larga data sobre cómo
aproximar números irracionales , como Pi, y profundizar la relación entre las sumas y los
productos del conjunto númerosLos crecientes desafíos del aprendizaje automático
Los científicos recurren cada vez más a las máquinas en busca de ayuda, no solo para obtener datos, sino también para comprenderlos. En marzo, hablamos sobre el aprendizaje automático que cambia la
tasa de crecimiento de la ciencia . Un proceso llamado modelado generativo, por ejemplo, puede ser la "tercera vía" para formular y probar hipótesis después de los métodos tradicionales de observación y modelado, aunque muchos todavía lo ven simplemente como un método simplificado de procesamiento de información. En cualquier caso, como escribió Dan Falk, el aprendizaje automático "cambia el sabor del descubrimiento científico y, por supuesto, simplifica el camino hacia él".
Si hablamos de lo que el aprendizaje automático nos ha ayudado durante el año pasado, vale la pena señalar que los investigadores han encontrado algoritmos que podrían
predecir los terremotos en el Océano Pacífico Noroeste, mientras que el equipo multidisciplinario descubrió cómo funciona la visión, creando un modelo matemático basado en
anatomía del cerebro Pero esto aún está muy lejos: un equipo de Alemania anunció que las
máquinas a menudo no pueden reconocer imágenes porque se centran en texturas en lugar de formas, y la red neuronal, apodada BERT, aprendió a derrotar a las personas en las
pruebas de comprensión de lectura , solo para Los investigadores se preguntaron si la máquina realmente entendía algo o simplemente era mejor en las pruebas.
Próximos pasos en el desarrollo de computadoras cuánticas
Después de muchos años de ignorancia el año pasado, los investigadores finalmente alcanzaron una etapa importante en la comprensión del problema de la computación cuántica, aunque, como en todo el cuanto, esta comprensión está plagada de incertidumbre. Las computadoras clásicas convencionales se basan en un sistema de números binarios y operan en bits, mientras que las computadoras cuánticas operan en qubits, que usan reglas cuánticas para aumentar la potencia de cómputo. En 2012,
John Preskill acuñó el término superioridad cuántica para describir el punto en que una computadora cuántica supera a una clásica. Los informes de
sistemas cuánticos más rápidos hicieron que muchos expertos sospecharan que podríamos
llegar a este punto en 2019 , y en octubre Google anunció que
este momento finalmente había llegado . Sin embargo, IBM, como rival de Google en este asunto, no estuvo de acuerdo con esta declaración, diciendo que causa "mucho escepticismo". Sin embargo, el progreso obvio en la creación de computadoras cuánticas viables a lo largo de los años también ha llevado a los investigadores, como Stephanie Venus, a comenzar a construir la
próxima generación de Internet cuántica .
En esta traducción del artículo llegó a su fin. Y lo invitamos a abrir días en los cursos
básicos y
avanzados "Matemáticas para la ciencia de datos" , para un conocimiento más detallado del plan de estudios.