कॉपुलस - यह क्या है और इसके साथ क्या है

इस संसाधन पर वे अक्सर यादृच्छिक चर के साथ काम करने के बारे में बात करते हैं - ठीक है, उनमें से बहुत सारे हैं। कभी-कभी ऐसा होता है कि आपको एक दूसरे पर दो यादृच्छिक चर की निर्भरता निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। तब आप कहेंगे - "Pfff, इसलिए हम स्कूल में इस पर गए - सहसंबंध।" यहां मैं आपको परेशान करना चाहता हूं - दो यादृच्छिक चर की निर्भरता दिखाने के लिए पियर्सन का सहसंबंध कई तरीकों में से एक है। इसके अलावा, यह रैखिक है। यही है, अगर एक्स और वाई के बीच निर्भरता रैखिक नहीं है, लेकिन, कहते हैं, द्विघात, अर्थात् एक्स = वाई ^ 2 है, तो पियर्सन का सहसंबंध निर्भरता की अनुपस्थिति को दिखाएगा। लेकिन हम जानते हैं कि ऐसा नहीं है। यदि आपने पहले इस बारे में नहीं सोचा है, तो अब आपके पास विचार होना चाहिए - "ऐसा कैसे?", "और क्या करना है?", "आह, हम सब मर जाते हैं!" मैं कट के तहत इन सभी कठिन सवालों के जवाब देने की कोशिश करूंगा। ।

शुरू करने के लिए, मुझे याद है कि संचयी वितरण कार्यों को मूल्यों के किसी भी सेट पर परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन उनके पास 0 से 1 तक के मान हैं। अर्थात, वे दिए गए मानों को 0 से 1 तक कड़ाई से परिभाषित सीमा में परिवर्तित करते हैं। आप कल्पना कर सकते हैं कि वे "संग्रह" कर सकते हैं । उदाहरण के लिए, एक सामान्य कार्य "अभिलेखागार" माइनस इनफिनिटी से प्लस इन्फिनिटी से लेकर इस कुख्यात (0,1) में होता है। तार्किक वितरण "अभिलेखागार" केवल 0 से अनंत तक की सीमा है। और इसी तरह।

अब "अनज़िपिंग" की प्रक्रिया की कल्पना करें। यह उलटा वितरण कार्यों द्वारा किया जाता है। उन्हें मात्रात्मक कार्य भी कहा जाता है। आप पहले से ही बिंदु को समझ गए - ये फ़ंक्शन इस फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट मानों की सीमा में सीमा (0,1) को रूपांतरित करते हैं। यह सब, ज़ाहिर है, सीमाओं का एक गुच्छा के साथ, लेकिन "दृश्य प्रस्तुति" के लिए, ऐसी तुलना काफी उपयुक्त है।

दिलचस्प है, अगर हम एक सिद्धांत के अनुसार उत्पन्न 10 ^ 6 यादृच्छिक चर लेते हैं (उदाहरण के लिए, मानक सामान्य वितरण के अनुसार) और दूसरा 10 ^ 6 लॉग-सामान्य वितरण कानून के अनुसार:

और फिर हम उन्हें "संग्रह" करते हैं, फिर दोनों को एक मिलियन मान प्राप्त होता है जो 0 से 1 तक समान रूप से वितरित किया जाएगा।

यही है, वास्तव में, किसी भी वितरण को समान रूप से वितरित मात्रा और व्युत्क्रम वितरण फ़ंक्शन से उत्पन्न किया जा सकता है। ऐसा कोई फंक्शन होगा। हम इस शैक्षिक कार्यक्रम को पूरा करेंगे।

अब मैं आपको कोपला से मिलवाता हूँ। सूत्र की परिभाषा इस प्रकार है:


जहाँ u "संग्रहीत" मूल्य है (u = F (x), F सीमांत वितरण फ़ंक्शन है)। हम वह भी लिख सकते हैं



यही है, यह कई "संग्रहीत" मात्राओं का एक संयुक्त वितरण कार्य है। आप कह सकते हैं - "उह ... हमने बस दिखाया कि" संग्रहीत "मात्रा सभी वितरण कार्यों के लिए समान रूप से वितरित की जाती है।" यह व्यक्तिगत मात्रा के लिए सही है, लेकिन हम एक साथ कई काम करते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास दो मात्राएँ हैं - एक सामान्य रूप से वितरित की जाती है, दूसरी लॉगऑनॉर्मल है। शुरुआत के लिए, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र होंगे। सीमांत (जब हम अलग-अलग मूल्यों पर विचार करते हैं) वितरण हम पहले ही ऊपर दिखा चुके हैं। अब मैं दिखाऊंगा कि उनका संयुक्त वितरण कैसा दिखता है:


जैसा कि आप देख सकते हैं, "संग्रहीत" मान 1 से 1 वर्ग में समान रूप से वितरित किए जाते हैं। अब हम समान मान उत्पन्न करेंगे, लेकिन मान लें कि उनके बीच 0.8 के बराबर संबंध है। परिणाम निम्नलिखित ग्राफ में दिखाया गया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अब "संग्रहीत" मूल्यों का वितरण असमान है - यह तिरछे अधिक केंद्रित है। यहां, मात्राओं की निर्भरता के एक उपाय के रूप में सहसंबंध का सीमित उपयोग प्रकट होता है। केवल इसके साथ संचालन करने पर, आप "संग्रहीत" मान को केवल विकर्ण से करीब या आगे वितरित कर सकते हैं। अगर संबंध सकारात्मक है, या संबंध नकारात्मक है, तो विकर्ण 45 डिग्री या तो 45 डिग्री होगा। लेकिन क्या होगा अगर आप एक अलग निर्भरता पैटर्न दिखाना चाहते हैं? यहीं से कोपल्स आपकी सहायता के लिए आते हैं। कोपूला की सूत्र परिभाषा से, यह देखा जा सकता है कि यह इस वर्ग 1 पर वितरण फ़ंक्शन को 1 से 1 दिखाता है, अगर दो मात्राएं हैं। यदि दो से अधिक हैं, तो कोपुला एन-डायमेंशनल क्यूब 1 में 1 पर 1 ... 1 पर वितरण दिखाएगा। विभिन्न कोपलों का उपयोग करके, आप "संग्रहीत" मात्राओं का कोई भी वितरण दिखा सकते हैं। सहकर्मियों का एक और महत्वपूर्ण लाभ मार्जिन वितरण से उनकी स्वतंत्रता है। यही है, आपको परवाह नहीं है कि सीमांत वितरणों में क्या मूल्य हैं - आप सीधे "संग्रहीत" मूल्यों की निर्भरता के माध्यम से व्यक्त निर्भरता के साथ काम करते हैं।

चूँकि कोप्युला अभी भी एक प्रायिकता फलन है, और मात्राओं का वितरण नहीं है, इसलिए वे रेखांकन करके इसे एक सतह के रूप में दिखाते हैं, जहाँ प्रत्येक बिंदु दो मात्राओं की संयुक्त संभाव्यता के बराबर है। दूसरे शब्दों में, यह संयुक्त वितरण के घनत्व का एक ग्राफ है। स्पष्टता के लिए, मैं कई कोपलों का उदाहरण दूंगा:

इसके साथ शुरू करने के लिए, हम गॉसियन कोप्युला के वितरण घनत्व फ़ंक्शन के साथ-साथ इसके चित्रमय प्रदर्शन को भी दिखाएंगे:

जहाँ सामान्य वितरण फ़ंक्शन है, और ईथ मार्जिन वितरण का उलटा कार्य है, अर्थात प्रति विशिष्ट मात्रा का वितरण।


जैसा कि आप देख सकते हैं, यह पिछले उदाहरण में "संग्रहीत" यादृच्छिक चर के वितरण के समान है। यह अजीब नहीं है, क्योंकि पिछले उदाहरण में हमने सामान्य और तार्किक मामूली वितरण कार्यों के साथ 0.8 के बराबर समान सहसंबंध पैरामीटर के साथ गॉसियन कोप्युला का उपयोग किया था।

अगला, मैं छात्र कोप्युला दिखाना चाहूंगा:


जहां टी किसी दिए गए सहसंयोजक मैट्रिक्स और स्वतंत्रता की डिग्री की दी गई संख्या के साथ छात्र वितरण समारोह है


यह देखा जा सकता है कि, गौसियन कोप्युला के विपरीत, स्टूडेंट कॉपुला का चरम मूल्यों (1-1 और 0-0) पर अधिक मूल्य है, जिसका अर्थ है कि वितरण में मोटा होना। यहां तक ​​कि उच्च मूल्य कोण 0-1 और 1-0 में हैं, जिसका अर्थ है सीमांत कार्यों की परिभाषाओं की सीमाओं के अंत में एक स्पष्ट उलटा संबंध। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह ग्राफ मूल्यों के बीच सकारात्मक सहसंबंध के लिए बनाया गया था। शून्य सहसंबंध के मामले में, गौसियन कोप्युला के विपरीत, जहां इस मामले में पूरे वर्ग पर एक समान वितरण होगा, छात्र के कोपुला में सभी कोणों के लिए समान वजन होता है। इसका मतलब है कि यदि एक मान "पूंछ" मान लेता है, तो दूसरा भी "पूंछ" मान लेगा, लेकिन समान संभावना के साथ, दाएं या बाएं। कोप्यूला के घनत्व के ग्राफ को पढ़ने में आसानी के लिए, आप मानसिक रूप से कुल्हाड़ियों में से एक का टुकड़ा बना सकते हैं। परिणामस्वरूप ग्राफ दूसरे को ठीक करते समय एक "संग्रहीत" मूल्य की घटना की संभावना घनत्व का एक ग्राफ होगा।

मैं क्लेटन कोप्युला को भी दिखाना चाहूंगा, जो केवल अल्फ़ा पैरामीटर द्वारा दो मात्राओं की संयोजकता की डिग्री निर्धारित करता है, जो कि कड़ाई से 1 से अधिक होना चाहिए।




यहां, मुख्य वजन 0-0 के कोण पर निहित है, अर्थात, मूल्यों में सबसे अधिक संभावना है कि वे सीमांत कार्यों की बाईं पूंछ से मान लेंगे।

सामान्य तौर पर, कोप्लस मॉडलिंग की सीमा का विस्तार करते हुए, एक-दूसरे पर कई मात्राओं की निर्भरता दिखाना संभव बनाते हैं। आगे के संदर्भ के लिए, मैं संदर्भों की एक छोटी सूची प्रदान करता हूं

मतलाब में कोपुला
मैथुन का उपयोग कर रिश्तों को समझना - एडवर्ड फ़्रीज़, एमिलियानो वाल्डेज़
कोप्लस के साथ नकल - थोरस्टेन श्मिट