बोरिंग इंटीग्रल्स

आप में से कुछ ने संभवतः नेटवर्क के खुले स्थानों पर इस समस्या को देखा था: अगली पंक्ति क्या संख्या जारी रखती है?

स्पष्ट सही उत्तर का सुझाव दिया गया था:

उन लोगों के लिए जिन्होंने यह नहीं देखा कि इसे कैसे प्राप्त किया गया था, एक स्पष्टीकरण की पेशकश की गई थी। चलो (ठीक है, 1 के लिए x = 0, हालांकि यह कोई फर्क नहीं पड़ता)। फिर श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य श्रृंखला में निम्नलिखित अभिन्न का मूल्य है:

अब तक, सब कुछ ठीक चल रहा है, लेकिन फिर अचानक:

सिद्धांत रूप में, यह मेरे गणित मित्रों को खुश करने के लिए पर्याप्त है, लेकिन मैं यह जानना चाहता था कि इस तरह के अभिन्न को कैसे माना जाता है और ऐसा हास्यास्पद परिणाम क्यों प्राप्त होता है। अगर कोई और पुराने दिनों को झकझोरना चाहता है और मस्तान को फंकन के साथ याद करना चाहता है, तो कृपया पढ़ें।

एक परियों की कहानी बताना शुरू करता है

पहले, आइए पहले इंटीग्रल को अलग से देखें:

कुछ समय पहले, मैंने सोचा: “अरे, मैं मटन को पूरी तरह से नहीं भूल पाया हूँ! मुझे इस अभिन्न को अनिश्चित काल के लिए लेने दें, और फिर सीमाएं निर्धारित करें। निश्चित रूप से भागों में कुछ समय, और बात टोपी में है। अब मैं बाहरी मदद के बिना कागज के एक टुकड़े पर फैसला करूंगा। ” मैं आपको चेतावनी देना चाहता हूं: मेरी गलती न दोहराएं। एक नींद की रात आपको इंतजार कर रही है, और फिर आप निर्देशिका में देखते हैं और पता करते हैं कि प्राथमिक कार्यों में अनिश्चितकालीन अभिन्नता नहीं ली गई है। उसके लिए, उन्होंने एक विशेष समारोह भी शुरू किया।

हालांकि, इन विशिष्ट सीमाओं के साथ, अभिन्न को अलग-अलग तरीकों से लिया जा सकता है। हम एक तरह से जाएंगे जिसमें न्यूनतम बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होती है (सबसे गंभीर भागों में समान एकीकरण है)। शुरू करने के लिए, हम अचानक प्रतिस्थापन करेंगे:

आप पूछते हैं: यह कहां से आया और हमें एक और अभिन्न की आवश्यकता क्यों है, क्या यह पर्याप्त नहीं है? यह शांत है, यह आवश्यक है (लाप्लास परिवर्तन के गुणों से परिचित लोग प्रसन्नता से मुस्कुरा रहे हैं)। मूल सूत्र में प्रतिस्थापन को प्रतिस्थापित करें और एकीकरण क्रम बदलें:

अंदर, हमें लगभग एक शास्त्रीय डीएक्स अभिन्न अंग मिला, जिसने हमारे भौतिकी स्कूल में सभी को डरा दिया। इसे दो बार भागों में एकीकरण सूत्र का उपयोग करके, अनिश्चित काल के रूप में भी लिया जा सकता है। फिर दाईं ओर हमें कुछ प्रकार की अशांति मिलती है और एक बार फिर उसी अभिन्न गुण को किसी चीज से गुणा किया जाता है, और परिणामस्वरूप, इस अभिन्न के लिए समीकरण को हल करना और उत्तर प्राप्त करना संभव होगा, और फिर सीमाएं निर्धारित करें। कौन परवाह करता है, इसे स्वयं करें, और मैं आलस्यपूर्वक समाप्त परिणाम लिखूंगा:

खैर, अब सब कुछ सरल है: यह एक माध्यमिक विद्यालय से अभिन्न तालिका है, जो चाप स्पर्शरेखा के बराबर है। अनंत में, आधे में, शून्य - शून्य पर, इसलिए हमें उत्तर मिला।
अभिन्न, वैसे, यह इतना अच्छा है कि इसका अपना नाम है - डरिकलेट अभिन्न । लिंक से आप इसे लेने के अन्य तरीके पा सकते हैं।

जल्द ही परी कथा प्रभावित होती है, लेकिन जल्द ही बात नहीं बनती है

अगली यात्रा के लिए, हमें चार चीजों की आवश्यकता है: एक आयताकार कार्य, एक कोज्या फूरियर रूपांतरण, दृढ़ संकल्प और पार्सल का प्रमेय। सबसे पहले, मैं इन अद्भुत चीजों के बारे में कुछ शब्द कहूंगा।

आयताकार फ़ंक्शन - हमारे पास शून्य के आसपास ऐसा कदम होगा:

मुख्य रूप से फ़्यूचर ट्रांसफ़र के गुणों का अवलोकन करने के लिए असंतोष के बिंदुओं पर मूल्य 1/2 आवश्यक है, सामान्य रूप से, हमारी समस्या के लिए, यह अप्रत्याशित है।

कोसाइन फूरियर ट्रांसफॉर्म । सादगी के लिए, हम गणितीय सटीकता से थोड़ा दूर रहते हैं और इसे मोटे तौर पर तैयार करते हैं। पर्याप्त रूप से अच्छे कार्य के लिए भी f (x), निम्नलिखित संबंध रखती है:

समारोह और कोस (X) के कोसाइन फूरियर ट्रांसफॉर्म (FCT) कहा जाता है (इसे f की छवि भी कहा जाता है)। यही है, कोसाइन ट्रांसफ़ॉर्मेशन से कोसाइन ट्रांसफॉर्मेशन फिर से ओरिजिनल फंक्शन f (x) देता है!

सिग्नल प्रोसेसिंग से परिचित लोग अच्छी तरह जानते हैं कि आयताकार फ़ंक्शन का FCT है । उपरोक्त सूत्रों और स्कूल के ज्ञान का उपयोग करके यह साबित करना आसान है। चूंकि अंतराल [-a, ए] के बाहर आयताकार फ़ंक्शन शून्य के बराबर है, हम बस इस अंतराल पर कॉस (xt) को एकीकृत कर सकते हैं, यहां चर का एक सरल परिवर्तन और एक टेबल इंटीग्रल है। उपरोक्त संपत्ति का कहना है कि एफसीटी से एक आयताकार कार्य है।

बातचीत एक और बढ़िया चीज है जो सिग्नल प्रोसेसिंग के बिना कर सकते हैं। दो कार्यों के लिए एफ ₁ (एक्स) और एफ ₂ (एक्स), आप एक कन्वेंशन फ़ंक्शन (जैसे तारांकन चिह्न द्वारा इंगित) को परिभाषित कर सकते हैं:


कनविक्शन के पास एक अद्भुत संपत्ति है जिसके लिए वह प्यार करता है: फूरियर रूपांतरण इसे गुणा में बदल देता है, और गुणा एक कनविक्शन में। अधिक सटीक रूप से, दो अच्छे कार्यों के उत्पाद का कोसाइन परिवर्तन दो पी की जड़ से विभाजित उनकी छवियों का एक दृढ़ संकल्प है: ।

पार्सेवल का प्रमेय सिग्नल ऊर्जा और इसके स्पेक्ट्रम की समानता के बारे में एक बहुत अच्छा कथन है, जिसे अलग-अलग उद्देश्यों के लिए अलग-अलग तरीके से लिखा गया है। हमें इस संस्करण की आवश्यकता है: सम और अच्छे कार्यों के लिए ।

डोसेलेवा मकर बागों की खुदाई कर रहा था, और अब मकर आवाज में है

हमारे अद्भुत अनुक्रम से दूसरा अभिन्न लें। जैसा कि कई लोग पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, हम पार्सल के प्रमेय का उपयोग करेंगे और कारकों को उनकी एफसीटी-छवियों के साथ बदल देंगे:

अभिन्न के तहत पहला आयताकार फ़ंक्शन एक से कम तर्कों के लिए एक है और एक से अधिक तर्कों के लिए शून्य है। इसलिए, एकीकरण सीमा को समायोजित करके कुछ भी हमें इसे अभिन्न से हटाने से रोकता है:

इंटीग्रल के तहत 3 की ऊंचाई और 1/3 की चौड़ाई के साथ एक चरण बना रहा। यहां तक ​​कि एक तीसरा ग्रेडर इस तरह के एक अभिन्न अंग ले जाएगा: आपको बस 3 और 1/3 को गुणा करना होगा। एक अभिन्न से रहता है, और हम आधे में वांछित पाई है! इस प्रकार, हमने लगभग ईमानदारी से श्रृंखला से दूसरा अभिन्न अंग लिया। जो लोग इसे बहुत ईमानदारी से करना चाहते हैं उन्हें यह पता लगाना होगा कि किसी फ़ंक्शन की अच्छाई क्या है और यह साबित करती है कि हमारे कार्य अच्छे हैं।

इसे और सरल बनाने के लिए, हम F ₁ (x) के रूप में इंटीग्रल के तहत इस चरण को दर्शाते हैं और इसका ग्राफ बनाते हैं:



चलो मज़े करते हैं और तीन कारकों के साथ अभिन्न को देखते हैं। पार्सेवल प्रमेय लागू करने के लिए, अब हम दूसरे से सभी कारकों को एक कारक मानेंगे: । पहले कारक की छवि के साथ, सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है, और दूसरे कारक की छवि सजा के माध्यम से व्यक्त की गई है:

पहली नज़र में यह डरावना है। लेकिन आप कुछ बढ़ा सकते हैं, कुछ काट सकते हैं और हमारे एफ ₁ (एक्स) को स्थानापन्न कर सकते हैं। फिर हमें मिलता है:

आंतरिक इंटीग्रल सिर्फ एक आयताकार फिल्टर है, फ़ंक्शन एफ ₁ (एक्स) के लिए "ब्लर" का एक प्रकार: हम बस एक पड़ोस में सभी मानों को औसत करते हैं या प्रत्येक बिंदु के लिए एक पांचवें को घटाते हैं। फिर से, आप एकीकरण की सीमा को रोककर आयताकार फ़ंक्शन से छुटकारा पा सकते हैं। और बाहरी अभिन्न के साथ हम एक ही प्रक्रिया करेंगे। यहाँ परिणाम है:


बाईं ओर F ₂ (x) फंक्शन का ग्राफ है, जो वास्तव में एक स्मूथ F ₁ (x) है । यह साबित करना आसान है कि एक सामान्य कर्नेल के साथ एक फ़ंक्शन को चौरसाई करने के बाद, इसका अभिन्न अंग नहीं बदलता है। ठीक है, वास्तव में हम-actually से + but तक अभिन्न के बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन एक समान कार्य के लिए यह शून्य के साथ एक अभिन्न के लिए भी सही है। इस मामले में, कर्नेल -1/5 से +1/5 तक एक कदम था, जिसे 5/2 से गुणा किया गया था। चरण के तहत क्षेत्र एकता है, जिसका अर्थ है कि कोर सामान्यीकृत है। यहां, आप फ़ोटोशॉप में ब्लर के साथ तुलना कर सकते हैं: नीले रंग को लागू करने के बाद, पूरी तरह से चित्र हल्का या गहरा नहीं होता है। और यदि ऐसा है, तो इंटीग्रल F ₂ (x) इंटीग्रल F ₁ (x) के बराबर है, यानी एक, इसलिए तीसरा इंटीग्रल pi-halves के बराबर है!

इसके अलावा, प्रक्रिया बहुत समान है। चौथे अभिन्न समूह को निम्नानुसार समूहित करें: । सबसे पहले, ब्रैकेट के लिए पार्सेवल प्रमेय एक दृढ़ संकल्प है, और हम पहले से ही जानते हैं कि एफ ₂ (एक्स) के संदर्भ में आंतरिक ब्रैकेट की छवि को कैसे व्यक्त किया जाए। तब सब कुछ पिछली बार की तरह ही होता है, और परिणामस्वरूप हमें मिलता है:



अब हमारे पास पहले से ही F ₃ (x) है , जो वास्तव में एक कर्नेल 2/7 चौड़े के साथ एक स्मूथ F ₂ (x) है । कर्नेल को सामान्यीकृत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि इंटीग्रल F ₃ (x) इंटीग्रल F ₂ (x) के बराबर है, अर्थात, और फिर हमारे पास pi-halves हैं!

महान, अब हम नट की तरह इन इंटीग्रल्स पर क्लिक करते हैं। लेकिन सिद्धांत रूप में, अगर यह इस तरह से चलता है, तो क्या वे सभी आधे में अनंत के बराबर होंगे? आइए आगे देखते हैं। पांचवां अभिन्न:


सब कुछ एक जैसा ही लगता है। ठीक है, छठा अभिन्न:


और कोई समस्या नहीं हैं। ठीक है, सातवाँ लो:


कोई नई बात नहीं! ठीक है, आठवें के बारे में क्या?


रुक रुक के रुक! यहाँ हम CSI टीम के बिना नहीं कर सकते हैं!


यूनिट के माध्यम से बहता है फंक्शन! अभिन्न एफ ₇ (एक्स) अभी भी एकता के बराबर है, लेकिन यह है अगर हम 0 से (को एकीकृत करते हैं। और हम एकता के लिए एकीकृत! अब तक, सभी कार्य शून्य हो चुके हैं जब x एकता से अधिक है, लेकिन जितनी जल्दी या बाद में इसे समाप्त होना चाहिए था।

लेकिन जब अंत आ रहा है तो कैसे समझें? यह बहुत सरल है। F ₁ (x) x <1/3 पर nonzero था। F ₂ (x) ने इसे ( 1/5 से सुचारू किया, जिसका अर्थ है कि यह x <1/3 + 1/5 पर nonzero था। इसी तरह, कोई भी इन सभी कार्यों के लिए गैर-अक्षीय मानों की सीमा का पता लगा सकता है, और F ₇ (x) के लिए यह सीमा पहली बार एकता से अधिक है:


यह भी गणना करना आसान है कि कितना लीक हो गया है, और इस तरह आठवें अभिन्न के सटीक मूल्य की गणना करता है। ध्यान दें कि सीमा के बाईं ओर F ₁ (x) एक स्थिर 3. F ₂ (x) है जो इस स्थिरांक का अभाज्य है जो 5/2 के गुणांक के साथ है, अर्थात 3 × 5/2 के गुणांक वाली एक पंक्ति। सीमा _{3 के} लिए पर्याप्त निकटता में F ₃ (x) 1/3 + 1/5 + 1/7 7/2 के गुणांक के साथ उस रेखा का अभिन्न अंग है, जो कुछ इस तरह है । इसी तरह के तर्क को जारी रखते हुए, हम सीमा के पड़ोस में F ₇ (x) के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

दरअसल, छठी डिग्री का एक साधारण परबोला, स्थानांतरित और गुणा किया जाता है। यदि हम इसे एक सीमा से 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/15 तक एकीकृत करते हैं, तो हम यह पता लगाएंगे कि इकाई के बाहर कितने कार्य लीक हुए हैं। आप इस समस्या को पूरी तरह से साधारण अंशों में हल कर सकते हैं। यह पता चलेगा कि कितना:


यदि हम इस आंकड़े को एकता से घटाते हैं और आधे में पीआई से गुणा करते हैं, तो हमें आठवें अभिन्न का अंतिम मूल्य मिलता है:


इस तरह के अभिन्न लोगों को डेविड और जोनाथन बोरवेइन के सम्मान में बोरवेन अभिन्न कहा जाता है, जिन्होंने उनका वर्णन किया। यदि आप कठोर गणितीय प्रमाण चाहते हैं (बिना किसी "अच्छे कार्य") और इन अद्भुत अभिन्नताओं के अन्य गुणों के साथ, लेखकों द्वारा लेख पढ़ें।

निष्कर्ष: स्तर अस्सी ट्रोलिंग

इन इंटीग्रल्स को खोलने के बाद, जोनाथन बोरविन ने उन्हें मेपल सॉफ्टवेयर पैकेज में पेश किया और यह सुनिश्चित करते हुए कि मेपल सभी आठ इंटीग्रल्स को सही तरीके से लेता है, उसने डेवलपर्स को "बग" के बारे में सूचित किया: वे कहते हैं कि आठवां इंटीग्रल भी आधे में होना चाहिए, और आपको नरक मिलेगा कि। एक गलती की तलाश में, मेपल के डेवलपर्स में से एक, जैक्स कैरेट द्वारा तीन दिन और तीन रातों को मार डाला गया, जब तक कि उसे एहसास नहीं हुआ कि वह क्रूर मजाक में था। और वे कहते हैं कि गणितज्ञ लोगों को उबा रहे हैं!