👩🏼‍🍳 👨🏾‍🍳 🗂️ نحصل على الشكل: من الهندسة الزائدية إلى المجمعات المكعبة والعكس صحيح 📦 🏡 👩🏻‍🎨

يشير الدليل إلى نهاية حقبة في دراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد.

منذ ثلاثين عامًا ، تحدث عالم الرياضيات ويليام ثورستون عن رؤيته: تنظيم جميع الأشكال المحدودة ثلاثية الأبعاد الممكنة.

ثورستون ، حائز على جائزة فيلدز ، الذي قضى معظم حياته المهنية في جامعتي برينستون وكورنيل ، كان لديه قدرة خارقة على تمثيل ما لا يمكن تصوره: ليس فقط الأشكال التي تعيش في الفضاء المعتاد ثلاثي الأبعاد ، ولكن أيضًا مجموعة كبيرة من الأشكال ذات الخصائص المعقدة التي لا يمكن وضعها إلا في الفضاء مع الكثير من الأبعاد. حيث رأى علماء الرياضيات الآخرون بداية الأشكال ، رأى ثورستون الهياكل: التماثلات والأسطح والعلاقة بين الأشكال المختلفة.

وليام ثورستون في بيركلي عام 1991.

وكتب في عام 2009: "بعد سنوات عديدة من الدراسة ، لدى كثير من الناس انطباع بأن الرياضيات مادة صارمة ورسمية تتعامل مع القواعد المعقدة والغامضة". "الرياضيات الجيدة هي عكس ذلك تمامًا." الرياضيات هي فن الفهم الإنساني ... الرياضيات تغني عندما نشعر بها مع دماغنا بالكامل. "

استندت رؤية ثورستون على زواج بين نهجين متباينين على ما يبدو لدراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد: الهندسة ، مملكة مألوفة من الزوايا والأطوال والمناطق والأحجام ، وطبولوجيا تدرس خصائص الأشكال المستقلة عن القياسات الهندسية الدقيقة - الخصائص التي ليست تغيير إذا كان النموذج ممتدًا أو ملتويًا ، مثل " المقبض ".

بالنسبة للطبوغرافي ، فإن سطح المقلاة يعادل سطح الطاولة أو القلم الرصاص أو الكرة ؛ سطح الكوب يعادل كعكة أو حلق. من وجهة نظر طوبولوجي ، تنوع الأشكال الثنائية الأبعاد - الأسطح - إلى قائمة بسيطة من الفئات: كروية ، حلقية ، حلقية مع عدد كبير من الثقوب. (معظمنا يقدم مجالات وتوري على أنها ثلاثية الأبعاد ، ولكن بما أن علماء الرياضيات يعتبرونها أسطحًا مجوفة ، فإنهم يعتبرون هذه الأسطح كائنات ثنائية الأبعاد ، تقاس بمساحة السطح ، وليس بالحجم).

كانت فكرة ثورستون الرئيسية هي فهم المشعبات الثلاثةممكن من خلال اتحاد الهندسة والطبولوجيا. بالطريقة نفسها التي تحتوي فيها الفئة الطبوغرافية من مشعبين ، تحتوي على سطح مقلاة وقلم رصاص ، على المجال المثالي ، اقترح ثورستون أن العديد من فئات المشعبات الثلاثة تحتوي على حالة واحدة ، وهي مشعب ثلاثي هندسته متجانسة ومثالية ، جميلة جدًا أنها ، كما قال والتر نيومان من جامعة كولومبيا ، "ترن مثل الجرس". علاوة على ذلك ، اقترح ثورستون أن الأشكال التي لا تحتوي على مثل هذه الحالة يمكن قطعها إلى قطع ستكون فيها بالفعل.

في ورقة عام 1982 ، طرح ثورستون "فرضية الهندسة" بين 23 سؤالًا حول 3 مشعبات عرضت على علماء الرياضيات اتجاه معرفة الأشكال ثلاثية الأبعاد. (كان هناك 24 سؤالاً في القائمة ، لكن أحدها ، الذي لا يزال دون حل ، يشبه زقاقًا مثيرًا للاهتمام أكثر من الطريق الرئيسي).

يقول فلاديمير ماركوفيتش ، عالم الرياضيات من كالتيك: "كان لدى ثورستون موهبة كبيرة في طرح الأسئلة الصحيحة". "يمكن للجميع طرح الأسئلة ، ولكن نادرًا ما يحدث أن يؤدي السؤال إلى الأفكار والجمال ، تمامًا كما نجحت أسئلة ثورستون".

ألهمت الأسئلة جيلًا جديدًا من علماء الرياضيات ، قرر العشرات منهم القيام بعملهم تحت إشراف ثورستون. يعبر "أطفاله" الرياضيون عن أسلوبه ، كما كتب ريتشارد براون.من الجامعة. جون هوبكنز. "إنهم ينظرون إلى الرياضيات ، مثل الأطفال في معرض: بفرح ومفاجأة ، مفتونين بكل اكتشاف جديد ، وهم سعداء فقط لأن يكونوا جزءًا من كل ذلك."

بعد عشرات السنين من ظهور عمل ثورستون ، اتبع علماء الرياضيات "خارطة" البحث الخاصة به ، ولم يتم تحفيزهم من خلال التطبيقات المحتملة لاكتشافاتهم ، بل من خلال المكان الجيد الذي تشغله 3 مشعبات في دراسة الأشكال. الأشكال الثنائية الأبعاد شائعة جدًا ، يسهل تصويرها وتقسيمها إلى فئات. من المستحيل عمليًا تدريب الأشكال الأربعة والخامسة والمزيد من الأبعاد المتعددة على الإطلاق: تنوع الاحتمالات كبير جدًا لدرجة أن علماء الرياضيات اقتصروا على معرفة فئاتهم الفرعية الخاصة فقط. وفي حالة الأشكال الهيكلية ثلاثية الأبعاد ، فهي غامضة وصعبة من ناحية ، ولكن من ناحية أخرى ، يمكن التعرف عليها بشكل أساسي.

لقد مر عمل ثورستون لمدة 30 عامًا ، وتم بالفعل حل جميع القضايا باستثناء أربع ، بما في ذلك فرضية الهندسة ، التي أثبتها عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان في عام 2002 ، والتي كانت إنجازًا بارزًا في الرياضيات الحديثة. لكن المهام الأربع المتبقية قاومت بعناد.

قال يائير مينسكي من جامعة ييل: "حقيقة أننا لم نتمكن من حلها لفترة طويلة تعني أن هناك شيئًا عميقًا جدًا مخفيًا هناك".

أخيرًا ، في آذار (مارس) 2012 ، أثار إيان إيغول من جامعة كاليفورنيا في بيركلي مجتمع الرياضيات من خلال الإعلان عن إثبات فرضية وايز التي غطت أسئلة ثورستون الأربعة الأخيرة في ضربة واحدة.

يطلق علماء الرياضيات على هذه النتيجة نهاية حقبة.

يقول داني كاليغاري من شركة Caltech: "ربما كانت رؤية المشعبات الثلاثة التي وصفها ثورستون في عمله في ذلك الوقت رائعة ، ولكنها الآن قد تحققت بالكامل". "كانت أفكاره مثبتة بشكل مدهش - وكانت كل التفاصيل صحيحة."

كتب ثورستون ، بعد أن حصل على جائزة ستيل للرياضيات قبل وفاته ببضعة أشهر في أغسطس 2012 عن عمر 65 عامًا: "بدا لي أن هناك معرفة خاصة وأساليب تفكير خاصة كانت غريبة بالنسبة لي وحدي ." "وأنا سعيد للغاية لأنني وصلت إلى هذا المستوى عندما لم يكن الأمر كذلك - فقد شارك الكثير من الناس طريقة تفكيري ، وأثبت الكثير النظريات التي قمت بها دون جدوى."

يُظهر إنجاز Aigol وجود مخطط بسيط لبناء جميع المشعبات الثلاثية الزائدة المدمجة - وهو النوع الوحيد من الأشكال ثلاثية الأبعاد التي لم يتم شرحها بالكامل بعد.

قال هنري ويلتون من كلية لندن الجامعية: "نحن نفهم الآن بالضبط ما تبدو عليه جميع المشعبات الثلاثة". "هذه تتويجا لقصة نجاح رياضية ضخمة."

دراسة سطحية

حاول برنامج ثورستون أن يتعامل مع مشعبات 3 ما فعله علماء الرياضيات بنجاح قبل مائة عام مع مشعبات ثنائية الأبعاد. لتوسيع أنفسنا قبل فهم المشعبات ثلاثية الأبعاد ، دعونا نلقي نظرة على داخل تصنيف الأسطح "القابلة للتوجيه" (الأسطح المحدودة بدون ثقوب وجروح ذات اتجاه ثابت).

للاقتراب من مشكلة التصنيف ، أظهر علماء الرياضيات أنه لأي سطح من الممكن تنفيذ تبسيطه المتسلسل عن طريق قطعه على طول المنحنيات حتى يفتح في مضلع مسطح.

التين. 1

من السهل إظهار هذا للحيد: أولاً نقطعه على طول الحلقة A ، كما في الشكل 1 ، نحصل على أسطوانة. ثم نقوم بقطع الحلقة B ، وتصويب الأسطوانة إلى مربع. الشكل 2 هو أكثر صعوبة في اكتشافه ، ولكن حتى هناك ، القطع على طول أربعة منحنيات يحول الحيد المزدوج (حيد بفتحتين) إلى مثمن. بالطريقة نفسها ، بالنسبة لأي حيد بفتحات n ، يمكننا عمل شقوق 2n في الحلقات وتوسيعها إلى 4n-gon.

الشكل 2

يمكنك محاولة تبسيط سطح تعسفي إلى أجل غير مسمى (وتحديده) عن طريق قطعه بطريقة مماثلة. إذا لم يكن هذا المجال ، فقد أظهر الطوبولوجيون أنه يجب أن يحتوي على حلقات داخلية (حلقات لا تتقاطع مع بعضها البعض) لا يمكن سحبها إلى نقطة واحدة - مثل A و B على الحيد. يزيل قطع السطح على طول إحدى هذه الحلقات العديد من الخصائص الطوبولوجية المثيرة للاهتمام للسطح. أظهر علماء الرياضيات أنه لخفض السطح إلى مضلع مسطح ، من الضروري قطعه لعدد محدود من المرات.

بعد تبسيط السطح إلى مستوى المضلع ، من السهل أن نرى أنه إذا قمنا بصق حوافه لاستعادة السطح الأصلي ، فسيتعين علينا عمل حيد أو حيد مزدوج أو حيد ثلاثي ، إلخ. بعد كل شيء ، سيحول اللصق الأول المضلع إلى سطح عرض النفق ، وكل واحد لاحق سيضيف إما نفقًا جديدًا أو ببساطة يخيط الأجزاء المفتوحة. عندما ننهي العملية ، نحصل على حيد مع بعض الثقوب.

لا يوضح هذا النهج فقط التكافؤ الطوبولوجي للسطح إلى كرة أو بعض الحيد: فهو يوفر أيضًا طريقة لمنح سطح بهيكل هندسي بسيط وموحد.

من الواضح أن المجال يحتوي بالفعل على بنية هندسية موحدة: تبدو هندستها متشابهة من أي مكان في المجال. على النقيض من ذلك ، فإن سطح الدونات ليس متجانسًا على الإطلاق: تنحني منطقة الحافة الخارجية للدونات بطريقة مشابهة للكرة ، والمنطقة الموجودة على الحلقة الداخلية مثنية مثل السرج.

وبغض النظر عن كيفية وضع الحيد في الفضاء - بغض النظر عن كيفية تمدده ولفه - لا يمكنك جعله بحيث تكون الهندسة هي نفسها في أي مكان. بعض الأجزاء ستدور مثل الكرة ، وبعضها مثل السرج ، وبعضها قد يكون مسطحًا.

ومع ذلك ، من الممكن تجهيز الحيد ببنية هندسية مجردة متطابقة في أي نقطة - ببساطة أعلن أنه في كل قسم صغير من الحيد يتم تحديد المسافات والزوايا من خلال قياس المربع الذي ، كما رأينا ، يمكن عمل الحيد. لا يمكن إنشاء الحيد المادي في الفضاء العادي ، الذي تتوافق أطواله وزواياه مع هذه القاعدة المجردة ، ولكن هذا التعريف للأطوال والزوايا متسق داخليًا. نظرًا لأن المربع يحتوي على الهندسة المسطحة (الإقليدية) المعتادة ، فإننا نقول أنه يمكن تجهيز الحيد بهيكل إقليدي. يشبه الحيد مع هذا الشكل الهندسي لعبة فيديو يختفي فيها شخصية من الجانب الأيسر من الشاشة ويظهر من جديد على اليمين ويختفي من الجانب العلوي ، يظهر في الأسفل.

في محاولة للقيام بهذه العملية بحيد مزدوج ، سنواجه عقبة. تذكر أنه يمكننا عمل حيد مزدوج عن طريق لصق حواف المثمن. إذا أعلننا أن هندسة الحيد المزدوج هي نسخ هندسة المثمن ، فسوف نواجه مشكلة زواياه. بعد لصق المثمن في حيد مزدوج ، سيتم لصق نقاط الزاوية معًا ، في نقطة واحدة من الحيد المزدوج. ستكون هناك ثماني زوايا عند هذه النقطة ، ستضيف كل منها 135 درجة ، والتي ستكون معًا 1080 درجة بدلاً من 360.

إذا حاولنا إعطاء الهيكل الهندسي للمثمن إلى الحيد المزدوج ، فقد اتضح أن الحيد المزدوج لدينا سيكون له الهندسة الإقليدية المعتادة في كل مكان باستثناء نقطة واحدة حيث يبرز سطحه مثل قبعة مدببة (نقاط الزاوية ليست مشكلة إذا قمنا بغراء مربع في حيد: نحن الغراء أربع زوايا قائمة والحصول على 360 درجة مثالية).

للحصول على بنية هندسية ناعمة عند نقطة الزاوية للحيد المزدوج ، من الضروري أن تساهم كل زاوية من الزوايا الثمانية بـ 45 درجة فقط بدلاً من 135. ومن المثير للاهتمام أن مثل هذا المثمن موجود ، ولكنه لا يعيش في المستوى الإقليدي المعتاد ، ولكن على هيكل آخر يسمى القرص الزائدي: الثالث نوع من الهندسة موحد ومتسق داخليًا ، مثل كروي أو إقليدي. ولكن بما أنه من الصعب تخيل ذلك ، فقد اكتشفه علماء الرياضيات فقط في بداية القرن التاسع عشر.

الشكل 3

بشكل تقريبي ، يتم الحصول على الهندسة الزائدية (أو هندسة Lobachevsky) إذا أعلنا أن جميع الأسماك في الشكل 3 لها نفس الحجم. يمكن للمرء أن يتصور أن الشكل 3 هو في الواقع صورة قرص تم الحصول عليها من خلال عدسة مشوهة ، مما يجعل السمك أقرب إلى الحافة أصغر من السمك في المنتصف. على قرص زائدي حقيقي أمام العدسة ، تكون جميع الأسماك بنفس الحجم.

في الفضاء العادي ، من المستحيل إنشاء قرص زائدي منتظم وسلس بحيث تكون جميع الأسماك متشابهة حقًا. ولكن من وجهة نظر مجردة ، فإن قاعدة حجم الأسماك تعطي هندسة متسقة داخليًا وتبدو متشابهة في أي وقت - ليس لمراقب ذي عدسة مشوهة ، ولكن من وجهة نظر مقيم في قرص زائدي.

في الهندسة الزائدية ، أقصر مسار ، أو "جيوديسي" ، بين نقطتين هو المسار عبر أصغر عدد ممكن من الأسماك. مثل هذا المسار هو دائمًا نصف دائرة متعامدة مع حدود القرص. ومن الأمثلة على ذلك نصف دائري يمتد على طول أشواك الأسماك. من وجهة نظرنا المشوهة ، هذه المسارات منحنية ، ولكن بالنسبة لسكان القرص فهذه خطوط مستقيمة. كما قال ثورستون ، للقيادة على طوله ، لا تحتاج إلى تدوير عجلة القيادة. على عكس المستوى الإقليدي ، الذي تبقى فيه الخطوط المتوازية دائمًا على نفس المسافة ، على قرص زائدي يمكن أن يتباعد خطان منفصلان بسرعة كبيرة عن بعضهما البعض.

من وجهة نظر الهندسة الزائدية ، فإن الأشكال في الشكل 4 هي مثمنات عادية ذات جوانب مستقيمة. في واحدة من هذه المثمنات ، تكون جميع الزوايا بزاوية 45 درجة ما نحتاجه لحث مزدوج. إذا قمنا بغراء جوانب هذا المثمن بشكل صحيح ، فسوف نحصل على حيد مزدوج بهيكل زائدي مثالي وموحد.

الشكل 4

بنفس الطريقة ، يمكننا تجهيز الحيد الثلاثي ببنية زائدية. يمكن لصق الحيد الثلاثي من 12-gon ، لذلك إذا قمنا بعمل 12-gon زائدي بزاوية داخلية 30 درجة ، يمكن نقل هندسته الزائدية بسلاسة إلى الحيد الثلاثي. استمرارًا للموضوع ، يمكننا توفير torus مع 4 ثقوب ، مع الهندسة الخامسة وما إلى ذلك ، الزائدية. إن تصنيفنا للأسطح المدمجة هو كما يلي: سطح بهندسة كروية (كروية) ، وسقف بالإقليدية (الحيد) ، والعديد من الأسطح بلا حدود مع الهندسة الزائدية (كلها توري بها أكثر من ثقب واحد).

على مدى المائة عام الماضية ، أعطى هذا التصنيف علماء الرياضيات طريقة مثمرة للغاية لنقل الأسئلة الطوبولوجية حول الأسطح إلى المجال الهندسي ، والعكس صحيح. تصنيف الأسطح هو الفكرة الرئيسية في دراسة الأشكال ثنائية الأبعاد ، وهو اكتشاف تستخدمه جميع الدراسات الأخرى كنقطة انطلاق.

القياس التالي

المشعبات الثلاث أكثر تنوعًا بكثير من المشعبات 2 ، والمشكلات معها أكثر تعقيدًا. حتى سؤال بسيط المظهر مثل تخمين بوانكاريه الشهير - الذي يسأل عما إذا كانت النسخة ثلاثية الأبعاد من الكرة هي الشكل ثلاثي الأبعاد الوحيد المضغوط الذي يمكن سحب كل حلقة فيه إلى نقطة واحدة دون اللحاق بالفتحة - ظلت دون حل لما يقرب من مائة عام بعد صياغتها بواسطة هنري بوانكاريه في عام 1904 عام.

لكن ثورستون اقترح بجرأة أنه من الممكن إنشاء تصنيف لأشكال ثلاثية الأبعاد مماثلة للتصنيف الحالي ثنائي الأبعاد.

الأبعاد ثنائية الأبعاد للهندسة الإقليدية والكروية والزائدية لها ثلاثة أبعاد. ولكن في ثلاثة أبعاد ، لا تقتصر قائمة الهندسة "الجميلة" عليها. هناك أشكال هندسية هجينة زائدية أو كروية في اتجاهات معينة وإقليدية في اتجاهات أخرى. بشكل عام ، هناك ثمانية أنواع مختلفة من الأشكال الهندسية في ثلاثة أبعاد ، متجانسة بمعنى أن الهندسة تبدو متشابهة في أي نقطة في الفضاء.

اقترح ثورستون أنه ، كما هو الحال مع الأسطح ، يمكن مقارنة 3 مشعبات مع الهياكل الهندسية الطبيعية. على وجه التحديد ، اقترح أنه إذا قمت بقص أي مشعب ثلاثي مدمج إلى قطع بطريقة خاصة ، يمكن ربط كل قطعة بأحد الهندسة الثمانية.

يقول مينسكي: "كان الهدف هو توحيد الطوبولوجيا والهندسة بشكل كامل في ثلاثة أبعاد".

كان النهج الطبيعي لهذه "فرضية الهندسة" هو تجربة شيء مشابه لما فعلناه مع الأسطح التي نقطعها على طول المنحنيات حتى تكشف عن جميع الخصائص الطوبولوجية المثيرة للاهتمام ، وحتى يتم تبسيطها إلى مضلع مسطح. بالنسبة إلى المشعبات الثلاثة ، فإن طريقة مماثلة ستقوم بقصها على طول الأسطح حتى ، على أمل ، أنها تبسط إلى شكل متعدد السطوح ، حيث يمكن لصق الجانبين المعاكسين معًا للحصول على الشكل الأصلي. وإذا تمكنا من بناء هذا متعدد الوجوه باستخدام الهندسة الصحيحة ، فيمكننا تحويل هذه الهندسة إلى شكلها الأصلي ، كما كان الحال مع الأسطح.

تذكر أنه في حالة الأسطح ، كان على كل منحنى أن يفي بمتطلبين: لا يتقاطع المنحنى مع نفسه (يقول علماء الرياضيات أنه يجب أن يكون "مضمنًا") ، ويجب أن يكون ، كما نسميه ، مثيرًا من الناحية الطوبوغرافية ، أي أنه يحيط ببعض التفاصيل الطوبولوجية للسطح بحيث لا يمكن سحبه إلى نقطة (يضمن هذا المطلب أن القطع على طول هذا المنحنى يبسط طوبولوجيا السطح).

في عام 1962 ، أثبت عالم الرياضيات وولفغانغ هاكن أنه يمكن تبسيط المشعب 3 إلى مضلع إذا احتوى المشعب 3 على سطح يفي بقطعه شرطين: يجب أن يكون مضمنًا و "غير قابل للضغط" ، أي أي اهتمام طوبولوجي سيكون منحنى على السطح أيضًا مثيرًا للاهتمام من الناحية الطوبوغرافية في السياق العام للثلاث مشعبات المحيطة.

على سبيل المثال ، لن يكون الحيد غير قابل للانضغاط في الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد ، حيث أن الحلقة التي تمر عبر فتحة الحيد مثيرة للاهتمام من الناحية الطوبوغرافية من وجهة نظر سطح الحيد ، ولكن في الفضاء ثلاثي الأبعاد يمكن ضغطها إلى نقطة واحدة. على العكس من ذلك ، يكون الحيد غير قابل للانضغاط داخل مشعب ثلاثي ، والذي يمكن الحصول عليه عن طريق تكثيف سطح الحيد بحيث يتوقف عن النحافة بشكل لا نهائي. من أجل أن تكون غير قابلة للانضغاط ، يجب أن تعكس كل سمة طوبولوجية للسطح بعض الطوبولوجيا الداخلية لـ 3 مشعبات. الآن يسمى مشعب ثلاثي ذو سطح داخلي غير قابل للانضغاط مشعب Haken.

إذا كان مشعبنا الثلاثي يحتوي على سطح غير قابل للانضغاط مدمج ، فإن القطع على طوله سيكشف عن بعض الطوبولوجيا المثيرة للاهتمام ويعطينا مشعبًا مبسطًا. علاوة على ذلك ، أظهر Haken أنه إذا كان المشعب يحتوي على سطح واحد من هذا القبيل ، فإن المشعب الجديد الذي تم الحصول عليه عن طريق القطع على طوله سيكون أيضًا مشعب Haken: سيكون له أيضًا سطح قطع مدمج غير قابل للضغط. وبعد عدد محدود من هذه الخطوات ، كما أظهر هاكين ، سيتم قطع جميع السمات الطوبوغرافية المثيرة للاهتمام للمجمع الأصلي ، وسيبقى متعدد الوجوه البسيط.

في أواخر السبعينيات ، أظهر ثورستون أنه من الممكن تجهيز متعدد السطوح الناتج بأحد ثمانية هندسة ذات ثمانية أبعاد بطريقة تنتقل بسلاسة إلى المضلع الملتصق حديثًا ، وتتطابق تمامًا في زوايا وحواف متعدد السطوح. وبعبارة أخرى ، أثبت ثورستون فرضيته الهندسية لتلك المشعبات التي يؤدي تحللها القياسي إلى قطع مشعبات Haken.

لسوء الحظ ، بالنسبة لمضخة ثلاثية تعسفية مدمجة ، لا يوجد ضمان بأنه يحتوي على مثل هذا السطح. في أواخر السبعينيات وأوائل الثمانينيات ، أقنع ثورستون المجتمع بأن المشعبات الثلاث التي تحتوي على سطح غير قابل للانضغاط (مشعبات Haken) هي استثناءات ، وليست قواعد.

أدى البحث عن إثبات لفرضية الهندسة الخاصة بالمشعبات غير مشعبات Haken إلى توقف علماء الرياضيات لأكثر من عشرين عامًا. أخيرًا ، في عام 2002 ، قدم بيرلمان برهانه بناءً على مجالات الرياضيات البعيدة تمامًا عن تلك التي درسها معظم أتباع ثورستون. (يبدو أن دليل بيرلمان قد لامس الفرضية المئوية لبوانكير أيضًا ، مما دفع معهد كلاي للرياضيات إلى تقديم جائزة مليون دولار له في عام 2010 - وهو ما رفضه على الفور لأسباب معقدة).

كان دليل بيرلمان نقطة تحول ، حيث جمع ، كما حلم ثورستون ، الطوبولوجيا والهندسة. الآن كل مشكلة طوبولوجية مرتبطة بـ 3 مشعبات لها زوج هندسي ، والعكس صحيح. لكن نظرية بيرلمان تركت العديد من الأسئلة المهمة التي لم تحل حول أنواع المشعبات الثلاثة التي يمكن أن توجد.

من خلال تصنيف 2-مشعبات مدمجة (الأسطح) ، لم يتمكن علماء الرياضيات من إظهار أنه يمكن تجهيز كل سطح بهيكل هندسي فحسب ، بل أيضًا عمل قائمة كاملة بجميع المشعبات الممكنة. في ثلاثة أبعاد ، كانت هذه القائمة ناقصة إلى حد كبير.

كانت سبعة من ثمانية أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد - جميعها ما عدا الزائدية - معروفة جيدًا ، وحتى قبل عمل بيرلمان ، جمع الطوبولوجيون وصفًا كاملاً لأنواع المشعبات التي تقبل أحد هذه الأشكال الهندسية السبع. هذه الأشكال بسيطة نسبياً وقليلة.

ولكن ، كما في حالة الأسطح ، اتضح في ثلاثة أبعاد أن معظم الفتحات زائدية. وكانت تغطية عدد كبير من إمكانيات المشعبات 3 الزائدية أسوأ بكثير بين علماء الرياضيات مقارنة بالهندسة السبعة الأخرى.

قال نيكولاس بيرجيرون من جامعة بيير وماري كوري في باريس: "من بين ثمانية أنواع من الهندسة ، تعد المشعبات الزائدية الأكثر غموضاً وغنى".

وأخبرت نتيجة بيرلمان علماء الرياضيات أن المشعبات الزائدية كانت الحدود الأخيرة - النوع الوحيد من المشعبات الثلاثة التي بقيت غير مفهومة. لكنه لم يخبرهم كيف تبدو هذه الأشكال الزائدية.

قصة الغلاف

مرة أخرى ، كان علماء الرياضيات قادرين على اللجوء إلى عمل ثورستون للتوجيه. تضمنت قائمة أسئلته الشهيرة العديد من الفرضيات حول خصائص المشعبات الثلاثية الزائدة ، والتي تضمنت فرضيتين تتعلقان مباشرة بمظهرهما: فرضية "Haken الظاهرية" وفرضية "الحزمة الافتراضية".

تنص فرضية Haken الظاهرية (HHC) على أن كل مشعب مضغوط ثلاثي الزوايا تقريبًا هو مشعب Haken بمعنى معين: من الممكن تحويل المشعب إلى مشعب Haken عن طريق توسيع عدده المحدود من المرات بطريقة معينة. يسمى هذا المشعب الجديد غير المكتمل "الغطاء المحدود" للمشعب الأصلي.

يقول علماء الرياضيات أن صنف واحد N يغطي صنف آخر M ، إذا كان من الممكن تقريب N حول M لعدد معين من المرات (ربما لانهائي) بحيث يتم تغطية كل جزء من M عدة مرات مثل الأجزاء الأخرى. ليكون الغلاف ، يجب أن يحتوي هذا الغلاف على مجموعة من الخصائص الأخرى - على سبيل المثال ، يجب ألا ينحني N على نفسه ، أو يمزق أثناء الالتفاف. كل قطعة من M مغطاة بمجموعة من النسخ المتطابقة في N. تغطيها.

الشكل 5

على سبيل المثال ، تغطي الزهرة ذات الست بتلات في الشكل 5 زهرة ثلاثية البتلات: ما عليك سوى لف الزهرة ذات الست بتلات مرتين حول البتلة الثلاث. كل نقطة من لون البتلة الثلاثة مغطاة بنقطتين من ستة بتلات. يطلق علماء الرياضيات على هذا الطلاء بطبقتين.

بالطريقة نفسها ، تغطي الأسطوانة اللانهائية الحيد: ببساطة قم بتدوير الأسطوانة حول الحيد لعدد لا نهائي من المرات (الشكل 6). يتم تغطية كل نقطة من الأسطوانة: يتم تغطية الحلقة A بمجموعة لا نهائية من الحلقات الموزعة بالتساوي على الأسطوانة ، ويتم نشر الحلقة B على الأسطوانة في خط يمتد على طول.

التين. 6 ترتبط

طوبولوجيا التنوع وأغطيةها ارتباطًا وثيقًا. لإعادة إنشاء مشعب من طلاء طبقة n ، تحتاج فقط إلى طي الطلاء بمفرده n مرة. والعكس بالعكس ، من أجل إعادة إنشاء الطلاء على أساس التنوع ، تقطعه ، وتصنع نسخًا ، وتلصقه معًا على طول الحدود (يعتمد الطلاء الخرساني الذي تلقيته على اختيار تسلسل اللصق).

يحافظ الغطاء على بعض الخصائص الطوبولوجية للمجمع ويكشف عن خصائص أخرى. تتذكر أسطوانة لا نهائية ، على سبيل المثال ، أن الحلقة A على الحيد مغلقة ، لكنها تنسى أن الحلقة B مغلقة أيضًا.

دفعت عملية النشر هذه ثورستون إلى الأمل في أنه من الممكن تغطية عدد 3 طبقات مع عدد محدود من الطبقات ، والتي ستكون مشعب Haken. لقد أشرنا بالفعل إلى أنه لا ينبغي للمرء أن يتوقع أن يكون مشعبًا ثلاثيًا زائديًا تعسفيًا مشعبًا في Haken (أنه سيكون له سطح داخلي غير قابل للانضغاط). ولكن في عام 1968 ، اقترح عالم الرياضيات الألماني فريدهلم فالدهاوزن أن مثل هذا المشعب يجب أن يحتوي على الأقل على سطح غير قابل للانضغاط ، على الرغم من أنه يمكن أن يمر من خلاله ولا يتم تضمينه.

جادل ثورستون ، إذا كان الأمر كذلك ، فقد يكون هناك طلاء نهائي يتكشف فيه السطح بطريقة تزيل جميع التقاطعات الذاتية. غالبًا ما يتم تبسيط الطلاء النهائي بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، بما أن المنحنى في الزهرة الثلاثية في الشكل 7 يدور حول الثقب المركزي مرتين ، فإن عدم التمدد والتحولات يمكن أن يتسبب في عدم تقاطعه مع نفسه. ولكن إذا قلبنا هذا المنحنى على زهرة ذات ستة بتلات ، بدءًا من نقطة معينة P ، فإن المنحنى الأحمر الناتج (الذي يسميه علماء الرياضيات "ارتفاع" المنحنى الأصلي) سوف يدور حول الحفرة المركزية مرة واحدة فقط ولن يتقاطع مع نفسه. (هناك أيضًا ارتفاع ثانٍ ، منحنى أزرق يعبر الأحمر عند نقطتين ، ويغلق نقطة التقاطع في زهرة ثلاثية البتلات).

الشكل 7

في ورقة عام 1982 ، اقترح ثورستون أنه إذا كان لدينا مشعب مضغوط ثلاثي الزوايا ، فيجب أن تكون هناك طريقة لتوسيعه بحيث يكون لدينا أسطح مدمجة في الغطاء المحدود - أي ، يجب أن يكون المشعب 3 "محجوزًا تقريبًا".

كما رأينا من قبل ، يمكن بناء مشعب Haken عن طريق لصق حدود وجوه متعدد الوجوه بطريقة معينة. يشير VGH إلى أنه يمكن إنشاء أي مشعب مضغوط ثلاثي الزوايا من خلال لصق متعدد الوجوه أولاً بشكل صحيح ، ثم لف الشكل الناتج حول نفسه لعدد محدود من المرات.

قدم ثورستون افتراضًا أكثر صرامة: أن كل مشعب مضغوط ثلاثي الأبعاد يمكن طبقه تقريبًا ، أي أن يكون له غطاء طبقي محدود. يتم إنشاء مجموعة متنوعة "تُطبّق فوق دائرة" (كما يقول علماء الرياضيات) عن طريق تكثيف السطح قليلاً ، مما يجعله ثلاثي الأبعاد ، ولصق الحدود الداخلية والخارجية معًا بأي طريقة تضمن اتصالًا سلسًا للأسطح عند كل نقطة. (مثل هذا اللصق مستحيل في الفضاء العادي دون تقاطع أجزاء المشعب الناتج مع بعضها البعض ، ولكن بشكل مجرد لا يزال من الممكن دراسته). يقال أن طبقات المشعبات موجودة ، لأنه من الممكن أن نتخيل كيف يتم تمدد السطح السميك بحيث تختلف الأسطح الحدودية عن بعضها البعض ،ثم تتكشف وتسحبها تجاه بعضها البعض قبل اللصق ، ويشبه الصنف الناتج سوارًا به حبة رقيقة بشكل لا نهائي على شكل سطح عند كل نقطة من خيط السوار. هذه الخرزات عبارة عن طبقات.

كل مشعب طبقات هو مشعب Haken ، لكن ليس العكس. لذلك ، فإن فرضية الحزم الافتراضية أقوى من VGH ، ولم يكن ثورستون متأكدًا من صحتها. "هذا السؤال المشكوك فيه ، على ما يبدو ، لديه فرصة محددة للحصول على إجابة إيجابية" ، كل ما يمكن أن يكتبه في عمل عام 1982.

ذكر ثورستون مبدئيًا VGH في محاولة مبكرة للاقتراب من فرضيته الهندسية ، والتي أثبتها بالفعل لـ Haken 3-manifolds. إذا كان VGH صحيحًا ، وكان كل مشعب ثلاثي مدمج عبارة عن غطاء محدود من Haken ، فربما (أمل ثورستون) سيكون من الممكن استخدام هيكل التغطية الهندسي لبناء الهيكل الهندسي للمشعب الأصلي.

بعد 30 عامًا ، بعد وقت طويل جدًا من إثبات بيرلمان أن فرضية الهندسة بطرق مختلفة تمامًا ، ظلت VGH وفرضية الحزمة الافتراضية غير مثبتة. هم ، مع فرضيتين أخريين تتعلقان بهم ، ظلوا الأسئلة الوحيدة التي لم يتم الرد عليها من أصل 23. تحدثت الحسابات الحاسوبية لصالح صحة VGH - تم العثور على أغطية Haken المحدودة لكل من 10000 مشعبات 3 زائدية مختارة بالكمبيوتر. قام بهذا العمل ثورستون وناثان دانفيلد من جامعة إلينوي في أوربانا شامبين. لكن خرق الكمبيوتر ليس دليلا.

"عندما طرح ثورستون فرضية هاكين الافتراضية هذه ، بدا هذا السؤال سهلاً. وقال مينسكي ، إنه قاوم بعناد القرار ، الذي سلط الضوء على قلة فهمنا في هذه المنطقة. "اتضح أن جهلنا في هذا الاتجاه كان عميقا."

بناء الأسطح

في عام 2009 ، بدأت تنقية المياه العكرة المحيطة بتخزين المياه والمياه. في ذلك العام ، أعلن ماركوفيتش وجيريمي كان ، اللذان كانا يعملان في جامعة ستوني بروك ، عن دليل على خطوة رئيسية نحو إثبات VHC. النتيجة ، التي سوف نسميها "النظرية على الأسطح غير القابلة للضغط" ، تفترض أن كل مشعب مضغوط ثلاثي الأبعاد يحتوي على سطح غير قابل للضغط (والذي ، على الأرجح ، يتقاطع مع نفسه ، وغير مضمن).

برهان كان وماركوفيتش هو أحد الأمثلة المركزية لتفاعل الطوبولوجيا والهندسة ثلاثية الأبعاد: النظرية على الأسطح غير القابلة للانضغاط هي عبارة طبوغرافية بحتة ، لكن كان وماركوفيتش استخدموا بنشاط بنية أخرى مأخوذة من الهندسة الزائدية لإثبات ذلك.

لبناء السطح داخل المشعب ثلاثي ، استخدم كان وماركوفيتش خاصية الأشكال الزائدية التي تسمى "الخلط الأسي". هذا يعني أنه إذا بدأت مسارًا في مكان ما في منطقة صغيرة داخل المشعب ، فاختر اتجاهًا ، وتخيل أن منطقتك تبدأ في التحرك على طول النهر المتدفق في الاتجاه المحدد تقريبًا ، ثم تنتشر منطقتك وتدور حول ثلاثة مشعبات تدريجيًا ، إلى أي مكان ممكن من أي اتجاه ممكن. علاوة على ذلك ، ستفعل ذلك بسرعة كبيرة بالمعنى "الأسي" الدقيق.

خاصية الخلط فريدة من نوعها لثلاثة مشعبات زائدة وتنمو ، تقريبًا ، من حقيقة أنه ، على عكس المساحات الإقليدية ، في الخطوط الزائدية أو الخطوط الجيوديسية تنحني بالنسبة لبعضها البعض. إذا حددت منطقة صغيرة من القرص الزائدي وسمحت له بالتحرك في الاتجاه المحدد ، فسوف ينمو بسرعة مضاعفة. داخل مشعب ثلاثي مدمج ، ستنمو المنطقة المتزايدة بشكل كبير ، ولكن بما أن حجم المشعب محدود ، فإن هذه المنطقة ستلتف حولها مرارًا وتكرارًا ، متداخلة مع نفسها عدة مرات. علاوة على ذلك - وهذا أكثر صعوبة في إثباته بالفعل - ستلتف المنطقة حول المجمع بشكل متساوٍ ، تمر عبر جميع النقاط بنفس التردد تقريبًا.

تعامل علماء الرياضيات مع خاصية الاختلاط الأسي هذه منذ أكثر من 25 عامًا ودرسوا بعناية إحصاءات هذا "التدفق الجيوديسي" ، بعد أن اكتشفوا تقريبًا متى ومتى ستمر منطقة معينة عند نقطة معينة. ولكن حتى تناول كان وماركوفيتش نظرية السطح غير القابلة للانضغاط بشكل صحيح ، لم يتمكن علماء الرياضيات من استخدام هذه الخاصية لبناء هياكل طوبولوجية في مشعب (عالم رياضيات آخر ، لويس بوين من جامعة تكساس إي أند إم ، حاول استخدام الخلط الأسي ل بناء أسطح غير قابلة للانضغاط في 3 مشعبات ، لكن عمله جاء عبر عقبات فنية).

لمعرفة كيف تساعد خاصية الخلط الأسي في بناء الهياكل الطوبولوجية والهندسية ، نطبقها على مهمة أبسط من بناء الأسطح: إنشاء حلقة جيوديسية مغلقة طولها قريب من العدد الكبير المفضل لدينا (نشير إليه بواسطة R).

لبناء حلقة ، نختار أي نقطة بداية في المشعب وأي اتجاه أولي ، ثم نقوم بتشغيل خرطوم الري الوهمي الموجود في منطقة صغيرة بما في ذلك نقطة البداية وتوجيهها تقريبًا في الاتجاه المحدد. ستسقط قطرات الماء على طول المسار الجيوديسي ، وطالما أن R كبير بما فيه الكفاية ، فإن خلط التدفق يعني أنه بمجرد مرور القطرات على المسافة R ، سيتم توزيعها بالتساوي تقريبًا على الصنف بأكمله. على وجه الخصوص ، يجب أن تعود نقطة واحدة على الأقل إلى منطقة نقطة البداية. ثم نقوم فقط ببناء جسر صغير يربط الجيوديسيا لهذا الانخفاض بنقطة البداية للحصول على حلقة شبه جيوديسية بطول حوالي R. من السهل أن نوضح أنه من خلال تشديد هذه الحلقة أكثر إحكامًا على المشعب ،يمكنك الحصول على الحلقة الجيوديسية المثالية.

لاحظ أن الطريقة تعطينا أكثر من حلقة جيوديسية واحدة قريبة من R. في هذه العملية ، يمكنك استخدام أي نقطة بداية وأي اتجاه ، حتى تتمكن من إنشاء الكثير من هذه الحلقات. هذا هو المبدأ الأساسي لبناء الهياكل باستخدام الخلط الأسي.

يقول كاليغاري إن الخلط الأسي "يدعي أنه بغض النظر عن الهياكل في التنوع التي تجدها ، ستجدها بكميات كافية".

الشكل 8

استخدم كان وماركوفيتش نهجًا مشابهًا لتمريننا لإنشاء "أزواج من البنطال" - أسطح تعادل طوبولوجيا كرة ذات ثلاث فتحات (إذا جاز التعبير ، واحدة للحزام واثنان للساقين). هذه البنطلون هي المادة الأولية لبناء جميع الأسطح المدمجة ، باستثناء الكرة والحيد - على سبيل المثال ، الإلتصاق (أو خياطة) بنطلون يعطينا حافزًا مزدوجًا (الشكل 8).

أظهر كان وماركوفيتش أنه بالنسبة لأي عدد كبير بما فيه الكفاية من R ، من الممكن بناء العديد من الأزواج من هذه البنطلونات داخل المشعب ، بحيث تقترب "الأصفاد" الثلاثة من طول R ، وستكون تقريبًا جيوديسية تمامًا ، أي أن كل قطعة من سطح البنطلون ستبدو متشابهة تقريبًا من النقطة عرض الهندسة الزائدية.

أظهروا أيضًا أنه بالنسبة لأي كفة ، تحتوي البنطلونات على زوج آخر من البنطلونات ، بدءًا من الكفة في الاتجاه المعاكس تقريبًا. من خلال خياطة هذه البنطلونات معًا عند الأصفاد ، تلقى Kahn و Markovic عائلة كبيرة من الأسطح المدمجة ، شبه جيوديسية تمامًا ، مع تجاعيد صغيرة في اللحامات. تكاد تكون الأسطح الجيوديسية غير قابلة للانضغاط داخل مشعباتها الثلاثة ؛ لذلك ، أثبت بناء كان وماركوفيتش نظرية الأسطح غير القابلة للانضغاط.

أظهرت هذه الطريقة أيضًا أن المشعب 3 ليس له سطح واحد غير قابل للانضغاط فحسب ، بل "بنية غنية للأسطح الجيوديسية تقريبًا في أماكن مختلفة" ، كما يقول كاليغاري.

جلبت أعمال كان وماركوفيتش جائزة معهد كلاي للرياضيات لعام 2012 ، والتي تم منحها لتحقيق اختراقات رياضية.

تنبأ جيفري بروك من جامعة براون في مقال عام 2011: "إن تقنيات كان وماركوفيتش ليست أقل أهمية في نتائجها ، وهذا العمل سوف يلهم بلا شك العديد من مجالات البحث الأخرى المتعلقة بها".

هيكل مخفي

خلق كان وماركوفيتش نقطة البداية للرياضيين الذين يحاولون إثبات VHC.

أظهروا أن كل مشعب مضمون لاحتواء سطح غير قابل للانضغاط. لكن هذا السطح يمكن أن يمر من خلال نفسه ، ربما في العديد من الأماكن ، ولا يمكن دمجه. من أجل الحصول على VGHYU على أساس عمل Kan و Markovich ، احتاج علماء الرياضيات إلى العثور على غطاء محدود من المشعب ، حيث ، تمامًا كما هو الحال في المثال مع ستة ألوان وثلاثة بتلات ، يرتفع السطح إلى مجموعة من الأسطح التي لا تتقاطع مع بعضها البعض (على الرغم من أنها يمكن أن تتقاطع مع بعضها البعض). إذا كان ذلك ممكنًا ، فسيكون كل واحد منهم سطحًا غير قابل للانضغاط في الطلاء ، مما يعني أن الطلاء سيكون Haken.

ولكن كيف يمكن إيجاد مثل هذه التغطية؟

يقول دانفيلد: "هناك فجوة كبيرة بين عمل كان وماركوفيتش و WHC". "كان اكتشافهم مهمًا ، ولكن لم يتضح ما إذا كان سيساعد في البحث عن الأسطح المدمجة."

لفتت أعمال كان وماركوفيتش انتباه دانيال وايز من جامعة ماكجيل. قام وايز بعمل مهني في مجال البحث حول إزالة التقاطعات الذاتية للكائنات الطوبولوجية باستخدام أغطية محدودة ، لكنه عمل في سياق "المجمعات المكعبة" ، وهي أشياء تختلف تمامًا للوهلة الأولى عن 3 مشعبات. ساعد عمل كان وماركوفيتش وايز على إظهار علماء رياضيين آخرين أن هذين السياقين ليسا مختلفين.

المركب المكعب - إنه المركب المكعب (CC): إنه مجموعة من المكعبات ، ليس فقط مكعب ثلاثي الأبعاد يسمى "مكعب" هناك ، ولكن أيضًا شكل في أي عدد من الأبعاد ، يتكون من جميع النقاط التي تقع إحداثياتها ، على سبيل المثال ، على الفترات بين - 1 و +1. على سبيل المثال ، المربع عبارة عن مكعب ثنائي الأبعاد ، والمقطع أحادي البعد. ترتبط المكعبات في المركبة الفضائية ببعضها البعض على طول الزوايا والحواف والوجوه والجوانب ذات الأبعاد الأعلى. يختلف

الشكل 9

CC اختلافًا كبيرًا عن المشعبات الثلاثة - فهي ليست حتى مشعبات ، لأن تقاطعات مكعبين بأبعاد مختلفة لا تشبه المساحة المعتادة لأي من الأبعاد. لكن CCs هي كائنات مبسطة يتم فيها دراسة جانب رئيسي من السطح الموجود في 3 مشعبات: حقيقة أن مثل هذا السطح يقسم بيئته على الأقل محليًا إلى جزأين.

إذا كنت بحاجة إلى استكشاف الكائنات التي تقسم الشكل إلى قسمين ، فإن المكعبات هي المجال الطبيعي للبدء ، نظرًا لجميع الأشكال الممكنة ، فإن لديها أبسط هذه الأشياء: الطائرات الزائدة التي تقطعها في المنتصف. يحتوي المربع على طائرتين مفرطتين (GP) - خطوط عمودية وأفقية ، تقطعها إلى النصف. يحتوي المكعب على ثلاثة GPs (انظر الشكل 9). يحتوي المكعب n-الأبعاد على n GP يتقاطع في مركزه.

يقول وايز: "تشبه الطائرات الفائقة السطوح في ثلاثة مشعبات ، لكنك تراها على الفور". "من الصعب البحث عن الأسطح ، ولكن تتوافر لك طائرات فائقة من البداية."

إذا بدأنا باستخدام GP داخل مكعب في مراقبة الجودة ، فهناك طريقة واحدة بالضبط لتوسيع GP إلى GP في المكعبات المجاورة ؛ بعد ذلك ، هناك طريقة واحدة بالضبط لتوسيعها إلى البلدان المجاورة ؛ وهكذا دواليك. لذلك ، لكل GP أولية في CC توجد طريقة فريدة لتوسيعها إلى GP في CC بالكامل (انظر الشكل 10).

الشكل 10. يتم توسيع السطح الزائد الأحمر في المربع الموجود في أقصى اليمين بشكل فريد ليصبح سطحًا زائدًا في المجموعة المكعبة بالكامل.

تتناقض هذه الجودة بشدة مع المشعبات الثلاثة ، حيث يمكن تمديد مساحة سطح صغيرة إلى السطح بأكمله بطرق عديدة. يقول إيغول أن نسخة CC مع أطبائهم "جميلة ، واضحة وضوح الشمس وصارمة" ، وليس لديهم "رخاوة" من 3 مشعبات وأسطحها.

عندما نقوم بتوسيع GP في المركبة الفضائية ، يمكن أن يتعثر على المكعب الذي بدأ منه كل شيء ويمر عبره بشكل عمودي على GP الأولي (انظر الشكل 11). وبعبارة أخرى ، لن تكون وحدة معالجة الرسومات الموسعة مدمجة بالضرورة. كما هو الحال مع الأسطح داخل المشعبات الثلاثة ، يمكن للمرء أن يتساءل عما إذا كان لدى QC غطاءً محدودًا يرتفع فيه هؤلاء الممارسون المتداخلون ذاتيًا إلى تلك المضمنة - هذه هي نسخة فرضية Haken الافتراضية الخاصة بمراقبة الجودة.

الشكل 11

قبل بضع سنوات ، حدد Wise و Frédéric Haglund من جامعة Paris-South XI فئة من فئات QC "الخاصة" التي ، بالإضافة إلى الخصائص الأخرى ، تحتوي فقط على وحدات معالجة رسومات مدمجة. في العقد الماضي ، طور وايز ترسانة من التقنيات التي تم تكييفها لتحديد "مراقبة الجودة الخاصة". في عام 2009 ، أصدر Wise "العمل الأساسي" المكون من 200 صفحة ، كما أسماه دانفيلد ، والذي وصف فيه مجموعة من الاكتشافات المتعلقة بمراعاة الجودة الخاصة ، مثل "نظريات التوليف" ، والتي توضح كيفية تجميع عمليات مراقبة الجودة الخاصة لضمان مراكز الجودة الجديدة ، تمتلك أيضا "التخصص". في عمله ، صاغ وايز فرضية نصت ، تقريبًا ، على أن أي مراقبة جودة مع انحناء هندسي بطريقة مشابهة للهندسة الزائدية هي خاصة "فعليًا" - أي أنها تحتوي على غطاء محدود خاص. كانت هذه الفرضية تسمى الفرضية الحكيمة.

كان Wise مقتنعًا أنه إذا كان هذا النموذج يشبه إلى حد ما QC - عندما يمكن "تكعيبه" - فإن بنية QC ستكون المفتاح لاكتشاف العديد من خصائص النموذج الأصلي.

وقال: "كان CC سرًا لا يعرفه الناس حتى ماذا يسألون". "هذا هيكل أساسي مخفي."

غابات مكعبة

كان ويز قلقًا للغاية بشأن تكعيب الأشكال ، ولكن في البداية سخر منه زملاؤه بسبب هذا الهوس.

ثم أثبت Kahn و Markovich نظرية السطح غير القابلة للانضغاط ، ونشر Wise و Bergeron على الفور ورقة توضح أن وجود أسطح غير قابلة للضغط في مشعب ثلاثي زائدي مدمج يعطي طريقة لتكعيبها - وبالتالي فإن أسطح المشعب الثلاثي تتوافق تمامًا مع الطائرات الفائقة في المجمع المكعب الناتج. .

كان مفتاح تصميم Wise و Bergeron هو حقيقة أن Kahn و Markovich أظهرا كيفية بناء ليس واحدًا ، ولكن العديد من الأسطح. باتباع نهج التكعيب ، الذي تم صياغته لأول مرة في عام 2003 من قبل مايكل ساجيف ، الذي يعمل الآن في التخنيون (إسرائيل) ، بدأ Wise و Bergeron بأخذ مجموعة ضخمة من أسطح Kahn-Markovich - بما يكفي لتقسيم 3 أضعاف إلى مضلعات مدمجة.

تخيل الآن إحدى نقاط تقاطع هذه الأسطح - على سبيل المثال ، يوجد n أسطح فيها. كان تخمين Sageev هو اعتبار هذا التقاطع ظلًا ، إذا جاز التعبير ، من تقاطع n hyperplanes في مكعب ثلاثي الأبعاد. يتم إنشاء KK المقابل لثلاثة مشعبات ، تقريبًا ، عن طريق إضافة مكعب واحد الأبعاد لكل تقاطع من الأسطح n (في الواقع ، يتم إنشاء كل هذا بمهارة أكثر ليأخذ في الاعتبار مختلف الظروف الطوبولوجية غير المتوقعة). يوجد مكعبان في المجمع متجاورين إذا كانت نقاط تقاطعهما المقابلة في مشعب 3 متصلة بواسطة وجه أحد الأضلاع المتعددة.

يقول دانفيلد: "إن المركب المكعب ضروري لحساب كيفية تقاطع السطوح مع بعضها البعض ومع بعضها البعض".

أظهر Wise و Bergeron أن KK هذا "مكافئ منزليًا" للمشعب الأصلي ، أي أنه يمكن ضغط KK وتمديده (مع مراعاة التسطيح في بعض الأبعاد والعملية العكسية) حتى يتحول KK إلى مجمع ، والعكس صحيح. علاوة على ذلك ، فإن هذا التكافؤ المتجانس يحول كل سطح من 3 مشعبات إلى GP المكافئ homotopy في KK.

تفي QC التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة بالمتطلبات الهندسية لفرضية Wise ، مما يعني أنه إذا كانت الفرضية Wise صحيحة ، فإن QC لها غطاء محدود سيتم فيه تضمين جميع الممارسين العامين.

إذا كان مثل هذا الطلاء النهائي موجودًا بالفعل (على سبيل المثال ، تغطية صفائح m) ، فعلينا أن نتذكر أنه يمكن بناء الطلاء من QC نفسه ، وقطعه بطريقة خاصة ، ثم عمل نسخ m من QC هذا ولصقها معًا على طول خطوط القطع. من السهل إظهار أن هذه الوصفة لتصنيع الطلاء يمكن نقلها إلى تصنيع الغطاء النهائي لثلاثة مشعبات ، وأنه في هذا النهائي يغطي أسطح Kan-Markovich المستخدمة لبناء CC سترتفع إلى الأسطح المدمجة. وبعبارة أخرى ، إذا كانت الفرضية الحكيمة صحيحة ، فإن IHC صحيحة أيضًا.

يقول وايز: "هذا حل وسط غريب للغاية: قد تكون مراقبة الجودة الخاصة بك ، على سبيل المثال ، ذات أبعاد 10000 ، وقد يبدو لك أنك إلى حد ما تزيد من سوء الموقف". "ولكن على الرغم من قيمة مراقبة الجودة ، فإن العديد من خصائصها سهلة الفهم ، لذا فإن هذا الإجراء قيّم للغاية." "نحن نفضل شيئًا كبيرًا ، ولكنه منظم جيدًا ، بدلاً من 3 أضعاف".

حتى بعد أن أقام Wise و Bergeron اتصالًا بين QC و VGH ، ظل معظم الطوبولوجيين الذين يدرسون 3 مشعبات بعيدًا عن QC. ربما لأن عمل وايز المكون من 200 صفحة كان أمرًا محبطًا ، أو لأن وحدات التحكم المركزية كانت مختلفة تمامًا عن أماكنها المعتادة.

يقول بيرجيرون: "كانت هذه الأفكار مقصورة على فئة معينة بالنسبة للأشخاص الخارجين من الهندسة الزائدية".

لكن أحد علماء الرياضيات كان على دراية جيدة بالفعل في طوبولوجيا 3 مشعبات ، وكذلك في الأشياء التوافقية الأكثر تجريدًا التي استخدمها وايز في منهجه.

يقول بيرجيرون: "أعتقد أن جان إيغول كان المتخصص الوحيد من ثلاثة جوانب الذي أدرك في وقت مبكر بما فيه الكفاية كيف يمكن استخدام أفكار وايز في طوبولوجيا ثلاثيات متعددة".

تعمق Eigol في دراسة "العمل الرئيسي" لـ Wise وأصبح مقتنعًا بأن جميع أجزائه المتعلقة بفرضية Wise صحيحة. شاركت Aigol في VHC لبعض الوقت ؛ أدرك أن نهج وايز ، الذي يحول الأسطح المترهلة إلى طائرات بلورية بلورية ، هو بالضبط ما يحتاج إليه.

وقال "KK تعطينا غابات لبناء الطلاء النهائي".

لبناء طلاء نهائي خاص على مركبة الفضاء Wise-Bergeron ، بدأت Aigol في قطع المركبة الفضائية على طول GP إلى "مكعبات Lego". ثم قام بتعيين ألوان لوجوه الكتل ، بحيث يكون لكل وجهين في الزاوية ألوان مختلفة. ثم ، أظهر Eigol أنه ، بشكل تقريبي ، هناك طريقة لصق عدد محدود من نسخ مكعبات Lego على طول الوجوه بنفس الألوان بطريقة تتطابق فيها أيضًا الألوان على جانبي هذه الوجوه. ونتيجة لذلك ، سيكون كل GP ممتد بنفس اللون. سيكون QC الناتج هو الطلاء النهائي للأصل ، وسيتم تضمين جميع GPs الخاصة به ، نظرًا لأن أي GPs متقاطعين سيكونان من ألوان مختلفة ، لذلك لن يكون GP واحدًا يتقاطع مع نفسه.

في 12 مارس ، أعلن Aigol إثبات الفرضية الحكيمة ، وبالتالي فرضية Haken الافتراضية.

قال دانفيلد: "لقد كانت أكثر الأخبار إثارة منذ أن أثبت بيرلمان فرضية الهندسة".

مرت المعلومات من خلال مجتمع من الباحثين من 3 مشعبات ، وأصبحت مراقبة الجودة على الفور موضوعًا شائعًا لجميع الطوبولوجيين.

قال إيغول: "أعتقد أنه حتى الآن لم يفهم المجتمع الرياضي مدى قوة عمل وايز". "أعتقد أن نتيجتي ستوضح للناس مدى التقدم المذهل الذي حققه."

الآن ، وفقًا لـ Wise ، بدأ علماء الرياضيات في إدراك أنه "في كل مرة تقوم فيها بتجميع شيء ما ، يمكنك الكشف عن جميع أنواع أسرار الهيكل".

نهاية حقبة

برهان أيغول لنظرية وايز كان دليلاً على "4 بسعر 1": لم يثبت فقط VHC ، ولكن أيضًا الثلاثة الآخرين من أسئلة Thurston الثلاثة والعشرين ، والتي ظلت حتى ذلك الحين مفتوحة. في الفترة التي سبقت الدليل ، أظهر Eigol ورياضيو الرياضيات الآخرون أن جميع هذه الأسئلة الثلاثة - فرضية الحزم الافتراضية وسؤالان تقنيان آخران بشأن المشعبات الثلاثة الزائدية - قد تبعتها أيضًا من فرضية Wise.

في حالة فرضية الحزمة الافتراضية ، نتذكر أن الهدف كان إظهار أن كل مشعب مضغوط ثلاثي الأبعاد يحتوي على غطاء محدود يتم تحريكه في دائرة ، أي يتم إنشاؤه عن طريق لصق الأجزاء المعاكسة لسطح سميك. من VGH نعلم أن المشعب لديه طلاء Hakenov محدود - أي أن الطلاء له سطح مدمج غير قابل للانضغاط. إذا فتحت مشعب Haken على طول هذا السطح ، فستحصل على شيء يشبه سطحًا سميكًا في النهايات ، ولكن كما يعلم الله ما يوجد في "الشجاعة".

Yang Aigol في رحلته الأخيرة إلى Daejeon ، كوريا الجنوبية.

في عام 2008 ، وفقًا لكاليغاري ، كان هناك "اختراق مدهش" عندما أظهر Eigol أن الطبقات الثلاثية الزائدة التي تلبي شروطًا فنية خاصة مضمونة التقسيم الطبقي تقريبًا. في العام التالي ، أظهر Wise على هذا الأساس أن جميع مشعبات Haken تكون طبقية تقريبًا. أي أن هناك طريقة لتوسيع مشعب Haken للحصول على غطاء محدود يكشف عن طوبولوجيا معقدة ويؤدي إلى مشعب متشعب بسيط. لذلك ، إذا كان المشعب تقريبًا Hakenov ، فيجب أن يكون طبقًا تقريبًا.

قال كاليغاري: "أعتقد أن الجميع يعتقدون أن VGH سيكون صحيحًا ، ولكن يبدو أن فرضية الحزمة الافتراضية أقل وصولًا إلينا". "بالنسبة لي ، حقيقة أن فرضية التقسيم الطبقي الافتراضية التي تتبعها VGH هي واحدة من أكثر الجوانب إثارة للصدمة في هذه القصة بأكملها."

قال مينسكى أنه مع إثبات فرضية الحزمة الافتراضية ، "يمكنك أن تغري وتقرر أن 3 مشعبات بسيطة للغاية لأن المشعبات الطبقية فى دائرة بسيطة". "ولكن أعتقد أن هذا يعلمنا أن المشعبات الطبقية في دائرة ليست بسيطة على الإطلاق ، وماكرة أكثر مما توقعنا."

في نفس الوقت ، فإن نظرية الحزم الافتراضية تعني أن هناك وصفة بسيطة وغنية بالمعلومات لإنشاء جميع المشعبات الثلاثية الزائدة المدمجة: ابدأ بسطح سميك ، وقم بلصق حدوده الداخلية والخارجية بالتناوب مع ذوقك ، وقم بطي أضعاف المشعب على نفسه لعدد محدود من المرات.

"إذا سألتني عن مشعب ثلاثي القطع الزائد ، فسأسأل عن النوع الذي تحتاجه - ما نوع الحزمة والتغطية النهائية؟ - يقول كاليجاري. "الآن نحن نعلم أننا لا نفوت في هذه العملية 3 مشعب واحد."

على الرغم من أن علماء الرياضيات سيحتاجون إلى وقت لاختبار عمل إيغول بدقة ، إلا أن العديد منهم متفائلون بأنه سيجتاز الاختبار.

يقول مينسكي: "جان إيغول ليس شخصًا مهملاً".

الآن ، على ما يبدو ، تم حل السؤال الأخير من قائمة ثورستون ، بدأ الباحثون يتساءلون كيف ستبدو منطقة طوبولوجيا المشعبات الثلاثة في عالم جديد شجاع بعد ثورستون.

يتفق علماء الرياضيات على أنه سيكون لديهم الكثير من العمل للعثور على أشياء مفيدة يمكن أن تقدمها مراقبة الجودة لأشكال قابلة للتجميع. وبالنسبة للثلاثة مشعبات أنفسهم ، وفقًا لـ Aigol ، فقد وصلت نهاية العصر - وبداية المرحلة التالية.

"في معظم مجالات الرياضيات ، لا توجد خطة يمكن أن تحدد المسار لمدة 20-30 سنة مقبلة ، كما كانت معنا" ، كما يقول. الآن ، يقترح ، أن طوبولوجيا الأشكال المتعددة والهندسة قد تصبح مشابهة لمجالات أخرى من الرياضيات حيث يلمس العلماء ويحققون التقدم حتى بدون ترف صورة افتراضية كبيرة لما يحدث.

يقول إيغول: "ستأتي الأجيال الجديدة من علماء الرياضيات بالأسئلة المهمة التالية".

نحصل على الشكل: من الهندسة الزائدية إلى المجمعات المكعبة والعكس صحيح