تجمع الهياكل الغامضة بين الرياضيات والطبيعة

في مدينة كويرنافاكا في المكسيك ، تزيد شبكة "التجسس" من كفاءة أسطول الحافلات. ونتيجة لذلك ، يتطابق جدول مواعيد الحافلات دائمًا مع نمط "العالمية"

في عام 1999 ، أثناء جلوسه في محطة للحافلات في كويرنافاكا بالمكسيك ، لاحظ الفيزيائي التشيكي بيتر زيبا أشخاصًا يمنحون سائقي الحافلات قطعًا من الورق مقابل المال. اكتشف أن ذلك لم يكن مظهرًا من مظاهر الجريمة المنظمة ، بل تجارة "ظل" مختلفة: دفع كل سائق "جاسوسًا" ، مشيرًا إلى موعد مغادرة الحافلة السابقة من المحطة. إذا غادر مؤخرًا ، تباطأ سائق هذه الحافلة حتى يتمكن الركاب من التجمع في المحطة التالية. إذا غادرت تلك الحافلة منذ فترة طويلة ، فقد تسارع السائق حتى لا تتجاوزه الحافلات الأخرى. مثل هذا النظام زاد من أرباح السائقين. الأمر الذي أعطى شيبا فكرة.

وأوضح المؤلف المشارك لشيبا ، ميلان كرباليك ، "اعتقدنا أننا كنا نلاحظ حالة تشبه إلى حد ما الأنظمة الكمومية الفوضوية".

بعد عدة محاولات فاشلة للتواصل مع "الجواسيس" ، طلب شيبا من تلميذه أن يشرح أنه لم يكن من الضريبة أو من المافيا. إنه مجرد عالم مجنون يغير التكيلا إلى بياناتهم. وأعطاه الناس ملاحظاتهم. عندما رسم الباحثون آلاف أوقات مغادرة الحافلات ، تم تأكيد شكوكهم. أدى التفاعل بين السائقين إلى توزيع الفجوات بين نفايات النقل ، والتي تزامنت مع بنية بعض التجارب في فيزياء الكم.

قال شيبا: "كنت أفكر في ظهور شيء مثل هذا ، لكنني فوجئت برؤية مثل هذه المصادفة".

لا يوجد الكثير من القواسم المشتركة بين الجسيمات دون الذرية مع نظام الحافلات اللامركزي. ولكن على مر السنين منذ اكتشاف تفاعلات كمية غريبة ، ظهرت نفس هياكل البيانات في مواقف أخرى غير ذات صلة. يعتقد العلماء أن هذه الظاهرة الشائعة ، المعروفة باسم "العالمية" ، ترجع إلى الارتباط الرياضي للظواهر ، وتساعدهم على نمذجة النظم المعقدة ، من الإنترنت إلى مناخ الكوكب.


يمثل الرسم البياني الأحمر التوازن المثالي بين العشوائية والدورية ، والمعروف باسم العالمية. لوحظ في أطياف العديد من الأنظمة المعقدة مع الارتباط. في هذا الطيف ، تعطي دالة الارتباط الرياضي الاحتمال الدقيق لوجود خطين على مسافة معينة من بعضهما البعض.

تم العثور على مثل هذا الهيكل لأول مرة في الطبيعة في 1950s فيطيف طاقة نواة اليورانيوم ، وحش يحتوي على مئات الأجزاء المتحركة ، يتأرجح ويمتد بعدد لا نهائي من الطرق ، ويعطي تسلسلًا لا نهائيًا من مستويات الطاقة. في عام 1972 ، لاحظ هيو مونتجمري ، المتخصص في نظرية الأعداد ، ذلك في أصفار دالة Riemann zeta ، وهو كائن رياضي متعلق بتوزيع الأعداد الأولية. في عام 2000 ، وجدها كربالك وشيبا في جدول مغادرة الحافلة في كويرنافاكا . ومؤخرا ، ظهرت في القياسات الطيفية للمواد المركبة ، مثل الجليد البحري والأنسجة العظمية البشرية ، وفي ديناميات الإشارات من نموذج Erds-Reni ، نسخة مبسطة من الإنترنت.

يحتوي كل نظام من هذه الأنظمة على طيف - تسلسل باركود يمثل بيانات مثل مستويات الطاقة أو أصفار زيتا أو أوقات مغادرة الحافلة أو سرعات الإشارة. تظهر الهياكل المتطابقة في جميع أنحاء الطيف. يبدو توزيع البيانات عشوائيًا ، ولكن في نفس الوقت ، "تتنافر" الخطوط المجاورة لبعضها البعض ، مما يؤدي إلى انتظام معين للفجوات. يظهر التوازن الدقيق بين الفوضى والنظام ، الذي تحدده الصيغة ، أيضًا في المشكلات الرياضية البحتة: فهو يحدد المسافة بين القيم الذاتية لمصفوفة مليئة بأرقام عشوائية.

يقول هورنج تيزر ياو ، عالم الرياضيات في جامعة هارفارد: "لماذا يتصرف الكثير من النظم الفيزيائية مثل المصفوفات العشوائية؟" "ولكن على مدى السنوات الثلاث الماضية ، اتخذنا خطوة مهمة للغاية لفهم ذلك."

لدراسة ظاهرة العالمية في المصفوفات العشوائية ، لدى العلماء القليل من الفهم لسبب ظهورها في كل مكان وكيف يمكن استخدامها. في كومة من الأوراق الجديدة ، وصف ياو وغيره من علماء الرياضيات العديد من الأنواع الجديدة من المصفوفات العشوائية التي تطيع العديد من التوزيعات العددية وقواعد التناظر. على سبيل المثال ، يمكن أخذ أرقام الأعمدة والصفوف من المصفوفات من منحنى التوزيع الطبيعي للقيم المحتملة ، أو يمكنك ملؤها بالقيم 1 و -1. قد تعكس الأجزاء اليمنى العلوية والسفلية من المصفوفة بعضها البعض ، أو قد لا تظهر. وبغض النظر عن خصائصها ، تظهر المصفوفات العشوائية نفس الأطياف الفوضوية المنتظمة في توزيع قيمها الذاتية. لذلك ، وصف علماء الرياضيات هذه الظاهرة بأنها "عالمية".

قال وانغ وو ، عالم الرياضيات بجامعة ييل ، "إنه يبدو كقانون من الطبيعة" ، وقد أثبت ، مع تيرينس تاو من جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس ، عالمية فئة واسعة من المصفوفات العشوائية.

يعتقد أن العالمية تظهر في أنظمة معقدة للغاية ، تتكون من العديد من الأجزاء التي تتفاعل بشكل وثيق مع بعضها البعض لخلق طيف. يظهر التكوين في طيف مصفوفة عشوائية ، على سبيل المثال ، لأن جميع عناصر المصفوفة تستخدم في حساب هذا الطيف. لكن المصفوفات العشوائية ، وفقًا لوو ، هي ببساطة "أنظمة لعب" ، فهي بسيطة بما يكفي للتعلم ، وغنية بما يكفي لنمذجة أنظمة حقيقية. تعددية الاستخدامات أكثر شيوعًا. تشير فرضية Wigner (التي سميت على اسم Eugene Wigner ، phyisis الذي اكتشف العالمية في طيف الذرات) ، إلى أن جميع الأنظمة المعقدة ذات الارتباط عالمية ، من الشبكة البلورية إلى الإنترنت.

يقول لازلو إردوس من جامعة ميونيخ ، أحد زملاء العمل في ياو ، إنه كلما كان النظام أكثر تعقيدًا ، أصبح أكثر عالمية. "أنت تعتقد أن العالمية هي سلوك نموذجي".

في العديد من الأنظمة البسيطة ، يمكن أن تؤثر المكونات الفردية على النتيجة الإجمالية أكثر من اللازم ، مما يغير مظهر الطيف. الأنظمة الأكبر ليس لها هيمنة مكون واحد. يقول وو: "اتضح أن هناك غرفة يقرر فيها الكثير من الأشخاص القيام بشيء ما ، وأن هوية أحدهم ليست مهمة للغاية".


يستخدم علماء الرياضيات مصفوفات عشوائية لدراسة بعض خصائص الإنترنت والتنبؤ بها ، على سبيل المثال ، حجم كتلة الكمبيوتر النموذجية

عندما يُظهر النظام الشمولية ، فإن ذلك يعد بمثابة ضمان بأنه معقد وهناك ارتباط كافٍ بداخله ليتم تفسيره على أنه مصفوفة عشوائية. يقول وو: "هذا يعني أنه يمكنك استخدام مصفوفة عشوائية لوضع نموذج لها". "يمكنك حساب معلمات النموذج الأخرى بناءً على المصفوفة واستخدامها للتنبؤ بسلوك هذا النظام."

تسمح هذه التقنية للعلماء بفهم هيكل وتطور الإنترنت. يمكن تقدير بعض خصائص شبكة الحواسيب الضخمة هذه ، مثل الحجم النموذجي لمجموعة الحواسيب ، بدقة إلى حد ما من خلال الخصائص المقاسة للمصفوفة العشوائية المقابلة. يقول وو: "يهتم الناس بالمجموعات وموقعها ، وغالبًا ما يكون ذلك بسبب الأهداف العملية ، مثل الإعلان".

يمكن أن تؤدي التقنيات المماثلة إلى تحسينات في نماذج تغير المناخ. لقد وجد العلماء أن وجود العالمية ، على غرار طيف الطاقة ، في المادة يشير إلى وجود ارتباط قوي بين أجزائها ، ونتيجة لذلك ، الموصلية الجيدة للسوائل أو الكهرباء أو الحرارة. والعكس بالعكس ، قد يشير نقص التنوع إلى ندرة المادة وخصائصها العازلة. في ورقة جديدة قدمت في مؤتمر رياضي في سان دييغو ، استخدم كين جولدن ، عالم الرياضيات في جامعة يوتا ، وطالبه ، بن مورفي ، هذا الاختلاف للتنبؤ بالتوصيل الحراري وتدفق السوائل في الجليد البحري ، على المستوى المجهري و الشيح في القطب الشمالي ، موجود في مناطق تمتد لآلاف الكيلومترات.

يوضح القياس الطيفي للفسيفساء من الشيح المذاب ، الذي تم تصويره من طائرة هليكوبتر ، أو بيانات الجليد البحري التي تم الحصول عليها من العينة ، حالة كل من هذه الأنظمة. يقول جولدن: "إن تدفق السوائل عبر الجليد البحري يؤدي إلى عمليات مهمة جدًا يجب فهمها من أجل فهم النظام المناخي". "تمثل التحولات في إحصائيات قراراتنا نهجًا جديدًا وصارمًا رياضيًا لإدراج الجليد البحري في النماذج المناخية."

يمكن أن تؤدي الحيلة نفسها إلى اختبار بسيط لهشاشة العظام. وجد جولدن ومورفي وزملاؤهم أن طيف العظام الكثيفة والصحية له تنوع ، بينما طيف العظم المسامي ليس كذلك.


تعتبر الشيح القطبية شمالية إذا كانت متصلة بشكل كافٍ

يقول مورفي عن مكونات النظام: "نحن نعمل مع أنظمة يمكن أن تكون" جسيماتها "مليمتر أو كيلومتر في الحجم. "من المدهش أن نفس الرياضيات تصفهم جميعًا."

ربما يكون من الأسهل فهم السبب في أن الأنظمة الحقيقية تُظهر سلوكًا مشابهًا لمصفوفة عشوائية في حالة نواة الذرة الثقيلة. تعمل جميع الأنظمة الكمومية ، بما في ذلك الذرات ، وفقًا لقواعد الرياضيات ، لا سيما بمشاركة المصفوفات. يقول فريمان دايسون ، فيزيائي رياضي سابق ساعد في تطوير نظرية المصفوفة العشوائية في ستينيات وسبعينيات القرن الماضي في معهد برينستون للهندسة المتقدمة: "هذا هو جوهر ميكانيكا الكم". "يتم وصف كل نظام كمي بمصفوفة تمثل طاقته الإجمالية ، وحلول المصفوفة الخاصة هي مستويات الطاقة للنظام الكمي."

يمكن حساب مصفوفات الذرات البسيطة ، الهيدروجين والهيليوم ، بدقة ، وتتزامن حلول eigen التي تم الحصول عليها بدقة مذهلة مع مستويات الطاقة المقاسة للذرات. لكن مصفوفات أنظمة أكثر تعقيدًا ، مثل نواة اليورانيوم ، تصبح "شائكة" جدًا بحيث لا تستطيع "الإمساك بها". وفقا لدايسون ، وبسبب هذا ، يمكن مقارنة هذه النوى بمصفوفة عشوائية. إن العديد من التفاعلات داخل اليورانيوم - عناصر مصفوفة غير معروفة - معقدة للغاية بحيث ينتج عن خليطها ضوضاء ، مثل العديد من الأصوات المتراكبة. ونتيجة لذلك ، تعمل المصفوفة غير المعروفة التي تتحكم في النواة مثل المصفوفة ذات الأرقام العشوائية ، وطيفها عالمي.


مثل الشيح غير المتصل ، ليس له عالمية ، طيفها عشوائي

لم يطور العلماء بعد فهمًا بديهيًا لسبب إثبات الأنظمة المعقدة لهذا ، وليس تسلسلًا عشوائيًا / دوريًا آخر. يقول وو: "نحن نعرف ذلك فقط من الحسابات". لغز آخر هو ارتباطهم بوظيفة Riemann zeta ، حيث تتجلى العالمية في طيف الأصفار. ترتبط هذه الأصفار ارتباطًا وثيقًا بتوزيع الأعداد الأولية - الأعداد الصحيحة غير القابلة للاختزال التي تشكل الباقي. لطالما كان علماء الرياضيات يبحثون عن وصف لتوزيع الأعداد الأولية على سطر رقم من 1 إلى اللانهاية ، وتعطيهم العالمية المفتاح. يعتقد البعض أن وظيفة Riemann zeta قد يتم تصنيفها بما يكفي من التعقيد والتماسك لامتلاك العالمية. سيكون لاكتشاف مثل هذه المصفوفة "تأثير قوي" على فهم توزيع الأعداد الأولية ، كما قال بول بورجيد ، عالم الرياضيات في جامعة هارفارد.

من الممكن أن يكون التفسير مخفيًا بشكل أعمق. يقول Erdös ، "قد يتبين أنه في صميم عالمية Wigner ووظيفة zeta ليست المصفوفة ، ولكن بعض البنية الرياضية التي لم يتم اكتشافها بعد". "يمكن أن تكون مصفوفات Wigner ووظائف زيتا تمثيلات مختلفة لهذا الهيكل."

يبحث العديد من علماء الرياضيات عن إجابة دون ضمان واحد. "لم يتخيل أحد أن الحافلات في كويرنافاك ستكون مثل هذا المثال. يقول دايسون ، لم يتخيل أحد أن الأصفار للدالة زيتا ستكون مثالًا آخر. "إن جمال العلم لا يمكن التنبؤ به ، وبالتالي فإن كل ما هو مفيد يأتي من المفاجآت".

Source: https://habr.com/ru/post/ar399535/