كيفية صنع خلفيات مستحيلة: تاريخ التماثلات المحظورة

على اليسار يوجد نمط ورق حائط مع تناظر دوران من المرتبة السادسة حول كل من الورود البني والأخضر. على اليمين يوجد نمط ورق الحائط مع تناظر المرآة بالنسبة للخطوط الأفقية التي تمر عبر كل عنصر بيضاوي الشكل لزخرفة نافذة زجاجية ملونة.

للوهلة الأولى ، لا يعد اختراع ورق الحائط أكثر صعوبة من إكمال المهام من رياض الأطفال. يمكن للمصممين اختيار أي مجموعة من الألوان والأشكال للقطعة الأصلية ، وضربها ببساطة في اتجاهين. اعتمادًا على نمط القطعة الأولية واختيار الاتجاهات ، قد تظهر تماثلات إضافية - على سبيل المثال ، التماثل من الدرجة السادسة في الصورة الأولى ، أو التماثل المرآة في الثانية. تم إنشاء كلا النمطين من قبل عالم الرياضيات فرانك فاريس من جامعة كاليفورنيا ، سانتا كلارا.


تظهر بلاطات بنروز العديد من الأمثلة على التناظر المحلي من الدرجة الخامسة ، لكن ليس لديهم تكرار للنمط. عند ملء مساحات كبيرة على المستوى ، تقترب نسبة عدد البلاطات العريضة إلى عدد البلاطات الضيقة من النسبة الذهبية.

ولكن ، على الرغم من أنه من الممكن إنشاء خلفيات ذات تناظر تناوب للأوامر الثانية أو الثالثة أو الرابعة أو السادسة ، فمن المستحيل إنشاء خلفيات ذات تناظر من الدرجة الخامسة [يُظهر الترتيب عدد المرات التي سيتم فيها محاذاة النمط ذاتيًا أثناء دوران 360 درجة - تقريبًا. ترجم.]. وقد عرف علماء الرياضيات هذا القيد لما يقرب من 200 عام على أنه "تقييد بلوري". تحظر هندسة الخماسي الأنماط مع التماثل من الدرجة الخامسة. وينطبق الشيء نفسه على أوامر سبعة أو أكثر.

ومع ذلك ، فإن الأنماط الأكثر إثارة للاهتمام ، مثل بلاط بنروز ، تظهر التناظر المحلي من الدرجة الخامسة في العديد من الأماكن وعلى مستويات مختلفة ، فقط دون تكرار الأنماط. باستخدام طريقة مختلفة عن نهج بنروز ، كبح فاريس هندسة التناظر غير العادية من المرتبة الخامسة وخلق مجموعة جديدة من الصور المثيرة - خلفيات مزيفة لا يبدو أنها تخضع للقيود البلورية للوهلة الأولى.


التين. 4

يبدو الشكل الرابع وكأنه مثال معاكس لقيد بلوري ، يمتلك تناظر دوراني من الدرجة الخامسة حول النقطة A ، بينما يمكن تغيير النمط على مستوى في الاتجاهات AB أو AC. في الواقع ، كتب فارس في مقاله في مجلة Notices of the American Mathematical Society أن هذه الصورة ليست سوى ذكاء.

يقول ستيفن كينيدي من كلية كارلتون في مينيسوتا: "تعلم أن التماثل الذي تلاحظه مستحيل".

يبدو التناظر الدوراني من الدرجة الخامسة حول النقطة A راضيا. ولكن إذا نظرت عن كثب ، ستلاحظ أن العجلات حول النقطتين B و C تختلف قليلاً عن A. إذا كان بإمكاننا الانتقال بعيدًا عن النمط لرؤية المزيد من التكرار ، فإن التكرار المرئي للنموذج سيكون أقل وأقل مثل نمط في منطقة النقطة وحتى إذا ظهرت نسخ أكثر إقناعًا من A في أماكن أخرى ، كما في الشكل. 5. أظهر فارس أن مثل هذه الأوهام يمكن إنشاؤها أيضًا على نطاق أوسع ، والابتعاد عن النمط وتكرارها لعدد معين من المرات - على وجه التحديد ، عدد المرات المقابلة لأرقام من سلسلة فيبوناتشي (1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، ... حيث يكون كل رقم تالٍ هو مجموع الرقمين السابقين) ، والذي يلعب أيضًا دورًا في هندسة بلاط بنروز.


التين. 5

يقول فارس: "بسبب السبب ، نفهم أن هذا نوع من الخداع". ومع ذلك ، كما يكتب في المقال ، فإن هذه الصور "تدعو أعيننا لدراستها والاستمتاع بتكرار مثالي تقريبًا".

فكر فارس في هذه المزيفة ، فغير التكنولوجيا التي ابتكر بها خلفيات حقيقية مع تناظر دوراني من الدرجة الثالثة ، كما هو الحال في الشكل. 6.

لإنشاء تناظر من الدرجة الثالثة ، بدأ فارس العمل في مساحة ثلاثية الأبعاد ، والتي لها دوران طبيعي بشكل خاص ، والفرز من خلال ثلاثة إحداثيات مكانية ، ونقاط تناوب في الفضاء 120 درجة حول القطر. ثم قام فارس بإنشاء أنماط خلفية ثلاثية الأبعاد ، مع تركيب الجيوب الأنفية المختارة خصيصًا ودمجها مع لوحة ألوان محددة مسبقًا. تم تلطيخ النقاط اعتمادًا على موقعها على الجيوب الأنفية المتراكبة. ثم قام فارس بإخراج ورق حائط مسطح ، يقصر هذا اللون على مستوى ثنائي الأبعاد متعامد على محور دوران الفضاء الأصلي.

يقول كينيدي إن هذا النهج السلس والجيبي لإنشاء أنماط ورق الحائط يختلف عن طريقة النسخ واللصق التقليدية. "هذه طريقة جديدة للغاية لإنشاء أنماط متناظرة."


التين. 6

يبدو أن نفس الإجراء الذي تم في الفضاء الخماسي الأبعاد ، كان ينبغي أن يؤدي إلى إنشاء نمط بتناظر من الدرجة الخامسة - إذا لم نكن نعرف فقط أن هذا مستحيل. من المثير للاهتمام ، يعتقد فارس ، في أي نقطة فشل هذا النظام؟

من الناحية النظرية ، الفضاء الخماسي ممكن ، على الرغم من صعوبة تخيله. لديه نظير طبيعي لتناظر تناوب الدور الخامس ، كما هو الحال في الفضاء ثلاثي الأبعاد - تناظر الترتيب الثالث. في الفضاء ذي الأبعاد الخمسة ، يمكن اختيار واحدة من طائرتين ، كل منها متعامد على محور الدوران والمستوى الآخر. يمكن تدوير كل منها حول نقطة بمقدار 72 أو 144 درجة. قد يبدو من الصعب تخيل طائرتين وخط مستقيم متعامدين مع بعضهما البعض ، ولكن في خمسة أبعاد ، لديهم جميعًا مساحة كافية.

فهم فارس المشكلة - إذا كان المستوى المتعامد يقطع بدقة عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد ويحتوي على خلفيات لانهائية مع عدد لا نهائي من النقاط بإحداثيات صحيحة ، فإن طائرتين متعامدين في الفضاء الخماسي الأبعاد غير منطقيتين ، ولا يحتويان على نقاط بإحداثيات صحيحة (باستثناء النقطة المرجعية) . نظرًا لأن نمط ورق الحائط الذي تم إنشاؤه من الجيوب الأنفية يتكرر من خلال التحولات بواسطة الأعداد الصحيحة ، فإن هذه الطائرات لا ترث الأنماط من المساحات ذات الترتيب الأعلى.

كتب فارس في المقال: "هكذا تظهر الذبابة في الحساء".

ومع ذلك ، يظهر وهم هيكل ورق الحائط على هاتين الطائرتين ، بفضل مشاركة ما يسمى النسبة الذهبية ، رقم غير منطقي يصف اتجاهات طائرتين ، وأرقام فيبوناتشي.

بفضل علاقاتهم ، تمكن فارس من إظهار أنه على الرغم من عدم وجود نقاط ذات إحداثيات صحيحة على طائرتين ، فإن كل واحدة منها تقترب جدًا من تناثر النقاط اللامتناهي مع إحداثيات صحيحة ، والتي إحداثياتها هي أرقام فيبوناتشي. في كل مرة تقترب الطائرة من إحدى نقاط فيبوناتشي هذه ، يبدو النمط كما هو تقريبًا عند النقطة المرجعية ، مما يخلق وهم نسخة طبق الأصل.



اكتشف فارس أيضًا كيفية الجمع بين ألوان وأنماط صور الطبيعة مع وظائف الموجة لتضمينها في تصميم الأنماط ، ونتيجة لذلك يمكنك الحصول على كمية كبيرة من الخلفيات "المزيفة". في الشكل أعلاه ، يمكنك رؤية فروع الأشجار التي هاجرت من الصورة.

Source: https://habr.com/ru/post/ar400591/