ألقى علماء الرياضيات الضوء على فرضية الحد الأدنى

على هذا الجهاز اللوحي ، الذي كان في الأصل من بابل ، تم تصنيعه حوالي عام 1800 قبل الميلاد ، تم إدراج ثلاث مرات فيثاغورس - الأعداد الصحيحة أ ، ب ، ج ، معادلة المعادلة متعددة الحدود أ ² + ب ² = ج ² . حتى يومنا هذا ، لا يزال البحث عن حلول عقلانية وصحيحة لمعادلات كثيرة الحدود مشكلة خطيرة للرياضيين.

في القرن الخامس قبل الميلاد اكتشف عالم الرياضيات اليوناني اكتشافًا هز أسس الرياضيات ، ووفقًا للأسطورة ، كلفه حياته. يعتقد المؤرخون أن هذا كان Hippasus من Metapont ، وكان ينتمي إلى مدرسة Pythagorean للرياضيات ، والتي كانت عقيدتها الرئيسية هي أنه يمكن التعبير عن أي ظاهرة فيزيائية كأعداد صحيحة وعلاقاتهم (ما نسميه أرقامًا منطقية). لكن هذا الافتراض انهار عندما ، وفقا للمؤرخين ، اعتبر جيباس أطوال أضلاع المثلث الأيمن ، والتي يجب أن ترضي نظرية فيثاغورس - العلاقة الشهيرة أ ² + ب ² = ج ² . يقال أن Gippas أظهر أنه بنفس طول أرجل المثلث المعبر عنه برقم منطقي ، لا يمكن التعبير عن الوتر من خلال رقم عقلاني.

وفقًا لإحدى الروايات ، قام جيباس بهذا الاكتشاف أثناء وجوده في البحر ، وزملائه الذين صدموا بهذا الاكتشاف وألقوه في البحر.

لم يعد علماء الرياضيات المعاصرون محرجين ، مثل الإغريق القدماء ، من خلال أرقام غير منطقية (وبشكل عام اكتشفوا أن هناك أرقامًا غير منطقية أكثر من الأرقام العقلانية). لكن حب فيثاغورس للحلول العقلانية للمعادلات يستمر في تغذية علماء الرياضيات بالمعلومات. إنها تكمن وراء نظرية الأعداد ، الفرع النظري التقليدي للرياضيات ، والذي وجد ، في عصرنا الرقمي ، بشكل غير متوقع العديد من التطبيقات.

الآن تقدم اثنان من علماء الرياضيات الشباب إلى طليعة العلم في دراستهم للحلول العقلانية للمعادلات التكعيبية. المعادلات متعددة الحدود التي تكون فيها المتغيرات في بعض الدرجات ، مثل y = 3x ³ + 4 أو x ² + y ² = 1 ، هي من بين الأشياء الأساسية التي درسها علماء الرياضيات وتستخدم في التطبيقات العملية المختلفة وكذلك في فروع الرياضيات .

الكون متعدد الحدود

من السهل أن نرى أن معادلة كثيرات الحدود التي لا تتجاوز فيها درجة المتغيرات 1 ، مثل y = 3x + 4 ، لها عدد لا نهائي من الحلول العقلانية. أي قيمة منطقية لـ x تعطي قيمة منطقية لـ y والعكس صحيح.

من المعروف منذ ألف عام كيفية إيجاد حلول عقلانية لكثيرات الحدود من الدرجة 2 ، مثل x ² + y ² = 1 أو y = 3x ³ + 2x - 7. قد لا يكون لديهم حل على الإطلاق ، أو لديهم العديد من الحلول بلا حدود. الرسوم البيانية لمثل هذه المنحنيات هي أقسام مخروطية - الدوائر ، القطع المكافئ ، الحذف والقطع الزائد. إذا كانت هناك نقطة عقلانية واحدة على الرسم البياني ، فهناك طريقة جميلة للعثور على جميع النقاط العقلانية الأخرى. تحتاج فقط إلى أخذ جميع الخطوط التي تمر عبر P بمنحدر منطقي ، وحساب التقاطع الثاني لهذا الخط مع القسم المخروطي.

في عام 1983 ، جيرد فالتينغز ، الذي يشغل الآن منصب مدير معهد الرياضيات. ماكس بلانك في بون ، اكتشف معادلات كثيرة الحدود بدرجات أكبر من 3. أظهر أن معظمها لا يمكن أن يكون لها سوى العديد من الحلول العقلانية. وبقيت معادلات مكعبة ، منحرفون عنيدون لكون كثيرات الحدود.

قاومت المعادلات التكعيبية جهود علماء الرياضيات لتصنيف حلولهم. محاولات تصنيف الحلول العقلانية للمعادلات التكعيبية - وبشكل أدق ، عائلة من المعادلات التكعيبية المعروفة باسم المنحنيات الإهليلجية ، حيث أنها ، باستثناء العديد من الآخرين ، التي يمكن أن يكون لها حلول عقلانية - تم إجراؤها من قبل جميع المتخصصين العظماء في نظرية الأعداد ، بدءًا من عالم الرياضيات الفرنسي في القرن السابع عشر بيير فيرمات يقول بنديكت غروس من جامعة هارفارد.

يمكن أن تحتوي المعادلات التكعيبية البيضاوية على عدد صفر أو محدود أو غير محدود من الحلول. حتى الآن ، كان علماء الرياضيات قادرين فقط على تخمين عدد المرات التي تنشأ فيها هذه الخيارات.

تمتلك المنحنيات الاهليلجية قدرة لا يمكن تفسيرها على الظهور في أماكن غير متوقعة ، سواء في الرياضيات النظرية أو التطبيقية. أصبح فهمهم عنصرًا رئيسيًا في إثبات نظرية Fermat منذ عام 1995 ، على الرغم من أنه يبدو أن المنحنيات الإهليلجية لا ترتبط بصياغتها. أصبحت العمليات باستخدام المنحنيات الناقصة مكونات مركزية للعديد من بروتوكولات التشفير التي ترميز أرقام البطاقات المصرفية في المعاملات عبر الإنترنت. الحلول المنطقية للمنحنيات الناقصية هي في صميم المشاكل الهندسية المختلفة لأسلوب فيثاغورس ، على سبيل المثال ، البحث عن مثلثات مستطيلة ذات أطوال منطقية من الجوانب وفي نفس الوقت منطقة عقلانية.

يقول مانجول بهارجافا من جامعة برينستون: "التحفيز الذكي والبنية الممتازة والتطبيقات العملية - كل هذه منحنيات بيضاوية الشكل".

بارجوا يبلغ من العمر 38 عامًا ، وزميله أرول شانكار - 26 عامًا ، يعملون في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ، وقد اتخذوا بالفعل واحدة من أكبر الخطوات على مدى العقود القليلة الماضية لفهم الحلول العقلانية للمنحنيات الناقصية.

في عملهم ، لا توجد وصفة لإيجاد حلول عقلانية لمنحنى بيضاوي معين ؛ بدلاً من ذلك ، تشرح ما هي السيناريوهات الأكثر احتمالاً لاتخاذ قرارات منطقية إذا تم اختيار المنحنى بشكل عشوائي.

وقال غروس إن اكتشافات بارجافا وشانكار "بدأت تسلط الضوء على مساحة كبيرة من جهلنا". "بعد عملهم ، يبدو العالم كله مختلفًا."

الأمن البيضاوي

إذا أخذنا نقطتين منطقيتين على منحنى بيضاوي الشكل ، فإن الخط الذي يمر من خلالهما سيتقاطع دائمًا مع المنحنى عند نقطة أخرى ، أيضًا مع الإحداثيات العقلانية. من السهل جدًا استخدام نقطتين منطقيتين مختلفتين لإنشاء النقطة الثالثة ، ولكن من الصعب جدًا القيام بالعكس - خذ نقطة عقلانية واحدة واعثر على نقطتين منطقيتين أخريين لتوليدها. تجعل هذه الخاصية المنحنيات الناقصة مفيدة للتشفير: يعتمد أمان التشفير على العمليات التي يسهل القيام بها في اتجاه واحد وصعبة في اتجاه آخر.

قال بيتر سارناك من جامعة برينستون: "إن المنحنيات البيضاوية تشارك في العديد من الأشياء المدهشة". "إنها معقدة بما يكفي لحمل كمية كبيرة من المعلومات ، ولكنها بسيطة بما يكفي للدراسة المتعمقة."

ركوب ممتعة

إن إيجاد حلول منطقية لمنحنى إهليلجي يقلل من إيجاد نقاط على الرسم البياني الخاص به على المستوى xy ، بحيث تكون إحداثيات x و y أرقامًا منطقية. وغالبا ما يكون من الصعب القيام بذلك. ولكن إذا وجدت العديد من النقاط المنطقية ، يصبح من الممكن توليد المزيد باستخدام إجراءات بسيطة ، اكتشفها منذ ألفي عام قبل عالم الرياضيات الإسكندري ديوفانتوس. على سبيل المثال ، إذا قمت برسم خط من خلال نقطتين منطقيتين ، فإنه يتقاطع عادةً مع المنحنى عند نقطة واحدة بالضبط ، وهو أيضًا منطقي.

وقال بارجافا إن هذه العملية "بنية معقدة للغاية ، وهناك شيء خاص في المعادلات التكعيبية يمنحها العمق".

في عام 1922 ، أثبت لويس موردل شيئًا مدهشًا. بالنسبة لأي منحنى إهليلجي ، حتى مع وجود عدد لا نهائي من النقاط المنطقية ، يمكنك إنشاء جميع النقاط العقلانية ، بدءًا من عدد صغير منها ، ثم ربطها معًا. إذا كان عدد النقاط المنطقية على المنحنى البيضاوي لا حصر له ، فإن الحد الأدنى من النقاط اللازمة لتوليدها كلها يسمى رتبة المنحنى. عندما يكون عدد هذه النقاط محدودًا ، يكون ترتيب المنحنى 0.



لقد تأملت عقود من الرياضيات فرضية الحد الأدنى التي تقدر رتبة المنحنيات البيضاوية ، مع أدلة مختلطة. تقول الفرضية أنه إحصائيًا ، ما يقرب من نصف المنحنيات البيضاوية لها رتبة 0 (أي أنها تحتوي على عدد محدود من النقاط العقلانية ، أو صفر) ، والنصف الآخر لديه 1 (أي أنه يمكن إنشاء عدد لا نهائي من النقاط العقلانية من واحد ) ووفقًا لهذه الفرضية ، فإن عدد الحالات الأخرى قليلًا. هذا لا يعني أنه لا توجد استثناءات ، أو حتى أن هناك عددًا محدودًا منها - ولكن إذا أخذنا مجموعات أكبر من المنحنيات الإهليلجية ، فستصبح المنحنيات التي تقع في فئات أخرى نسبة مئوية أقل وأقل ، وسوف يميل عددهم إلى 0 ٪ .

تم صياغة هذا الافتراض لأول مرة في عام 1979 من قبل Dorian Goldfeld من جامعة كولومبيا ، في إشارة إلى فئة معينة من المنحنيات البيضاوية. يقول باري مازور من جامعة هارفارد: "لطالما كان الفولكلور".

تدعم الفرضية الجزئية الفرضية الجزئية إلى حد ما أن المنحنيات الناقصة لا يجب أن تحتوي على الكثير من النقاط العقلانية. في الواقع ، هناك أقلية على خط الأعداد المنطقية.

كتب مازور وزملاؤه الثلاثة في عام 2007 لمجلة Bulletin of the American Mathematical Society: "إن النقاط المنطقية للمنحنيات الناقصة هي لآلئ عشوائية للرياضيات ، ومن الصعب جدًا أن نتخيل أن هناك الكثير من هذه الحوادث الثمينة".

للوهلة الأولى ، يشير هذا إلى أن معظم المنحنيات الإهليلجية يجب أن يكون لها رتبة 0. لكن العديد من علماء الرياضيات يؤمنون بفرضية التكافؤ ، التي تفترض أن المنحنيات الإهليلجية ذات الرتب الزوجية والغريبة تحدث 50 إلى 50. إذا قمت بدمج فرضية التكافؤ مع ندرة النقاط العقلانية ، فعندئذٍ نحصل على فرضية الحد الأدنى - قسمة 50 على 50 بين أدنى الرتب الممكنة ، 0 و 1.

لدعم الفرضية البسيطة ، تشير البيانات التجريبية أيضًا إلى أنه من الصعب حقًا الحصول على منحنيات بيضاوية عالية. استخدم المتخصصون في المنحنى البيضاوي أجهزة الكمبيوتر للبحث عن منحنيات عالية المستوى. الرقم القياسي الحالي تم تعيينه عند حوالي 28 - ولكن هناك عدد قليل جدًا من هذه المنحنيات ومعاملاتها هائلة.

لكن التقديرات الأخرى ليست ملهمة للغاية. قام علماء الرياضيات بحساب رتب مئات الآلاف من المنحنيات البيضاوية ، وحتى الآن 20 ٪ من جميع المنحنيات لها رتبة 2. بالنسبة لنسبة صغيرة ولكن ليست صغيرة جدًا من المنحنيات ، فإن الترتيب هو 3. وفقًا للفرضية البسيطة ، يجب أن تميل نسبتهم إلى الصفر إذا تم أخذ جميع المنحنيات البيضاوية في الاعتبار. قال مازور: "من الواضح أن البيانات تعارض الافتراض".

عادة ، عندما لا تتوافق البيانات مع الفرضية ، سيتم تجاهلها بشكل صحيح. لكن العديد من علماء الرياضيات يتمسكون بفرضية الحد الأدنى. على الرغم من أن أجهزة الكمبيوتر أعادت صياغة العديد من الأمثلة ، يشير علماء الرياضيات إلى أن هذه الحسابات ليست سوى قمة جبل الجليد. كتب مازور مع زملائه: "قد يحدث أيضًا أنه حتى نثبت الفرضيات ، لن تطمئن أي بيانات تم جمعها من قبلنا ، حتى وإن كانت قوية جدًا من حيث الكمية ، المنظرين".

وأضافوا أيضًا أن جزءًا كبيرًا إلى حد ما من المنحنيات البيضاوية المحسوبة برتبة أكثر من 1 يشبه المادة المظلمة في الفيزياء. "هذه الكتلة الكبيرة من النقاط العقلانية موجودة بوضوح. ليس لدينا شك في ذلك. نحن نشك فقط في كيفية تقديم تفسير مرضٍ لحقيقة أنهم موجودون. "

بسبب تضارب البيانات والنظرية ، يكتبون ، على مدار عقود ، الفرضية الحد الأدنى "إما تم رفضها أو أخذها كأمر مسلم به".

طرق جديدة

حتى وقت قريب ، كان منجول بارجافا ، النجم الصاعد في عالم الرياضيات ، في معسكر المشككين. صنفته إحدى المجلات في مجلة Popular Science من بين "العباقرة العشرة الأوائل" في عام 2002 ، وفي العام التالي في عمر 28 ، أصبح أحد أصغر الأشخاص الذين حصلوا على لقب أستاذ في جامعة برينستون. لا يعجب زملاؤه بإنجازاته الرياضية فحسب ، بل وأيضاً تصرفاته اللطيفة والإبداعية.


مانجول بارجافا في 38

قال غروس: "مانجول رجل غير معتاد". "إنه ينظر إلى الأشياء بطريقة مختلفة عن معظم الناس ، وهذا ما تتكون منه عبقريته."

أصبح Bargawa ، المتخصص في نظرية الأعداد ، مهتمًا بالتناقض الواضح بين البيانات المحسوبة والفرضية البسيطة. وقال "هذا يوحي بحدوث شيء مثير للاهتمام هناك". يتذكر بارجافا: "ذهبت إلى زميلي بيتر سارناك ، وسألته:" كيف يمكنك أن تؤمن بهذا الافتراض؟ "بالنسبة لي بدا الأمر مضحكًا."

لكن سارناك يعتقد أن البيانات نتيجة لذلك ستبدأ في الميل في الاتجاه المعاكس ، عندما يكون من الممكن حساب المنحنيات الإهليلجية ذات المعاملات الأكبر بكثير. قال بارجافا: "لقد كان واثقًا جدًا في هذه الفرضية".

قرر Bargawa بطريقة أو بأخرى لمعرفة شيء محدد حول الفرضية. يقول: "حان الوقت لإثبات شيء ما". بدأ في دراسة مجموعات من الخوارزميات التي تحسب رتب المنحنيات الناقصية ، والتي نشأت في الإجراء الذي قدمه فيرمات في القرن السابع عشر. هذه مجموعة من الخوارزميات تسمى خوارزميات النسب - لكل عدد صحيح أكبر من 2 يوجد خوارزمية - عملوا بخبرة ووجدوا منحنيات بيضاوية بنقاط عقلانية. ولكن على الرغم من المحاولات العديدة ، لم يتمكن أحد من إثبات أن هذه الخوارزميات ستعمل دائمًا.

قرر بارجاوا تجربة نهج مختلف. قال بارجافا: "كانت لدي فكرة أن أجرب خوارزمية النسب لجميع المنحنيات البيضاوية في نفس الوقت ، ثم أثبتت أنها ستنجح في معظم الحالات". في الواقع ، لدراسة الفرضية البسيطة ، ليس من الضروري معرفة شكل كل منحنى بيضاوي - يكفي أن نعرف أي نوع يسعون إليه.

تضمن هذا النهج العمل في مجال هندسة الأعداد ، والمشاركة في عد العقد الشبكية بأشكال مختلفة (العقدة الشبكية هي نقطة ذات إحداثيات صحيحة). في أبسط الأشكال مثل دائرة أو مربع ، يتوافق عدد عقد الشبكة مع مساحة الشكل تقريبًا. لكن مهمة بارجاوا كانت تتعلق بأشكال أكثر تعقيدًا ، وعندما يكون للشخص سمات معقدة ، مثل اللوامس ، يمكن أن يحتوي على عقد شعرية أكثر أو أقل مما تتوقعه منطقته.


أرول شانكار في 26

قبل الشروع في مثل هذه الأشكال ، حدد Bargava مهمة مماثلة ولكنها بسيطة لأرول شانكار ، طالب الدراسات العليا. غالبًا ما يعاني طلاب الدراسات العليا من صعوبات في المهام من الرسائل العلمية لسنوات ، لكن شانكار أحضر الحل في ثلاثة أشهر فقط. لذلك ، يقول Bargava ، "سألته إذا كان يرغب في الانضمام إلي."

يقول Mazur إن Bargava و Shankar طوروا مجموعة من التقنيات الجديدة التي من المرجح أن تتجاوز أهميتها المهمة الأصلية التي يقومون بحلها. لطالما كانت هندسة الأرقام طريقة عميقة وقوية ، والآن زادت من قوتها بشكل كبير. وأضاف أن عبقرية أسلوبهم "تفتح إمكانيات جديدة في نظرية الأعداد".

يوافق غروس على أن هذه التقنيات الجديدة "ستؤثر على نظرية الأعداد لسنوات عديدة أخرى".

نمط واضح

إذا كانت الفرضية البسيطة صحيحة ، فيجب أن يكون متوسط ​​رتبة المنحنيات البيضاوية ½ ، ولكن قبل عمل Bargava و Sankar ، لم يتمكن علماء الرياضيات حتى من إثبات أن متوسط ​​القيمة سيكون محدودًا. باستخدام خوارزمية الهبوط ذات الترتيبين ، تمكن Bargava و Shankar من إظهار أن متوسط ​​الترتيب لجميع المنحنيات البيضاوية لا يتجاوز 1.5. باستخدام الأوامر 3 و 4 و 5 لبعض المنحنيات التي لم تتم معالجتها في الخطوة السابقة ، تمكنوا من خفض الشريط العلوي إلى 0.88.

وعلى الرغم من وجود فجوة بين هذه القيمة والمتوسط ​​الذي تنبأت به الفرضية البسيطة ، فإن اكتشاف Bargava و Shankar يمثل قفزة إلى الأمام. يقول سارناك: "هذه ليست سوى الخطوة الأولى ، ولكنها بالفعل كبيرة جدًا". "إنه لأمر رائع أن نرى كيف أن اثنين من الشباب يتقدمون بنشاط إلى الأمام."

علاوة على ذلك ، بعد أن أظهرت أن متوسط ​​الرتبة أقل من 1 ، أثبت Bargava و Shankar أن قطعة كبيرة من المنحنيات الإهليلجية - على الأقل 12 ٪ - لها رتبة 0 (لأنه بخلاف ذلك سيكون المتوسط ​​أعلى). استخدموا هذا لإظهار أن نفس الجزء من المنحنيات يرضي فرضية Birch-Swinnerton-Dyer الشهيرة ، السؤال القديم لمنحنيات الاهليلجيه ، والتي منحت لمعهد كلاي للرياضيات مكافأة مليون دولار .

سأل أحد المستمعين مازحا في محاضرة بارجاوا في معهد كلاي عما إذا كان بارجافا وشانكارو يعتمدان الآن على 12٪ من الجائزة في المليون. قال بارجافا بحزن "ممثلو المعهد كانوا في المحاضرة ، وقالوا على الفور أنه لا ، لا يجب عليهم ذلك".

أثار اكتشاف بارجافا وشانكار قلق المتخصصين في نظرية الأعداد ، وكثير منهم لم يتوقعوا تقدمًا في مجال الرتبة المتوسطة. يقول غروس: "أنت تسألني قبل شهر من إخباري لمنجول عن عمله. سأجيبك على أن هذا أمر ميؤوس منه". الآن ، قال ، الفرضية البسيطة تبدو واعدة أكثر فأكثر. "أراهن بالمال عليها."

إحدى الطرق الممكنة - التي من المحتمل أن تتطلب ضخ أفكار جديدة ، كما يقول علماء الرياضيات - هي محاولة استخدام الخوارزميات لخفض الطلبات أعلى من 5 من أجل تحسين حدود الرتبة المتوسطة. قال بارجافا: "مع استخدام سلالات الأوامر الثانية والثالثة والرابعة والخامسة ، كان هناك نمط واضح ، وعلى الأرجح سيستمر".

لا يعتبر Bargava نفسه المالك الوحيد لحقوق هذه الفكرة ، ويأمل في أن يلهم عملهم علماء الرياضيات الشباب لمزيد من البحث في مجال النقاط العقلانية للمنحنيات الناقصية. يقول: "الفرضية البسيطة ليست غاية في حد ذاتها". - في كل مرة تفتح الباب ، يتبين أنك بحاجة إلى فتح المزيد من الأبواب. وكلما زاد عدد الأشخاص الذين يفعلون ذلك ، يمكننا فتح المزيد من الأبواب ".