كيفية بناء مجهر احتمالي

وفقًا للشائعات ، ستصدر 20th Century Fox طبعة جديدة من فيلم الخيال العلمي لعام 1966 رحلة رائعة في بضع سنوات. وفقًا للمؤامرة ، يتم ضغط الأبطال وحقنهم في جسم الإنسان ، من خلالهم يسافرون في غواصة ذات حجم مجهري. في مثل هذه المقاييس ، يتحول تدفق الدم إلى اضطراب خطير ، ويمكن أن تبتلع الأجسام البيضاء سفينة ، ويتحول التوتر السطحي للقطرة إلى حاجز لا يمكن التغلب عليه.

إن رفع المستوى يدمر فهمنا الحدسي لما هو مهم بالنسبة لنا ، وما الذي يمتلك القوة وما هو خطير. من أجل البقاء ، تحتاج إلى إعادة تكوين الحدس. حتى إذا كان من الممكن إهمال أي تأثير على المقاييس المألوفة ، فقد يصبح التأثير الأقل تافهًا مهمًا بشكل لا يصدق على المقاييس غير المألوفة.



كيف نفهم ما يمكن أن يكون مهما على نطاق غير مألوف؟ اتضح أن هناك نظرية رياضية للانحرافات الكبيرة تعمل مع الاحتمالات بنفس الطريقة التي يعمل بها الشعاع المتناقص مع فريق Fantastic Travel. في حين أن النظرية الكلاسيكية للاحتمالات تتعامل مع احتمالات الأحداث العادية ، فإن نظرية الانحرافات الكبيرة متخصصة في الأحداث النادرة للغاية التي تنشأ عند اندماج العديد من الأحداث غير العادية. يسمح لنا بتكبير المجهر الاحتمالي لتحديد أقل الطرق المحتملة لكيفية حدوث حدث غير محتمل للغاية.

منذ اللحظة التي صيغت فيها النظرية قبل 50 سنة ، عالم الرياضيات S.R. سرينيفاسا فارادان ، تمت دراستها وتطويرها بعناية. ويبين كيف يمكن أن ينحرف متوسط ​​سلوك النظام العشوائي عن النموذج العادي. من خلال مقارنة جميع الاحتمالات النادرة بعناية ، يمكنك أن ترى كيف غالبًا ما نقلل من احتمالات الأحداث غير العادية عندما نقتصر انتباهنا على الطرق المعتادة التي يمكن أن تحدث فيها.

دعنا نذهب في رحلة مع المجهر في أيدينا

تاجر عالي التردد

يقوم المتداول عالي التردد بإجراء سلاسل طويلة من المعاملات. على كل واحد منهم ، تزداد حالته بقيمة مبدئية قدرها 1،000،000 دولار بمقدار نصف بالمائة أو تنخفض بمقدار نصف بالمائة ، واحتمال أي نتيجة هو ½. كم من المال يحتمل أن يكون لديه في مليون معاملة؟

يمكنه التفكير على هذا النحو: كل معاملة ترتفع أو تنخفض بنفس المبلغ ، لذلك لن يتغير متوسط ​​المبلغ ، وفي النهاية يجب أن يتبقى مليون دولار.

وهنا حجة أخرى: عندما يفوز ، يتم ضرب ثروته بمقدار 1.005. عند الخسارة ، عند 0.995. كل من ذلك وآخر يضاعفه بمقدار 1،005 × 0،995 = 0،999975. بالنسبة لمليون معاملة ، سيحدث 500000 من هذه الحالات وغيرها ، وبالتالي سيتحول المليون الأصلي إلى 1،000،000 دولار × (0999975) ^500،000 ، وهو ما يعادل تقريبًا 3.73 دولار.

أي منطق صحيح؟ من الغريب ، كلاهما ، لكن الثاني سيكون أكثر أهمية. على الأرجح ، لن يبقى لدى المتداول أي شيء ، ولكن إذا قمنا بزيادة مجموعة الأحداث غير المتوقعة التي يفوز فيها ، فسوف نرى مثل هذه الخيارات التي يفوز فيها بشكل كبير. الوظيفة الرئيسية هنا هي I (x) ، وهي دالة علاقة توضح كيف ينخفض ​​احتمال الحصول على النتيجة x مع زيادة في عدد المعاملات. هنا x رقم ، ولكن بناءً على المهمة ، يمكن أن يكون مسارًا عشوائيًا أو بنية شبكة عشوائية أو هندسة عشوائية للكون. I (x) = 0 يتوافق مع حالة نموذجية مع احتمال ضئيل جدًا - في حالتنا ، هذا هو الخيار الذي تنخفض فيه حالة المتداول بمعدل أسي. تتوافق القيم الكبيرة لـ I (x) مع x الأقل احتمالًا بشكل كبير.

يحدد متوسط ​​القيمة حلا وسطا بين الاحتمال المتناقص بشكل كبير والحالة المتزايدة بشكل كبير. يتبين أن بعض x كبيرة جدًا ، على الرغم من صغر حجم الاحتمال المقابل لها. يؤكد تحسين هذا الحل الوسط على الفكرة الساذجة التي تقول بأن متوسط ​​نتيجة التداول سيكون مساوياً لمليون دولار - على الرغم من أنه يمكنك التأكد من أن جميع المتداولين تقريبًا سيخسرون كل شيء تقريبًا. إذا كان هناك مليون متداول ، ويقوم كل منهم بمليون عملية برأسمال قدره مليون دولار ، فسيكون متوسط ​​النتيجة حقاً مليون دولار. ولكن سيتم تحديد هذا المتوسط ​​من قبل 1-2 متداولين ، والذين سيكون في حساباتهم مئات المليارات من الدولارات. ستكون معظم الأموال في حسابات عدد صغير من التجار العشوائيين ، وسيفقد معظم التجار كل شيء.

فرص الفوز أو البقاء بمفردك لا تتجاوز 1 في 100.

عقدة الهاتف

المشكلة الرئيسية لشبكات الاتصالات هي تحديد احتمال الازدحام. يمكن أن يكون لذاكرة التخزين المؤقت للبيانات في عقدة الهاتف أو الإنترنت سعة كافية لمتوسط ​​الحمل ، ولكنها ليست كافية للتعامل مع كمية غير عادية من الطلبات المتزامنة.

أشار علماء الرياضيات من مختبر بيلا ، آلان فايس وآدم شوارتز ، إلى تطبيق نظرية الانحراف الكبير على شبكات الاتصال في عام 1995. من الناحية النظرية ، تقل احتمالية وقوع حدث نادر بشكل كبير مع حجم النظام. في لغة الرياضيات ، يتغير الاحتمال كـ e ^{-n * I (x)} ، حيث تشير n إلى الحجم ، x هي المسار إلى حدث نادر ، I هي دالة النسبة التي تعطي الاحتمال النسبي لاختيار هذا المسار. عادةً ما تحدث الأحداث النادرة بطريقة يمكن التنبؤ بها - واحدة تقلل من وظيفة العلاقة - وتحدث في مجموعات مفصولة بفترات زمنية طويلة.

في أي مهمة ، تكمن الصعوبة في تحديد (وتفسير بنجاح) وظيفة العلاقة. إنه يعطي الاحتمالية النسبية لجميع تسلسل الأحمال ، والتي يمكن منها اشتقاق تركيبات تؤدي إلى حمولة زائدة ولها أقل قيمة لدالة النسبة ، أي الاحتمال الأكبر. تحدد هذه التركيبات تكرار الازدحام ، وكذلك طبيعتها: كم عدد المصادر التي ستكون نشطة ، وما هي المصادر التي ستكون عليها ، ومدى سرعة التعامل مع الازدحام.

كمثال بسيط ، ضع في اعتبارك شبكة هاتف يتصل فيها كل مستخدم من عدد كبير من المستخدمين - على سبيل المثال مليون - في أوقات عشوائية ، بحيث يظلون في المتوسط ​​على الخط 1٪ من الوقت. (نفترض أنهم يقومون بإجراء مكالمات بشكل مستقل عن بعضهم البعض ، وبفرص متساوية في أي وقت من اليوم). تحتاج الشبكة إلى 10000 خط اتصال لتلبية متوسط ​​الطلبات. قدرت الشركة ، باستخدام انحرافات كبيرة ، أنه عندما تم تكليف 10،500 خط اتصال ، فسيكون في حالة من الحمل الزائد لحوالي دقيقتين في السنة.

تخيل أنه بالإضافة إلى الشبكة ، يبدأ نصف مليون لاعب في استخدام وحدات التحكم الموجودة على الخط بنسبة 1 في المائة من الوقت ، ولكنها تتطلب نطاقًا تردديًا كبيرًا - حيث يلتقطون 5 خطوط لكل منها. يحتاج المستخدمون الجدد أيضًا إلى 10000 خط في المتوسط ​​، لذلك تقرر الشركة مضاعفة سعتها إلى 21000 خط. ولكن نتيجة لذلك ، يتم تحميل الشبكة بشكل زائد لعدة دقائق في الأسبوع. يظهر تحليل وظيفة العلاقة أن اللاعبين الذين يستخدمون نفس سعة الشبكة في المتوسط ​​مثل المستخدمين الآخرين يستخدمون 8 ٪ من الخطوط الإضافية أثناء الازدحام ، وأن 250 خطًا إضافيًا سيعيدون وقت تشغيل الشبكة. إذا رسمنا تحميل الشبكة قبل ثوان من الازدحام ، فسوف نرى أنه دائمًا ما يتبع نمطًا معينًا ، ينحني بلطف لأعلى قبل أن يستقر فجأة مقابل السقف - ويمكن أيضًا حساب هذا المنحنى كوظيفة تقليل النسبة.

في الشبكات اللامركزية الحديثة التي تتبادل الحزم ، يمكن أن تساعد وظيفة العلاقة على اكتشاف شبكات الروبوت ، وشبكات أجهزة الكمبيوتر المصابة بالفيروسات التي يستخدمها المجرمون لإرسال البريد الإلكتروني العشوائي والهجمات على الأنظمة. تتمثل الفكرة في تحديد جهاز الكمبيوتر الذي يتحكم في الروبوتات والذي يتواصل مع عدد كبير بشكل غير معتاد من أجهزة الكمبيوتر الأخرى ، ثم يؤكد التعريف عن طريق إيجاد ارتباطات غير عادية في أجهزة الكمبيوتر التي يتصل بها. تحقيقا لهذه الغاية ، استخدم باحثون من جامعة بوسطن وظيفة علاقة يمكن أن تصف ، من بين جميع الأسباب ، لماذا يمكن لمجموعة كبيرة من أجهزة الكمبيوتر غير المتصلة غير المتصلة الاتصال بنفس الخادم البعيد ، أي الخيارات لربط اتصالاتهم ستكون على الأرجح. (Wang، J. & Paschalidis، IC Botnet تستند إلى الشذوذ والكشف عن المجتمع. معاملات IEEE على التحكم في أنظمة الشبكة (2016). تم الاسترجاع من DOI: 10.1109 / TCNS.2016.2532804.)

بذور النوم

Diapause - تأخير في التطور البيولوجي ، يحدث غالبًا في مرحلة مبكرة. تنتج العديد من الأنواع النباتية بذورًا لا تبدأ في التطور على الفور ، ولكنها تظل خاملة لفترة طويلة ، وتشكل إمدادات مستقرة. بالنظر إلى أن معركة البقاء تتحول عادة إلى "من يصل أولاً وأكثر" ، فإن التأخر في النمو العشوائي هو لغز بيئي صغير.

من أجل فهم الوضع ، قمنا أنا وشريباد توليجابوركار في عملنا المشترك بفحص نموذج بسيط: نوع مع دورة حياة لمدة عامين ينمو فيها من البذور إلى الكبار في السنة الأولى وينفق الثاني في إنتاج البذور. (Steinsaltz، D. & Tuljapurkar، S. معدلات النمو العشوائية لتاريخ الحياة مع هجرة نادرة أو diapause. ArXiv: 1505.00116 (2015).) سألنا السؤال التالي: كيف سيؤثر معدل النمو على حقيقة أن بعض البذور ستبقى في حالة السبات لمدة عام؟

في الحالة التي يظل فيها نمو البذور وبقائها وإنتاجها ثابتًا من سنة إلى أخرى ، فإن الإجابة واضحة: تأخر نمو الأفراد يؤخر النمو السكاني. ولكن في ظل الظروف البيئية المتغيرة ، يتبين أن كل شيء مختلف. حتى التأخير الطفيف يؤدي إلى زيادة حادة في عدد السكان.



إذا انتظرت نسبة 1٪ من البذور سنويًا ، يتوقع المرء أن يعاني مسار الأنساب النموذجي من تأخير واحد قدره 100 عام ، ويقع في ظروف بيئية نموذجية عند النمو. لكن الأجيال اللاحقة من البذور سيكون لها مسارات نادرة جدًا تستمر في كثير من الأحيان ، حيث تحدث هذه التأخيرات في أسوأ السنوات فقط ، عندما يعني النمو موتًا مؤكدًا تقريبًا أو عدم القدرة على إنتاج البذور. تعمل هذه المسارات على أنها انحرافات كبيرة - نادرة بشكل كبير - ولكن بمرور الوقت تنتج أعدادًا أكبر من النسل. يتم تحديد معدل النمو السكاني في نهاية المطاف من خلال هذه المسارات غير المحتملة. وبعبارة أخرى ، إذا تتبعنا مسار شخص يعيش اليوم ، فسيبدو وكأنه سلسلة من الحوادث الناجحة.

تعمل نفس الرياضيات على الهجرة ، وتدعم المبدأ المهم لحماية الموائل: ستستفيد وجهة النظر من القدرة على التنقل بين منطقتين جيدتين بنفس القدر حيث تتغير الأحوال الجوية بشكل عشوائي من سنة إلى أخرى. سيجد كل فرد ، يتتبع تاريخ العائلة ، أسلافًا فروا من مكان ما ، عن طريق الصدفة ، قبل بداية الكارثة مباشرة ، أو وصلوا إلى مكان آخر عندما كان هناك الكثير من الطعام. هذه حالة خاصة من التطور المبتذل: تموت معظم الكائنات الحية دون ترك ذرية ، ولكن يمكنك تتبع أسلافك لمليارات الأجيال وعدم مقابلة أي من هؤلاء الخاسرين. محظوظ لك!

مئويون

بعد أن عاشت إلى عمر معين - والذي اتضح أنه أقل مما يعتقده معظم الناس ، نظرًا لأن احتمال أن تعيش عامًا آخر يبلغ 12 عامًا كحد أقصى - ستواجه حقيقة أن حالتك الجسدية واحتمال عيشك عامًا آخر يتناقص طوال الوقت ، حتى إذا لفترات قصيرة يمكنك تحقيق التحسن. اعتبر الديمغرافيون النظريون نماذج الشيخوخة التي تعمل فيها "قابلية البقاء" للفرد كمتغير عشوائي يتغير في خطوات صغيرة ، والتي من المرجح أن تتغير إلى أسفل أكثر من الأعلى ، واحتمال الوفاة يزداد كلما زادت قابلية البقاء.

ليس من المستغرب ، باتباع هذا النموذج ، يمكن حساب أن متوسط ​​بقاء السكان ينخفض ​​كدالة للعمر ... حتى نقطة ما. لكن جزءًا صغيرًا من السكان يعيشون حتى سن معينة ، وهم أفراد استثنائيون. ربما كانوا محظوظين للفوز في اليانصيب الجيني. ربما كانت المطبات العشوائية للحياة توجههم في اتجاه إيجابي نسبيًا.

مع ذلك ، يتنبأ النموذج بأن بقاء الناجين على قيد الحياة يتوقف عن التدهور تدريجيًا. كل فرد لا يزال يتناقص ، ولكن أولئك الذين انخفضوا أخذتهم امرأة عجوز مع منجل. يصل إجمالي القدرة على البقاء على قيد الحياة إلى توازن يسمى "التوزيع شبه التوازني" بين المسارات الفردية المتساقطة وفرز الأفراد الزائدين في الجزء السفلي من توزيع القدرة على البقاء.

في لغة الانحرافات الكبيرة ، هناك دالة للنسبة I (x) - حيث x هو سجل البقاء على قيد الحياة - وهو صفر للمسارات التي تظل قريبة من المتوسط. أولئك الذين ينحرفون بقوة عن المتوسط ​​لديهم وظيفة علاقة إيجابية ، أي أن احتمالهم أقل بشكل كبير. في نموذج نموذجي ، يمكنك أن تجد أنه من بين جميع مسارات الحياة التي تستمر لفترة طويلة بشكل غير معهود ، فإن الأرجح هي تلك التي حافظت بشكل غير مقصود على البقاء على قيد الحياة على مستوى مرتفع بشكل غير عادي من تلك التي اتبعت مسارًا هبوطيًا عاديًا ولم تموت عن طريق الخطأ.

ويترتب على ذلك أن معدل الوفيات - احتمالية الوفاة في العام التالي لفرد في سن معينة - يزيد في مرحلة البلوغ ، ثم يتحول إلى سن محترم للغاية. هذا النمط ، "هضبة الوفاة" ، يظهر بوضوح في الكائنات الحية مثل ذبابة الفاكهة والديدان الخيطية ، إذا لوحظ بكميات كبيرة في نفس الظروف المختبرية - يتم معادلة معدل الوفيات في المختبر الأكثر شيوعًا ذبابة الفاكهة ، ذبابة الفاكهة ، في سن 4 أسابيع. (Vaupel، JW، et al. المسارات البيولوجية للديمومة. العلوم 280 ، 855-860 (1998).)

لم تظهر هضبة الوفيات في الناس حتى نما عدد السكان وتحسنت الرعاية الصحية حتى يتمكن عدد كاف من الناس من العيش حتى 100 عام أو أكثر. في المتوسط ​​، يتضاعف معدل وفيات الشخص كل 8 سنوات ، ويتراوح بين 30 ثانية و 90 ثانية. إذا أخذنا عينة من الأمريكيين الذين ولدوا في عام 1900 ، فإن معدل وفياتهم عند 90 عامًا كان حوالي 0.16 ، أي أن 16 ٪ منهم ماتوا هذا العام. إنها تتضاعف في سن 98 ، ثم لا تتضاعف. أعلى معدل للوفيات المسجل هو 0.62 في سن 108. بعد ذلك ، تصبح البيانات صغيرة جدًا ، ولكن التحليل الشامل للأشخاص الذين تزيد أعمارهم عن 110 عامًا من جميع أنحاء العالم يظهر بشكل مقنع أنه في ظل الظروف الحالية ، سيعادل المعامل في مكان ما في النطاق من 0.4 إلى 0.7. (Vaupel، JW & Robine، JM Emergence of supercentenarians in البلدان منخفضة الوفيات. مجلة أمريكا الشمالية الاكتوارية 6 ، 54-63 (2002))