في 16 مارس في تمام الساعة 19:00 في متجر Bukvoed (سانت بطرسبرغ ، ليغوفسكي ص 10) ، ستعقد محاضرة تفاعلية كجزء من مشروع "العلم ليس دقيقًا" لليوم العالمي بي: "تجارب في الرياضيات التجاوزية أو الفولكلور الرياضي ".
لا تخف إذا كنت قد نسيت بالفعل ما هو اللوغاريتم وكيفية حساب التكامل ، فلن تحتاج إليه. المعرفة اللازمة للمحاضرة هي الفطرة السليمة والمنطق الأولي.
يمكنك أن تسمع في كثير من الأحيان أن الرياضيات مملة بشكل لا يمكن تصوره ومجردة للغاية. سنحاول أن نثبت العكس بالعديد من الأمثلة على الفولكلور الرياضي ، ونقطة انطلاق لقائنا ستكون كتاب إدوارد فرنكل
"الحب والرياضيات. قلب الواقع المخفي " . يحاول كتاب العالم الشهير تبديد الأسطورة القائلة بأن الرياضيات علم ممل. ستتعلم من المحاضرة لماذا كل الخيول من نفس اللون ، ولماذا يصنع القمر من الجبن وكيفية التقاط ذبابة على الجانب البعيد من القمر.
سيكون دليلك في المتاهات الرياضية المعقدة Vitaly Filippovsky - عالم رياضيات ، طالب دراسات عليا في ITMO ، عالم رياضيات ومبرمج Emoji Apps.
نقدم لك أدناه التعرف على مقتطفات الرقص الرائعة من كتاب Frenkel.
في خريف 1990 ، أصبحت طالب دراسات عليا في جامعة هارفارد. كان هذا ضروريًا لتغيير موقف أستاذ زائر إلى شيء أكثر ديمومة. وافق جوزيف برنشتاين على أن أصبح المشرف الرسمي. وبحلول ذلك الوقت كنت قد جمعت ما يكفي من المواد لأطروحاتي ، وأقنع آرثر جافي عميد الكلية كاستثناء للسماح لي بتقليل مدة الدراسة العليا (التي عادة ما تستغرق 4 أو 5 سنوات ، وعلى أي حال سنتان على الأقل ، وفقًا للقواعد) إلى واحد سنوات ، حتى أتمكن من الدفاع عن نفسي في عام واحد. وبفضل هذا ، استمر "تخفيض رتبتي" من أستاذ إلى طالب دراسات عليا قليلاً.
كانت أطروحة دكتوراه حول مشروع جديد أكملته للتو. بدأ كل شيء بمناقشة مع درينفيلد من برنامج لانجلاندز في ربيع ذلك العام. فيما يلي مثال لأحد محادثاتنا ، تم تصميمه كنص برمجي.
العمل 1
المشهد 1
مكتب درينفيلد في هارفارد
درينفلد يخطو الغرفة على طول الجدار المعلقة على السبورة.
إدوارد ، يجلس على كرسي ، يدون الملاحظات (على الطاولة بجانبه كوب من الشاي).درينفيلدلذا ، فإن فرضية Simura - Taniyama - Weil تفتح اتصالًا بين المعادلات التكعيبية والأشكال المعيارية ، لكن Langlands ذهبت إلى أبعد من ذلك. تنبأ بوجود مراسلات أكثر عمومية ، حيث يتم لعب دور الأشكال المعيارية من خلال التمثيلات الآلية لمجموعة لاي.
إدواردما هو التمثيل الآلي؟
درينفيلد (بعد توقف طويل)
التعريف الدقيق لا يهمنا الآن. على أي حال ، يمكنك العثور عليها في الكتاب المدرسي. من المهم بالنسبة لنا أن يكون هذا تمثيلًا لمجموعة لاي G ، على سبيل المثال ، المجموعة SO (3) لتدوير المجال.
إدواردجيد. وماذا ترتبط هذه التمثيلات الآلية؟
درينفيلدهذا هو الأكثر إثارة للاهتمام. تنبأ لانغلاندز بأن عليهم ذلك
تكون مرتبطة بتمثيلات مجموعة جالوا في مجموعة لي أخرى.
إدواردفهمت. هل تعني أن هذه المجموعة ليست من نفس المجموعة G؟
درينفيلدلا! هذه هي مجموعة Lee أخرى تسمى مجموعة Langlands المزدوجة لـ G.Drinfeld يكتب رمز LG على اللوحة.
إدواردالحرف L تكريما لانغلاند؟
درينفيلد (بابتسامة طفيفة)
في البداية ، كانت لانغلاند مدفوعة بالرغبة في فهم الأشياء التي تسمى وظائف L ، لأنه وصف هذه المجموعة بأنها مجموعة L ...
إدواردهذا يعني أنه مقابل كل مجموعة Lie توجد مجموعة Lie أخرى تسمى LG ، أليس كذلك؟
درينفيلدنعم وهي حاضرة وفقًا لـ Langlands ، التي تبدو بشكل تخطيطي مثل هذا. درينفيلد يرسم مخططًا على السبورة
إدواردلا أفهم ... على الأقل حتى الآن. ولكن دعني أطرح سؤالًا أبسط: ما الذي سيبدو ، على سبيل المثال ، مثل مجموعة Langlands المزدوجة لـ SO (3)؟
درينفيلدالأمر بسيط جدًا - تغطية مزدوجة SO (3). هل رأيت الخدعة مع الكأس؟
إدواردالتركيز مع كوب؟ أوه نعم ، أتذكر ...
المشهد 2
حزب الوطن في جامعة هارفارد للدراسات العليا
ويتحدث أكثر من 12 طالبًا تقريبًا ، يتجاوزون العشرين تقريبًا ، ويشربون البيرة والنبيذ. إدوارد يتحدث مع طالب دراسات عليا.
طالب دراسات علياإليك كيفية القيام بذلك.
طالبة خريجة تأخذ كوبًا من النبيذ البلاستيكي وتضعه في راحة يدها اليمنى. ثم تبدأ في تدوير راحة يدها ، وتحول يدها كما في سلسلة من الصور الفوتوغرافية
(أدناه). تصنع ثورة كاملة (360 درجة) ، وينقلب ذراعها رأسًا على عقب. لا يزال يحمل الكأس في وضع مستقيم ، يستمر في الدوران ، وبعد ذلك
دور آخر كامل - مفاجأة! - تعود يدها وكأسها إلى وضعها الطبيعي الأصلي.
طالب دراسات عليا آخرسمعت أنه في الفلبين هناك رقصة تقليدية مع النبيذ يؤدون فيها هذه الخدعة بكلتا يديه. يأخذ كوبين من البيرة ويحاول تحويل كلتا الراحتين
في نفس الوقت. لكنه لا يستطيع تتبع يديه ، وعلى الفور يسكب البيرة من كليهما. الجميع يضحكون.
المشهد 3
مكتب درينفيلد مرة أخرى
درينفيلديوضح هذا التركيز حقيقة أنه في المجموعة SO (3) هناك مسار مغلق غير بديهي ، مع ذلك فإن المقطع المزدوج يمنحنا مسارًا تافهًا.
إدواردأوه ، فهمت. أول دوران كامل للكأس يدير اليد بزاوية غير عادية - هذا هو التناظرية للمسار غير التافه إلى SO (3). يأخذ كوبًا من الشاي من على الطاولة ويقوم بالجزء الأول من التركيز.
إدوارديبدو أن الدور الثاني يجب أن يجعلك تدير يدك أكثر ، ولكن بدلاً من ذلك تعود اليد إلى وضعها الطبيعي. إدوارد يكمل الخطوة.
درينفيلدحق
إدواردولكن ما هو المشترك بين هذا ومجموعة Langlands المزدوجة؟
درينفيلدمجموعة Langlands المزدوجة لـ SO (3) هي الغطاء المزدوج لـ SO (3) ، لذلك ...
إدواردلذا ، فإن كل عنصر في المجموعة SO (3) يتوافق مع عنصرين من مجموعة Langlands المزدوجة.
درينفيلدهذا هو السبب في عدم وجود مسارات مغلقة غير تافهة في هذه المجموعة الجديدة.
إدواردأي أن الانتقال إلى مجموعة لانغلاندز المزدوجة هو طريقة للتخلص من هذا التفكك؟
درينفيلدحق. للوهلة الأولى ، يبدو أن الاختلاف ضئيل ، لكن العواقب في الواقع أكثر من كبيرة. هذا ، على سبيل المثال ، يشرح الاختلاف في سلوك كتل البناء للمادة ، مثل الإلكترونات والكواركات ، والجسيمات التي تحمل
التفاعلات بينهما ، مثل الفوتونات. بالنسبة لمجموعات لاي الأكثر عمومية ، فإن الفرق بين المجموعة نفسها ومجموعة لانغلاند المزدوجة أقوى. في الواقع ، في كثير من الحالات لا يوجد اتصال واضح بين مجموعتين مزدوجتين.
إدواردلماذا ظهرت المجموعة المزدوجة بشكل عام وفقًا لـ Langlands؟ نوع من السحر ...
درينفيلدهذا غير معروف.
تؤسس ثنائية لانغلاند علاقة زوجية بين مجموعات لاي: لكل مجموعة لاي توجد مجموعة لي لانغلاند مزدوجة LG ، ومزدوج
إلى LG هي G.9 نفسها ، وحقيقة أن برنامج Langlands يربط كائنات من نوعين مختلفين (أحدهما من نظرية الأعداد والثاني من التحليل التوافقي) أمر مثير للدهشة في حد ذاته ، ولكن حقيقة وجود مجموعتين مزدوجتين ، G و LG ، في أجزاء من هذه المراسلات - إنها ببساطة غير مفهومة للعقل!
تحدثنا عن كيفية ربط برنامج لانجلاند بقارات مختلفة في عالم الرياضيات. دعونا نواصل القياس: فليكن أوروبا وأمريكا الشمالية ، وليكن هناك طريق
تطابق كل شخص في أوروبا شخصًا من أمريكا الشمالية والعكس صحيح. علاوة على ذلك ، افترض أن هذه المراسلات تشير إلى التطابق التام لسمات مختلفة ، مثل الوزن والطول والعمر ، مع استثناء واحد: يرتبط كل رجل بامرأة ، والعكس صحيح. هذا الموقف هو تناظرية لاستبدال مجموعة لي بمجموعة مزدوجة ،
وفقًا للتنبؤات التي توقعها برنامج لانغلاندز.
في الواقع ، يعد هذا الاستبدال أحد أكثر الجوانب الغامضة لبرنامج Langlands. نحن نعرف العديد من الآليات التي تصف كيف تظهر المجموعات المزدوجة ، لكننا
ما زلت لا أفهم لماذا يحدث هذا. كان هذا الجهل أحد الأسباب التي جعلت العلماء يحاولون توسيع أفكار برنامج Langlands إلى مجالات أخرى في الرياضيات (من خلال Wealth Rosetta حجر) وحتى فيزياء الكم ، كما سنتعلم في الفصل التالي. نحن نحاول العثور على مزيد من الأمثلة على ظاهرة ازدواجية لانغلاند على أمل أن يمنحنا هذا أدلة إضافية حول سبب ظهورها وما تعنيه.
دعونا نركز انتباهنا على العمود الأيمن من حجر Rosetta Weil ، والمخصص لأسطح Riemann. كما أنشأنا في الفصل السابق ، في نسخة من مراسلات Langlands ذات الصلة بهذا العمود ، فإن الممثلين هم "حزم أوتوماتيكية". يلعبون دور الوظائف الآلية (أو التمثيلات الآلية) المرتبطة بمجموعة Lie. وتبين أن هذه الحزم الآلية "تعيش" في مساحة معينة مرتبطة بسطح Riemann X والمجموعة G ، والتي تسمى الفضاء المعياري لحزم G على X. نحن في الوقت الحالي لا يهم ما هو .10 في الجزء المقابل من المراسلات ، كما رأينا في الفصل 9 ، تلعب المجموعة الأساسية لسطح ريمان معين دور مجموعات جالوا. من الرسم البياني أعلاه ، يترتب على ذلك أن مراسلات Langlands الهندسية يجب أن تبدو بشكل تخطيطي على النحو التالي:
هذا يعني أننا يجب أن نكون قادرين على تعيين حزمة أوتوماتيكية لكل تمثيل للمجموعة الأساسية في LG. وكان لدى درينفيلد فكرة جديدة جذرية حول كيفية القيام بذلك.
الإجراء 2
المشهد 1
مكتب درينفيلد في هارفارد
درينفيلدلذا ، نحتاج إلى إيجاد طريقة لبناء هذه الحزم الآلية. ويبدو لي أن تمثيلات الجبر كاتز مودي يمكن أن تساعدنا.
إدواردلماذا؟
درينفيلدنحن الآن في عالم سطوح ريمان. قد يكون لهذا السطح حد يتكون من حلقات.
درينفيلد يرسم صورة على السبورة.
درينفيلدعن طريق الحلقات ، يمكن ربط أسطح ريمان بمجموعات الحلقات ، وبالتالي ، مع الجبر Kac - Moody. وهذا الاتصال يتيح لنا الفرصة لتحويل الأفكار
Kac - الجبر مودي في الحزم على الفضاء المعياري لحزم G على سطح ريمان لدينا. دعونا لا ندخل في التفاصيل الآن. كما أتوقع ، هذا تخطيطي
يجب أن تبدو مثل هذا.
درينفيلد يرسم مخططًا على اللوحة.
درينفيلدالسهم الثاني واضح لي. السؤال الرئيسي هو كيفية بناء السهم الأول. حدثني Feigin عن عملك على تمثيل الجبر Kac - Moody. أعتقد أنه يجب تطبيقه هنا.
إدواردولكن بعد ذلك يجب أن تكون تمثيلات الجبر Katz - Moody لـ G بطريقة ما "معروفة" حول مجموعة Langlands المزدوجة LG.
درينفيلدهذا صحيح.
إدواردلكن كيف هذا ممكن؟
درينفيلدوهذا سؤال يجب الإجابة عليه.
ستارة