هناك كرتان متطابقتان عند نفس درجة الحرارة. يقع أحدهما على سطح أفقي ، والآخر معلق على خيط. تبلغ كلتا الكرتين نفس كمية الحرارة. هل ستكون الكرات هي نفسها بعد ذلك أم لا؟ (يمكن إهمال أي نوع من فقدان الحرارة.) "

يمكن العثور على هذه المشكلة في بعض الأحيان في الألعاب الأولمبية الفيزياء ووسائل التواصل الاجتماعي . الجواب المقبول بشكل عام بديهي: نظرًا لاستهلاك الطاقة للتوسع الحراري في وجود الجاذبية ، ستكون الكرة المستلقية على سطح أفقي أكثر برودة من تعليقها على الخيط. أظهر مقال حديث أن هذه الإجابة غير صحيحة. في الواقع ، ستكون النتيجة عكس ذلك: ستكون الكرة المستقيمة أكثر دفئًا من الكرة المعلقة. سوف نفهم لماذا تؤدي الطريقة التقليدية لحل هذه المشكلة إلى إجابة خاطئة ، ولماذا يحدونا الحدس في هذه الحالة.

الحل التقليدي ومشكلته

يعتمد الحل التقليدي على السطر التالي من المنطق. ستتوسع كلتا الكرتين أثناء التسخين ، ولهذا السبب سيرتفع مركز كتلة الكرة الملقاة على سطح أفقي قليلاً ، وسينخفض ​​مركز كتلة الكرة المعلقة. ونتيجة لذلك ، تسخن الكرة المستلقية بشكل أضعف ، حيث سيتم إنفاق جزء من الحرارة المنقولة إليها عند ارتفاعها ، وستسخن الكرة المعلقة أكثر بسبب العمل الإضافي للجاذبية عند خفضها.


المنطق المستخدم في الحل التقليدي: بسبب التمدد الحراري ، ترتفع الكرة الملقاة على الطاولة ، ويتم تخفيض الكرة المعلقة على الخيط.

يمكن التعبير عن الإجابة بصيغة بسيطة لفرق درجة الحرارة الكذب ( $$ ) والشنق ( $$ ) الكرات:

$$

أين $$ ، $$ و $$ - الكتلة والقطر والقدرة الحرارية للكرات ، $$ - كمية الحرارة المنقولة إليهم ، $$ - تسارع الجاذبية ، $$ هو معامل التمدد الحراري الخطي لمادة الكرات ، التي نعتبرها صغيرة بما فيه الكفاية. كما رأينا $$ - ستكون الكرة المستقيمة أبرد.

يبدو أن كل شيء منطقي في هذا القرار. "الابتلاع الأول" ، الذي يثبت أن هناك خطأ ما هنا ، هو محاولة عقلية لإنشاء محرك حراري على أساس الكرة.

يمكن للآلة العمل على النحو التالي: أولاً ، تقع الكرة على الطاولة ، حيث نقوم بتسخينها ، بسبب ارتفاع مركز كتلتها. ثم نقوم بإصلاح الكرة على الخيط المعلق في الأعلى ونزيل الطاولة بعناية بحيث لا يتغير ارتفاع الكرة. أخيرًا ، نقوم بتبريد الكرة إلى درجة حرارتها الأولية ، ونتيجة لذلك ، يتم ضغط الكرة ويرتفع مركز كتلتها. خلاصة القول: جزء الحرارة الذي نقلناه إلى الكرة عندما تم تسخينه تحول إلى عمل ميكانيكي لرفعه ، ويمكن تكرار هذه الدورة إلى ما لا نهاية.


دورة تشغيل المحرك الحراري القائم على الكرة: بعد التسخين والتبريد ، ارتفعت الكرة ، مما يعني أننا حولنا جزءًا من الحرارة إلى عمل ميكانيكي.

المشكلة هنا هي أنه من خلال زيادة نصف قطر الكرة ، يمكن جعل كفاءة (كفاءة) مثل هذه الآلة تعسفية قريبة من 100٪. يتناقض هذا مع القانون الثاني للديناميكا الحرارية ، والذي بموجبه لا يمكن أن تتجاوز كفاءة المحرك الحراري كفاءة دورة كارنوت في نفس درجات حرارة السخان والثلاجة.

ما الأمر؟

لماذا الحل التقليدي للمشكلة خاطئ؟ هنا من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أن الكرة التي تقع على الطاولة منذ البداية ، قبل تسخينها ، سيتم تسويتها قليلاً بسبب الجاذبية ، وسيتم تمديد الكرة المعلقة قليلاً. سيؤثر ذلك سلبًا على كفاءة المحرك الحراري الموصوف أعلاه: أثناء التعليق ، ستنخفض الكرة قليلاً ، بسبب هذا ستنخفض الكفاءة ولن تتعدى كفاءة دورة كارنوت.


تأثير الجاذبية على الكرات: الكرة المستوية على الطاولة مفلطحة ، والكرة المعلقة على الخيط ممدودة.

كيف سيظهر ذلك عند التفكير في المشكلة الأصلية؟ اتضح أن ضغط أو تمديد مادة يغير من قدرتها الحرارية: في حالة مادة مضغوطة ، يتطلب التسخين إلى نفس درجة الحرارة حرارة أقل مما هو عليه في حالة تمددها. لذلك:

• عندما يتم تسخين الكرة الملقاة على الطاولة ، سيرتفع جزء من الحرارة إلى ارتفاعها بسبب التمدد الحراري ؛ ولكن ، إلى جانب ذلك ، سيكون تسخين مادة الكرة نفسها أسهل وسيتطلب حرارة أقل.
• عند تسخين كرة معلقة على خيط ، سيتم إضافة عمل الجاذبية عند خفضه إلى الحرارة المنقولة إليه ؛ ولكن ، إلى جانب هذا ، فإن تسخين مادة الكرة نفسها سيستغرق وقتًا أطول ويتطلب المزيد من الحرارة.

في الحل التقليدي ، تؤخذ بعين الاعتبار فقط العوامل المشار إليها بواسطة الأسهم البيضاء. يؤدي تجاهل العوامل التي تظهرها الأسهم السوداء إلى إجابة خاطئة.

كما نرى ، في كلتا الحالتين ، هناك عوامل تعمل على حد سواء لصالح إجابة واحدة (قد تتحول الكرة المستلقية إلى أبرد من الإجابة المعلقة) وفي الاتجاه المعاكس (قد تكون الكرة المستقيمة أكثر دفئًا من الإجابة المعلقة). أي واحد يغلب؟

يبدو أن تأثير تغيير السعة الحرارية لمادة أثناء الضغط أو التوتر ، حتى إذا كانت موجودة ، يجب أن يكون صغيرًا جدًا ، ويمكن إهماله ، كما هو الحال في الحل التقليدي للمشكلة. ومع ذلك ، هذا ليس كذلك. هذا التأثير هو من نفس ترتيب صغر التمدد الحراري نفسه ، لأن كل من هذه التأثيرات تنبع من عدم تناسق القوى البينية. إن أخذ أحد هذه الآثار في الاعتبار في الحل التقليدي جنبًا إلى جنب مع تجاهل الآخر أمر غير متسق ويؤدي إلى إجابة خاطئة.

توضح المقالة أنه مع الحل الصحيح للمشكلة ، فإن فرق درجة حرارة الكرات بعد نقل نفس الكمية من الحرارة إليها يساوي:

$$

أين $$ - درجة الحرارة المطلقة للكرات ، $$ - معدل تغير معامل التمدد الحراري لمادة الكرات مع تغير في درجة حرارتها.

مقارنة بنتيجة الحل التقليدي ، فرق درجة الحرارة هو:

• العلامة المعاكسة ، لأن القيمة بالنسبة لمعظم المواد $$ هو إيجابي ، وبالتالي فإن الجانب الأيمن بأكمله من المساواة هو أيضا إيجابي ، و $$ .
• أصغر بكثير في القيمة المطلقة ، لأنه هنا بدلاً من قيمة صغيرة تظهر قيمًا أصغر $$ و $$ .

وبالتالي ، فإن التأثيرين اللذين تمت مناقشتهما أعلاه يلغيان بعضهما تمامًا تقريبًا ، ولكن التأثير الثاني (التغير في السعة الحرارية أثناء الضغط أو التوتر) أقوى قليلاً من الأول (التمدد الحراري).

عدم تناسق القوى البينية

يقوم مؤلفو المقالة بدراسة صارمة إلى حد ما للمشكلة ، ولكن للأسف ، لا يقدموا شرحًا واضحًا لكيفية حدوث التعويض الكامل تقريبًا للتأثيرين ، لذلك كان علي التعامل مع هذه المشكلة بنفسي.

يوضح الشكل اعتمادًا نموذجيًا على الطاقة الكامنة للتفاعل الذري على المسافة بينهما. يتم توجيه القوة التي تعمل على الذرات نحو انخفاض في الطاقة الكامنة ؛ لذلك ، تتصادم الذرات بقوة بعضها البعض عند مسافات صغيرة ويتم جذبها بشكل ضعيف عند المسافات الكبيرة. على مسافة ما $$ الطاقة الكامنة تصل إلى الحد الأدنى. إن رغبة الذرات في هذه المسافة المفيدة للغاية هي سبب ارتباطها بالجزيئات والسوائل والمواد الصلبة.


الآن دعونا نرى من أين يأتي التمدد الحراري للمواد. مع الحركة الحرارية الفوضوية ، لم تعد المسافة بين الذرات متساوية تمامًا $$ ، ويتقلب بالقرب من هذه القيمة. للعلاقة بين الذرات خاصية عدم تناسق: فهي تتصرف مثل زنبرك غير متماثل ، وهو أسهل في التمدد من الضغط. نتيجة لذلك ، أثناء الحركة الحرارية ، يتم تمديد الرابطة في معظم الوقت ، بدلاً من الضغط ، وبالتالي متوسط ​​المسافة $$ بين الذرات يصبح أكثر من $$ . مع زيادة درجة الحرارة ، يزداد هذا التأثير ، وتزداد المسافات بين الذرات ، وتتوسع المادة.


سبب التمدد الحراري للمواد: أثناء الحركة الحرارية ، يزداد متوسط ​​المسافة بين الذرات بسبب عدم تناسق قوى التفاعل بين الذرات.

ماذا يحدث عندما يتم ضغط أو تمدد المواد ، كما هو الحال في الكرات المسطحة أو الممتدة؟ عندما يتم ضغط مادة ما ، تقلل القوة الخارجية متوسط ​​المسافة بين الذرات ، وعند التمدد ، تزداد.


تحت الضغط ، تقل مسافة التوازن بين الذرات ، بينما تزداد تحت التوتر.

نحن الآن على استعداد لفهم كيف يؤثر ضغط وتوتر المادة على قدرتها الحرارية. تخيل أننا ضغطنا على المادة ، بحيث تتأرجح المسافة بين الذرات أثناء الحركة الحرارية الآن بالقرب من موضع التوازن إلى اليسار. في هذه الحالة ، لم يختف التناغم ، لذلك ، كما كان من قبل ، عند تسخينه ، سيزيد متوسط ​​المسافة بين الذرات. ولكن في الوقت نفسه ، سوف نعود إلى الحد الأدنى من الطاقة الكامنة ، مما يعني أن طاقة المادة ستنخفض أكثر! يفسر هذا الانخفاض في السعة الحرارية للمادة أثناء الضغط: يؤدي التمدد الحراري إلى انخفاض إضافي صغير في طاقة التفاعلات بين الذرات ، وبالتالي ، يتطلب طاقة أقل لتسخين المادة.



إذا كانت المادة ممدودة ، فالعكس هو عكس ذلك: مع التمدد الحراري ، ستنمو طاقة التفاعل للذرات بشكل أسرع من المواد غير الممدودة. لذلك ، لتسخين المادة الممتدة عند نفس درجة الحرارة ، يتطلب طاقة أكثر قليلاً من دون التمدد ، مما يعني أن السعة الحرارية للمادة الممتدة ستكون أعلى.

لذا ، على مثال مشكلة الأولمبياد ، التي تم حلها لعدة عقود (وربما يستمر حلها) عن طريق الخطأ ، نرى أن الفيزياء الحقيقية تتناقض أحيانًا مع حدسنا. لذلك ، من المهم جدًا عند حل المشكلات استخدام الأداة الرياضية بعناية ، على سبيل المثال لا الحصر التفكير المنطقي.

وبحسب المقال :

جياكومو دي بالما ، ماتيا سورمان ، التأثير المعاكس للجاذبية على السعة الحرارية للكرة الصلبة: إعادة فحص مشكلة معروفة ، المجلة الأمريكية للفيزياء 83 ، 723 (2015).
النسخة العامة من المقال: arxiv.org/pdf/1502.01337