نحن نفهم فيزياء الجسيمات: 2) كرة كمومية على زنبرك

1. الكرة في الربيع ، نسخة نيوتن
2. كرة كمومية على زنبرك
3. الأمواج ، نظرة كلاسيكية
4. الموجات ، المعادلة الكلاسيكية للحركة
5. موجات الكم
6. الحقول
7. الجسيمات هي كمية
8. كيف تتفاعل الجسيمات مع الحقول

كانت النتيجة الرئيسية للمقالة السابقة هي أن الحركة التذبذبية للكرة في الربيع في فيزياء ما قبل الكم لنيوتن وأصدقائه تأخذ الشكل

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

أين:
• z هو موضع الكرة كدالة للوقت t ،
• z ₀ هو موضع توازن الكرة (حيث يستريح إذا لم يكن متقلبًا) ،
• أ - اتساع الاهتزاز (الذي يمكننا اختياره بشكل تعسفي كبير أو صغير) ،
• ν [عاري] - تردد الاهتزاز (يعتمد فقط على قوة النابض K وكتلة الكرة M ، ولا يعتمد على A).

بالإضافة إلى ذلك ، إجمالي الطاقة المخزنة في التذبذب

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$$

من خلال تغيير A ، يمكننا الاحتفاظ بأي كمية من الطاقة في التذبذب.

في ميكانيكا الكم ، كل شيء يتغير. للوهلة الأولى (ولا نحتاج إلى أي شيء آخر) ، يتغير شيء واحد فقط - التأكيد على أنه يمكننا اختيار سعة التذبذبات كبيرة أو صغيرة كما نحب. اتضح أن الأمر ليس كذلك. وفقًا لذلك ، لا يمكن اختيار الطاقة المخزنة في التذبذب بشكل تعسفي.


التين. 1

تكمية اتساع التذبذب

اكتشف ماكس بلانك ، الفيزيائي الشهير في بداية القرن العشرين ، أن هناك شيئًا كميًا في الكون ، وقدم ثابتًا جديدًا للطبيعة ، والذي يسمى ثابت بلانك ، ح. في كل مرة تواجه فيها أي شيء في ميكانيكا الكم ، سترى h. كميا

$$

$$h = 6.626068 \ مرات 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- قيمة صغيرة جدًا للحياة البشرية العادية. وإليك ما يخرج:

يمكن أن تتأرجح الكرة الكمومية في النابض فقط مع السعات

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M}$$

حيث n هي عدد صحيح ، على سبيل المثال ، 0 ، 1 ، 2 ، 1798 أو 2348979. التذبذبات ليست عشوائية ، ولكنها محددة: يمكننا استدعاء n كم التذبذبات. التعريف: نقول إن الكرة التي تتأرجح مع الكم n في حالة الإثارة nth. إذا كان الكم صفرًا ، نقول أنه في الحالة الأرضية.

لجعلك تفهم ما يعنيه هذا ، يتم عرض الحالات الخمس الأولى المثارة ، والحالة الأرضية (بسذاجة إلى حد ما - لا تأخذ الصورة على محمل الجد) في الشكل. 1. الحد الأدنى من التذبذب المحتمل يحدث في الحالة n = 1. هذا كم من التذبذبات. لا يوجد جزء من الكم. لا يمكن أن تتأرجح الكرة بشكل أقل ، إلا إذا كانت في حالة بدون تذبذبات ، عندما تكون n = 0.

كل شيء آخر ، للوهلة الأولى ، هو نفسه. لكن في الواقع ، فإن تاريخ ميكانيكا الكم أكثر تعقيدًا بكثير! ولكن في الوقت الحالي ، يمكننا الابتعاد عن هذا الارتباك واستخدام ما يقرب من 100٪ من الفيزياء الصحيحة.

لماذا لا نستطيع أن نقول أن التذبذبات يتم حسابها كمياً بناءً على تجربتنا؟ لأنه في الأنظمة اليومية ، يكون القياس صغيرًا جدًا. خذ كرة حقيقية وزنبرك - على سبيل المثال ، كرة تزن 50 جرامًا ، وتردد التذبذب مرة واحدة في الثانية. ومن ثم ، فإن اتساع الكم ، n = 1 ، سوف يتوافق مع الاتساع

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M} = 1.8 \ ضرب 10 ^ {- 16} m$$

هذا بضع عشرات من الألف من المليون من المليون من المتر ، أو 10 أضعاف أقل من البروتون! إن كمًا واحدًا من الاهتزازات لن يحرك الكرة حتى مسافة ترتيب حجم النواة الذرية! لا عجب أننا لا نرى أي تكمية! إذا تحركت الكرة على مسافة واضحة ، فإنها تحتوي على عدد كبير من الكم - وبالنسبة لمثل هذا n الكبير ، من وجهة نظرنا ، يمكننا عمل أي A ، انظر الشكل. 2. لا يمكننا قياس A بدقة كافية لملاحظة مثل هذه القيود الدقيقة على حجمها.


التين. 2. اتساع التذبذبات أ للحالة ن. بالنسبة إلى n الصغيرة ، فإن القيم الفردية لـ A تقع بعيدًا عن بعضها البعض ، ولكن بالفعل بالنسبة لـ n = 100 ، فإن القيم المسموح بها لـ A تكمن قريبة جدًا لدرجة أنه من الصعب جدًا ملاحظة التفرد. في المواقف اليومية ، تكون قيم n كبيرة جدًا لدرجة أنه من المستحيل ملاحظة التفرد.

لاحظ أنه على وجه الخصوص ، يتم الحصول على هذه القيم بسبب الكتلة الكبيرة للكرة. إذا كانت الكرة تتكون من 100 ذرة حديدية ويكون نصف قطرها جزء من الألف من جزء المليون من المتر ، فسيكون الحد الأدنى لسعتها مليون جزء من المتر ، أي أنه سيكون ألف مرة نصف قطرها. وهذه قيمة كبيرة بما فيه الكفاية بحيث يمكن رؤيتها من خلال المجهر. لكن مثل هذه الكرة الصغيرة ستتعرض لقوى تعمل على نطاق ذري ، وسوف تتأرجح بشكل أسرع من مرة واحدة في الثانية - ويتوافق تردد كبير مع السعات الصغيرة. لذا حتى مع الكرة الصغيرة ، من الصعب جدًا ملاحظة كمية الطبيعة.

تكمية الطاقة الاهتزازية

الآن نأخذ قياس السعة ، ونضعها في صيغة الطاقة الاهتزازية ، التي ذكرناها بالفعل في بداية المقالة ، $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$. باستبدال القيم المسموح بها لـ A ، نحصل على نتيجة مذهلة:

$$

$$E = n h \ nu$$

إجابة بسيطة بشكل مثير للدهشة! تتناسب الطاقة المخزنة في كرة كمية في زنبرك (تحدث بسذاجة) مع n ، وعدد كميات الاهتزاز وثابت Planck h وتردد الاهتزاز ν. والأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن هذه الصيغة البسيطة تكاد تكون دقيقة في الواقع! ماذا تظهر حق؟

• الطاقة اللازمة لزيادة عدد الكميات في التذبذبات لكل وحدة (n → n + 1) تساوي h ν.
• في أي مذبذب يصادف في الحياة اليومية ، ستكون طاقة كم واحد صغيرة جدًا لدرجة أننا لن نعرف أبدًا عن تكميتها.

تحقق من ذلك. بالنسبة للكرة ذات الربيع ، تتأرجح مرة واحدة في الثانية ، فإن كمية واحدة من الطاقة ستكون مساوية لـ 6.6 × 10 ^-34 جول ، أو 0،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000 66 جول. والجول هو الطاقة التي تنفقها في رفع تفاحة من الأرض إلى مستوى الحزام - ليست بهذا الحجم! إذًا هذه كمية صغيرة جدًا من الطاقة. فقط في الجزيئات الصغيرة وحتى الأنظمة الأصغر يمكن أن يكون تردد الاهتزاز كبيرًا بحيث يمكن الكشف عن تكمية الطاقة.

اتضح أن صيغة الطاقة ليست صحيحة تمامًا. بعد الانتهاء من هذه الحسابات لميكانيكا الكم ، ستجد أن الصيغة الصحيحة للطاقة هي:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

لا نحتاج غالبًا إلى الانتباه إلى هذا التحول الصغير لـ n بمقدار 1/2. ومع ذلك ، من المثير للاهتمام للغاية - منه يبدأ التشابك الكامل لميكانيكا الكم. أليس هذا فضولي؟ حتى إذا كان المذبذب لا يحتوي على كمية تذبذب على الإطلاق ، عندما n = 0 ، فإنه لا يزال يحتوي على كمية صغيرة من الطاقة. يطلق عليه طاقة الاهتزازات الصفرية ، أو الطاقة الصفرية ، ويتم أخذها من الهزة الأساسية ، عدم القدرة على التنبؤ الأساسية ، الذين يعيشون في قلب ميكانيكا الكم. انظر إلى الصورة. 3 ، والتي ، حتماً تخطيطية وغير دقيقة ، تحاول أن تثبت كيف أن التشويش مسؤول عن انعدام الطاقة. تتحرك الكرة بشكل عشوائي ، حتى في حالة الأرض. في المستقبل ، سنعود إلى الطاقة الصفرية ، لأنها ستقودنا إلى أعمق المشاكل في جميع الفيزياء.


التين. 3. يمكن تصور عدم القدرة على التنبؤ بميكانيكا الكم على أنه ارتعاش عشوائي يغير موضع الكرة. يتحرك بشكل عشوائي حتى في الحالة الأرضية ، ويؤثر أيضًا على المتحمسين ، على الرغم من زيادة تأثيره لم يعد ملحوظًا. الرسم مرسوم ويجب ألا يؤخذ على محمل الجد.