نفهم فيزياء الجسيمات: 4) الموجات ، المعادلة الكلاسيكية للحركة

1. الكرة في الربيع ، نسخة نيوتن
2. كرة كمومية على زنبرك
3. الأمواج ، نظرة كلاسيكية
4. الموجات ، المعادلة الكلاسيكية للحركة
5. موجات الكم
6. الحقول
7. الجسيمات هي كمية
8. كيف تتفاعل الجسيمات مع الحقول

دعونا نعود إلى معادلة تذبذبات الكرة في الربيع

في إحدى المقالات الأولى للدورة ، اشتقنا أولاً صيغة للحركة التذبذبية للكرة

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

ثم وجدوا معادلة الحركة التي كانت هذه الصيغة حلاً لها

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$$

هنا
• يشير d ² z / dt ² إلى تغيير في الوقت على تغيير في الوقت z (t).
• K هي قوة الزنبرك ، M هي كتلة الكرة ، z ₀ هي موضع التوازن.
• ν = √ K / M / 2π

كانت الخطوة الرئيسية للحصول على معادلة التردد الأخيرة التي تم التعبير عنها من حيث K و M هي حساب d ² z / dt ² للحركة التذبذبية للكرة z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t]. وجدنا ذلك

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$$

معادلة الموجة

الآن نريد أن نفعل الشيء نفسه مع الأمواج. وجدنا صيغة لشكل وحركة الموجة التي تتأرجح في المكان والزمان.

$$

$$Z (x، t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

من بين الحلول التي معادلة الحركة هي هذه الصيغة؟ يمكنك تخيل الجواب. من الواضح أنه يشمل:

1. d ² Z / dt ² ، تغير الزمن ، تغير الزمن Z (x، t).
2. d ² Z / dx ² ، تغيير في مساحة التغيير في الفضاء Z (x، t).

بطبيعة الحال ، يمكننا تخمين أن المعادلة يجب أن تبدو مثل هذا:

$$

$$C_t d ^ 2Z / dt ^ 2 + C_x d ^ 2Z / dx ^ 2 = C_0 (Z - Z_0)$$

حيث C _t و C _x و C ₀ هي ثوابت. ألاحظ أنه إذا كان C _t = 1 و C _x = 0 و C ₀ = -K / M ، فسوف نعود إلى معادلة تذبذب الكرة في الربيع. ما هذه الثوابت في حالتنا؟

يمكننا دائمًا وضع C _t = 1. إذا أردت ، على سبيل المثال ، وضع C _t = 5 ، فسأطلب منك فقط قسمة المعادلة بأكملها على 5 ، مما يمنحك ما يعادل الخيار الذي تكون فيه C _t = 1 ، فقط مع القيم الأخرى للثوابت الأخرى.

بعد ذلك ، اتضح أن قيم C _x و C ₀ تبين أنها مختلفة في الأنظمة المادية المختلفة. سندرس فئتين مختلفتين من الموجات بثوابت مختلفة.

بالنسبة للفئتين ، ستكون C _x سالبة ، $$$C_x = -c_w ^ 2$ (هنا c _w تشير إلى سرعة حركة الموجات عالية التردد).

ستختلف هذه الفئات في أن الدرجة الأولى ، الفئة 1 ، سي ₀ ستكون سالبة ، وستكون - (2 π μ) 2 ، والثانية ، الفئة 0 ، سي ₀ ستكون صفراً.

ندرس الآن خصائص موجات هاتين الفئتين من المعادلات. ولكن قبل ذلك ، نحتاج إلى إجراء حساب آخر ، وهو ما قمنا به بالفعل في وقت سابق.

عد سريع

لموجتنا اللامتناهية

$$

$$Z (x، t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

سنحتاج إلى معرفة d ² Z / dt ² و d ² Z / dx ² . في المقالة السابقة ، أظهرنا بالفعل أنه بالنسبة للكرة في الربيع تتحرك وفقًا z (t) = z ₀ + A cos [2 ν ν t] ، اتضح أن $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$ . التغيير في الوقت يعطينا عامل 2 π ν ، والتغير في الوقت يعطي عاملين. بالإضافة إلى ذلك ، هناك علامة ناقص شائعة. لذلك ، لن تفاجأ بما يلي:

• $$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$
• $$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$

يعطينا كل تغيير في الوقت العامل ν = 1 / T (كلما زادت الفترة ، كلما كان التغيير أبطأ في الوقت) ، وكل تغيير في الفضاء يعطينا العامل 1 / λ (كلما طالت الموجة ، كلما كان التغيير أبطأ في الفضاء).

إثبات

بالنسبة للموجة اللانهائية ، لدينا المعادلة الأساسية

$$

$$Z (x، t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

ونريد أن نظهر ذلك

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

$$

$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

بعض الحقائق:

• Z - Z ₀ = A cos (2π [ν t - x / λ]) (فقط في المعادلة الرئيسية قاموا بنقل Z ₀ إلى الجانب الأيسر)
• بما أن Z ₀ ثابت مستقل عن الزمان والمكان ، dZ ₀ / dt = 0 و dZ ₀ / dx = 0.
• d (cos t) / dt = - sin t و d (sin t) / dt = + cos t
• d (F [at + bx]) / dt = ad (F [at + bx]) / d (a t + bx) ، حيث a و b ثوابت ، و F هي أي وظيفة لـ (at + bx).
• d [A f (t)] / dt = A d [f (t)] / dt ، حيث f (t) هي أي وظيفة لـ t ، و A ثابت

يعني هذا معًا ما يلي:

$$

$$dZ / dt = d [A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt \\ = A (2 \ pi \ nu) d [cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / d (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = - ( 2 \ pi \ nu) خطيئة (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$$

و

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = d [- (2 \ pi \ nu) خطيئة (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) أ د [sin (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) ^ 2 A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda ]) = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

نظرًا لأن الصيغة الأساسية للموجة لا تتغير عندما يتم استبدال (ν t) بـ (-x / λ) ، لا يختلف حساب d ² Z / dx ² عن حساب d ² Z / dt ² ، فقط بدلاً من d / dt بإعطاء العامل (2π π ) ، سيكون لدينا d / dx لإعطاء العامل (- 2π / λ). ولكن ، نظرًا لوجود عاملين من هذا القبيل في الإجابة ، فإننا ببساطة نستبدل (2π ν) ² ب (- 2π / λ) ² = (+ 2π / λ) ² ؛ ناقص لا يهم (باقيا إضافة ناقص الشاملة). كما نحتاج أن نثبت

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

طباعة دقيقة: جميع المشتقات المذكورة أعلاه هي في الواقع مشتقات جزئية.

الصنف 0: موجات أي تردد وسرعات متساوية

في هذه الفئة من الموجات ، ستكون معادلة الحركة:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - c_w ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

بعد ربط الصيغة Z (x، t) لموجة لا نهائية وباستخدام الحسابات التي أجريناها للتو ، نجد ما يلي:

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-c_w ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = 0$$

اقسم المعادلة على $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ نحصل

$$

$$\ nu ^ 2 - c_w ^ 2 / \ lambda ^ 2 = 0$$

بما أن الترددات والسرعات والأطوال الموجية موجبة ، يمكننا استخراج الجذر والحصول عليه

ν = c _w / λ ، أو ، إذا كنت ترغب ، λ = c _w / ν = c _w T

نتعلم من هذه الصيغة ما يلي:

• في البداية ، يمكن أن يكون لموجاتنا ، كما سجلناها ، أي تردد وأي طول موجي. لكن معادلة الحركة تجعلهم يعتمدون على بعضهم البعض. بالنسبة لموجات الفئة 0 ، يمكنك اختيار أي تردد ، ولكن بعد ذلك يتم تحديد الطول الموجي من خلال λ = c _w / ν.
• جميع موجات الفئة 0 ، بغض النظر عن التردد ، تنتقل بسرعة c _w . هذا يتبع من الصيغة λ = c _w T و Fig. 3 من المادة السابقة . لاحظ كيف تمر الموجة بدورة واحدة من التذبذبات خلال فترة واحدة من T. ماذا يحدث؟ تبدو الموجة متشابهة تمامًا بعد T ، ولكن كل قمة تحولت إلى حيث كان جارها - على مسافة λ. هذا يعني أن التلال تتحرك مسافة λ في الوقت T - طول موجة واحد في فترة تذبذب واحدة - وهذا يعني أن التلال تتحرك بسرعة λ / T = c _w . وينطبق هذا على جميع الترددات وفتراتها وجميع أطوال الموجات!
• كما هو الحال في كرة الربيع ، يمكن أن يكون اتساع هذه الموجات كبيرًا أو صغيرًا بشكل تعسفي. وهذا هو الحال بالنسبة لجميع الترددات.

الصنف 1: موجات بتردد أكبر من الحد الأدنى بسرعات مختلفة

بالنسبة لهذه الفئة من الموجات ، ستكون معادلة الحركة لدينا:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

باستبدال الصيغة Z (x، t) لموجة لا نهائية وباستخدام الحساب السريع المشار إليه أعلاه ، نجد أن

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-cw ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 ( Z - Z_0)$$

قسمة المعادلة على $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ نحصل

$$

$$\ nu ^ 2 - cw ^ 2 / \ lambda ^ 2 = \ mu ^ 2$$

بما أن الترددات والسرعات والأطوال الموجية موجبة ، يمكننا استخراج الجذر التربيعي والحصول عليه

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}$$

دعني أذكرك أن y ^1/2 هي نفسها √y.

تختلف هذه الصيغة تمامًا عن صيغة موجات الفئة 0 ، وكذلك عواقب تطبيقها.

أولاً ، تشير معادلة الحركة إلى وجود الحد الأدنى المسموح به من التردد. بما أن (cw / λ) ² موجبة دائمًا ،

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≥ \ mu$$

للاقتراب من ν = μ ، من الضروري زيادة λ. بالنسبة للأطوال الموجية الكبيرة جدًا ، يقترب التردد μ ، لكن لا يمكن أن يصبح أصغر. لموجات الفئة 0 ، لم يكن الأمر كذلك. كان لديهم ν = cw / λ ، لذلك بالنسبة لهم ، كلما فعلت ذلك أكثر ، كلما اقترب zero من الصفر. بالنسبة لموجات الفئة 1 ، يمكن أن تكون أي قيمة ν أكبر من μ.

ثانياً ، وجدنا دليلاً على أن جميع موجات الفئة 0 لها نفس السرعة ، ولكنها لا تعمل مع موجات الفئة 1. الخيار الوحيد الذي يمكن أن يعمل فيه إذا أخذنا ν أكبر بكثير من μ ؛ لهذا نحتاج إلى جعل λ صغيرًا جدًا (وبالتالي 1 / large كبير جدًا). في هذه الحالة

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≈ cw / \ lambda$$

أي أنه عند الترددات الكبيرة جدًا والأطوال الموجية الصغيرة ، سيكون لموجات الفئة 1 تقريبًا نفس النسبة بين التردد وطول الموجة مثل موجات الفئة 0 ، وبالتالي ، لنفس الأسباب مثل موجات الفئة 0 ، ستتحرك هذه الموجات بسرعة (تقريبًا) يساوي cw.

ما ينطبق على موجات كلا الفئتين هو أن السعة A يمكن أن تكون صغيرة أو كبيرة بشكل تعسفي ولا تعتمد على التردد.


التين. 1. بالنسبة لموجات الفئة 0 و 1 ، تعطي معادلة الحركة علاقة بين التردد ، أو الفترة ، وطول الموجة ، أو 1 / الطول الموجي. يوضح كل من الرسوم البيانية علاقة هذه القيم اعتمادًا على معادلة الحركة. تظهر ثلاثة رسوم بيانية نفس الشيء ، لكنها مبنية على متغيرات مختلفة. تشير الخطوط الزرقاء إلى موجات الدرجة 0. يشير اللون الأحمر إلى موجات الفئة 1 ، التي تكون سرعتها هي نفسها عند الترددات العالية جدًا والأطوال الموجية القصيرة ، عندما تتزامن مع الخطوط الزرقاء. ولكن عند الحد الأدنى من التردد μ (ومع فترة قصوى تبلغ 1 / μ) ، المحددة باللون الأخضر ، يختلف المنحنيان مع زيادة أطوال الموجات.

طباعة دقيقة: ربما لاحظت أنني خدعت قليلاً. لم أحسب سرعة موجات الدرجة الأولى. الحقيقة هي أن صيدًا صعبًا للغاية يكمن هنا. بالنسبة لموجات الفئة 0 ، أحسب سرعتها ، بعد حركات التلال. يعمل هذا لأنه في الفئة 0 ، تنتقل موجات جميع الترددات بنفس السرعة. ولكن في الفئة 1 ، أو في أي مكان آخر ، حيث تتحرك موجات بترددات مختلفة بسرعات مختلفة ، فإن سرعة الموجة الحقيقية لا تتحدد بسرعة شعاراتها! اتضح أن التلال تتحرك أسرع من cw ، ولكن سرعة الموجة أقل من cw. لفهم هذا ، من الضروري استخدام منطق غير واضح للغاية والفرق بين سرعة "المجموعة" و "المرحلة". سأتجاوز هذه الحيلة. أردت فقط أن ألفت انتباهك إلى وجودها حتى لا تفهم الفكرة الخاطئة.

التعليقات النهائية على الموجات الكلاسيكية

يمكنك العثور على العديد من الأمثلة المألوفة لموجات الفئة 0 ، بما في ذلك الصوت في الهواء أو الماء أو المعدن (حيث cw هي سرعة الموجات الصوتية في المادة) والضوء والموجات الكهرومغناطيسية الأخرى (حيث cw = c في الفراغ) والموجات على الحبال أو الأوتار ، كما في الشكل. 2 في المقال السابق. لذلك ، يتم تدريس موجات الفئة 0 في دورات الفيزياء الأولية. لا يمكنني إعطاء مثال على موجات الفئة 1 في الحياة اليومية ، لكننا سنرى قريبًا أن هذه الموجات مهمة أيضًا للكون.

لدينا صيغة ملائمة E = 2 π ² ν ² A ² M لطاقة كرة الكتلة M في النابض. تعتمد صيغ المذبذبات الأخرى على طبيعتها ، ولكن شكلها متماثل تقريبًا. لكن في حالة الأمواج ، لم نذكر طاقتها. على وجه الخصوص ، لأننا درسنا الموجات مع عدد لا نهائي من التلال لتبسيط الرياضيات. بشكل حدسي ، يجب تخزين نوع من الطاقة في حركة وشكل كل قمة وحوض صغير ، ومع عدد لا نهائي من القمم والأحواض ، ستكون كمية الطاقة في الموجة غير محدودة. هناك طريقتان حول هذا. تعتمد الصيغ الدقيقة على نوع الموجة ، ولكن دعنا ننظر إلى موجات الفئة 0 على الحبل.

• كمية الطاقة لكل طول موجي (المخزنة بين النقطة x والنقطة x + λ) ، بالطبع ، تساوي 2 π ² ν ² A ² M _λ ، حيث M _λ هي كتلة قطعة حبل الطول λ.
• في الواقع ، الموجات ليست لانهائية. كدافع لعدد من التلال والاكتئاب ، كما هو موضح في الشكل. 2 في المقالة الأخيرة ، أي موجة ستكون محدودة ، سيكون لها عدد محدود من التلال والاكتئاب. إذا امتدت إلى طول L ، أي أنها ستحتوي على حواف L / then ، فإن الطاقة المنقولة إليها ستكون 2 π ² ν ² A ² M _L ، حيث M _L هي كتلة قطعة من حبل طول L. هذه فقط L / λ ، مضروبة في الطاقة بطول موجة واحدة.

بالنسبة للموجات التي تنتشر خارج الحبال ، ستختلف تفاصيل المعادلات ، ولكن الطاقة لكل طول موجي لنظام تذبذب بسيط ستكون دائمًا متناسبة مع ν ² A ² .

في الفئة 1 ، توجد موجة مثيرة للاهتمام للغاية ، لا توجد في الفئة 0. هذه هي الحالة عندما تكون ν = μ ، القيمة الدنيا ، و λ = اللانهاية. في هذه الحالة ، تأخذ الموجة الشكل

$$

$$Z (x، t) = Z_0 + A cos (2 \ pi \ mu t)$$

لا تعتمد هذه الموجة على x في أي وقت ، أي أن Z (x ، t) ستكون ثابتة على كامل المساحة ، وتتأرجح Z في الوقت المناسب تمامًا مثل الكرة في الربيع بتردد μ. مثل هذه الموجة الثابتة ، كما هو موضح في الشكل. 2 ، ستكون مهمة جدا في مزيد من الاعتبارات.


التين. 2

موجات الكم

بالنسبة للكرة في الربيع ، كان الفرق بين النظام الكلاسيكي والكمي هو أنه في الحالة الأولى ، يمكن للسعة أن تأخذ قيمًا عشوائية ، مثل الطاقة ، وفي الحالة الكمية ، تم قياس السعة والطاقة كمًا. بالنسبة لأي نظام تذبذب مماثل ، يعمل هذا بنفس الطريقة. ربما يمكننا تخمين أن هذا ينطبق أيضًا على الأمواج ...