فهم فيزياء الجسيمات: 5) موجات كمية

1. الكرة في الربيع ، نسخة نيوتن
2. كرة كمومية على زنبرك
3. الأمواج ، نظرة كلاسيكية
4. الموجات ، المعادلة الكلاسيكية للحركة
5. موجات الكم
6. الحقول
7. الجسيمات هي كمية
8. كيف تتفاعل الجسيمات مع الحقول

تذكير: الكرة الكمومية في الربيع

في المقالة الأولى من السلسلة ، درسنا كرة من الكتلة M في ربيع صلابة K ، ووجدنا أن اهتزازاتها:

• ستكون هناك صيغة $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$.
• الطاقة $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$.
• معادلة الحركة $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

حيث تفرض معادلة الحركة ν = √ K / M / 2π ، ولكنها تسمح بالسعة A لتكون أي قيمة موجبة. ثم ، في المقالة الثانية ، رأينا أن ميكانيكا الكم ، التي تنطبق على التذبذبات ، تحد من اتساعها - لم يعد من الممكن أن تكون موجودة. بدلاً من ذلك ، يتم حسابها كمياً ؛ يجب أن تأخذ واحدة من عدد لا نهائي من الكميات المنفصلة.

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ nu M$$

حيث n = 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 44 ، أو بشكل عام أي عدد صحيح أكبر من أو يساوي الصفر. على وجه الخصوص ، قد تساوي A $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 h} / \ nu M$، ولكن لا يمكن أن يكون أقل بالفعل - فقط صفر. نقول أن n هو عدد كميات التذبذبات في الكرة. يتم الآن أيضًا تقدير طاقة الكرة:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

أهم شيء هنا هو أنه لإضافة كمية واحدة من تذبذبات الكرة ، يلزم طاقة من الحجم hν - يمكننا أن نقول أن كل كمية تنقل الطاقة hν.

موجة الكم

مع الأمواج ، كل شيء هو نفسه في الأساس. بالنسبة لموجة ذات تردد ν وطول موجي λ تتأرجح مع اتساع A حول موضع التوازن Z ₀ ،

• معادلة الحركة: $$$Z (x، t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$.
• الطاقة لكل طول موجي: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$.

(حيث يكون J constant ثابتًا اعتمادًا ، على سبيل المثال ، على حبل إذا كنا نتحدث عن موجات على حبل) ، والعديد من معادلات الحركة المحتملة ، والتي سنختار منها اثنتين للدراسة:

$$

$$Class 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

$$

$$Class 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

ومرة أخرى ، تحدد ميكانيكا الكم السعة A للقيم المنفصلة. تمامًا مثل الاهتزازات في الربيع ،

• تتكون الموجة البسيطة من تردد وطول معين من n كمية ،
• القيم المسموح بها للاتساع A تتناسب مع √n ،
• قيم الطاقة المسموح بها E تتناسب مع (n + 1/2).

بتعبير أدق ، بالنسبة للكرة في الربيع ،

• قيم الطاقة المسموح بها E = (n + 1/2) h ν
• كل كمية موجية تنقل طاقة القيمة h ν

إن صيغة التعبير عن A معقدة للغاية ، لأننا بحاجة إلى معرفة طول الموجة والصيغة الدقيقة ستكون مربكة للغاية - لذا دعنا فقط نكتب صيغة تنقل الفكرة الصحيحة. لقد حصلنا على معظم الصيغ من خلال دراسة الموجات اللانهائية ، ولكن بالنسبة لأي موجة حقيقية في الطبيعة ، تكون المدة محدودة. إذا كان الطول الموجي يساوي تقريبًا L ، ولديه حواف L / λ ، فإن السعة تساوي تقريبًا

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

وهو متناسب $$$\ sqrt {n h / \ nu}$كما هو الحال في حالة الربيع ، ولكنها تعتمد على L. كلما كانت الموجة أطول ، كان اتساعها أصغر - بحيث تكون كل كمية من الموجة تساوي دائمًا hν.

هذا كل شيء - كما هو موضح في الشكل أدناه.


على اليسار صورة ساذجة للموجات ، حيث يتناسب السعة مع الجذر التربيعي لعدد الكميات ، ولا يمكن أن توجد سعات أخرى. على اليمين صورة أقل سذاجة قليلاً تأخذ في الاعتبار الاهتزازات الكمومية الكامنة في العالم الكمي. حتى في حالة n = 0 ، توجد بعض التذبذبات.

العواقب

ماذا يعني هذا لموجاتنا من الدرجة 0 والفئة 1؟

نظرًا لأن موجات الفئة 0 يمكن أن تكون بأي تردد ، فيمكن أن يكون لها أي طاقة. حتى بالنسبة لقيمة صغيرة من ε ، يمكن للمرء دائمًا عمل كم واحد من موجة فئة 0 بتردد ν = ε / h. بالنسبة لمثل هذه الطاقة الصغيرة ، سيكون لهذه الموجة الكمومية تردد منخفض جدًا وطول موجة طويل جدًا ، ولكن يمكن أن توجد.

الموجات التي تحقق معادلة من الفئة 1 ليست كذلك. نظرًا لأن هناك الحد الأدنى من التردد ν _min = μ ، بالنسبة لهم ، هناك أيضًا كمية من الحد الأدنى من الطاقة:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

إذا كانت كميتك الصغيرة من الطاقة ε أقل من ذلك ، فلا يمكن صنع كمية من هذه الموجة. بالنسبة لجميع كميات الموجة من الفئة 1 ذات الطول الموجي المحدود والتردد الأعلى ، E ≥ h μ.

الملخص

قبل أن نبدأ في مراعاة ميكانيكا الكم ، يمكن أن يتغير اتساع الموجات ، مثل اتساع الكرة في الربيع ، باستمرار ؛ يمكن أن تكون كبيرة أو صغيرة بشكل تعسفي. لكن ميكانيكا الكم تنطوي على وجود حد أدنى لموجة غير صفرية ، كما هو الحال في تذبذبات الكرة في الربيع. وعادةً ما يمكن للسعة أن تأخذ قيمًا منفصلة فقط. السعات المسموح بها هي مثل تذبذبات الكرة في الربيع ، وموجات أي فئة بتردد معين both

• لإضافة كمية اهتزاز واحدة ، الطاقة h required مطلوبة
• بالنسبة لتذبذبات n Quanta ، فإن طاقة التذبذب تساوي (n + 1/2) h ν

حان الوقت الآن لتطبيق المعرفة المكتسبة على الحقول ومعرفة متى وكيف يمكن تفسير كمية الموجات في هذه الحقول على أنها ما نسميه "جسيمات" الطبيعة.