👐 📬 🌰 معادلة بواسون وتوزيع بولتزمان (الجزء 2.1) 👵🏻 ⛺️ 📉

توزيع بولتزمان (الجزء 1)

قبل الاقتراب من اختتام توزيع Boltzmann وفهم المعنى المادي ، من الضروري إعطاء معلومات أولية عن النظرية الأولية للاحتمال. والحقيقة هي أن أنظمة الماكرو التي نلاحظها تتكون ، كما تعلمون ، من عدد كبير من الجسيمات الأصغر ، على سبيل المثال ، أي مادة تتكون من ذرات ، والأخيرة ، مقسمة إلى نوى وإلكترونات ، تنقسم نواة الذرة إلى بروتونات ونيوترونات و هلم جرا. في نظام المواد الذي يحتوي على عدد كبير من الجسيمات (في ما يسمى النظام المصغر) ، من غير المجدي اعتبار كل جسيم على حدة ، أولاً لأنه لا يمكن لأحد وصف كل جسيم (حتى أجهزة الكمبيوتر الفائقة الحديثة) ، وثانيًا لن يعطينا أي شيء ، من حيث المبدأ لأن سلوك النظام الكلي يتم وصفه بالمعلمات المتوسطة ، كما سنرى لاحقًا. مع هذا العدد الضخم من الجسيمات ، من المنطقي أن تكون مهتمًا باحتمالات أن المعلمة تكمن في نطاق معين من القيم.

لذا ، ننتقل إلى بعض التعريفات من نظرية الاحتمالات ، وبعد أن شرحنا بالضرورة توزيع ماكسويل ، سوف نقترب من تحليل توزيع بولتزمان.

في نظرية الاحتمالات ، هناك شيء مثل حدث عشوائي - هذه ظاهرة تحدث في بعض التجارب أم لا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك صندوقًا مغلقًا يحتوي على الجزيء A وبعض الحجم المخصص

D e l t a t a u

$\ Delta \ tau$ في هذا المربع (انظر الشكل 1).

الصورة

التين. 1

لذا ، فإن حدثًا عشوائيًا سيضرب الجزيء A في الحجم المخصص

D e l t a t a u

$\ Delta \ tau$ ، أو غياب هذا الجزيء في هذا الحجم (لأن الجزيء يتحرك ، وفي أي لحظة من الزمن إما أنه موجود في حجم معين أم لا).

يُفهم احتمال وقوع حدث عشوائي على أنه نسبة عدد التجارب m ، التي حدث فيها هذا الحدث ، إلى إجمالي عدد التجارب M ، ويجب أن يكون العدد الإجمالي للتجارب كبيرًا. لا يمكننا الحديث عن احتمالية وقوع حدث في تجربة واحدة. كلما زاد عدد الاختبارات ، زادت احتمالية وقوع الحدث.

في حالتنا ، احتمال أن يكون حجم الجزيء A في الحجم

D e l t a t a u

$\ Delta \ tau$ يساوي:

W (A) = f r a c m M أ و W (A) = l i m_{M t o i n f t y} m / M

$W (A) = \ frac {m} {M} أو W (A) = \ lim_ {M \ to \ infty} m / M$

الآن انظر في نفس المربع إلى مجلدين مخصصين

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ و

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ (انظر الشكل 2)

الصورة

الشكل 2

إذا لم يتقاطع هذان المجلدان (انظر الشكل 2 أ) ، فقد يكون الجزيء A في وقت ما t إما في الحجم

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ أو في الحجم

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ . في الوقت نفسه ، لا يمكن لجزيء واحد أن يكون في مكانين مختلفين. وهكذا ، نأتي إلى مفهوم الأحداث غير المتوافقة عندما يستبعد تنفيذ حدث واحد تنفيذ حدث آخر. في حالة الكميات

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ و

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ تتقاطع (انظر الشكل 2 ب) ، أي احتمال أن يسقط الجزيء في منطقة التقاطع ، ثم يتوافق حدثان.

احتمالية سقوط الجزيء أ في الحجم

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ يساوي:

W (1) = m_{1} / M

$W (1) = m_1 / M$

أين

m_{1}

$m_1$ - عدد الاختبارات عندما كان حجم الجزيء

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ . وبالمثل ، فإن احتمال سقوط الجزيء A في الحجم

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ يساوي:

W (2) = m_{2} / M

$W (2) = m_2 / M$

علاوة على ذلك ، تم تحقيق الحدث الذي يقع فيه الجزيء في واحد على الأقل من المجلدين

m_{1} + m_{2}

$m_1 + m_2$ مرات. وبالتالي فإن احتمال هذا الحدث هو:

W = f r a c m_{1} + m_{2} M = f r a c m_{1} M + f r a c m_{2} M = W (1) + W (2)

$W = \ frac {m_1 + m_2} {M} = \ frac {m_1} {M} + \ frac {m_2} {M} = W (1) + W (2)$

وهكذا ، يمكن أن نخلص إلى أن احتمال وقوع أحد الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالات كل منها.

مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة هي مجموعة من الأحداث التي يكون فيها تنفيذ أحد الأحداث موثوقًا به ، أي احتمال وقوع أحد الأحداث هو 1.

تسمى الأحداث بالقدر نفسه من الاحتمال إذا كان احتمال أن يكون لأحدهم نفس القيمة ، أي احتمالات جميع الأحداث هي نفسها.

تأمل في المثال الأخير وأدخل مفهوم الأحداث المستقلة . ليكن الحدث الأول أن يكون الجزيء A في الوقت t في الحجم

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ ، والحدث الثاني - أن جزيء آخر يقع في الحجم

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ . إذا كان احتمال دخول الجزيء B إلى الحجم

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ لا يعتمد على ما إذا كان الجزيء A موجودًا

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ أم لا ، تسمى هذه الأحداث مستقلة.

لنفترض أننا أكملنا ما مجموعه اختبارات n ووجدنا أن الجزيء A كان كذلك

m_{1}

$m_1$ مرات في الحجم

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ والجزيء B -

m_{2}

$m_2$ مرات في الحجم

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ ، فإن احتمالات هذه الأحداث تساوي:

W (A) = f r a c m_{1} n ، W (B) = f r a c m_{2} n

$W (A) = \ frac {m_1} {n} ، W (B) = \ frac {m_2} {n}$

سنأخذ من الاختبارات

m_{1}

$m_1$ التي سقطت في

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ عدد الاختبارات التي وقعت فيها B أيضًا

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ . من الواضح أن هذا العدد من التجارب المختارة هو

m_{1} (f r a c m_{2} n)

$m_1 (\ frac {m_2} {n})$ . ومن ثم فإن احتمال التنفيذ المشترك للحدثين A و B يساوي:

W (A B) = f r a c m_{1} (f r a c m_{2} n) n = f r a c m_{1} n f r a c m_{2} n = W (A) W (B)

$W (AB) = \ frac {m_1 (\ frac {m_2} {n})} {n} = \ frac {m_1} {n} \ frac {m_2} {n} = W (A) W (B)$

على سبيل المثال احتمال الأحداث المستقلة في التنفيذ المشترك يساوي ناتج احتمالات كل حدث على حدة.

إذا قمنا بقياس كمية معينة ، على سبيل المثال ، سرعة جزيء ، أو طاقة جزيء واحد ، فيمكن أن تأخذ القيمة أي قيمة حقيقية على المحور الرقمي (بما في ذلك القيم السالبة) ، أي هذه الكمية مستمرة ، على عكس ما اعتبرناه أعلاه (ما يسمى بالكميات المنفصلة). تسمى هذه الكميات المتغيرات العشوائية . بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر ، من الخطأ أن تهتم باحتمال قيمة معينة. والصياغة الصحيحة للسؤال هي معرفة احتمال أن هذه الكمية تقع في النطاق من ، على سبيل المثال x إلى x + dx. هذا الاحتمال يساوي رياضيًا:

d W = w (x) d x

$dW = w (x) dx$

هنا w (x) بعض الوظائف تسمى كثافة الاحتمال. البعد هو عكس البعد للمتغير العشوائي x.

وأخيرًا ، لا يزال من الضروري قول شيء واضح إلى حد ما ، وهو أن احتمال وقوع حدث موثوق به ، أو مجموع كل احتمالات مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة يساوي واحدًا.
من حيث المبدأ ، هذه التعاريف كافية لنا لإظهار اشتقاق توزيع ماكسويل ، ثم توزيع بولتزمان.

لذا ، سننظر في غاز مثالي (يمكن أن يكون أيضًا غازًا إلكترونيًا نادرًا جدًا بحيث يمكن إهمال تفاعل الإلكترونات). كل جزيء من هذا الغاز له سرعة v أو زخم

p = m_{0} v

$p = m_0v$ وكل هذه السرعات والدوافع يمكن أن تكون أي شيء. إذن هذه المعلمات هي متغيرات عشوائية وسنكون مهتمين بكثافة الاحتمال

w_{p}

$w_p$ .

علاوة على ذلك ، من الملائم تقديم مفهوم مساحة البقول. نقوم بتأجيل مكونات زخم الجسيم على طول محاور نظام الإحداثيات (انظر الشكل 3)

الصورة

التين. 3

نحتاج إلى معرفة الاحتمال الذي يكمن في أن كل مكون من عناصر النبض يقع في النطاقات:

p_{x} d i v (p_{x} + d p_{x}) ؛ p_{y} d i v (p_{y} + d p_{y}) ؛ p_{z} d i v (p_{z} + d p_{z})

$p_x \ div (p_x + dp_x) ؛ p_y \ div (p_y + dp_y) ؛ p_z \ div (p_z + dp_z)$

هذا هو نفس الشيء ، نهاية المتجه p في الحجم المستطيل dΩ:

d O m e g a = d p_{x} d p_{y} d p_{z}

$d \ Omega = dp_xdp_ydp_z$

وضع ماكسويل فرضيتين ، استند على أساسها توزيع العزم. اقترح:

أ) جميع الاتجاهات في الفضاء متساوية وتسمى هذه الخاصية خواص متناحية ، ولا سيما كثافة التماثلية الاحتمالية

w_{p}

$w_p$ .

ب) حركة الجسيمات على طول ثلاثة محاور متعامدة متبادلة مستقلة ، أي قيمة الاندفاع

p_{x}

$p_x$ لا يعتمد على قيمة مكوناته الأخرى

p_{y}

$p_y$ و

p_{z}

$p_z$ .

تتحرك الجسيمات في اتجاهات مختلفة ، سواء في الاتجاه الإيجابي أو السلبي. أي ، على سبيل المثال ، على طول المحور x ، يمكن أن تأخذ قيمة النبض القيمة كـ

p_{x}

$p_x$ هكذا و

- p_{x}

$-p_x$ . لكن كثافة الاحتمال هي دالة زوجية (أي ، بالنسبة للقيم السالبة للحجة ، تكون الدالة موجبة) ، لذا فهي تعتمد على المربع

p_{x}

$p_x$ :

w_{p x} = p h i (p_{x}^{2})

$w_ {px} = \ phi (p_x ^ 2)$

من خصائص التماثل (انظر أعلاه) ، يتبع ذلك أنه يتم التعبير عن كثافات الاحتمال للمكونين الآخرين بالمثل:

w_{p y} = p h i (p_{y}^{2}) ؛ w_{p z} = p h i (p_{z}^{2})

$w_ {py} = \ phi (p_y ^ 2) ؛ w_ {pz} = \ phi (p_z ^ 2)$

بحكم التعريف ، فإن احتمال دخول الزخم p إلى الحجم dΩ يساوي:

d W = w_{p} d O m e g a

$dW = w_pd \ Omega$

تذكر أننا اكتشفنا أعلاه أنه بالنسبة للأحداث المستقلة ، يمكن التعبير عن هذا الاحتمال من خلال منتج احتمالات أحداث كل مكون:

w_{p} d O m e g a = w_{p x} d p_{x} w_{p y} d p_{y} w_{p z} d p_{z} = p h i (p_{x}^{2}) p h i (p_{y}^{2}) p h i (p_{z}^{2}) d p_{x} d p_{y} d p_{z}

$w_pd \ Omega = w_ {px} dp_xw_ {py} dp_yw_ {pz} dp_z = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2) dp_xdp_ydp_z$

لذلك:

w_{p} = p s i (p^{2}) = p h i (p_{x}^{2}) p h i (p_{y}^{2}) p h i (p_{z}^{2})

$w_p = \ psi (p ^ 2) = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2)$

دعونا ننقل هذا التعبير ونحصل على:

l n p s i = l n p h i (p_{x}^{2}) + l n p h i (p_{y}^{2}) + l n p h i (p_{z}^{2})

$ln \ psi = ln \ phi (p_x ^ 2) + ln \ phi (p_y ^ 2) + ln \ phi (p_z ^ 2)$

ثم نفرق هذه الهوية فيما يتعلق

p_{x}

$p_x$ :

f r a c p s i^{^{'}} p s i 2 p_{x} = f r a c p h i^{^{'}} p h i 2 p_{x}

$\ frac {\ psi ^ {'}} {\ psi} 2p_x = \ frac {\ phi ^ {'}} {\ phi} 2p_x$

، حيث يشير Prime إلى مشتق الدالة المقابلة فيما يتعلق بحججه المعقد.

بعد تخفيض هذا التعبير إلى

2 p_{x}

$2p_x$ نحصل على:

f r a c p s i^{^{'}} (p^{2}) p s i (p^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{x}^{2}) p h i (p_{x}^{2})

$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)}$

وينطبق الشيء نفسه على المكونات الأخرى للبقول ، على التوالي ، نحصل على:

f r a c p s i^{^{'}} (p^{2}) p s i (p^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{y}^{2}) p h i (p_{y}^{2}) ؛ f r a c p s i^{^{'}} (p^{2}) p s i (p^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{z}^{2}) p h i (p_{z}^{2})

$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} ؛ \ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$

هذا يعني علاقات مهمة:

f r a c p h i^{^{'}} (p_{x}^{2}) p h i (p_{x}^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{y}^{2}) p h i (p_{y}^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{z}^{2}) p h i (p_{z}^{2})

$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$

من هذه التعابير ، من الواضح أن علاقات مشتق الدالة فيما يتعلق بوظيفة مكون أو آخر من عناصر الزخم هي ثابتة ، على التوالي ، يمكننا الكتابة على النحو التالي (نشير إلى الثابت

- ب ي ت ا

$- \ بيتا$ ):

f r a c p h i^{^{'}} (p_{x}^{2}) p h i (p_{x}^{2}) = - b e t a

$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = - \ beta$

من خلال حل هذه المعادلة التفاضلية ، نحصل على (كيفية حل هذه المعادلات يمكن العثور عليها في أي كتاب معادلات تفاضلية عادية):

p h i (p_{x}^{2}) = C e^{- b e t a p_{x}^{2}}

$\ phi (p_x ^ 2) = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2}$

حيث C و β عبارة عن ثوابت لم نحصل عليها بعد (في المقالة التالية). وهكذا ، من حالة التوازي واستقلالية الحركة على محاور الإحداثيات ، يترتب على ذلك الاحتمال

d W_{p x}

$dW_ {px}$ لهذا المكون من الزخم

p_{x}

$p_x$ سيكون في الفاصل الزمني

d p_{x}

$dp_x$ تحدده النسبة:

d W_{p x} = C e^{- b e t a p_{x}^{2}} d p_{x}

$dW_ {px} = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2} dp_x$

، واحتمال dW هو أن النبض سيكون في الحجم dΩ (تذكر نتاج احتمالات الأحداث المستقلة):

d W = C^{3} e^{- b e t a p^{2}} d O m e g a

$dW = C ^ 3e ^ {- \ beta p ^ 2} d \ Omega$

في المقالة التالية ، سنكمل اشتقاق توزيع ماكسويل ، ونكتشف المعنى المادي لهذا التوزيع ، وننتقل مباشرةً إلى اشتقاق توزيع بولتزمان.

معادلة بواسون وتوزيع بولتزمان (الجزء 2.1)

More articles: