كيف تدرس تاريخ الرياضيات حسب الرسوم في "مبادئ" إقليدس

في الكتاب الرابع ، "بدايات" إقليدس ، وهو نص عن الهندسة يبلغ عمره 2300 عام ، هناك إشارة لبناء مضلع من 15 جانبًا داخل دائرة. الخطوة الأولى معروفة جيدًا لطلاب الهندسة: بناء مثلث متساوي الأضلاع وخماسي منتظم بحيث تكون رؤوسهم على شكل دائرة ويكون لكل من الشكلين رأس واحد مشترك. بالإضافة إلى المؤشرات النصية ، احتوت "البدايات" على رسومات توضح الطريقة.


في أقدم نسخة كاملة من البدايات ، مخطوطة من القرن التاسع مخزنة في مكتبة الفاتيكان ، تم رسم أقسام من الخطوط ومحوها. صورة من مكتبة الكتالوجات والمطبوعات والصور على الإنترنت في مكتبة الكونغرس.

من المستحيل معرفة شكل المخططات الأصلية لإقليدس نفسه ، ولكن في المخطوطات الباقية ، يتم الكشف عن اختلافات مذهلة في عرض هذه الأشكال الهندسية مثل البنتاغون. تبدو مثل هذه الاختلافات مثل أخطاء للمراقب الحديث: في بعض إصدارات القرون الوسطى من النص ، فإن أجزاء الخط لها طول خاطئ. في مخطوطة القرن التاسع ، أقدم نسخة من البداية ، المخزنة في مكتبة الفاتيكان ، تم رسم ومحو الأقسام. في نص آخر من القرن التاسع عقد في جامعة أكسفورد ، كانت جوانب البنتاغون داخل الدائرة منحنية وفوضوية ، وليست مستقيمة. تُستخدم المنحنيات أيضًا في النسخة الباريسية في القرن الثاني عشر ، لكنها أقل خطأ قليلاً من نسخة أكسفورد القديمة. يتم تخزين نص القرن الحادي عشر أو الثاني عشر في فيينا ، حيث كانت الخطوط الأصلية ذات الطول الصحيح والمستقيم ، ولكن في وقت لاحق أضاف شخص ما شرائح منحنية إليهم (1).

البدايات ذات أهمية كبيرة ، لكن هذا ليس النص العلمي التاريخي الوحيد الذي يعاني من مشاكل في الرسوم. اتضح أنها موجودة في نسخ من أعمال ابن الخيام وأرخميدس وأرسطو وبطليموس. من بين الاختلافات هناك خطوط متوازية ليست في الواقع متوازية ، أو أشكالًا محددة بشكل غير صحيح ، أو أجزاء متساوية أو زوايا مرسومة غير متساوية ، أو زوايا غير متساوية قد تبدو متساوية. على سبيل المثال ، في مخطوطة القرن العاشر باليمبسيست أرخميدس ، يتم استخدام مثلث متساوي الساقين للإشارة إلى القطع المكافئ. قد يبدو هذا غرائب ​​تاريخية بسيطة ، لكن بعض الباحثين يجدون من بين الرسومات المثيرة للاهتمام تلميحات حول كيفية تطور الرياضيات على مدى الألفية.

التصور

يبدأ الباحثون في دراسة هذه الاختلافات من أجل معرفة كيفية انتشار الأفكار الرياضية وفهم كيفية تعامل مختلف الأشخاص مع هذا الموضوع. تقليديا ، يركز مؤرخو الرياضيات الذين يدرسون النصوص اليونانية القديمة على الكلمات والأرقام ويتخطون الرسوم كرسوم توضيحية بسيطة للنص. وفقًا لمؤرخ العلوم ناثان سيدولي من جامعة واسيدا في طوكيو وزميله كين سايتو من جامعة ولاية أوساكا ، الذين لاحظوا تغييرات تخطيطية في المثمن وأدلة أخرى في مقال عام 2012 ، بسبب هذا التركيز على النص ، فإننا نتخطى جزءًا من القصة (1).

الرياضيات غنية بالتجريدات ، وبمرور الوقت ، اكتشف الناس العديد من الطرق لتصور هذه التجريدات. يقول سيدولي: "من شبابنا ، نتعلم فهم المفاهيم المشتركة بطرق بصرية معينة". "بالنظر إلى هذه الأعمال ، يمكننا أن نذكر أنفسنا بأن هذه ليست طريقة عالمية للرؤية".

كانت الرسومات والرسوم البيانية جزءًا من الرياضيات لآلاف السنين من تاريخ البشرية. قام البابليون بحساب الجذور التربيعية وعرفوا مبدأ نظرية فيثاغورس ألف سنة أخرى قبل فيثاغورس أو إقليدس. يمكن استخدام لوح من الطين يرجع تاريخه إلى القرن السابع عشر قبل الميلاد ، والذي يرسم عليه رسم مربع وأقطاره بالأرقام المقابلة ، كدليل. رائد تصور البيانات إدوارد توفتي ، أستاذ العلوم السياسية وعلوم الكمبيوتر والإحصاءات في جامعة ييل ، يصف الجهاز اللوحي بأنه "شاهد تصويري" لمعرفة البابليين.

يعتقد بعض الباحثين أن الرسومات نفسها يمكن أن تكون جزءًا لا يتجزأ من الرياضيات وناقل للمعلومات بين القرون ، على الرغم من جميع أوجه القصور فيها. إذا انتشر الخطأ الذي ظهر في نسخة واحدة إلى الإصدارات اللاحقة ، فهذا يشير إلى أن متلقي التعداد لم يفهموا الرياضيات أو لم يقدروا الدقة. من ناحية أخرى ، استخدم بعض النقاد مخططات تكمل المعرفة المنصوص عليها في المبادئ . على سبيل المثال ، عندما وصف إقليدس فقط خصائص الزاوية الحادة ، يمكن للكتاب اللاحقين إضافة خصائص مشابهة للزوايا المنفرجة والزاوية اليمنى.


جزء "البدايات" هذا كان جزءًا من ورق البردي Oxirinh ، وهو مجموعة من المخطوطات التي تم اكتشافها عام 1897 في مكب نفايات قديم بالقرب من مدينة Oxirinh في مصر. يشير نص عمره 2000 عام تقريبًا إلى النظرية الخامسة للمجلد الثاني من البداية . الصورة مجاملة من بيل كاسلمان (جامعة كولومبيا البريطانية ، فانكوفر).

تدخل القارئ

تم نشر البدايات ، التي تتكون من ثلاثة عشر مجلدًا ، في ما لا يقل عن مئات المنشورات ، وحتى القرن الماضي كان ثاني أكبر كتاب في العالم من حيث المبيعات. (الأول هو الكتاب المقدس). لكن ليس كل شيء في المبادئ قد استنتجه إقليدس. تحتوي المجلدات على مجموعة من المعارف الرياضية المعروفة لدى الإغريق القدماء في ذلك الوقت. وصف الفيزيائي ستيفن هوكينج إقليدس بأنه "أعظم موسوعي الرياضيات في كل العصور" وقارنه بنوح ويبستر ، الذي جمع أول قاموس إنجليزي (2).

تُرجمت "البدايات" من اليونانية القديمة والعربية واللاتينية والعبرية وغيرها من اللغات. تطورت المسيرة في عملية النمو والهجرة ، وكذلك الرسومات الموجودة فيها. ترك القراء ملاحظات في الهوامش وأجروا تعديلات. رأى القراء والمترجمون اللاحقون المخطوطة والملاحق ، وحرروا العمل وفقًا لما يتوافق مع وقتهم. يتم تسجيل مثل هذه التفاعلات في ترجمات أدلة ورسومات البدايات ، وأصبح عمل النسخ ، على حد قول طالب الدراسات العليا بجامعة ستانفورد ينسو لي ، الذي يدرس تطور رسومات البدايات ، فعل تحول.

يقول لي: "يمكن أن نفتقد بسهولة دور القراء في إنشاء الرسومات" ، مشددًا على أنه يمكنهم التدخل والمساهمة من خلال تدوين الملاحظات في المخطوطة. أخذ الكتبة في وقت لاحق علما بهذه الملاحظات. يوضح لي: "إذا كانوا يعتقدون أن رسوم الهامش كانت أكثر أهمية من المخططات الرئيسية ، فقد تحولت المخططات الهامشية إلى مخططات رئيسية من قبل الأجيال اللاحقة". نقلت هذه التغييرات المرئية الأفكار الرياضية بطرق لا يمكن نقلها عن طريق النص.

استدعاء مثل هذه التغييرات سيكون من الشائع جدا. بعض التغييرات كان من المفترض أن تكون تحسينات. نشأ آخرون من الممارسات الثقافية. على سبيل المثال ، تتم قراءة النص العربي من اليمين إلى اليسار ، لذلك في الإصدارات العربية المبكرة من البدايات ، غالبًا ما كان اتجاه الرسومات ينعكس - الزوايا التي فتحت في المخطوطات اليونانية القديمة إلى اليسار ، في النسخ العربية المفتوحة على اليمين. ومع ذلك ، عندما تُرجمت هذه النسخ العربية إلى اللاتينية ، لم يعكس بعض الكتبة الرسوم.

عالم الرياضيات روبن هارتشورن ، الذي عمل سابقًا في جامعة كاليفورنيا في بيركلي ، يدعي أنه ليس من العدل دائمًا رؤية تغيير في الرسوم كعملية تحرير. حتى مع كل هذه المنحنيات والانحناءات ، نقلت رسومات الخماسي المعنى المطلوب. ويقول إن ختم "البدايات" برسومات دقيقة يعكس قيم العصر ، لكن هذه الممارسة غير مخلصة للنسخ السابقة. يقول هارتشورن: "أود أن أسميها إعادة رسم الرسوم لأذواق علماء الرياضيات الحديثين الذين يسعون إلى رؤية الدقة المترية".

يضيف مؤرخ العلوم كورتني روبي ، الذي يدرس نصوص العلوم القديمة في جامعة كورنيل: "كانت هذه مخططات مرسومة يدويًا لمفاهيم ليس من السهل دائمًا كتابتها". "الرسومات هي إبداعات مؤلفين وكتاب محددين وإبداعهم وتجاربهم وتغييراتهم".

بدأ التطور

انخرط لي في مخطوطات من القرن التاسع حتى أول نسخة مطبوعة من البدايات ، والتي ظهرت عام 1482 بعد اختراع المطبعة. منذ ذلك الوقت ، على حد قول لي ، أصبحت Beginnings الكتاب المدرسي القياسي في العديد من الجامعات الأوروبية ، وأصبحت رسوماتهم أداة تعليمية. ونتيجة لذلك ، "في عصر ثقافة الطباعة ، نلاحظ أنواعًا مختلفة تمامًا من الرسوم" ، كما يقول لي ، الذي يرقم مجموعة من خمسة برديات على الأقل ، و 32 مخطوطة يونانية قديمة ، و 92 مخطوطة مترجمة ، و 32 نسخة مطبوعة من نشال.

حتى القرن التاسع عشر ، كانت أطروحة الإقليدية تعتبر نموذجًا للأدلة الرياضية الصارمة والمنظمة. لفهم هذه البراهين تتطلب رسومات. يشرح الفيلسوف جون موما من جامعة كاليفورنيا ، قائلاً: "إنها عديمة الفائدة بدون مخططات" ، بحجة أن مخططات البدايات ليست مجرد أداة تعليمية بصرية ، ولكنها مهمة أيضًا لإثبات البيانات نفسها (3)

في نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين ، شكك علماء الرياضيات في تفوق البدايات وكان سبب ذلك جزئيًا هو اعتماد إقليدس على الرسومات. على وجه الخصوص ، دعا عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت إلى اتباع نهج أكثر رسمية للرياضيات ، وذلك باستخدام المنطق فقط ولا يتطلب رسومات لبرهان ، والذي اعتبره نوعًا من "عكاز" الرياضيات.

يقول جون موما: "لقد رفضوا" بدايات "إقليدس لأنهم بدوا غير صارمين للغاية". "كان يعتقد أنه استخدم الرسومات بشكل حدسي وبشكل فضفاض للغاية."

على سبيل المثال ، في "البدايات" كان هناك رسم يوضح نقطة على خط بين نقطتين أخريين. احتاج هيلبرت إلى وصف تحليلي لما أسماه "الوساطة" ، دون استخدام الرسومات. كما انتقد الفيلسوف والمنطق البريطاني برتراند راسل نهج إقليدس: فقد لاحظ أن العديد من الأدلة اليونانية القديمة ضعيفة ، لأنها تأخذ قوة تفكيرها من الرسوم ، وليس حصريًا من المنطق. كتب راسل في عام 1902 (4): "يجب أن تظل الأدلة الحقيقية سارية حتى في غياب الأرقام المرسومة ، ولكن العديد من الأدلة الإقليدية لا تجتاز هذا الاختبار". (يوضح الدليل الأول في البدايات كيفية بناء مثلث متساوي الساقين باستخدام دائرتين متقاطعتين. ومع ذلك ، فإن نقطة التقاطع مبررة من الرسم ، ولم يثبت وجودها بشكل صارم.)

ومع ذلك ، يرى العديد من مؤرخي الرياضيات الحديثين أن نهج إقليدس هو طريقة أخرى لرؤية الرياضيات - وليس بالضرورة ضعيفًا ببساطة لأنه يستخدم الرسومات. يجادل هؤلاء العلماء بأن الرسم هو دليل ، وأنه لا توجد طريقة عالمية لفهم الرياضيات. تقول Mumma: "يمكننا فعلًا فهم كل شيء باستخدام المعلومات الموجودة في الرسم كدليل". "هذا ليس مجرد توضيح."

ركزت الأبحاث الحديثة على الرسومات في معظمها منذ التسعينيات ، عندما صرح Revil Netz من جامعة ستانفورد وكينيث ماندرز من جامعة بيتسبرغ أن الرسومات الرياضية القديمة تستحق أن ينظر إليها من زاوية مختلفة. يقول Netz أن مجال البحث يركز على جانبين: التمثيل الأكثر رسومًا وكيف يستخدم الناس الرسومات (5 ، 6). يجادل بأن عمل لي من جامعة ستانفورد في مقارنة الرسومات من قرون مختلفة يجمع بين هذين الجانبين ، مما يسمح لك بتوسيع مجال الدراسة.

يقول نيتز إن عمل لي سيساعد المؤرخين على فهم كيف "انتقل العلم من الهندسة النظرية لليونانيين القدماء إلى ... استخدامًا تطبيقيًا وجسديًا أكثر للهندسة للعالم الحقيقي".

بعد البدايات ، يريد لي تحليل المخططات في بصريات إقليدس ، وهو عمل مبكر في فيزياء الضوء ، ثم التركيز على عمل بطليموس وأرخميدس. ويأمل في أن تجتذب أبحاثه اهتمام المؤرخين والفلاسفة وعلماء الرياضيات في تحليل كيفية استخدام الناس (والاستمرار في استخدام) الرسومات لدراسة الأفكار الرياضية العميقة. يقول: "نميل إلى التخلص من المخططات". ولكن لا يمكن نقل بعض الأفكار في النص. يجب أن يتم نقلها بيانيا ".

المراجع

1. Saito K ، Sidoli N (2012) الرسوم البيانية والحجج في الرياضيات اليونانية القديمة: دروس مستمدة من مقارنات مخططات المخطوطة مع تلك الموجودة في الطبعات النقدية الحديثة. تاريخ الإثبات الرياضي في التقاليد القديمة ، أد. Chemla K (Cambridge Univ Press ، Cambridge ، UK) ، الصفحات 135–162. عالم جوجل
2. Hawking S ، ed (2002) على أكتاف العمالقة (Running Press ، فيلادلفيا). عالم جوجل
3. Mumma J (2010) البراهين والصور وإقليدس. سينثيز 175: 255–287. CrossRef Web Science Science Google Scholar
4. راسل ب (1902) تعليم إقليدس. Math Gaz 2: 165–167. عالم جوجل
5. Netz R (1998) الرسوم البيانية الرياضية اليونانية: استخدامها ومعناها. تعلم الرياضيات 18: 33-39. عالم جوجل
6. Manders K (1995) الممارسة الهندسية القائمة على الرسم البياني. فلسفة الممارسة الرياضية ، ed Mancosu P (Oxford Univ Press ، Oxford) ، الصفحات 65-79. عالم جوجل