بعد Gauss ، نعترف بالحالة "الملكية" للرياضيات ، وبالنظر إلى أن شركتنا لديها مركز اختصاص "الدعم الخوارزمي" ، غالبًا ما لدينا مواد مثيرة للاهتمام حول هذا الموضوع: يكتب زملائنا مقالاتهم الخاصة ، المؤلف ، ثم يدرسون يحدث هذا المثير للاهتمام مع الزملاء الأجانب ، وإعداد مراجعات موجزة وترجمات لمقالات الطرف الثالث. قد يكون هذا مفيدًا لأولئك الذين يشاركوننا اهتماماتنا ، لذلك قررنا مشاركة هذه المواد والمعرفة.
في الرياضيات ، غالبًا ما يحدث أنه من أبسط الأشياء التي يبدو أنها معروفة للجميع والجميع ، مثل الأرقام العقلانية ، من الصعب للغاية فهمها. على سبيل المثال ، كان علماء الرياضيات يبحثون عن حلول عقلانية لمعادلات ديوفانتين لعدة مئات من السنين. ساعدت الأفكار المستعارة من الفيزياء على الاقتراب من حل مهمة الألف سنة. تقديم مقال منشور في مجلة Quanta ، مع ترجمة جزئية ونظرة عامة.
يحاول Minhyun Kim ، عالم الرياضيات في جامعة أكسفورد ، معرفة الأرقام العقلانية التي يمكن أن تحل أنواعًا معينة من معادلات Diophantine. ويقدر عمر مشكلة الرياضيات هذه بحوالي 3000 عام. بما أن القرارات العقلانية لا تطيع الأنماط الهندسية ، فهذه مهمة صعبة بالفعل. معقد للغاية لدرجة أنه في عام 1986 حصل جيرد فالتينغ على جائزة فيلدز فقط لإثبات أن بعض فئات معادلات ديوفانتين لديها عدد محدود من الحلول العقلانية. علماء الرياضيات أنفسهم يسمون الاختراق الذي حدث في Falting بأنه "دليل غير فعال" لأنه لا يذكر العدد الدقيق للحلول العقلانية ولا يسمح بتحديدها.
يحاول كيم النظر إلى الأرقام العقلانية في سياق رقمي موسع تبدأ فيه الأنماط المخفية في الظهور. تمكن كيم من اكتشاف مثل هذا السياق في الفيزياء: وفقًا لعالم الرياضيات ، فإن الحلول العقلانية تشترك كثيرًا في مسار الضوء. شكك كيم لفترة طويلة في أنه على حق وأن عمله يمكن أن يقنع علماء آخرين وكان قد قرر مؤخرًا تقديم فكرته للجمهور العام. وفقا لكيم نفسه ، على مدى السنوات الخمس عشرة المقبلة ، ستصبح نظرية الأعداد أكثر ارتباطًا بالفيزياء.
كتب كيفين هارتنت ، مؤلف مقال نشر في كوانتا:
"غالبًا ما يقول علماء الرياضيات أنه كلما كان الشيء أكثر تماثلًا ، كان من الأسهل دراسته. مع أخذ ذلك في الاعتبار ، يرغبون في وضع دراسة معادلات ديوفانتين في سياق أكثر تناسقًا من السياق الذي تظهر فيه المشكلة عادة. إذا كان من الممكن القيام بذلك ، يمكن للمرء استخدام التناظر المكتشف للبحث عن النقاط العقلانية اللازمة.
يمكن أيضًا أن تكون مجموعات الأرقام متماثلة ، وكلما كانت مجموعة الأرقام أكثر تماثلًا ، كان من الأسهل فهمها: يمكنك استخدام العلاقات المتماثلة لحساب القيم غير المعروفة. تشكل الأرقام التي لها نوع معين من العلاقات المتماثلة "مجموعة" ، ويمكنك استخدام خصائص المجموعة لفهم جميع الأرقام الموجودة فيها. لكن مجموعة الحلول العقلانية للمعادلة ليس لها تناظر ولا تشكل مجموعة ، تترك علماء الرياضيات وحدهم بمهمة مستحيلة ، محاولة للعثور على جميع الحلول واحدة تلو الأخرى.
من الأربعينيات ، بدأ علماء الرياضيات في استكشاف طرق لوضع معادلات ديوفانتين في سياقات أكثر تناسقًا. اكتشف كلود تشاباتي أنه في الفضاء الهندسي الأكبر الذي قام ببنائه باستخدام أرقام p-adic ، تشكل الأرقام العقلانية فضاءها الفرعي المتماثل. قام بدمج هذه المساحة الفرعية مع الرسم البياني لمعادلات ديوفانتين: نقاط تقاطعها تتوافق مع الحلول العقلانية للمعادلة.
في 1980s ، استكمل روبرت كولمان عمل Chabati. لعدة عقود بعد ذلك ، كان نهج كولمان-تشاباتي أفضل أداة لإيجاد حلول عقلانية لمعادلات ديوفانتين. ومع ذلك ، فإنه يعمل فقط عندما يكون الرسم البياني للمعادلات في نسبة معينة فيما يتعلق بمساحة أكبر. عندما لا تفي هذه النسبة بالمتطلبات ، فإن البحث عن النقاط الدقيقة التي يتقاطع عندها منحنى المعادلة مع أرقام منطقية أمر معقد.
لتوسيع عمل تشاباتي ، أراد كيم إيجاد مساحة أكبر يمكن وضع معادلات ديوفانتين فيها ".
وهنا يقترح كيم استخدام نظير للمفاهيم الفيزيائية لـ "الزمكان" و "فضاء الفضاء":
"لفهم السبب ، ضع في اعتبارك شعاع الضوء. يعتقد الفيزيائيون أن الضوء يتحرك عبر الفضاء متعدد الأبعاد للحقول. في هذه المساحة ، يتحرك الضوء على طول مسار يتوافق مع مبدأ "الإجراء الأقل" ، أي على طول المسار الذي يقلل من الوقت المطلوب للانتقال من النقطة A إلى النقطة B. يوضح هذا المبدأ سبب انكسار الضوء عند الانتقال من وسيط إلى آخر: يقلل المسار المنحني الوقت المستغرق. مثل هذه المساحات الأكبر للمساحات التي واجهتها الفيزياء لها تناظر إضافي غير موجود في جميع المساحات التي يمثلونها. وتلفت هذه التماثلات الانتباه إلى نقاط معينة ، مع التركيز ، على سبيل المثال ، على مسار تقليل الوقت. تم إنشاؤها بطريقة مختلفة أو في سياق مختلف ، ويمكن التأكيد على هذه التماثلات نفسها من خلال نقاط أخرى ، على سبيل المثال ، النقاط المقابلة للحلول العقلانية للمعادلات.
في نظرية الأعداد ، يوجد شيء مثل الزمكان. يقدم هذا الشيء أيضًا طرقًا مختلفة لتشكيل المسارات وبناء مساحة لجميع المسارات الممكنة. يقوم كيم بتطوير مخطط تكون فيه مشاكل العثور على مسار الضوء وإيجاد حلول عقلانية لمعادلات ديوفانتين هي وجوه مشكلة واحدة.
تشكل حلول معادلات ديوفانتين مسافات ، منحنيات تحددها المعادلات. يمكن أن تكون هذه المنحنيات أحادية البعد ، مثل دائرة ، أو متعددة الأبعاد. على سبيل المثال ، إذا قمت برسم الحلول المعقدة لمعادلة الديوفانتين x4 + y4 = 1 ، فستحصل على torus بثلاث فتحات. لا تحتوي النقاط العقلانية لهذا الحيد على بنية هندسية ، وهذا يجعل بحثهم مهمة صعبة ، ولكن يمكن أن تتوافق مع نقاط في مساحة متعددة الأبعاد من المساحات ، والتي سيكون لها بالفعل بنية معينة. "
المصدر