الكون المبكر 5. الانزياح الكوني الأحمر وديناميكيات الكون المتمدد المنتظم ، الجزء الأول

على موقع المحاضرات المجانية ، نشر معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare دورة محاضرات حول علم الكونيات آلان جوس ، أحد مبدعي النموذج التضخمي للكون.

انتباهكم مدعو لترجمة المحاضرة الخامسة: "الانزياح الكوني الأحمر وديناميكيات الكون الموحد المتسق ، الجزء الأول".


اليوم ننتهي من النظر في الكينماتيكا لكون متسع بشكل موحد ، والذي ناقشناه في المرة السابقة. السؤال الوحيد من هذا الموضوع الذي لم نتطرق إليه بعد هو الانزياح الكوني. ثم ننتقل إلى ديناميكيات التمدد المنتظم - كيف تؤثر الجاذبية على تمدد الكون. سيكون هذا هو الموضوع الرئيسي لمحاضرات اليوم والقليل.

الوقت الكوني

دعني أذكرك أننا في نهاية المحاضرة الأخيرة تحدثنا عن تزامن الساعة في نظام الإحداثيات ، والذي سنستخدمه لوصف كون متسع بشكل موحد. تذكر أننا قدمنا ​​الإحداثيات المصاحبة التي تتوسع مع الكون. سنفترض أن الكون متجانس تمامًا ومتساوي الخواص ، وتستقر جميع الكائنات في نظام الإحداثيات هذا.

في الكون الحقيقي ، هناك بعض حركة المادة بالنسبة لنظام الإحداثيات هذا ، لأن الكون ليس متجانسًا تمامًا. ولكن الآن سنعمل بتقريب يكون فيه كوننا النموذجي متجانسًا تمامًا وكل المواد تستريح بالنسبة لنظام إحداثيات متسع.

تذكر الآن كيف حددنا الوقت الكوني في المحاضرة الأخيرة. تخيل أنه في كل نقطة في الكون توجد ساعة في حالة الراحة بالنسبة للمادة ، وبالتالي نظام الإحداثيات المصاحب للتوسع. تقيس جميع هذه الساعات التوقيت المحلي ، ونريد الاتفاق على التزامن. في المرة الماضية ، اكتشفنا أنه يمكننا مزامنة الساعة إذا كانت هناك أي ظواهر كونية يمكن رؤيتها من أي مكان في الكون ، والتي تتغير بمرور الوقت. قدمنا ​​مثالين: أحدهما هو التغيير في ثابت هابل ، والذي يمكن قياسه محليًا والموافقة على ضبط ساعتك على الصفر عندما يأخذ ثابت هابل قيمة معينة.

المثال الثاني هو درجة حرارة إشعاع الخلفية الكونية الميكروية. في عالم نموذجنا ، يمكنك الموافقة على ضبط ساعتك على الصفر عندما تصل درجة حرارة إشعاع الخلفية الكونية إلى 5 درجات أو أي رقم معين. إذا كانت هناك ظواهر متشابهة ، وهي موجودة في عالمنا ، فيمكنك مزامنة جميع الساعات. من المهم أن نفهم أنه بمجرد مزامنة الساعة ، ستبقى متزامنة بسبب افتراضنا للتوحيد. أي إذا اتفق الجميع على أن درجة حرارة إشعاع الخلفية الكونية في وقت الصفر هي 10 درجات ، والجميع ينتظر 15 دقيقة ، فسوف يرى الجميع انخفاض درجة الحرارة نفسه خلال هذه الفترة الزمنية ، وإلا فإن هذا ينتهك فرضية التجانس المطلق .

الطالب: هل صحيح أن درجة حرارة إشعاع الخلفية هي نفسها لجميع المراقبين بالقصور الذاتي؟

المعلم: ليس الأمر متشابهًا تمامًا مع مختلف مراقبي القصور الذاتي. والأمر نفسه ينطبق على فئة متميزة من المراقبين الذين يشعرون بالراحة فيما يتعلق بمتوسط ​​توزيع المادة ، وبالتالي فيما يتعلق بنظام الإحداثيات المصاحب. إذا بدأت في التحرك من خلال إشعاع الخلفية الكونية ، فلن ترى بعد ذلك توزيعًا موحدًا لدرجات الحرارة. سترى الإشعاع أكثر سخونة في اتجاه واحد وبرودة في الاتجاه المعاكس. في الواقع ، كما ذكرت ، نرى هذا التأثير في كوننا الحقيقي. يبدو أننا نتحرك بالنسبة إلى إشعاع الخلفية الكونية ، عند حوالي 1/1000 من سرعة الضوء. لذا فإن درجة حرارة الإشعاع ليست ثابتة فيما يتعلق بحركة المراقب.

قد يسأل المرء سؤالًا آخر: هل درجة حرارة إشعاع الخلفية هي نفسها في أماكن مختلفة من الكون المرئي؟ بقدر ما يمكننا الحكم ، نعم. هناك طريقة مباشرة لقياس درجة حرارة إشعاع الخلفية ، والتي ربما سنتحدث عنها لاحقًا في الدورة ، من خلال ملاحظة خطوط طيفية معينة في المجرات البعيدة. في بعض المجرات حيث تكون هذه الخطوط مرئية ، يمكن قياس درجة حرارة إشعاع الخلفية الميكروية الكونية مباشرة. في نموذجنا ، نفترض التجانس التام أن كل شيء هو نفسه في كل مكان. على الرغم من أن التجانس في الكون الحقيقي ليس كاملاً ، فهناك دليل قوي على التجانس التقريبي لكوننا.

الطالب: إذا كان بعض المراقبين يعيشون بالقرب من الثقوب السوداء ، فهل سيؤثر ذلك على تزامن الساعة لهؤلاء المراقبين؟

المعلم: بالطبع سوف. يمكن للمرء أن يزامن ساعة كوزمولوجيا ، على افتراض أن الكون متجانس تمامًا. بمجرد ظهور التجانس ، مثل الثقوب السوداء ، أو حتى مجرد نجوم مثل الشمس ، فإنها تخلق انحرافات تمنع الساعة من المزامنة مع بعضها البعض. بمجرد ظهور تركيز الكتلة ، يصبح التوحيد تقريبيًا فقط. لكن هذه الانحرافات صغيرة. الانحرافات الناشئة عن الشمس هي في حدود المليون. لذلك ، في تقريب جيد جدًا ، يتم وصف الكون من خلال نموذجنا المتجانس. على الرغم من أنك إذا اقتربت جدًا من إحدى الثقوب السوداء الهائلة الموجودة في مراكز المجرات ، فقد اتضح أن لها تأثيرًا قويًا جدًا على تقدم ساعتك.

الانزياح الكوني

الموضوع التالي ، كما وعدت ، هو الانزياح الكوني الأحمر. في المحاضرة الثالثة ، تحدثنا عن تحول دوبلر للموجات الصوتية وتحول دوبلر النسبي لموجات الضوء ، مع مراعاة النظرية النسبية الخاصة. ومع ذلك ، لا يتم وصف علم الكونيات بالكامل من قبل النظرية النسبية الخاصة ، على الرغم من استخدام النظرية النسبية الخاصة لوصف الأحداث المحلية في علم الكونيات. لا تتضمن نظرية النسبية الخاصة تأثيرات الجاذبية ، وعلى نطاق عالمي ، فإن تأثيرات الجاذبية مهمة جدًا لعلم الكونيات. لذلك ، فإن النظرية النسبية الخاصة ليست كافية لفهم العديد من خصائص الكون ، بما في ذلك الانزياح الكوني. ومع ذلك ، اتضح أن هناك طريقة لوصف الانزياح الأحمر الكوني ، والذي يفسره ببساطة أكثر من نظرية النسبية الخاصة. أولاً ، سأصفه ، وبعد ذلك سنتحدث عن كيفية مقارنة هذه النتيجة البسيطة المظهر مع اختتام نظرية النسبية الخاصة ، والتي يجب أن تكون صحيحة أيضًا ، على الأقل محليًا.

لذا ، لنفترض أننا ننظر إلى مجرة ​​بعيدة ، وينبعث الضوء من مصدر موجود في هذه المجرة. نريد أن نفهم ما هي العلاقة بين تردد الضوء في الإشعاع والتردد الذي سنراه عند استقبال الضوء.


لتخيل هذا الموقف ، دعونا نقدم نظام تنسيق ، $$$x$ . سيكون هذا هو نظام الإحداثيات المرافق لنا. $$$x$ تقاس في الانقسامات. سنضع أنفسنا في الأصل ، والمجرة البعيدة على مسافة منّا. لديها إحداثيات محددة. $$$l_c$ ( $$$c$ يدل على ما يصاحب ذلك). $$$l_c$ هي المسافة المصاحبة منا إلى المجرة. المسافة المادية التي سنتصل بها $$$l_p$ ( $$$p$ يعني المادية) ، يعتمد على الوقت ، لأن الكون يتوسع. كما قلنا من قبل $$$l_p (t) = a (t) l_c$ . عامل المقياس $$$a (t)$ ، الذي يعتمد على الوقت ، يتم ضربه في المسافة المصاحبة ، والتي لا تعتمد على الوقت. وبالتالي ، فإن المسافات المادية تزداد ببساطة بما يتناسب مع عامل المقياس $$$a (t)$ .

لنفترض الآن أن المجرة تنبعث منها موجة ضوئية ، ونحن نحاول تحديد المسافة بين قمم الموجة ، والتي تساوي الطول الموجي. نظرًا لأننا مهتمون فقط بالتلال ، فإننا نتخيل ببساطة أن كل سلسلة هي دفعة ، وما يحدث بينهما لا يثير اهتمامنا. سوف نتبع نبضات الضوء المتتالية المنبعثة من المجرة.

من المهم أن نعرف لنموذجنا كيف تنتشر موجات الضوء في نظام إحداثيات مصاحب. إذا $$$x$ هل الإحداثيات المصاحبة ، إذن $$$dx / dt$ - سرعة الضوء المصاحبة ، والتي تعادل سرعة الضوء المعتادة $$$c$ ولكن مقسومًا على عامل المقياس:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

يلعب عامل المقياس هنا دور تحويل العدادات إلى أقسام. $$$c$ تقاس بالمتر في الثانية. المشاركة $$$c$ على $$$a (t)$ نحصل على سرعة الضوء في الانقسامات في الثانية ، كما أردنا ، لأن $$$x$ لا تقاس بالأمتار ، ولكن بالأقسام. القسمة هي وحدة اعتباطية نختارها لوصف نظام الإحداثيات المصاحبة.

من السمات الهامة لهذه المعادلة أن سرعة الضوء في نظام الإحداثيات المصاحب تعتمد على الوقت ، ولكنها لا تعتمد على $$$x$ . كوننا متجانس ، لذلك كل النقاط $$$x$ ما يعادلها. لذلك ، في كل لحظة من الزمن ، يتحرك نبضان ضوئيان بنفس السرعة المصاحبة ، بغض النظر عن مكانهما. هذا كل ما نحتاجه. الدافع الأول يترك المجرة البعيدة ويتحرك نحونا ، بينما الدافع الثاني يتبع الأول. سوف يتحرك الدافع الثاني في أي وقت من الأوقات بنفس السرعة المصاحبة للدفعة الأولى ، حتى إذا تغيرت سرعته المصاحبة بمرور الوقت.

هذا يعني ما يلي. يمكن أن تختلف سرعة النبضات المصاحبة بمرور الوقت ، ولكن طالما أنها تتحرك بنفس السرعة المصاحبة لها ، فستكون في نفس الوقت على نفس المسافة من بعضها البعض في نظام الإحداثيات المصاحب بالضبط. $$$Δx$ ، لا تتغير المسافة المصاحبة بين نبضتين مع مرور الوقت. إذا لم تتغير المسافة المصاحبة بمرور الوقت ، وكانت المسافة المادية تساوي دائمًا منتج عامل المقياس بالمسافة المصاحبة ، فسيتم ببساطة تمديد الطول الموجي الفعلي لنبض الضوء بما يتناسب مع عامل المقياس. سيزداد الطول الموجي مع تمدد الكون ، تمامًا كما ستزداد أي مسافة أخرى في نموذجنا للكون مع تمدد الكون. هذه فكرة رئيسية ، إنها بسيطة للغاية وتحتوي على كل شيء.

ذلك $$$Δx$ يعني ذلك باستمرار $$$Δl$ المسافة المادية متناسبة $$$a (t)$ وهو ما يعني أن الطول الموجي للضوء $$$λ$ ، كدالة لـ t ، تكون متناسبة $$$a (t)$ .

يرتبط الطول الموجي بفترة نسبة الموجة $$$λ = cΔt$ . الطول الموجي هو المسافة التي تقطعها الموجة في فترة واحدة. لذلك ، إذا $$$λ$ متناسب $$$a (t)$ ثم $$$Δt$ ، ستكون فترة الموجة متناسبة $$$a (t)$ . لذلك:

$$$$ display $$ \ frac {Δt_ {acc.}} {Δt_ {source}} = \ frac {λ _ {acc.}} {λ _ {source}} = \ frac {a (t_ {acc. )}} {a (t_ {source)}} $$ display $$

.

لذا فإن نسبة الطول الموجي هي ببساطة عدد المرات التي تمدد فيها الكون. وهي تساوي نسبة عوامل المقياس في الوقت الأولي والأخير. لقد حددنا الانزياح الأحمر باستخدام فترة الموجة. نسبة الفترات ، أو نسبة الأطوال الموجية ، أو نسبة عوامل المقياس ، هي 1 + z.

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs.)}} {A (t_ {source)}}$$

علاقة الانزياح الكوني مع النظرية النسبية الخاصة
كيف يرتبط الانزياح الأحمر الكوني بالانزياح الأحمر للنظرية النسبية الخاصة ، الصيغة التي استنتجناها سابقًا؟ تختلف نتيجتنا من جانبين عن الحساب الذي قمنا به في المحاضرة الثالثة. السبب الأول المهم بالنسبة لنا هو أن الحساب الكوني يأخذ في الاعتبار التأثيرات التي لم تؤخذ في الاعتبار من قبل الحسابات السابقة. على وجه الخصوص ، على الرغم من أننا تلقينا الإجابة باستخدام حجة حركية بسيطة للغاية ، حيث ، للوهلة الأولى ، لا توجد رياضيات تقريبًا ، فهي في الواقع قوية جدًا ، لأنها لا تأخذ في الاعتبار ليس فقط نظرية النسبية الخاصة ، ولكن أيضًا النظرية العامة النسبية. يشمل جميع تأثيرات الجاذبية. لا تؤثر الجاذبية على حقيقة أن سرعة الضوء المصاحبة لها $$$c / a (t)$ . هذا مجرد تحويل للوحدات ، إلى جانب الافتراض المادي الأساسي بأن سرعة الضوء متساوية دائمًا $$$c$ بخصوص أي مراقب.

لذلك ، عندما نعتبر الجاذبية ، يستمر الحفاظ على هذه النسبة ، وكان هذا هو الشيء الوحيد الذي استخدمناه ، لذلك لا يمكن للجاذبية أن تؤثر على الإجابة. هل فاتنا أي شيء من النظرية النسبية الخاصة؟ لم آخذ في الاعتبار تمدد الوقت ، الذي كان حاسمًا لحسابنا للنسب الحمراء النسبية.

هل أخطأت؟ هل أحتاج إلى إضافة تمدد الوقت في مكان ما؟ في الحقيقة لا. كان لدينا ساعتان في حسابنا: الساعة في المجرة وساقتنا ، التي استخدمناها لقياس فترة الإشعاع وفترة الاستقبال. لكن كلتا الساعتين في حالة راحة بالنسبة إلى المادة المحلية ، على الرغم من أنها تتحرك بالنسبة لبعضها البعض. لذلك ، حسب تعريفهم ، يقيسون الوقت الكوني. الوقت الكوني هو نوع غريب من الوقت ، إنه ليس الوقت في أي نظام بالقصور الذاتي. تتحرك الساعات بالنسبة لبعضها البعض ، لذلك ، إذا حددنا الوقت في نظام القصور الذاتي ، فلن يمكن مزامنة هذه الساعة أبدًا ولن يتزامن الوقت معها.

لكن في نظام الزمن الكوني ، يظهرون نفس الوقت. نظرًا لأن كل ساعة في حالة راحة بالنسبة إلى المادة المحلية ، فإنها تقيس $$$t$ الوقت الكوني. وبالتالي ، لا يلزم تمدد الوقت. ليس الأمر أننا نسيناها ، فهي ليست هناك. لا يتم استخدامه في الحسابات.

وبالتالي ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها ، بغض النظر عن مدى بساطتها ، تغطي في الواقع بالكامل تأثيرات كل من النظرية النسبية الخاصة والجاذبية. اسمحوا لي أن أشير إلى أنه ليس من الواضح أين توجد الجاذبية. قلت لك أن النتيجة تشمل كل تأثيرات الجاذبية. أين تختفي الجاذبية؟ أريد أن أطرح عليك هذا السؤال. كيف تؤثر الجاذبية على الحسابات ، على الرغم من أنني لم أذكر الجاذبية عندما أجريت الحساب؟

الطالب: من خلال عامل المقياس.

المعلم: هذا صحيح ، من خلال عامل المقياس. لم نتحدث عن كيفية التغيير $$$a (t)$ . التغيير $$$a (t)$ سيشمل صراحة آثار الجاذبية. هذا هو السبب في أن نتيجتنا تعتمد على الجاذبية ، على الرغم من أننا لم نكن بحاجة إلى استخدام الجاذبية أو ذكرها للحصول على إجابة. الجواب عن الانزياح الكوني هو بسيط للغاية لأنه $$$a (t)$ يتضمن بالفعل الكثير من المعلومات. لقد استفدنا للتو من هذا للحصول على تعبير بسيط للغاية اعتمادًا على $$$a (t)$ من دون أن نقول شيئًا بعد عن كيفية الحساب $$$a (t)$ . هذا هو الفرق الأول.

فرق آخر مهم بين الحسابين هو المتغيرات المستخدمة في الإجابة. قد يكون هناك العديد من الإجابات المختلفة لنفس السؤال ، اعتمادًا على المتغيرات المستخدمة. في هذه الحالة ، نعبر عن الانزياح الأحمر $$$z$ للأجسام التي تستريح في نظام إحداثيات مصاحب. من ناحية أخرى ، فإن الحساب في النظرية النسبية الخاصة يعطي z اعتمادًا على السرعة المقاسة في نظام الإحداثيات بالقصور الذاتي. وبالتالي ، يتم التعبير عن النتائج بعبارات مختلفة تمامًا.

ماذا يحدث إذا حاولنا مقارنة الإجابات التي تلقيناها للانزياحات الحمراء النسبية والكونية؟ هناك حالة واحدة فقط تكون مشروعة للمقارنة. بما أن الحساب الذي أجريناه للتو يشمل تأثيرات الجاذبية ، والحساب باستخدام نظرية النسبية الخاصة لا يشمل تأثيرات الجاذبية ، فإن الحالة الوحيدة التي يمكننا فيها مقارنتها والتأكد من أنها تتزامن عندما تكون الجاذبية ضئيلة.

يمكننا النظر في النموذج الكوني ، حيث الجاذبية صغيرة ، ولا يوجد تناقض في ذلك. إذا كانت الجاذبية ضئيلة ، فكيف ستتصرف $$$a (t)$ ؟؟؟ إذا لم يكن هناك جاذبية ، $$$a (t)$ يجب أن تعتمد خطيا على $$$t$ . هذا يعني أن جميع السرعات ثابتة. وهكذا ، في حالة عدم وجود الجاذبية ، $$$a (t)$ ينمو خطيا مع الوقت. في هذه الحالة ، يمكنك دائمًا التأكد من أن الثابت الذي تمت إضافته إلى المصطلح الخطي يصبح صفرًا ، فقط تعيين صفر وقت في اللحظة التي $$$a (t)$ يساوي صفر. وهكذا ، في غياب الجاذبية ، يمكننا أن نقول ذلك $$$a (t)$ يجب أن يكون متناسبا مع ر.

ثم في هذه الحالة بالذات ، يجب أن تتزامن حساباتنا. يمكنك التحقق من ذلك بنفسك. إن الأمر ليس بهذه البساطة ، لأنك ستحتاج إلى فهم للعلاقة بين نظامي الإحداثيات. الجواب على النظرية النسبية الخاصة يُعطى في نظام إحداثيات القصور الذاتي ، والذي في وجود الجاذبية لا وجود له على الإطلاق. وهو مرتبط بنظام الإحداثيات المتوسع بطريقة معقدة ، بسبب تمدد الوقت وتقلص لورنتز المرتبط بالحركة التي تحدث في الكون المتوسع.

ستحتاج إلى معرفة العلاقة بين هذين النظامين المنسقين. عند القيام بذلك ومقارنة الإجابات ، ستجد أنها تتطابق تمامًا. كل هذا يتفق بشكل ممتاز مع النظرية النسبية الخاصة ، في الحالة الخاصة عندما تكون الجاذبية غائبة.

نيوتن والكون الساكن

ناقشنا كل شيء أردت أن أخبرك به عن الكينماتيكا لكون متسع بشكل موحد ، ونحن الآن على استعداد للانتقال إلى الديناميات. نحن بحاجة إلى معرفة كيف تؤثر الجاذبية على الكون حتى نتمكن من حساب الكيفية$$أ ( ر ) يتغير مع الوقت. سيكون هذا هو الهدف الوحيد لفهم السلوك.$a(t)$$$$a(t)$ .

هذا السؤال ، إلى حد ما ، يعود إلى إسحاق نيوتن. أريد أن أشير إلى أن أحد الأشياء المثيرة للاهتمام في علم الكونيات هو أنه إذا نظرت إلى تاريخ علم الكونيات ، فإن العديد من علماء الفيزياء العظماء ارتكبوا أخطاء كبيرة في محاولة لتحليل القضايا الكونية. سنناقش اليوم أحد أخطاء نيوتن. حتى علماء الفيزياء العظماء مثل نيوتن يمكن أن يرتكبوا أخطاء غبية. لقد ارتكب بالفعل خطأ غبيًا في تحليل النتائج الكونية لنظريته عن الجاذبية.

يعتقد نيوتن ، مثل الجميع قبل هابل ، أن الكون ثابت. قام بتمثيل الكون كتوزيع ثابت للنجوم المنتشرة في الفضاء. في بداية حياته المهنية ، بقدر ما أعرف التاريخ ، افترض أن توزيع النجوم كان محدودًا في الفضاء اللامتناهي. ولكن في مرحلة ما ، أدرك أنه إذا كان هناك توزيع كتلة محدودة في مساحة فارغة ، وكل المادة تنجذب إلى بعضها البعض بقوة جذابة تتناسب عكسًا مع مربع المسافة ، وهو ما عرفه ، منذ أن فتحه ، ونتيجة لذلك ، يجب ضغط كل شيء في نقطة. قرر أن افتراضه لم ينجح ، لكنه لا يزال متأكدًا من أن الكون كان ثابتًا ، نظرًا لأن كل شيء بدا ثابتًا ، ولم تتحرك النجوم في أي مكان.

لذا تساءل عما يمكن تغييره ، وقرر أنه بدلاً من افتراض أن النجوم تشكل توزيعًا محدودًا ، فمن الأفضل أن نفترض أنها موزعة بشكل لا نهائي في الفضاء. لقد استنتج ما يلي ، وهذا هو بالضبط الخطأ الذي مفاده أنه إذا ملأت النجوم مساحة لا نهائية ، فحتى لو كانت جميعها تجذب بعضها البعض ، فلن يكون لها اتجاه مفضل للحركة. نظرًا لأنه لن يكون لديهم اتجاه مفضل للحركة ، لأنهم ينجذبون من جميع الجهات ، فإنهم يظلون في مكانهم. وهكذا ، كان يعتقد أن التوزيع المنتظم والمنتظم للمادة سيكون مستقرًا ، وأنه لن تكون هناك قوى جاذبية تنشأ في مثل هذا التوزيع اللامتناهي للكتلة.

يبدو أنه سمع حججا مختلفة لصالح ذلك. كانت إحدى الحجج القائلة بأن التوزيع اللامتناهي مستقرًا هي الحجة القائلة بأن قوة لا نهائية تسحبها إلى اليمين وقوة لا نهائية تسحبها إلى الفعل الأيسر على الجسيم. نظرًا لأن كلاهما لا نهائي ، فإنهما يحيدان بعضهما البعض. لم يقبل نيوتن هذه الحجة. لقد كان معقدًا بما يكفي لفهم أن اللانهاية ناقص اللانهاية ليس بالضرورة صفرًا. ومع ذلك ، كان نيوتن مقتنعا بأن توزيع الكتلة اللانهائية سيكون مستقرا.

الحجة التي أقنعته لم تكن لانهائية المادة على كل جانب ، بل التماثل. كانت الحجة التي أخذها أنه إذا نظرت إلى أي نقطة من هذا التوزيع اللامتناهي ، إذا نظرت حول هذه النقطة ، فستبدو جميع الاتجاهات متشابهة ، مع امتداد المادة إلى اللانهاية ، وبالتالي لن يكون هناك اتجاه حيث يجب على القوة تعمل على أي جسيم معين. وإذا لم يكن للقوة اتجاه ، فيجب أن تكون صفرًا. كانت هذه هي الحجة التي اتخذها نيوتن.

الآن سنناقش هذا بمزيد من التفصيل ونحاول فهم كيفية ارتباط العلماء الحديثين بهذه الحجة. بالمناسبة ، أريد أن أذكر حقيقة تاريخية. حجة نيوتن ، على حد علمي ، لم يتم استجوابها من قبل أي شخص منذ مئات السنين ، حتى ألبرت أينشتاين. كان ألبرت أينشتاين ، الذي يحاول وصف علم الكونيات باستخدام نظريته النسبية العامة الجديدة ، أول شخص يدرك أنه حتى إذا كان لديك توزيع كتلة لا نهائي ، فإنه ينهار. أدرك أينشتاين أن الشيء نفسه سيحدث في فيزياء نيوتن ، وهذه ليست سمة من سمات النظرية النسبية العامة. لقد تطلب ذلك ببساطة تاريخياً إنشاء نظرية عامة للنسبية لجعل الناس يعيدون التفكير ويفهمون أن نيوتن كان على خطأ.

استحالة كون ساكن

إن صعوبة محاولة تحليل المشكلة بالطريقة التي فعلها نيوتن هي أن نيوتن نظر إلى الجاذبية كقوة تعمل عن بعد. إذا كان لدينا شيئين يقعان على مسافة$$r بصرف النظر ، سوف يجذب بعضهم البعض بقوة متناسبة$r$$$$1/r^2$ .منذ زمن نيوتن ، تم اختراع طرق أخرى لوصف جاذبية نيوتن تجعل الموقف أكثر وضوحًا. الصعوبة في استخدام وصف نيوتن هي أنه إذا حاولنا إضافة كل هذه القوى بشكل متناسب$$1 / ص 2 ، نحصل على كميات متباينة ، نحتاج إلى تفسيرها. ولكن لفهم أن نيوتن كان خاطئًا ، من الأسهل النظر إلى تركيبات أخرى لجاذبية نيوتن. سأصف اثنين منهم ، وكلاهما قد تكون على دراية بهما بالفعل. سأصف الأول بالقياس مع قانون كولوم. قانون كولوم هو في الواقع نفس قانون الجاذبية. ينص قانون كولوم على أن أي جسيم مشحون يخلق مجالًا كهربائيًا يساوي الشحنة مقسومًا على المسافة المربعة ومضروبًا في متجه الوحدة الموجه من الشحنة.$1/r^2$

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

هذا هو قانون كولوم. في بعض الأحيان يكون ثابتًا ، اعتمادًا على الوحدات التي يتم قياسها$$س ، ولكن هذا ليس مهما بالنسبة لنا. أفترض أننا نستخدم هذه المعادلة ، حيث الثابت هو 1.كما تعلمون ، من قانون كولوم يمكنك الحصولعلى قانون غاوس. إذا كان قانون Coulomb صحيحًا ، فيمكننا بالتأكيد أن نقول ما هو تكاملتدفق المجال الكهربائيعلى أي سطح مغلق. يتناسب مع إجمالي كمية الشحنة داخل السطح.$q$

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

أين $$q in n هو إجمالي كمية الشحنة داخل سطح مغلق. يمكنك كتابة قانون الجاذبية لنيوتن ، تقريبًا بنفس الطريقة التي صاغها بها نيوتن. يمكنك التعبير عن تسارع الجاذبية على مسافة معينة من الكائن:$q_{}$

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

هذا هو نفس قانون التربيع العكسي ومشابه لقانون كولوم ، باستثناء الثابت في البداية. الثابت له علامة عكسية ، وهي مهمة في بعض الحالات ، ولكن ليس الآن. الشيء المهم هو أنه يمكن إعادة صياغة هذه المعادلة كقانون غاوس ، ويسمى قانون الجاذبية الغوسي. الطريقة الوحيدة التي تختلف بها هي المضي قدما:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

لنأخذ الآن التوزيع الموحد للمادة التي أخذها نيوتن بعين الاعتبار. جادل نيوتن أنه من الممكن أخذ توزيع متجانس للمادة يملأ كل الفضاء اللامتناهي ، وسيكون ثابتًا ، أي أنه لن يكون هناك تسارع. عدم وجود تسارع في لغة نيوتن يعني ذلك$$→ يجب أن يكون g صفرًا في كل مكان. ولكن من الصيغة الأخيرة يتبع ذلك إذا$\vec g$$$→ g في كل مكان يساوي الصفر ، ثم تكامل$\vec g$$$→ g على أي سطح مغلق سيكون أيضًا مساوياً للصفر ، وبالتالي ، يجب أن يكون إجمالي الكتلة المغلقة داخل هذا السطح مساوياً للصفر. ولكن إذا كان لدينا توزيع موحد للكتلة ، فلن يكون إجمالي الكتلة المغلقة ، بالطبع ، صفرًا لأي حجم غير صفري. وبالتالي ، من الواضح أن التأكيد على أن النظام ثابت يتعارض بشكل مباشر مع صياغة قانون الجاذبية لنيوس نيوتن.للمتعة فقط ، سأعطيك حجة أخرى مماثلة ، باستخدام صيغة أخرى أكثر حداثة للجاذبية النيوتونية. إذا لم تقابلها ولم تفهم ما أتحدث عنه ، فلا تقلق ، فهذا ليس مهمًا. بالنسبة لأولئك منكم الذين يعرفونها ، سأحضرها. طريقة أخرى لصياغة الجاذبية النيوتونية هي إدخال إمكانات الجاذبية. سأستخدم الرسالة$\vec g$

$$φ لإمكانات الجاذبية. يقترن بتسارع الجاذبية على النحو التالي:$φ$$$→g =- →∇ φ$\vec g = - \vec ∇φ$ أين $$→∇ φ$\vec ∇φ$متدرج $$$φ$ . التدرج $$φ يساوي متجه الوحدة$φ$$$I في اتجاه س مضروبا في مشتق من$\hat i$$$φ من قبل$φ$$$س ، بالإضافة إلى متجه الوحدة$x$$$J في اتجاه المحور الصادي، مضروبا في مشتق من$\hat j$$$φ من قبل$φ$$$y بالإضافة إلى متجه الوحدة$y$$$K مضروبا في مشتق من$\hat k$$$φ من قبل$φ$$$$z$ :

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

بمجرد أن نحدد إمكانات الجاذبية ، يمكننا كتابة الشكل التفاضلي لقانون غاوس ، الذي يصبح ما يسمى بمعادلة بواسون. تدعي ذلك

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

حيث ρ هي كثافة الكتلة و $$$∇^2φ$ يعرف المشتق الثاني من $$$φ$ بواسطة $$$x$ بالإضافة إلى المشتق الثاني لـ $$$φ$ بواسطة $$$y$ بالإضافة إلى المشتق الثاني لـ $$$φ$ بواسطة $$$z$ :

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = \ frac {\ جزئي ^ 2 φ} {\ جزئي x ^ 2} + \ frac {\ جزئي ^ 2 φ} {\ جزئي y ^ 2} + \ frac {\ جزئي ^ 2 φ} {\ جزئي z ^ 2} $$ display $$

وهذا ما يسمى معادلة بواسون. إذا تم إعطاء كثافة الكتلة ، فيمكنك العثور على إمكانات الجاذبية ، ثم يمكنك حساب تدرجها ، والعثور عليها $$$\ vec g$ . هذا يعادل تركيبات الجاذبية الأخرى. لكن هذا يعطينا اختبارًا آخر لتأكيد نيوتن على أن هناك توزيعًا موحدًا للمادة بدون أي قوى جاذبية. إذا لم تكن هناك قوى جاذبية ، إذن $$$\ vec g$ يجب أن تكون صفر ، كما قلنا قبل دقيقة. ومن حقيقة ذلك $$$\ vec g$ يساوي الصفر ، يتبع ذلك التدرج $$$φ$ يساوي صفر.

إذا نظرت إلى صيغة التدرج ، فهذا ناقل. بالنسبة للمتجه الصفري ، يجب أن يكون كل مكون من مكوناته الثلاثة مساوياً للصفر ، وبالتالي مشتق $$$φ$ بواسطة $$$x$ مشتق من $$$φ$ بواسطة $$$y$ مشتق $$$φ$ بواسطة $$$z$ سوف تختفي. هذا يعني ذلك $$$φ$ يجب أن تكون ثابتة في كل مكان ؛ ليس لها مشتق فيما يتعلق بأي إحداثيات مكانية. لذلك ، إذا $$$\ vec g$ يساوي الصفر ثم التدرج $$$φ$ يساوي صفر و $$$φ$ هو ثابت في كل الفضاء. إذا $$$φ$ إنه ثابت في كل مكان ، والذي يحدث في غياب الجاذبية ، ومن ثم يتضح ذلك على الفور $$$∇ ^ 2φ$ يجب أن تكون مساوية للصفر ، وهذا يعني أن ρ يجب أن تكون مساوية للصفر ، أي أنه لن تكون هناك كثافة كتلية. لكن نيوتن أراد كثافة كتلة غير صفرية ، وهي مادة موزعة بشكل موحد على مساحة لانهائية. هذا دليل آخر على أن حجة نيوتن كانت غير صحيحة.

التكاملات المتقاربة بشروط

لذا ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن نيوتن كان على خطأ ، لكننا بحاجة إلى تحليل حجة نيوتن بعناية أكبر حتى نفهم بالضبط أين ارتكب خطأ. الشيء التالي الذي أريد مناقشته هو الغموض المرتبط بإضافة قوى الجاذبية النيوتونية لكون لا نهائي. ذكرت أن المشكلة الحقيقية في حسابات نيوتن هي أن المبلغ الذي قام بحسابه يختلف ، وعليك أن تكون حذرًا عند محاولة حسابه.

لتوضيح هذا ، أود أن أبدأ بمثال للتكامل الذي يعطي قيمة غامضة. سوف أعرض بضعة مفاهيم رياضية. دعونا نتخيل أن لدينا بعض الوظائف التعسفية $$$f (x)$ أين $$$x$ سيكون متغير واحد فقط.

سنقوم بتعميمها في ثلاثة أبعاد ، الأمر الذي يهمنا ، لكننا سنبدأ بمتغير واحد. إذا كان لدينا وظيفة $$$f (x)$ ، يمكننا اعتبار التكامل من اللانهاية إلى اللانهاية من $$$f (x)$ سأتصل به $$$I_1$ :

$$

$$I_1 = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) dx$$

إنه جزء لا يتجزأ يتم الحصول عليه عن طريق إضافة جميع قوى الجاذبية التي تعمل على الجسم. الآن أريد النظر في القضية متى $$$I_1$ محدود.

أحتاج أولاً أن أحدد بدقة أكبر ما أعنيه $$$I_1$ ، جزء لا يتجزأ من ناقص إلى ما لا نهاية. يمكننا تحديد التكامل من ناقص اللانهاية إلى اللانهاية كحد لا يتجزأ من $$$-L$ من قبل $$$L$ من $$$f (x)$ عنده $$$L$ يميل إلى ما لا نهاية:

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \ to \ infty} \ int \ limits _ {- L} ^ Lf (x) dx$$

نحن بحاجة إلى حساب تكامل $$$-L$ من قبل $$$L$ . إذا افترضنا ذلك $$$f (x)$ متناهية ، والتكامل دائمًا ما يكون محدودًا. سأفترض أن الوظيفة نفسها $$$f (x)$ هي محدودة ، سنقلق فقط حول التقارب لا يتجزأ من $$$L$ تميل إلى اللانهاية. لذلك بالنسبة لأي $$$L$ التكامل هو نوع من الأرقام. ثم قد يتساءل المرء ما إذا كان هذا الرقم يميل إلى الحد الأقصى عندما $$$L$ يميل إلى اللانهاية؟ إذا كان الأمر كذلك ، فسنطلق عليه القيمة $$$I_1$ . هذا مجرد تعريف لما نعنيه بالتكامل من ناقص اللانهاية إلى اللانهاية.

الآن خذ بعين الاعتبار الحالة عند وجود هذه القيمة ، متى $$$I_1$ أقل لانهائية ، أي أن لها قيمة محدودة. لكني أريد أيضًا أن أعتبر التكامل الذي سأسميه $$$I_2$ ، والتي يتم تعريفها أيضًا على أنها تكامل من ناقص اللانهاية إلى اللانهاية ولكن من القيمة المطلقة $$$f (x)$ :

$$

$$I_2 = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | dx$$

الآن القليل من المصطلحات. إذا $$$I_2$ أقل اللانهاية ، إذا تلاقى ، ثم $$$I_1$ يسمى متقارب تماما . تقارب مطلق يعني أن التكامل يتقارب ، حتى إذا تم استخدام القيمة المطلقة للدالة. على العكس من ذلك ، إذا $$$I_2$ يتباعد ، ولكن في نفس الوقت $$$I_1$ يتلاقى بعد ذلك $$$I_1$ تسمى متقاربة بشروط . وبالتالي ، إذا كان تكامل دالة يتقارب ، ولكن لا يتقارب تكامل القيمة المطلقة للدالة نفسها ، فإن هذه الحالة تسمى التقارب الشرطي.

سبب هذا الفصل هو أن التكاملات المتقاربة مشروطًا خطيرة للغاية. إنها خطيرة لأنها غير محددة بدقة. يمكنك الحصول على أي قيمة نريدها عن طريق إضافة Integrand بترتيب مختلف. طالما أننا نلتزم بترتيب معين ، والذي يتضمنه رمز التكامل ، نحصل على إجابة فريدة. ولكن ، إذا قمنا ، على سبيل المثال ، بنقل بداية التكامل ، فيمكننا الحصول على إجابة مختلفة. عادة لا نتوقع هذا. عادة نقوم ببساطة بالاندماج على طول خط الأعداد ، بغض النظر عن المكان الذي نبدأ فيه حساب التكامل. وبالتالي ، تصبح النتيجة أقل تحديدًا عندما نعمل مع تكاملات متقاربة مشروطة.

قبل الانتقال إلى التكامل المحدد الذي يهمنا ، وبمساعدة منه سنحاول إضافة قوى الجاذبية للتوزيع اللامتناهي للمادة ، سأعطي مثالًا على وظيفة بسيطة للغاية توضح هذا الغموض عندما يتقارب التكامل ، لكنه لا يتقارب تمامًا. يمكنك الحصول على أي إجابة نريدها عن طريق إضافة أجزاء من التكامل بترتيب مختلف. من الأمثلة التي سأضعها في الاعتبار الوظيفة f (x) ، وهي +1 إذا كانت x> 0 و -1 إذا كانت x <0. أنا لا أشير إلى ما يساوي إذا x = 0 ، هذا لا يهم أثناء التكامل. نقطة واحدة لا يهم. يمكنك أن تأخذ أي قيمة للدالة مع x = 0 ، وهذا لن يغير أي شيء.

إذا قمنا بدمجها بشكل متناظر ، باتباع تعريف ما نعنيه بالتكامل من ناقص اللانهاية إلى اللانهاية ، نحصل على تخفيض كامل.

عندما نندمج من $$$-L$ من قبل $$$L$ ، نحصل على صفر بسبب وجود انخفاض كامل بين الأجزاء السالبة والأجزاء الموجبة من التكامل. ثم ، إذا كنت تأخذ الحد الأقصى ، متى $$$L$ يميل إلى ما لا نهاية ، سيكون حد الصفر صفرًا. لا يوجد غموض في هذا البيان.

وبالتالي ، بإضافة أجزاء من التكامل في الترتيب المشار إليه ، نحصل على التكامل ، الذي يساوي الصفر. لكن النتيجة تعتمد على الترتيب الذي نضع فيه هذه الأجزاء. على وجه الخصوص ، إذا قمنا ببساطة بتغيير بداية التكامل ، وبدأنا بالابتعاد عن البداية الجديدة ، فسوف نحصل على إجابة مختلفة. دعونا نلقي نظرة على الحد مرة أخرى $$$L$ يميل إلى اللانهاية ، ولكن بدلاً من الاندماج من $$$-L$ من قبل $$$L$ سوف نندمج من $$$a-l$ من قبل $$$a + L$ .

هذا هو في الواقع نفس التكامل ، لقد انتقلنا للتو إلى يميننا بداية اندماجنا. في حالة معينة $$$a$ يساوي صفر ، ونحصل على نفس الشيء كما كان من قبل ، ولكن إذا $$$a$ لا تساوي الصفر ، هذا يعني أنه يتم حساب تكاملنا بدءًا من $$$x = a$ ليس من $$$x = 0$ .

أولا يجب علينا حساب تكامل $$$a-l$ من قبل $$$a + L$ ثم تأخذ الحد الأقصى عندما $$$L$ نسعى جاهدين إلى اللانهاية ، ونرى ما نحصل عليه.

من السهل فهم ما نحصل عليه. بمجرد $$$L$ يكبر $$$a$ ، لم تعد الإجابة تتغير مع الزيادة $$$L$ . عندما نزيد $$$L$ ، نضيف جزءًا سلبيًا إلى اليسار ، ونفس الجزء الإيجابي على اليمين ، وهما يحيدان بعضهما البعض. متى $$$L = a$ ، سيكون التكامل من 0 إلى 2 $$$a$ . في التكامل سيكون هناك فقط قيم موجبة للدالة ، سيكون فاصل التكامل 2 $$$a$ ، هذا يعني أن التكامل سيكون 2 $$$a$ . لأي قيم كبيرة $$$L$ سيكون التكامل هو نفسه لأنه $$$L$ كما قلت ، لقد قللنا للتو من إضافة القيم الإيجابية على اليمين والقيم السلبية على اليسار. لذلك ، فإن الحد في هذا التكامل له قيمة محددة تساوي 2 $$$a$ .

$$$a$ - هذا هو الرقم الذي بدأ منه التكامل ، لذلك يمكن أن يكون أي شيء. يمكننا الاختيار $$$a$ كما نريد. وبالتالي ، يمكننا الحصول على أي إجابة نريدها إذا تمكنا من إضافة أجزاء من التكامل في أمر تعسفي. هذا هو عدم اليقين الأساسي للتكاملات المتقاربة بشكل مشروط. سنرى أن محاولة جمع القوى التي تعمل على جسيم في توزيع كتلة لانهائي هي مجرد تكامل متقارب مشروط. لذلك ، يمكننا الحصول على أي إجابة نريدها ، ولن يعني أي شيء ما لم تفعل ذلك بعناية شديدة.

مشكلة إضافة قوى الجاذبية

أريد الآن حساب القوة المؤثرة على جسيم في توزيع لا نهائي للمادة ، وأظهر أنه يمكنني الحصول على إجابات مختلفة ، اعتمادًا على الترتيب الذي سأضيف فيه قوى الجاذبية. في كل مثال ، سأضيف قوة في ترتيب معين وسأحصل على إجابة معينة ، ولكني سأحصل على إجابات مختلفة ، اعتمادًا على ترتيب الإضافة الذي أختاره.

دعونا نحاول حساب قوة الجاذبية في مرحلة ما $$$P$ في التوزيع اللامتناهي للمادة. تملأ المادة الشريحة ، وكل المساحة ، إلى ما لا نهاية. سنضيف مساهمة الجاذبية لكل هذه المادة بترتيب معين.

في حسابنا الأول ، نضيف قوى الجاذبية من مادة موجودة في قذائف متحدة المركز تتمركز عند نقطة $$$P$ . أولاً نأخذ القشرة الداخلية ، ثم القشرة الثانية ، القشرة الثالثة ، إلخ. يبتعد عن المركز. في هذه الحالة ، من السهل أن نفهم أن القوة تعمل على النقطة $$$P$ محسوبة في هذا الترتيب هو 0 ، لأنه لكل قذيفة $$$P$ تقع في المركز ، وبسبب اعتبارات التماثل ، يجب تعويض القوى. في الواقع ، إنه معروف ، وسنستغل قريبًا هذه الحقيقة بأن مجال الجاذبية للقشرة داخل القشرة هو صفر. وقد أثبت نيوتن ذلك. وخارج القشرة ، يبدو مجال الجاذبية تمامًا كما لو كان كل مادة القشرة مركزة في مركزها. من الواضح أنه في هذه الحالة قوة الجاذبية عند هذه النقطة $$$P$ يساوي 0.

الآن سننظر في حالة أكثر تعقيدًا ، حيث نقوم أيضًا بحساب قوة الجاذبية عند نقطة ما $$$P$ . لكننا سنستخدم قذائف كروية تتمحور حول نقطة أخرى ، $$$Q$ . الآن $$$Q$ يحدد القذائف التي سنستخدمها لزيادة القوة. سنضيف أيضًا قوى من جميع الأصداف من الصفر إلى اللانهاية ، أي اجمع كل القوى عند هذه النقطة $$$P$ من كل التوزيع اللامتناهي للمادة. لكننا سنضيف هذه القوات بترتيب مختلف ، لأننا سنأخذ القذيفة التي تتمركز في $$$Q$ . أولاً ، ننظر إلى مساهمة المنطقة المظللة ، وهي جميع الأصداف حولها $$$Q$ نصف قطرها أقل من المسافة من $$$Q$ من قبل $$$P$ . لكل هذه القذائف ، النقطة $$$P$ تقع خارج القشرة. لذلك ، تعمل كل قشرة بنفس الطريقة تمامًا مثل كتلة نقطة تساوي الكتلة الكلية للقشرة المركزة عند نقطة $$$Q$ مركز جميع القذائف. وبالتالي ، فإن المادة الموجودة في المنطقة المظللة تساهم في القوة عند هذه النقطة $$$P$ مساوية للقوة التي ستخلقها كتلة مظللة إذا كانت كلها مركزة في نقطة $$$Q$ .

من ناحية أخرى ، ستكون جميع القذائف الأخرى قذائف لها $$$P$ تقع في الداخل. $$$P$ لم يعد في وسط هذه القذائف ، ولكن اكتشف نيوتن أنه لا يهم. داخل الغلاف الكروي ، تكون قوة الجاذبية صفر في أي مكان ، بغض النظر عن مدى قربها من الحدود. يتم تعويض جميع القوى من أجزاء مختلفة من القشرة بدقة. إذا اقتربنا من الحدود ، يمكننا أن نفترض أنه سيكون هناك جاذبية في اتجاه هذه الحدود. في الواقع ، في هذه الحالة ، تصبح قوة الانجذاب إلى جسيم معين عند هذا الحد أقوى ، لأنها متناسبة $$$1 / r ^ 2$ . ولكن مع اقترابنا من الحدود ، هناك المزيد والمزيد من الجوهر على الجانب الآخر. وهذان التأثيران يلغيان بعضهما البعض تمامًا. بالمناسبة ، حقيقة أن القوة المؤثرة على جسيم داخل الغلاف هي صفر يمكن إثباتها بسهولة باستخدام قانون غاوس للجاذبية.

لذلك ، لا تساهم الأصداف الخارجية. وجدنا أن القوة عند هذه النقطة $$$P$ يساوي القوة الناتجة عن الكتلة المظللة. تسارع الجاذبية عند نقطة $$$P$ يتم تحديده بواسطة صيغة بسيطة: تساوي G ضرب الكتلة الكلية للمنطقة المظللة مقسومة على $$$b ^ 2$ أين $$$b$ يساوي المسافة بين $$$Q$ و $$$P$ ، ومضروبًا في متجه وحدة موجه من $$$Q$ جانبا $$$P$ :

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

وهذه قيمة غير صفرية. وبالتالي ، نحصل على نتيجة صفرية أو غير صفرية اعتمادًا على الترتيب الذي نجمع فيه القوى من توزيعنا اللامتناهي للمادة. بالإضافة إلى ذلك ، يمكننا الحصول على أي إجابة ، لأنه يمكننا الاختيار $$$b$ أيا كان. الجواب يعتمد على $$$b$ ويصبح كبيرًا بشكل تعسفي مع نموه $$$b$ . قد يبدو أن الاستجابة تنخفض مع الزيادة $$$b$ لكنها في الحقيقة تنمو ككتلة $$$M$ ينمو مثل $$$b ^ 3$ . يمكننا اكتساب القوة في أي اتجاه عن طريق الاختيار $$$Q$ في الاتجاه الصحيح من $$$P$ . في الواقع ، يمكننا الحصول على أي إجابة باستخدام هذه الطريقة لزيادة القوة.

المشكلة هي أن هذه الأصداف غير موجودة بالفعل. نحن فقط نعمل عقليا مع هذه القذائف. يتم توزيع المادة بالتساوي ولا توجد قذائف. القذائف هي أشياء عقلية بحتة لا ينبغي أن تؤثر على الاستجابة. إنهم يحددون فقط الترتيب الذي نلخص فيه قوى الجاذبية.