تعديل السعة للإشارة التعسفية

كما تعلمون ، AM هي نوع من التشكيل يتغير فيه اتساع إشارة الموجة الحاملة وفقًا لقانون إشارة التشكيل (المعلومات). هناك العديد من المصادر مع وصف نظري وعملي ل AM. يتم إعطاء الوصف ، أولاً وقبل كل شيء ، من أجل إظهار تكوين التردد لإشارة AM. كإشارة تعديل ، عادة ما يتم النظر في إشارة أحادية النغمة. يتم تعيين هذه الإشارة بواسطة دالة جيبية بسيطة. كانوا يسألونني دائمًا ، وتساءلت عن كيفية وصف AM في حالة وجود إشارة تعسفية كإشارة تعديل. إنها إشارة اعتباطية ، يتكون طيف ترددها من العديد من المكونات ، وهو أمر مهم ، حيث يتم استخدام AM في البث لإرسال الصوت.

دعونا نحاول وصف AM للحالة المذكورة أعلاه ، مع الأخذ في الاعتبار أنه يمكن تمثيل إشارة التشكيل كمجموع مستمر من إشارات بسيطة أحادية النغمة لترددات مختلفة ذات سعة وأطوار مختلفة. دون الدخول في تعقيدات التحليل الرياضي ، يمكن كتابة هذه الإشارة كمجموع مستمر (تكامل فورييه):

$$

$$S (t) = \ int \ limits_0 ^ مللي أمبير (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df، \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ (1)$$

أين $$$م$ - الحد الأعلى لتردد الإشارة (نطاق إشارة التشكيل) ، $$$f$ هو متغير التكامل المسؤول عن التردد و $$$f \ in (0؛ m]$ . وظائف $$$A (f)$ و $$$\ varphi (f)$ - اتساع وطور مكون الإشارة عند التردد $$$f$ .

تكامل هذه الصيغة هو ما يسمى الالتواء المثلثي في ​​شكل طور السعة لمصطلح سلسلة فورييه التي يمكن توسيع الإشارة فيها. يمكن أن يسمى التكامل في (1) تكامل فورييه ، لأنه في الواقع ، هو مجموع مستمر ، أي سلسلة فورييه المستمرة التي تتحلل فيها الإشارة الأصلية. يعطي توسيع الإشارة في سلسلة مماثلة فكرة عن تكوين التردد لهذه الإشارة. وبالتالي ، يتم تقديم إشارة التشكيل الأولية كمجموع مستمر من الجيوب الأنفية (في هذه الحالة ، للراحة ، $$$cos$ ) ترددات مختلفة $$$f$ من $$$0$ من قبل $$$م$ ، لكل منهم سعة اتساع خاصة به $$$A (f)$ تحول المرحلة $$$\ varphi (f)$ . الوظيفة $$$A (f)$ يمثل طيف التردد للإشارة الأصلية $$$S (t)$ .

تجدر الإشارة إلى أن الإشارة تعتبر لفترة محدودة من الزمن. $$$t \ في [0 ؛ t_0]$ . بشكل عام ، عندما يتعلق الأمر بإشارة صوتية ، كقاعدة عامة ، يكون طيف التردد منطقيًا عمليًا للنظر في أجزاء الإشارة القصيرة جدًا. من الواضح أنه كلما طالت مدة الإشارة ، ستظهر مكونات التردد المنخفض (تقترب من الصفر) في التكوين الطيفي ، والذي لا يمكن مقارنته مع الترددات الصوتية في النطاق المسموع.

بالإضافة إلى إشارة التشكيل ، هناك إشارة نغمة ، وهي تذبذب حامل بتردد $$$f_c$ السعة $$$C$ والمرحلة الأولية الصفرية:

$$

$$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct)، \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ (2)$$

علاوة على ذلك $$$f_c \ gg m$ . في الواقع ، في البث ، يكون تردد الموجة الحاملة أكبر بكثير من عرض النطاق الترددي للإشارة المرسلة.

الآن ننتقل مباشرة إلى عملية تعديل السعة.

إشارة AM معروفة $$$S_ {AM}$ هناك نتيجة لمضاعفة إشارة الموجة الحاملة وإشارة التشكيل ، المتحيزة سابقًا و "المفهرسة" في مؤشر التشكيل $$$k$ ، أي

$$

$$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t)). \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ (3)$$

لتجنب ما يسمى بالتضخم الزائد $$$k \ in (0؛ 1)$ .

نستبدل البيانات الأولية (1) و (2) في التعبير (3) ، ونفتح الأقواس ، وندخل في التكامل المستقل عن متغير التكامل $$$f$ بعض العوامل:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Big (1 + k \ int \ limits_0 ^ مللي أمبير (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Big) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ limit_0 ^ مللي أمبير (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df.$$

نطبق الصيغة المثلثية المدرسة المعروفة لتحويل المنتج لوظائف Integrand:

$$

$$\ sin a \ cos b = \ frac12 \ Big (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Big).$$

هذه الصيغة أساسية في AM وتؤكد على نفس "الجانبين" في التكوين الطيفي لإشارة AM.

استمرارًا للمساواة ، نقسم تكامل المجموع الناتج إلى مجموع تكاملين ، وقم بتوسيع الأقواس وإخراج الأقواس من العوامل الضرورية في حجج الدالات:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ مللي أمبير (f) \ frac12 \ Big (\ sin (2 \ pi f_ct- (2 \ pi ft + \ varphi ( f)) + \\ + \ sin (2 \ pi f_ct + (2 \ pi ft + \ varphi (f)) \ Big) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t + \ varphi (f)) df.$$

تمثل المصطلحات الثلاثة الناتجة على التوالي ، كما يتضح من المساواة ، إشارة الناقل ، إشارات الجانب "السفلي" والجانب "العلوي". قبل إعطاء تفسير ملموس ، نواصل المساواة من خلال تطبيق طريقة الاستبدال المتغيرة في التكوين التالي:

$$

$$\ start {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f)، \؛ dw = \ pm df، \\ df = \ pm dw، \؛ f = \ pm (w-f_c) ، \\ w (0) = f_c ، \ ؛ w (m) = (f_c \ pm m). \ end {bmatrix}.$$

سوف نستخدم هذا الاستبدال:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w) \ sin (2 \ pi wt - \ varphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ pi wt + \ varphi (w-f_c)) dw$$

من خلال تبديل حدود التكامل في التكامل الأول (ونتيجة لذلك ستتغير العلامة أمام التكامل إلى العكس) ، يمكننا دمج التكاملين في واحد. علاوة على ذلك ، يمكن أيضًا إدخال المصطلح الأول الذي يصف إشارة الموجة الحاملة. في هذه الحالة ، بطبيعة الحال ، يجب تعميم وظائف Integrand للسعة والطور. كل هذا يتم بشكل مشروط ومن أجل عرض أكثر تفصيلاً ، دون الدخول في تعقيدات التحليل الرياضي. وبالتالي ، اتضح:

$$

$$S_ {AM} (t) = \ int \ limits_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi wt + \ psi (w)) dw،$$

أين

$$

$$B (w) = \ start {cases} \ frac12kCA (f_c-w)، \؛ \؛ \؛ (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C، \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \ ؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c)، \؛ \؛ \؛ f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases} \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \ ؛ \ ؛ (4)$$

و

$$

$$\ psi (w) = \ start {cases} - \ varphi (f_c-w)، \؛ \؛ \؛ (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0، \؛ \؛ \؛ \؛ \ ؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ w = f_c \\ \ varphi (w-f_c)، \؛ \؛ \؛ f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases}. \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \ ؛ \ ؛ \ ؛ (5)$$

وهكذا ، تم إدخال وظائف جديدة محددة بالقطعة (4) و (5) تصف التغير في السعة والطور كدالة للتردد. بالنظر إلى مكونات الوظيفة (4) ، يمكن للمرء أن يلاحظ أن المكون الثالث يتم الحصول عليه عن طريق النقل الموازي للدالة $$$A (f)$ على $$$f_c$ ، والأول - مع انتشار مرآة مبدئي. الثوابت الثابتة أمام الوظائف ، والتي تقلل من السعة ، لا أحسبها. أي في طيف إشارة AM توجد ثلاثة مكونات: الحامل والجانب العلوي والجانب السفلي ، والتي انعكست في (4).

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه يمكن وصف AM باستخدام نهج أكثر تعقيدًا يعتمد على الإشارات المعقدة والأرقام المعقدة. لا تحتوي الإشارة المعتادة التي تمت مناقشتها في هذه المقالة على مكون وهمي. مع الأخذ في الاعتبار التمثيل باستخدام الرسوم البيانية المتجهة على المستوى المعقد ، تتكون الإشارة بدون مكون وهمي من إشارتين معقدتين مع كلا المكونين. هذا واضح إذا قمنا بتمثيل إشارة أحادية النغمة كمجموع متجهين يدوران في اتجاهين متعاكسين بشكل متناظر فيما يتعلق بالمحور x (إعادة). تعادل سرعة دوران هذه المتجهات تردد الإشارة واتجاه إشارة التردد (موجبة أو سالبة). ويترتب على ذلك أن طيف التردد للإشارة التي لا تحتوي على مكون وهمي ليس له مكون إيجابي فحسب ، بل أيضًا مكون سلبي. وبطبيعة الحال ، فهي متناظرة بالنسبة للصفر. مع هذا التمثيل يمكن القول أنه في عملية تعديل السعة ، يتم نقل طيف إشارة التشكيل على مقياس تردد إلى اليمين من صفر إلى تردد الناقل (واليسار أيضًا). في هذه الحالة ، لا يحدث "الجانب السفلي" ، فهو موجود بالفعل في إشارة التشكيل الأصلية ، على الرغم من أنه يقع في نطاق التردد السلبي. يبدو الأمر غريباً للوهلة الأولى ، لأنه في الطبيعة ، يبدو أنه لا توجد ترددات سلبية. لكن الرياضيات تقدم العديد من المفاجآت.