تعديل السعة على الأصابع

في مقال حديث بعنوان " تعديل السعة لإشارة اعتباطية " ، حاول كاتبها بشكل غامض تقديم فهمه لتشكيل الطيف بتعديل السعة. لكن الافتقار إلى الرسوم التوضيحية وزيادة الرياضيات التي تنطوي على تحولات متكاملة منعت المجتمع من فهم أفكار المؤلف وتقدير المقالة ؛ في حين أن الموضوع بسيط للغاية - وسنحاول النظر فيه مرة أخرى ، هذه المرة بالصور و Wolfram Mathematica.

لذا ، فإن فكرة تعديل السعة هي إرسال إشارة منخفضة التردد - صوت أو موسيقى - تعديل إشارة عالية التردد (حامل) ، تتجاوز عدة مرات النطاق المسموع وتحتل نطاق تردد ضيق في الهواء. يتم إجراء التعديل نفسه ببساطة عن طريق ضرب الإشارة من قبل الناقل:





هنا لدينا موجة جيبية بتردد 5:





والإشارة نفسها - بتردد 1:





قد تلاحظ تحول الإشارة لأعلى ولها قيم إيجابية فقط. هذا ليس من قبيل الصدفة وهو شرط مسبق لإمكانية الاستعادة الصحيحة اللاحقة. كيفية استعادته؟ سهل جدا! من الضروري تحويل طور الإشارة المشكّلة بمقدار 90 درجة (العملية المعروفة باسم تحويل هيلبرت ) ، وحساب جذر مجموع مربعات الإشارات المحولة والمحوّلة:





في نسخة أبسط (ولكن تقريبية) ، يمكن استبدال تحويل هيلبرت بتأخير إشارة بمقدار ربع فترة تردد الموجة الحاملة ، ويمكن أيضًا تصفية الإشارة النهائية عن طريق مرشح تمرير منخفض. في إصدار أبسط ، لا يمكنك حساب الجذور والمربعات على الإطلاق ، ولكن تصفية الإشارة بالقيمة المطلقة (التي تستخدم عادة في أجهزة استقبال الراديو).

الآن دعونا نرى ما يحدث مع الأطياف. نحسب تحويل فورييه للناقل:





نظرًا لأن وظيفة Dirac delta ليست دالة بالمعنى الكلاسيكي ، فلا يمكن إنشاء رسمها البياني بطريقة قياسية ؛ لذلك ، سنقوم بذلك يدويًا باستخدام النمط المقبول بشكل عام:





تلقي نفس التردد المتوقع كما في الصيغة الأولية. إن وجود واحد أكثر من نفس التردد ، ولكن مع علامة الطرح ، ليس من قبيل الصدفة - هذه الظاهرة تسمى التناظر الهرميتي وهي نتيجة لحقيقة أن الوظيفة المعنية حقيقية بحتة وفي التمثيل المعقد لا يحتوي على مكون وهمي صفري. يرجع عدم وجود مكونات وهمية في الطيف بعد التحويل إلى حقيقة أن وظائفنا في البداية (حتى متماثلة بالنسبة للصفر).

نقوم الآن بتحويل فورييه للإشارة نفسها:









بالإضافة إلى ذلك ، حصلنا أيضًا على وظيفة Dirac delta في مركز الإحداثيات - نظرًا لوجود مكون ثابت في الإشارة ، والذي لا يحتوي على تذبذبات حسب التعريف - مما يسمح لنا بالنظر إليها على أنها تردد صفر.

ماذا سيحدث للطيف إذا تضاعفت؟ دعونا نرى:









من الناحية النظرية ، نعلم أن الضرب في المجال الزمني يعادل الالتواء في مجال التردد (والعكس بالعكس ، والذي يستخدم على نطاق واسع في تصفية FIR). وبما أن إحدى الإشارات المعرضة للانحراف تتكون من تردد واحد (إيجابي وسالب) فقط ، ونتيجة لذلك ، حصلنا فقط على تحويل خطي للإشارة إلى الأعلى في التردد (في كلا الاتجاهين). وبما أن التناظر بقي ، فإن الإشارة لا تزال لا تحتوي على مكون وهمي.

نأتي الآن إلى شكل معقد ( تحليلي ) ، مع صفر نطاق التردد السلبي:





وقم بعمل تحويل فورييه المعكوس:





نظرًا لأن الوظيفة معقدة الآن ، لإنشاء رسمها البياني ، من الضروري استخراج المكونات الحقيقية والخيالية بشكل منفصل:





الآن تحتوي إشارتنا على مكون وهمي ، وهو أن الإشارة الأصلية تحولت بمقدار 90 درجة. سيكون هذا أكثر وضوحًا إذا قمنا بتمثيل الدالة الناتجة في شكل مثلثي:





ليس واضحا جدا حتى الان. دعونا نحاول تبسيط:





الآن يبدو الأمر أشبه بالحقيقة - وكما ترون ، تم تبسيط وظيفة الإشارة الأصلية أيضًا. دعنا نحاول إعادته إلى شكله الأصلي:





لم يظهر العامل 1/2 بالصدفة - بعد أن قمنا بتصفير نصف الطيف ، قمنا بتخفيض قدرة الإشارة وفقًا لذلك. حسنًا ، الآن ، بعد وجود إشارة معقدة مركبة ، يمكننا أخذ هذه الوحدة لحساب:





يتم حساب معامل العدد المركب بدقة من خلال جذر مجموع مربعات المكونات الخيالية والحقيقية. ومن هذا يتضح لماذا يجب أن تتكون الإشارة المشفرة من قيم موجبة فقط - إذا كانت تحتوي على قيم سالبة ، فإنها بعد ذلك ستصبح إيجابية أيضًا ، والتي تسمى التعديل المفرط:





يمكن أيضًا استعادة الإشارة بمساعدة مذبذب محلي تربيعي - عندما يتم ضرب الإشارة المشكّلة مرة أخرى في تردد الموجة الحاملة ، ولكن هذه المرة تكون معقدة:













نظرًا لحقيقة أن التردد المعقد في مجال التردد يحتوي على نبضة واحدة فقط دون تكرارها في نطاق التردد السلبي ، ونتيجة للالتفاف ، نحصل على انتقال طيف خطي ، حيث يعود الجزء السلبي من الطيف إلى المركز ، ويتحرك الجزء الإيجابي إلى أبعد من ذلك ، و سيتم تصفيتها فقط بواسطة مرشح تمرير منخفض.

الخلاصة

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في النظر في تعديل السعة من خلال تحويل فورييه ؛ إذا اعتبرناها حصريًا على مستوى المدرسة ، يكفي أن نتذكر أن منتج المبلغ (الناقل) (الذي يمثل الإشارة في شكل سلسلة مثلثية) يعادل مجموع المنتجات (كل عضو في السلسلة بشكل فردي على تردد الناقل) - وبناءً عليه ، يتحلل كل منتج إلى مجموع اثنين من الجيوب الأنفية وفقًا للصيغة التي عبر عنها مؤلف المقالة الأصلية.

يمكن للقارئ اليقظ أيضًا أن يلاحظ أنه نظرًا لأن التشكيل أدى إلى طيف متناظر فيما يتعلق بتردد الموجة الحاملة ، فهذا يعني وجود تكرار للبيانات ويمكنك ترك نطاق جانبي واحد فقط ، وبالتالي تقليل نطاق التردد المشغول على الهواء. هذه التكنولوجيا هي حقا هناك ، وإنما هو - هو قصة أخرى.