نظرية السعادة. قانون تقشير البطيخ وطبيعية الشذوذ

أمثل الفصول المضطربة من كتابي "نظرية السعادة" مع العنوان الفرعي "الأسس الرياضية لقوانين التسامح" إلى محكمة قراء هبر. لم يتم نشر هذا الكتاب العلمي المشهور بعد ، حيث يتحدث بشكل غير رسمي للغاية عن كيف تسمح لك الرياضيات بالنظر إلى العالم وحياة الناس بدرجة جديدة من الوعي. إنه لمن يهتم بالعلوم ولأولئك الذين يهتمون بالحياة. وبما أن حياتنا معقدة ، وعلى العموم ، لا يمكن التنبؤ بها ، فإن التركيز في الكتاب ينصب بشكل أساسي على نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. هنا لم يتم إثبات النظريات ولم يتم إعطاء أساسيات العلم ، وهذا ليس كتابًا بأي شكل من الأشكال ، ولكن ما يسمى العلم الترفيهي. ولكن هذا النهج الدقيق تقريبًا هو الذي يسمح لنا بتطوير الحدس ، وإضاءة المحاضرات للطلاب بأمثلة حية ، وأخيرًا ، شرح لغير الرياضيين وأطفالنا ما الذي وجدناه مثيرًا للاهتمام في علمنا الجاف.



في هذا الفصل ، نبدأ بتحليل البطيخ وقشورها ، ومعرفة صلتها بقانون مورفي الشهير ، والتأكد بكل شدة من عدم مناقشة الأذواق.

هل يبدو لي وحدي أنني طبيعي؟

كم من الوقت نشعر بالحيرة عند مشاهدة الأخبار أو قراءة التعليقات عليها: "هل هناك أناس عاديون في هذا العالم؟!" يبدو أنه يجب أن يكون هناك ، لأننا كثيرون ، وفي المتوسط ​​، يجب أن نكون طبيعيين. ولكن في نفس الوقت ، يقول الحكماء أن كل واحد منا فريد. والمراهقون على يقين من أنهم مختلفون بالتأكيد عن الكتلة الرمادية "للأشخاص العاديين" وليسوا مثل أي شخص آخر.

بالطبع ، رأى القراء المطلعون على الإحصائيات مرات عديدة كيف ، بالنسبة للتوزيعات غير المتماثلة المختلفة ، لا يتطابق الوضع (الحد الأقصى على الرسم البياني لكثافة الاحتمال) مع متوسط ​​القيمة أو التوقعات الرياضية. أي أن متوسط ​​القيمة لا يتوافق مع أعلى كثافة احتمالية ، ولكن على الرغم من كل ذلك ، فمن المتوقع أن يكون ، إذا لم يكن الأكثر تكرارًا ، هو المسيطر على الأقل. ومع ذلك ، ليس كل شيء بهذه البساطة. حتى الآن ، نظرنا في توزيعات أحادية المتغير - توزيعات في فضاء النتائج أحادي البعد. لكن الحياة متعددة الأوجه ، وبالتأكيد ليست ذات بعد واحد! وعند إضافة أبعاد إضافية ، يمكن أن تحدث أشياء غير متوقعة تمامًا.

واحدة من ميزات الهندسة متعددة الأبعاد هي زيادة في حصة القيم الحدودية في حجم محدود. هذا هو المقصود. ضع في اعتبارك المشكلة الكلاسيكية للبطيخ في المساحات ذات الأبعاد المختلفة وابدأ في معرفة مقدار عجينة السكر الرائعة التي سنحصل عليها من هذا البطيخ الضخم والقوي الذي يسيل اللعاب ، إذا قطعناه ، نجد أن سمك قشره لا يتجاوز $$ من نصف قطرها؟ يبدو أن $$ هذا كثير من الألم ، لكن انظر إلى الشكل في بداية المقال ، ربما نجد بطيخًا ذا أبعاد كبيرة مقبولة تمامًا.

لنبدأ ببطيخ أحادي البعد - هذا عبارة عن عمود وردي ، وقشره جزءان صغيران أبيضان على طول الحواف. سيكون الطول الكلي للقشرة - هذا تناظريًا للحجم في عالم أحادي البعد - $$ من إجمالي طول البطيخ. سيكون البطيخ ثنائي الأبعاد على شكل فطيرة ، القشرة على شكل حلقة بيضاء ، أصغر في المساحة من الجزء الداخلي ، بالفعل ثلاث مرات فقط. في العالم المعتاد ثلاثي الأبعاد ، ستكون مثل هذه القشرة تقريبًا $$ الحجم الكلي. هناك صيد.

الأسهم التي يشغلها التقشير في بطيخ بأبعاد مختلفة.

بالنسبة للكرة ، وكذلك لجسم ذي شكل تعسفي ، يمكننا الحصول على اعتماد نسبة حجم القشرة إلى الحجم الكلي للجسم. يتم التعبير عنها من خلال نسبة سمك القشرة إلى الحجم المميز للجسم $$ وهي دالة أسية لبعد الفضاء $$ :

$$

فيما يلي رسم بياني لنمو نسبة نصف قطرها خمسة عشر بالمائة من قشرة البطيخ في حجمه ، مع زيادة أخرى في أبعاد الفضاء.


في الفضاء الرباعي الأبعاد ، لن يترك لنا البطيخ القصير البطيخ تقليديًا سوى نصف الجسد ، وفي العالم الحادي عشر لا يمكننا أن نتغذى إلا على $$ من البطيخ كله ، ورمي القشرة التي يتكون منها $$ نصف قطرها!

لذا ، نحن على استعداد لصياغة القانون العميق لقشر البطيخ :

شراء البطيخ متعدد الأبعاد ، يمكنك الحصول على قشرته.

إنه عار بالطبع ، ولكن ما علاقة ذلك بالحياة الطبيعية في عالمنا وقوانين اللؤم؟ للأسف ، هو الذي يعيق البحث عن ما يسمى "المتوسط ​​الذهبي" ، ويخفّض نتائج استطلاعات الرأي ويزيد من دور المشاكل غير المتوقعة.

والحقيقة هي أن مساحة الأشخاص بكل بارامتراتهم هي في الأساس متعددة الأبعاد. يمكن اعتبار الأبعاد المستقلة تمامًا الطول والوزن والعمر والثروة الواضحة ، بالإضافة إلى مستويات التطور الفكري (IQ) والعاطفي (EQ) ، وأخيرًا ، يمكن ملاحظتها ، وإن كانت ملامح الوجه غير رسمية ، أو السمات الشخصية ، مثل مستوى التحدث ، العناد أو الغرور. يمكننا بسهولة حساب عشرات المعلمات ونصف التي تميز الشخص. ولكل من هذه المعايير هناك "معيار" معين محدد إحصائيًا - القيمة الأكثر توقعًا ، وأكثر من ذلك ، غالبًا ما تتم ملاحظتها. كم عدد الأشخاص في مثل هذه المساحة الثرية من المعلمات التي ستكون نموذجية من جميع النواحي؟ يمكن أيضًا استخدام التعبير الذي استخدمناه لحساب نسبة أحجام التقشير والبطيخ لحساب احتمالية التواجد بين أشخاص "غير طبيعيين" على الأقل. في الواقع ، فإن احتمال استيفاء جميع معايير النموذجية يساوي في الوقت نفسه نتاج احتمالات كونه نموذجي لكل معيار على حدة.

الآن سنبسط المهمة إلى حد كبير حتى لا نكتب صيغًا مخيفة ، والتي لا يمكن وفقًا لها حساب أي شيء بشكل صحيح. لنفترض أن صفات الأشخاص في كل اتجاه تطيع توزيعًا طبيعيًا (غوسيًا) حول قيمة متوسطة معينة. هذا ، بالطبع ، جريء للغاية ، ولكنه معقول تمامًا لأغراضنا ، لأننا لا نتحدث عن مجموعة محددة من الخصائص ، ولكن ، بصراحة ، نتخيل ، نحاول صياغة شيء محدد على الأقل في مثل هذا الموضوع المهتز. لذلك ، من السابق لأوانه تحميل التفاصيل حتى تظهر الصورة العامة. لذا ، قمنا بإخضاع جميع المعايير للتوزيع الطبيعي بوسائلنا واختلافاتنا. لذا ، يمكننا تحديد معلمات الشخص الأكثر نموذجية في العالم ، وحساب الانحرافات عنها. بالإضافة إلى ذلك ، نحن لا نهتم بقيم التشتت المحددة التي تظهر لكل معيار ، لأننا مهتمون فقط باحتمال تجاوز الانحراف المعياري ، ولا تعتمد هذه القيمة على حجم التوزيع نفسه. كل هذا يؤدي إلى حقيقة أننا لو سمحنا بذلك $$ احتمالية أن تكون خارج المنطقة يحدها الانحراف المعياري (لتظهر في "القشرة" الخارجية للتوزيع ، والتي من المحتمل ألا تكون مثل قشرة البطيخ ، ولكن من الغلاف الجوي للأرض ، والابتعاد إلى الفضاء الخارجي ، لتصبح أرق وأرق) ، شيء غير طبيعي عند التفكير $$ سيتم حساب المعايير بواسطة صيغة "البطيخ":

$$

لتوزيع غوسي $$ أين $$ - الانحراف المعياري.

احتمالات كونها "غير طبيعية" لعدد مختلف من معايير المقارنة و "شدة" مختلفة في تعريف القاعدة. تختلف الرسوم البيانية العلوية والسفلية في أنه عند تحديد "الحالة الطبيعية" ، يستخدمون نصف قطر انحراف معياري واثنين على التوالي.

حسنًا ، اتضح أنه من الطبيعي أن تكون غير طبيعي إلى حد ما على الأقل. تقييم الأشخاص وفقًا للمعايير العشرة الأولى ، كن مستعدًا لحقيقة أن 2 ٪ فقط من إجمالي السكان سيكونون عاديين تمامًا. علاوة على ذلك ، بمجرد العثور عليها ، سيصبحون على الفور مشاهير ، بعد أن فقدوا ميديتهم!

نفس قانون اللئيم

ينص أحد قوانين العفة التقليدية ، التي صيغت في قلوب المهندس إدوارد ميرفي ، على ما يلي:

"كل شيء يمكن أن يحدث بطريقة خاطئة سيحدث خطأ".

إنه أعمق إلى حد ما من العبارة التافهة أن جميع النتائج ، حتى الأكثر احتمالاً ، لوحظت في العينة الكاملة.

افترض أن بعض الأعمال مطلوبة لإكمال سلسلة من الإجراءات ، ولكل منها احتمال ضئيل للفشل. ما هي احتمالية أن يمر كل شيء دون وجود عوائق؟ الأمر بسيط - تحتاج إلى مضاعفة احتمال النجاح لجميع الخطوات. ثم يتم تشغيل قانون تقشير البطيخ: كلما زاد عدد الخطوات ، زاد دور الحدود ، في حالتنا ، حالات الطوارئ. عشرات الخطوات تكفي لحدوث خطأ بنسبة 5٪ على كل منها لزيادة احتمال فشل كل شيء إلى 50٪! وينطبق الشيء نفسه على الأنظمة المعقدة التي تحتوي على أجزاء كثيرة ، وقد يفشل كل جزء منها. في أبسط الحالات ، يتم حساب احتمال فشل النظام من احتمال فشل كل جزء وفقًا لنفس قانون تقشير البطيخ.

إن تفكيرنا بسيط للغاية ، وقانون مورفي عاطفي أكثر من كونه موضوعي ويبدو وكأنه حقيقة بديهية ، ولكن مع ذلك ، من هذه الملاحظة بدأ علم كبير جديد في الأربعينيات والخمسينيات من القرن العشرين: نظرية الموثوقية. وأضافت الوقت ، والترابط بين عناصر النظام ، والاقتصاد ، وكذلك العامل البشري ، ووجدت تطبيقًا خارج العلوم الهندسية: في الاقتصاد ، ونظرية التحكم ، وأخيرًا في البرمجة.

سنعود إلى هذا الموضوع عندما ندرس قانون اليوم الأخير ، الذي يجبر الطابعة على التخلص من النفايات في يوم اكتمال المشروع. قانون مورفي ، العريق - قوة رهيبة حقا! في غضون ذلك ، نعود إلى موضوع التفرد والطبيعية.

السعادة هي العثور على أصدقاء بنفس تشخيصك.

كلنا مختلفون ، هذا أمر مفهوم ، ولكن هل من الممكن إثارة مسألة الامتثال لأي معيار على الإطلاق ، هل نحاول التقييم والمقارنة؟ تسأل ، ما هو الخطأ في ذلك؟ نقارن دائمًا شخصًا بشخص ما ، غالبًا ، بأنفسنا مع الآخرين ، ولكن في بعض الأحيان نسمح بتقييم شخص آخر. ومع ذلك ، من وجهة نظر الرياضيات ، كل شيء ليس بهذه البساطة.

للمقارنة هو تحديد علاقة النظام . وهذا يعني أن أحد عناصر مجموعة معينة يسبق عنصرًا آخر. تعلمنا هذا حتى في المدرسة: 2 أقل من 20 ، الفيل أضعف من الحوت ، والعقد أغلى من المال ، إلخ. ولكن هنا عدد من الأسئلة. ماذا يأتي قبل الاثنين أو الثلاثاء؟ ماذا عن الاحد او الاثنين؟ وما هو الأحد قبل الإثنين ، أو ما بعد السبت؟ وأي عدد أكبر: 2 + 3i أو 3 + 2i؟ يمكننا تسمية ألوان قوس قزح بالترتيب وحتى ربط كل الألوان الوسيطة بالرقم الحقيقي - تواتر الضوء ، ولكن إلى جانب هذه الألوان هناك العديد من الألوان غير الطيفية ، فهي تشكل عجلة ألوان مألوفة للطباعين والمصممين ، هل يمكن ترتيب جميع الألوان المرئية بالعين بالترتيب؟ تظهر هذه الأمثلة أن هناك صعوبات في علاقة الترتيب. على سبيل المثال ، لا تعمل العبور في أيام عديدة من الأسبوع (لأن $$ يجب $$ ولكن ل $$ يجب $$ لا يتبع ذلك $$ يتبع دائما $$ ) إن محاولة تقديم مفهوم أكثر أو أقل في مجال الأعداد المركبة لا تتوافق مع الحساب الحسابي لهذه الأرقام ، والألوان لها كل من هذه العيوب.

وكيف يمكنك المقارنة بين الأشخاص والكتب والأطباق ولغات البرمجة والكائنات الأخرى التي لها العديد من المعلمات ، حتى بشكل رسمي مشروط؟ من حيث المبدأ ، هذا ممكن ، ولكن فقط بالاتفاق أولاً على التعريفات والمقاييس ، وإلا سيكون نقاشًا لا نهاية له ، عاصفًا ولا معنى له. للأسف ، غالبًا ما ينشأ الجدل الحاد بالفعل في مرحلة اختيار المقاييس ، لأنها تشكل مجموعة معينة ، والتي من الضروري أيضًا تحديد علاقة النظام.

ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يقترح طريقة مجدية تمامًا ولا لبس فيها في التفكير حول قابلية الكائنات متعددة الأبعاد للمقارنة ، على سبيل المثال ، الأشخاص. في مساحة معلمة متعددة الأبعاد ، يمكن تمثيل كل كائن بواسطة متجه - مجموعة من الأرقام - قيم المعايير التي تميزه. بالنظر إلى مجموعة المتجهات (على سبيل المثال ، المجتمع البشري) ، سنرى أن بعضها يتحول إلى توجيه مشترك ، أو على الأقل قريب من الاتجاهات ، الآن يمكن مقارنته بالفعل في الطول. في الوقت نفسه ، ستكون بعض المتجهات متعامدة (بالمعنى الهندسي - متعامد ، بمعنى أوسع - مستقلة) ، والأشخاص المقابلون لهم ببساطة سيكونون غير مفهومين لبعضهم البعض: من خلال عدد من المعلمات التي ستظهر في المساحات المتقاربة ، مثل الفيزيائيين وشعراء الغناء. ليس من المنطقي القول بأن الشاعر الجيد هو بأي حال أفضل أو أسوأ من مهندس موهوب أو رياضي موهوب في الطبيعة. الشيء الوحيد الذي يمكن الحكم عليه هو طول الناقل - درجة الموهبة ، المسافة من المتوسط.

في هذا الصدد ، قد يبرز سؤال غريب: ما هي نسبة المتجهات العشوائية في مساحة بُعد معين ستكون اتجاهية ، وأي جزء سيكون متعامدًا؟ كم يمكنك أن تجد أشخاصًا متشابهين في التفكير ، أو على الأقل أولئك الذين يمكنك مقارنة نفسك بهم؟

في العالم ثنائي الأبعاد ، يقابل كل متجه مساحة أحادية البعد من خط متداخلي (اتجاهي) ومساحة أحادية البعد للمتجهات المتعامدة. إذا نظرنا إلى المتجهات المتعامدة "تقريبًا" و "المتعامدة" تقريبًا ، فإنها تشكل قطاعات من نفس المنطقة مع نفس اختيار الانحراف المسموح به. أي أن الكائنات المتشابهة والمختلفة ، عند النظر في معيارين ، ستكون بنفس المبلغ.


متجهات متداخلة تقريبًا ومتعامدة تقريبًا في مساحة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد.

في العالم ثلاثي الأبعاد ، ستتغير الصورة. لا تزال المتجهات ذات التوجيه المشترك تشكل مساحة أحادية البعد ، بينما تملأ المتجهات المتعامدة بالفعل الطائرة - مساحة ثنائية الأبعاد. تحديد طول المتجهات $$ والسماح بانحراف طفيف عن الاتجاهات المثالية بزاوية $$ ، يمكن مقارنة عدد المتجهات ذات الاتجاه المشترك تقريبًا مع منطقة المناطق الدائرية حول القطبين $$ ، وعدد المتجهات المتعامدة تقريبًا - مع مساحة الشريط حول خط الاستواء: $$ . موقفهم $$ مع تقليل الانحراف $$ ينمو بشكل غير محدود.

في العالم الرباعي الأبعاد ، تشكل المتجهات المتعامدة بالفعل مساحة ثلاثية الأبعاد ، في حين لا تزال المتجهات الاتجاهية موجودة في الفضاء أحادي البعد ، وينمو الاختلاف في عددها بشكل متناسب مع مربع الانحراف عن المثالي. ولكن في هذه المرحلة ، من الأفضل التحول إلى نظرية الاحتمالات ومعرفة فرص الحصول على متجهات متعامدة أو اتجاهية ، مع أخذ متجهين من الفضاء بشكل عشوائي وبعدي $$ ؟؟؟ سيخبرنا توزيع الزوايا بين المتجهات العشوائية عن ذلك. لحسن الحظ ، عند مناقشة مجالات المجالات متعددة الأبعاد ، يمكن حسابها تحليليًا وعرضها في الشكل النهائي:

$$

هنا $$ هي دالة غاما ، وتعميم من عاملي إلى أرقام حقيقية (وحتى معقدة).

التوزيعات الزاويّة للمتجهات العشوائية للمساحات ذات الأبعاد المختلفة.

من الواضح الآن أنه بالنسبة للفضاء ثنائي الأبعاد ، يتم توزيع الزوايا بالتساوي ، للثلاثية الأبعاد - بما يتناسب مع الوظيفة الجيبية ، ومع البعد المتزايد ، يميل التوزيع إلى الوضع الطبيعي مع تناثر متناقص باستمرار. بالنسبة لجميع الأبعاد فوق اثنين ، يكون وضع التوزيع 90 درجة وتزداد نسبة المتجهات المتعامدة مع زيادة عدد المعلمات. أهم ملاحظة هي أن المتجهات ذات الاتجاه المشترك (بزاوية حوالي 0 أو 180 درجة عمليًا لا تبقى ذات أبعاد عالية بما فيه الكفاية. دعنا نأخذ في الاعتبار أكثر أو أقل متجهات متشابهة (ذات اتجاهين ، قابلة للمقارنة) بزاوية أقل من 30 درجة (هذه زاوية صغيرة جدًا: $$ ) ثم ، عند مقارنته بمعيارين متشابهين مع بعض المتجهات المحددة ، فإن ثلث جميع المتجهات العشوائية فقط ستتحول إلى. سيسمح لك استخدام ثلاثة معايير للمقارنة مع متجه معين فقط $$ المجموعة الكاملة ، لأربعة معايير - بالفعل $$ ، وكل إضافة لاحقة للبعد ستقلل هذا الكسر إلى النصف. إذا كنا أكثر صرامة ونقتصر على زاوية أصغر ، فإن نسبة المتجهات التي تعتبر متشابهة ستنخفض بشكل أسرع.

وهكذا ، نحصل على صياغة ناقلات قانون قشر البطيخ:

في المساحات عالية الأبعاد ، تكون جميع المتجهات تقريبًا متعامدة مع بعضها البعض.

أو ما يعادلها: طعم ولون لا زملاء.

قارن بحكمة ، لا تبحث عن الحياة الطبيعية في الحياة ولا تخف من الشذوذ. تخبرنا الرياضيات نفسها أنه في عالم معقد من الناس يمكننا فقط التحدث عن درجة التشابه ، ولكن ليس عن المقارنة. لذلك لا يوجد سبب للانخراط في نزاعات لا نهاية لها ، بحثًا عن الحقيقة ، بدلاً من ذلك ، يجدر الاستماع ومحاولة الاستماع إلى رأي مختلف ، لرؤية وجهة نظر من مساحة أخرى مترافقة ، وبالتالي إثراء رؤيتك للعالم.

الحكماء على حق: نحن جميعًا فريدون وبتفردنا هو نفسه تمامًا.

---

أدعوكم ، القراء الأوائل لهذا الكتاب ، إلى الأسئلة والإضافات والتعليقات التي ستجعله ، دون أدنى شك ، أكثر دقة وثراء وإثارة للاهتمام.