أستمر في إطلاع قراء حبر على فصول كتابه "نظرية السعادة" مع العنوان الفرعي "الأسس الرياضية لقوانين العقيدة". لم يتم نشر هذا الكتاب العلمي المشهور بعد ، حيث يتحدث بشكل غير رسمي للغاية عن كيف تسمح لك الرياضيات بالنظر إلى العالم وحياة الناس بدرجة جديدة من الوعي. إنه لمن يهتم بالعلوم ولأولئك الذين يهتمون بالحياة. وبما أن حياتنا معقدة ، وعلى العموم ، لا يمكن التنبؤ بها ، فإن التركيز في الكتاب ينصب بشكل أساسي على نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. هنا لم يتم إثبات النظريات ولم يتم إعطاء أساسيات العلم ، وهذا ليس كتابًا بأي شكل من الأشكال ، ولكن ما يسمى العلم الترفيهي. ولكن هذا النهج الدقيق تقريبًا هو الذي يسمح لنا بتطوير الحدس ، وإضاءة المحاضرات للطلاب بأمثلة حية ، وأخيرًا ، شرح لغير الرياضيين وأطفالنا ما الذي وجدناه مثيرًا للاهتمام في علمنا الجاف.هذا هو أحد الفصول الأولى التي نعتبر فيها ، باستخدام مثال الدراج ، الأدوات التي نحتاجها لقياس الظلم: منحنى لورينز ومؤشر جيني ، بالإضافة إلى باريتو سيئ السمعة والمفتش الهائل.
القانون هو القانون
في هذا الكتاب سنتحدث عن مشاكل مختلفة. مألوفة ومتوقعة ويمكن التنبؤ بها لدرجة أنهم حصلوا على حالة القوانين. لقد تمت صياغة الكثير منها بالفعل: هذا هو قانون السندويتش المتساقط ، وقانون مورفي: "
إذا حدثت أي مشكلة ، فسيحدث. " وقوانين تشيشولم حول الموضوع: "
عندما تسير الأمور على ما يرام ، يجب أن يحدث شيء ما في المستقبل القريب جدًا. وملاحظة إيتور: "
المنعطف التالي يسير دائمًا بشكل أسرع. " معظمها تافه للغاية ، ولكن وفقًا لقانون موير ، "
عندما نحاول إخراج شيء واحد ، يتبين أنه مرتبط بكل شيء آخر. " سنحاول العثور على نواة عقلانية لهذه القوانين ولكن ليس لأجل لمحاربتهم ، ولكن للمتعة. وبما أننا سنستخدم الرياضيات في هذه الحالة ، فإن المتعة ستكون غريبة ومفيدة ، على عكس النتيجة نفسها. حسنًا ، إذا كان تفكيرنا يقودنا بعيدًا جدًا ، فيمكننا اعتماد افتراض بيرسيج: "
إن عدد الفرضيات المعقولة التي تشرح أي ظاهرة معينة لا حصر له "
. وفي النهاية ، أشار جروسمان ، نقلاً عن خ. ل. مينكين بشكل صحيح إلى أن "
معقد دائما ما تكون المشاكل بسيطة وسهلة الفهم وحلول خاطئة "
.بعض المشاكل التي تحدث لنا طبيعية ومصممة ، وبعضها عشوائي ، احتمالي بطبيعته.
على سبيل المثال ، إذا خفضت راتبك بنسبة 10٪ ، ثم اعتذرت وزادت بنسبة 10٪ ، فقد خسرت في النهاية لأن
علاوة على ذلك ، إذا تم زيادة الراتب لأول مرة ، وبعد ذلك ، دون حتى الاعتذار ، يتم تخفيضه بنسبة 10 ٪ نفسها ، فستكون النتيجة هي نفسها ، حيث لا يهم أي ترتيب لمضاعفة المعاملات. إنه أمر بسيط للغاية ، مسيء ، ولكن لا علاقة له بالحظ.
مثال آخر على المتاعب الحتمية هو السحر الذي يحدث في جيوبنا مع سماعات الرأس: نضع سماعات الرأس المطوية بدقة في جيبنا ، وبعد نصف ساعة تحدث معجزة ، ونخرج مجموعة كبيرة من الأسلاك من جيبنا. في عام 2007 ، نشر عالمان مقالان جادان من قبل عالمين من سان دييجو المشمسة والهادئة ،
"التكوين العفوي للعقد على خيط متحمس" ، حيث يتم تحليل وتشويش سماعة الرأس في الجيب بالتفصيل. أظهر المؤلفون ، استنادًا إلى نظرية العقدة ، ونظرية الاحتمالات والتجارب الفيزيائية ، بشكل مقنع أنه باستخدام الطريقة القياسية لللف ، تحتاج سماعات الرأس بالفعل إلى التشابك ، علاوة على ذلك ، بعد بضع ثوان فقط من الاهتزاز. ومع ذلك ، نحن نلاحظ هذا بالفعل ، فقط سرعة التشابك المستنتجة غير متوقعة هنا. من الممكن التعامل مع هذا الإزعاج بطريقة رياضية: تحتاج إلى تغيير الطريقة التي يتم بها طي سماعات الرأس - ليس مع الحلقات التي تميل إلى تكوين العقد ، ولكن مع سلسلة من الحلقات في الاتجاه المعاكس ، كما هو موضح في الشكل. باستخدام طريقة الطي هذه ، تدمر الحلقات بعضها البعض ولا تتشكل العقد. لسنوات عديدة ، كنت أطوي سماعات الرأس بهذه الطريقة ، وأشعر وكأنني طوبولوجي رائع ، وفي كل مرة أفرح فيها ، مثل الحيلة ، عندما يسترخون من اهتزاز واحد مهمل في اليد.
إحدى طرق طي الأسلاك ، لا تؤدي إلى تشابكها. إنه جيد أيضًا في حقيقة أنه على طول الطريقة التي تضع بها أصابعك في مودرا الحب.ولكن حتى بين القوانين العشوائية في الطبيعة ، ليس الجميع مثيرين للاهتمام بنفس القدر. على سبيل المثال ، قانون بوك:
"تجد دائمًا المفاتيح في جيبك الأخير." ليس له أي أساس عقلاني. يظهر حساب بسيط أنه مع احتمالية متساوية للعثور على مفاتيح جميع الجيوب ، فإن الأخير لا يختلف عن الآخرين. هو أنك ستتحقق من جميع الجيوب بشكل عشوائي ، وتنظر فيها على أي حال ومرات عديدة. في هذه الحالة ، ستكون وظيفة الاحتمالية لرقم الجيب الذي تظهر فيه المفاتيح
توصف الجيوب
بالتوزيع الهندسي :
وسيكون رقم الجيب المتوقع متساوين
. هذا ، إلى حد ما ، يتم تطبيق قانون الزان. ومع ذلك ، وبهذه الطريقة ، نبحث عن المفاتيح ، ما لم نحتاج حقًا إلى الدخول إلى دورة المياه ، ومن ثم فهذا بالفعل قانون كامل من اللؤم.
سنكون مهتمين بالقوانين المتناقضة والتعليمية ، والقوانين التي تبدو مثل الصخور الشريرة ، والاختيار من بين العديد من الخيارات الأكثر إزعاجًا وإزعاجًا ، على عكس الحدس الذي يوحي بأن هذا الاختيار لا ينبغي أن يكون الأكثر احتمالًا.
إذا كانت طويلة ، طويلة ، طويلة ، إذا كانت طويلة على طول المسار ...
أنا معجب كبير بركوب الدراجات الهواة. ما الذي يمكن أن يكون أفضل من التسرع على طول المسار في الصباح الباكر ، في البرد ، دحرجة منحدر سهل ... هذا الشعور يستحقه للتغلب على الصعود اللانهائي أو مقاومة الرياح المعاكسة لذلك! صحيح ، في بعض الأحيان يبدو أن هناك المزيد من الصعود أكثر من السليل ، والرياح تسعى جاهدة ، أينما كنت. في كتب علم التشكل في هذا الصدد ،
يتم إعطاء
قانون الدراج :
بغض النظر عن المكان الذي تذهب إليه - فهو مرتفع وصاعد.
أنا أعيش في كامتشاتكا ، في بتروبافلوفسك ، هناك الكثير من الشرائح ، وركوب المدينة ، لا يمكن تجنبها. ومع ذلك ، يجب أن أطمئن بفكرة أن بدء طريقي من المنزل ، أعود إلى المنزل مرة أخرى ، مما يعني أن إجمالي النسب يجب أن يساوي إجمالي الصعود. سيكون المسار الشعاعي صادقًا بشكل خاص. تخيل مسارًا بطول 2 كم يتكون من تل واحد متناظر: كيلومتر أعلى ، كيلومتر أسفل. يمكنني الصعود لوقت طويل بما فيه الكفاية بسرعة 10 كم / ساعة ، وعند الهبوط أحاول الحفاظ على سرعة 40 كم / ساعة (نعم ، أنا حذر وأركب خوذة). هذا يعني أنني سأقضي أربع مرات أكثر على التسلق مقارنة بالنزول ، وستكون الصورة العامة على النحو التالي: 4/5 من وقت السفر سيتم قضائه على صعود معتدل ، و 1/5 فقط على نزول لطيف. وتبين أنه عار - 80٪ من وقت المشي يتكون من أجزاء صعبة من المسار! إذا قمت بالخروج من مدينتنا الجبلية ، نحو المحيط أو إلى وادي نهر أفاشي ، فلن تكون هناك أي زلاقات تقريبًا ، ولكن لا يزال لدي رياح معاكسة ورياح عادلة ، أو أقسام ذات طريق سيئ.
دعونا نلقي نظرة على قانون الدراج من نظرية الاحتمالات. إذا التقطت الكثير من الصور الشخصية أثناء ركوب الدراجة ، ثم بدأت في الحصول عليها دون النظر من حزمة مختلطة ، سيظهر لي جزء كبير من الصور شخصية منحنية في خوذة برتقالية ، تزحف بتواضع شاقة أو ضد الريح. احتمال رؤية راكب دراجة طائر ومشرق في صورة من صورة إعلانية ، للأسف ، سيكون حوالي 20 ٪ فقط. وماذا تقول الاحصاءات؟ إذا تركنا حشدًا كبيرًا من راكبي الدراجات على مسار مرتفع ، وانتظرنا قليلاً ، ولاحظنا كثافتهم ، فسوف نرى كيف أن معظم الرياضيين يتجمعون في المناطق الصعبة ، واحتمال العثور على وجه مبتسم هادئ في الكتلة العامة لن يكون كبيرًا جدًا!
نتيجة محاكاة النمذجة لحركة فرقة راكبي الدراجات على مسار مرتفع. لكل مشارك في الحركة ، يتم تعيين قوته ، ويحدد سرعته القصوى ، سواء في الصعود أو في النزول (تؤخذ مقاومة الهواء في الاعتبار). يمكن ملاحظة أنه بعد وقت قصير من بدء الحركة ، تتركز معظم المجموعة على الصعود.دعونا ، كما كان الحال في المدرسة ، نظهر على الرسم البياني اعتماد حركة الدراج في الوقت المحدد ، عند التحرك على طول تل مثلث متماثل. نحن نقوم بكل شيء بطريقة البالغين ، على نطاق المهمة الخاص بنا: سنقيس المسافة ليس بالكيلومترات ، ولكن في أجزاء من المسار العام ، سنفعل الشيء نفسه مع وقت السفر. النصف الأول من الطريق (الجزء
) يتحرك الدراج ببطء ولفترة طويلة -
طوال الوقت ، والثاني (قطعة
) سرعان ما تغلب على
الوقت.
جدول الدراج في حصص المسار والوقت الكلي.هناك طريقة واحدة عالمية تمامًا للحكم على الظلم في هذا العالم ، والذي اعتمده علماء الاقتصاد أو علماء الديموغرافيا أو علماء البيئة أو المسوقين -
منحنى لورنتز ومؤشر جيني المرتبط به. من أجل توزيع معروف لشيء ذي قيمة ، على سبيل المثال ، المال ، في فئة معينة من السكان ، من الممكن ، بعد فرز أعضاء المجموعة عن طريق زيادة مستوى الثروة ، أولاً ، بناء منحنى تراكمي ، وتطبيع المحور X إلى حجم السكان ، والمحور Y لرفاهها العام. والنتيجة هي منحنى يحمل اسم الاقتصادي الأمريكي ماكس أوتو لورينز. عندما قمنا برسم حركة الدراج ، قمنا برسم منحنى لورينز لتوزيع السرعات على امتداد امتداد مسار يتكون من عمودين فقط.
توزيع سرعة الدراج على طول المسار.بالطبع ، لا يمكن اعتبار كل جدول حركة منحنى لورنتز. قبل إنشائه ، تحتاج إلى فرز فترات السفر عن طريق زيادة السرعة ، ثم المتابعة إلى البناء. بعبارة أخرى ، تحتاج أولاً إلى إنشاء رسم بياني للسرعات ، ثم إضافة مساهمات جميع أعمدة الرسم البياني بالتسلسل ، بدءًا بمساهمة القيم الصغيرة ، وانتهاءً بالأكبر. يجب أن تكون النتيجة منحنى مقعر في كل مكان أسفل القطر (
) يسمى هذا القطر
بمنحنى المساواة ، في حالتنا يتوافق مع سرعة ثابتة (متوسط) على طول المسار بأكمله ، أو مدرج تكراري مع عمود واحد (دالة كثافة الاحتمال على شكل دلتا). وبالمعنى الاقتصادي - المساواة العالمية في الرفاهية. كلما انحرف منحنى لورنتز عن منحنى المساواة ، كلما كان التوزيع "أقل عدالة". بمجرد أن ندرس قوانين اللئيم والظلم في عالمنا ، من الحكمة استخدام كل من المصطلحات والأدوات المستخدمة لدراسة العدالة.
المنطقة الواقعة تحت منحنى Lorentz لأي توزيع بخلاف التوزيع الشبيه بالدلتا ستكون أقل من المنطقة الواقعة تحت منحنى المساواة. يمكن أن يكون اختلافهم بمثابة خاصية رسمية لعدم المساواة أو "ظلم" التوزيع. تنعكس هذه الخاصية في
مؤشر جيني . يتم حسابها كمساحة مضاعفة للرقم الذي شكله منحنى المساواة ومنحنى لورنتز. لعالم مثالي ، مؤشر جيني هو 0 ، في النسخة الأكثر كوابا يميل إلى واحد. في المثال الذي فحصناه ، هو 0.35. هذا مؤشر جيد. على سبيل المثال ، فإن توزيع الثروة بين السكان في روسيا لديه الآن مؤشر جيني 0.39 ، في الولايات المتحدة - 0.49 ، في النمسا والسويد لا يتجاوز 0.3 ، وبالنسبة للعالم كله في عام 2017 بلغ 0.66. لذا فإن الوضع مع راكبي الدراجات ، بالطبع ، مهين وغير عادل ، ولكنه متسامح تمامًا.
أخذنا في الاعتبار توزيع السرعات حسب المسافة ، وماذا سيحدث إذا تم إعطاؤنا توزيع السرعات حسب الوقت (نقسم وقت السفر إلى فترات ونحسب عدد الفترات بسرعة واحدة أو أخرى). نظرًا لأبعاد أبعاد مخطط Lorentz ، يمكننا مرة أخرى رسم المنحنى المقابل ، وحتى المقارنة بالنتيجة السابقة. على سبيل المثال ، دع نصف وقت السفر ، على سبيل المثال ، ساعة ، وركوب الدراج بسرعة 10 كم / ساعة ، وساعة بسرعة 40 كم / ساعة (لا يهم بأي ترتيب). ثم يسقط 1/5 من المسار بأكمله إلى سرعة منخفضة ، و 4/5 إلى سرعة عالية. سيكون منحنى Lorentz ، في حالة توزيع السرعة بمرور الوقت ، انعكاسًا لمنحنى Lorentz لتوزيع السرعات على مسافة ، بالنسبة للقطر ، متعامد مع خط المساواة. في هذه الحالة ، سيكون مؤشر جيني هو نفسه ، لأنه عندما ينعكس المنحنى ، لن تتغير المنطقة تحته. لذا ، وفقًا لمستوى الظلم ، يتبين أن هذين الشرطين المختلفين متماثلان ، على الرغم من أن الحالة الثانية تبدو أكثر متعة!
جدول الحركة (منحنى لورنتز) لراكب الدراجة الهوائية في حالة تساوي وقت السفر بسرعتين مختلفتين.يرجى ملاحظة أنه بمساعدة بعض المؤشرات الرسمية ، بدأنا في مقارنة أشياء مختلفة تمامًا ولا تضاهى ، فهي مغرية وخطيرة. عليك أن تدرك أن المؤشرات والمعايير الرسمية تساوي دائمًا شيئًا ما ، بغض النظر عما إذا كان منطقيًا أم لا. نقارن توزيع الثروة بين سكان البلدان وتوزيع الوقت الذي يقضيه في التغلب على المسار من حيث الاختلافات من بعض الخيارات التي يمكن اعتبارها عادلة. طالما أننا نجري محادثات تافهة ، وأحيانًا ، مثيري الشغب حول قوانين اللئيم ، ربما تكون هذه مقارنة مبررة ، ولكن في الرياضيات ، بالطبع ، لا يمكن القيام بذلك. منحنى لورنتز ، ومنه يمكن حساب مؤشر جيني رسمياً للرسم البياني لسطوع البكسل في الصورة أو لتكرار الكلمات في الكلام المباشر ، لن يكون لهذا أي علاقة بالعدالة ، ولن يكون هناك أي معنى. لذلك ، مع الأخذ في الاعتبار مؤشر جيني لأي شيء فظيع ، سوف نسميه
مؤشر المتوسط حتى لا تضلل القارئ بعبثية المصطلحات.
الاستنتاج الذي يرسمه الدراج ، يلهث في ترس أقل: "العالم غير عادل ومعظم الطاقة يأخذ الجزء الأكثر غباء من العمل" ، والذي يشار إليه غالبًا باسم
مبدأ باريتو أو
مبدأ "80/20" . هذه تجريبية مطلقة ، لم يثبت أحد مبدأ باريتو ، ولكن غالبًا ما يقتبس أنه يعطي بالفعل انطباعًا بالحقيقة. يتم استخدامه كعذر وكإرشاد ، يتم العثور عليه في مظاهر مختلفة وأحيانًا يعمل ، على سبيل المثال ، يتوافق مبدأ "80/20" مع مؤشر المتوسط من 0.6 - فيما يتعلق بتوزيع الثروة حول العالم. إدراك أن هذه ليست مؤامرة القدر ، ولكن أبسط الرياضيات ، التي لا معنى للنضال معها ، يمكن للمرء أن يتعلم الاستمتاع بكل من العمليات الممتدة والمراحل الشاقة ولكن الحتمية من العمل ، على الأقل حل المشكلات في العقل أو التأمل. سعى الطاويون للعيش إلى الأبد ، واستنتجوا بشكل صحيح أنه ، جنبًا إلى جنب مع العمل على الجسم ، من أجل تحقيق هدفهم ، فإن إعداد العقل مطلوب. في الواقع ، بالنسبة للحياة الأبدية ، لا تحتاج فقط إلى القدرة على التخلي عن التعلق ، ولكن أيضًا الصبر ، بالإضافة إلى القدرة على الاستمتاع بامتدادات طويلة.
يحتوي مبدأ باريتو على تعميم أكثر صرامة مفيد للفهم. قانون العاهة ، الذي سمي على اسم راكب الدراجة الهوائية ، يحمل عنوانًا علميًا رسميًا:
مفارقة التفتيش . تم العثور على هذه الظاهرة المعروفة في مجموعة متنوعة من الدراسات المتعلقة بالمسوحات الاجتماعية ، والاختبار في نظرية الفشل (قسم من الرياضيات التطبيقية التي تتعامل مع موثوقية النظم المعقدة) ، مما يحول بشكل ضمني ولكن بشكل منهجي النتائج المرصودة نحو الظواهر الأكثر تكرارًا.
دعونا نعطي مثالا كلاسيكيا ، مع مسح لركاب النقل العام. تعمل الكثير من الحافلات على الخط يوميًا ، في ساعة الذروة القصيرة نسبيًا ، تتدفق الحافلات ، وبقية الوقت تعمل تقريبًا فارغة. إذا استجوبنا الركاب ، فسيكون جزء كبير منهم في حافلة مزدحمة (هناك ببساطة المزيد من الناس هناك) ، وسنحصل على تعبير عن السخط العام. إذا قابلنا السائقين ، فسوف يشكون من عدم اكتمال جزء هام من الطرق وعدم معقولية السلطات التي تقودهم هباء. إن الجدول الزمني المرن سيسهل الموقف ، ولكن على أي حال ، فإن منحنى Lorentz سينحرف عن منحنى المساواة المطابق للوضع المذهل دائمًا لعدد نفس الركاب في جميع الحافلات.
في مقدمات نظرية الاحتمالات ، غالبًا ما يتم العثور على حقيبة خاصة مبهمة ، حيث يضع علماء الرياضيات أشياء مختلفة ، ثم يسحبونها بشكل عشوائي ، وأحيانًا ما يقدمون استنتاجات مدروسة للغاية. الحل للمفارقة هو أننا نحلل نظام تدفق الركاب ككل ونضع الحافلات في الحقيبة ، ونقوم بإجراء المسح ، ونخرج الركاب منه عشوائياً (نفحص) ونحاول استخلاص الاستنتاجات بناءً عليها. تظهر الصورة ما هو الفرق:
تقول إحصائيات الحافلات أن 75٪ منها مجانية وغير مجدية. في الوقت نفسه ، سيجد مسح للركاب أن 64 ٪ من الركاب الذين يسافرون في ذلك اليوم كانوا في مركبات مزدحمة.دعونا نلقي نظرة على هذا الموقف من خلال رسم منحنى لورنز ، هذه المرة ، الحقيقي ، لعدد الركاب في الحافلات من الرقم السابق. للقيام بذلك ، تحتاج إلى فرز الحافلات حسب عدد الركاب وتلخيص مساهمة كل منهم في إجمالي تدفق الركاب:يوضح منحنى Lorenz جيدًا الظلم الملحوظ في حالة الحافلة: نصف الحافلات تحمل فقط خمس تدفق الركاب.يوضح منحنى Lorentz ، في هذه الحالة ، كيف يتم تحويل كميات توزيع عدد العناصر في بعض المجموعات (المحور الأفقي) عند تحليل توزيع العناصر وفقًا لعضوية المجموعة (المحور الرأسي). هذا ، في الواقع ، مفارقة التفتيش: الصورة التي يلاحظها المفتش تبين أنها مشوهة ، لأنه لا يحلل المجموعات ، ولكن عناصر المجموعات ، في حين أن المتوسط المرصود والوسيط يتحولان نحو "ذيل ثقيل" للتوزيع.إن قانون راكبي الدراجات في حد ذاته بسيط للغاية ، لكنه سيزيد من تفاقم قوانين البؤس الأخرى بين الحين والآخر ، مما يضيف لهجة عاطفية متوترة. عند التفكير في قوانين اللئيم ، أحب أن أفكر في تشويه تصور المفتش للعالم من حيث تغيير منحنيات الألوان للصورة. في محررات الرسوم النقطية ، نستخدم أداة المنحنيات لتعديل الصور ، مع تغيير توزيع عدد وحدات البكسل في السطوع. هنا ، على سبيل المثال ، كيف أن منحنى Lorentz الذي حصلنا عليه للحافلات يغير تصور الواقع. إن صورة العالم تزداد قتامة ، كما نتوقع.منحنى Lorentz من المثال ، المستخدم كمرشح "Curve" في محرر الرسومات النقطية ، يجعل الصورة المرئية لحافلة Kamchatka أكثر قتامة. اشتكوا من أن الحافلات "متأخرة دائمًا" و "مليئة دائمًا بالناس" ، ارتاحوا لأن هذا مجرد وهم مرتبط بمفارقة التفتيش!يمكن أن تتجلى مفارقة التفتيش في ذروتها: إذا كان من بين مجموعات العناصر الموضوعة في حقيبتنا النظرية وجود عناصر لا تكون عناصرها نادرة فقط ولكن لا يمكن ملاحظتها على الإطلاق ، فإننا نحصل على خطأ منهجي للناجي. غالبًا ما يتم سرد هذه الظاهرة في العديد من المقالات المحبطة ، لرجال الأعمال والمبرمجين المبتدئين ، مما يؤكد لهم أن المسار الناجح الموضح في الكتب هو على الأرجح ليس لهم ، لأنهم ، كما يقولون ، لا يكتبون كتبًا غير ناجحة. ومع ذلك ، هذا لا علاقة له بقوانين اللئيم ، لذلك دعونا نترك هذه الحجج. بشكل عام ، فإن المفارقات الموصوفة هي أخطاء منهجية تحدث عند تلقي البيانات ومعالجتها ، ومن المفيد أن تعرف عنها ، ولكن للأسف ، تؤدي إلى رأي واسع النطاق حول الإحصائيات باعتبارها معالجة غير عادلة للبيانات الفعلية بين الأشخاص البعيدين جدًا عن هذه الأساليب.سنلتقي مع قانون الدراج وتأثيره أكثر من مرة: الوقوف في الطابور أو في موقف الحافلات ، مع مراعاة الظلم في توزيع الثروة. وسيتيح لنا منحنيات Lorentz ومؤشر الزغابات المقارنة الجريئة فيما بينها بين أشياء مختلفة بشكل فظيع. الرياضيات علم دقيق ، ولكن لا أحد يمنع الرياضيين من التصرف بشكل سيء. في دائرته ، بالطبع ، وبدون معارك.
اتضح أن تجربة نشر فصول عن حبري مفيدة للغاية: سمحت لي تعليقات القراء بتصحيح الصياغة ، وتوسيع مجموعة الأمثلة وآفاقي الخاصة. يسعدني أن أتحدث في الكتاب نفسه عن كيفية مساعدة مجتمعنا في تحريره وأن أشكر المبدعين والمقيمين في هبر لمشاركتهم في كتابته.