نظرية Boshernitsan

تقدم المقالة دليلاً بسيطًا على أن رسم خريطة لمساحة متريّة مضغوطة في حد ذاتها ، وليس تقليل المسافة ، هو قياس متجانس.

---

العرض $$$f: E \ rightarrow E$ متري مع متري $$$\ rho (\ cdot، \ cdot)$ يسمى قياس التساوي إن وجدت $$$x، y \ in E$ مساواة عادلة $$$\ rho (x، y) = \ rho (f (x)، f (y))$ . هنا نثبت العبارة التالية:

نظرية إذا $$$f: E \ rightarrow E$ رسم خريطة للمساحة المترية المدمجة في حد ذاتها

$$$\ rho (x، y) \ leq \ rho (f (x)، f (y)) (1)$

لأي $$$x، y \ in E$ ثم رسم الخرائط $$$f$ - القياس المتساوي.

تذكر بعض العبارات البسيطة حول مجموعات المقاييس المترية وعرض بعض الاصطلاحات والتعاريف اللازمة لمزيد من العرض.

من خلال $$$| A |$ نشير إلى عدد عناصر مجموعة محدودة $$$A$ .

ل $$$x \ في E$ و $$$\ varepsilon> 0$ كثير $$$Q_ {x، \ varepsilon} = \ {y: y \ in E، \ rho (x، y) <\ varepsilon \}$ دعنا نتصل $$$\ varepsilon$ نقاط الحي $$$x$ (أو الكرة المفتوحة المتمركزة في $$$x$ ونصف القطر $$$\ varepsilon$ )

مجموعة محدودة $$$A \ مجموعة فرعية E$ سيدعو $$$\ varepsilon$ شبكة في $$$E$ (أو فقط $$$\ varepsilon$ -شبكة) إذا لأي نقطة $$$x \ في E$ هناك نقطة $$$y \ في A$ مثل هذا $$$\ rho (x، y) <\ varepsilon$ . كثير $$$B \ مجموعة فرعية E$ سيدعو $$$\ varepsilon$ -رفض إذا $$$\ rho (x، y) \ geq \ varepsilon$ لأي $$$x، y \ in B$ مثل هذا $$$x \ neq y$ .

لأي مجموعة محدودة $$$A = \ left \ {a_1، \ ldots، a_m \ right \} \ subset E$ تدل عليه $$$l (A)$ المبلغ $$$\ sum _ {i \ leq j} \ rho \ left (a_i، a_j \ right)$ . المقدار $$$l (A)$ اتصل بطول المجموعة $$$A$ .

1. دع التسلسل $$$\ left \ {a_n \ right \}$ ، $$$\ left \ {b_n \ right \}$ العديد من العناصر $$$E$ تتلاقى وفقا لذلك
إلى النقاط $$$a، b \ in E$ . ثم $$$\ rho \ left (a_n، b_n \ right) \ rightarrow \ rho (a، b)$ في $$$n \ rightarrow \ infty$ .

إثبات . ضع في اعتبارك عدم المساواة الواضح

$$$\ rho \ left (a_n، b_n \ right) \ leq \ rho (a، b) + \ rho \ left (a_n، a \ right) + \ rho \ left (b_n، b \ right) (2)$

$$$\ rho \ left (a_n، b_n \ right) + \ rho \ left (a_n، a \ right) + \ rho \ left (b_n، b \ right) \ geq \ rho (a، b) (3)$

منذ ذلك الحين $$$a_n \ rightarrow a$ ، $$$b_n \ rightarrow b$ في $$$n \ rightarrow \ infty$ ثم ل $$$\ varepsilon> 0$ هناك مثل هذا طبيعي $$$N$ هذا للجميع $$$n> N$ سيكون

$$$\ rho \ left (a_n، a \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2} ، \ rho \ left (b_n، b \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2} (4)$

من $$$(2)، (3)، (4)$ يتبع ذلك $$$\ left | \ rho (a، b) - \ rho \ left (a_n، b_n \ right) \ right | <\ varepsilon$ للجميع $$$n> N$ .

2. لكل منهما $$$\ varepsilon> 0$ في $$$E$ هناك محدود $$$\ varepsilon$ شبكة.

إثبات . عائلة كرة مفتوحة $$$\ left \ {Q_ {x، \ varepsilon} \ right \}$ أين $$$x$ يمر عبر $$$E$ هو طلاء $$$E$ . T. إلى. $$$E$ المدمجة ، اختر عائلة محدودة من الكرات $$$\ left \ {Q_ {x_1، \ varepsilon} ، \ ldots ، Q_ {x_m ، \ varepsilon} \ right \}$ تغطي أيضا $$$E$ . من الواضح أن المجموعة $$$A = \ left \ {x_1، \ ldots، x_m \ right \}$ - نهائي $$$\ varepsilon$ شبكة.

3. الفضاء $$$E$ محدودة. أي أن هناك مثل هذا الرقم $$$d> 0$ ذلك $$$\ rho (x، y) <d$ لأي $$$x، y \ in E$ .

يأتي الدليل مباشرة من 2. في الواقع ، وضعنا $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ left (x_i، x_j \ right)$ أين $$$x_i$ ، $$$x_j$ - العناصر $$$\ varepsilon$ شبكات $$$A$ . من الواضح أن $$$\ rho (x، y) \ leq g + 2 \ varepsilon$ .

4. إذا $$$B = \ left \ {a_1، \ ldots، a_n \ right \}$ - نهائي $$$\ frac {\ varepsilon} {2}$ شبكة في $$$E$ ثم لأي $$$\ varepsilon$ مجموعة متفرقة $$$K$ سيكون $$$| K | \ leq | B |$ أي $$$| K | \ leq n$ .

إثبات . تضخم$$ $ inline $ \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ unicode {222a}}} Q_ {a_i، \ frac {\ varepsilon} {2}} $ inline $ يغطي $$$E$ . إذا $$$| K |> n$ ثم عنصرين مختلفين من $$$K$ سيكون في إحدى الكرات $$$Q_ {a_i، \ frac {\ varepsilon} {2}}$ وهو ما يتناقض مع حقيقة ذلك $$$K$ - $$$\ varepsilon$ مجموعة متفرقة.

5. على الجميع $$$\ varepsilon$ مجموعة متفرقة $$$A \ مجموعة فرعية E$ تطابق الرقم $$$l (A)$ - طوله. لقد أثبتنا بالفعل أن وظيفة تضع أي شخص $$$\ varepsilon$ مجموعة متفرقة $$$A$ رقم مطابق $$$| A |$ محدودة. لاحظ أن الوظيفة التي لكل منها $$$\ varepsilon$ مجموعة متفرقة $$$A \ مجموعة فرعية E$ يطابق طوله $$$l (A)$ محدودة أيضا.

6. دع $$$c = \ sup l (A)$ أين $$$\ sup$ اتخذت على الإطلاق $$$\ varepsilon$ مجموعات متفرقة $$$A \ مجموعة فرعية E$ . ثم عادل

ليما 1. يوجد $$$\ varepsilon$ مجموعة متفرقة $$$C = \ left \ {a_1، \ ldots، a_k \ right \}$ مثل هذا $$$l (C) = c$ ، $$$C$ هو $$$\ varepsilon$ شبكة في $$$E$ ، $$$f (C)$ ايضا $$$\ varepsilon$ شبكة في $$$E$ ولأي $$$a_i، a_j \ in C$ سيكون $$$\ rho \ left (a_i، a_j \ right) = \ rho \ left (f \ left (a_i \ right)، f \ left (a_j \ right) \ right)$ .

7. ليما 2. الخريطة $$$f$ باستمرار على $$$E$ . بتعبير أدق: إذا $$$\ rho (x، y) <\ varepsilon$ لأي $$$x، y \ in E$ ثم $$$\ rho (f (x)، f (y)) <5 \ varepsilon$ .

إثبات . تأمل $$$\ varepsilon$ شبكة $$$C$ من ليما 1. إذا $$$x$ لا تنتمي للكرة $$$Q_ {a_i، \ varepsilon}$ ثم $$$x$ لا تنتمي $$$Q_ {f \ left (a_i \ right)، \ varepsilon}$ . هذا يعني أن هناك مثل هذا $$$i$ ذلك $$$x \ في Q_ {a_i، \ varepsilon}$ و $$$f (x) \ في Q_ {f \ left (a_i \ right) ، \ varepsilon}$ . وبالمثل ، هناك $$$j$ ذلك $$$y \ في Q_ {a_j، \ varepsilon}$ و $$$f (y) \ في Q_ {f \ left (a_j \ right) ، \ varepsilon}$ . التقييم $$$\ rho (f (x)، f (y))$ . من الواضح أن $$$\ rho (f (x) ، f (y)) <\ rho \ left (f \ left (a_i \ right) ، f \ left (a_j \ right) \ right) + \ varepsilon + \ varepsilon = \ rho \ اليسار (a_i، a_j \ right) +2 \ varepsilon$ . ومنذ ذلك الحين $$$\ rho (x، y) <\ varepsilon$ و $$$x \ في Q_ {a_i، \ varepsilon}$ ، $$$y \ في Q_ {a_j، \ varepsilon}$ ثم $$$\ rho \ left (a_i، a_j \ right) <3 \ varepsilon$ . لذلك $$$\ rho (f (x)، f (y)) <5 \ varepsilon$ .

لذلك أثبتنا ذلك $$$f$ يعرض باستمرار $$$E$ في $$$E$ . ويترتب على Lemma 1 أن لكل $$$\ varepsilon> 0$ موجود $$$\ varepsilon$ شبكة في $$$E$ مثل هذا $$$f$ يحافظ على المسافات بين عناصر هذه الشبكة. وبالتالي ، لأي نقاط $$$x، y \ in E$ يمكن العثور على تسلسلات $$$x_n \ rightarrow x$ ، $$$y_n \ rightarrow y$ مثل هذا $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right) ، f \ left (y_n \ right) \ right) = \ rho \ left (x_n، y_n \ right)$ . لكن $$$\ rho \ left (x_n، y_n \ right) \ rightarrow \ rho (x، y)$ في $$$n \ rightarrow \ infty$ . من استمرارية رسم الخرائط $$$f$ يتبع ذلك $$$f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f (x)$ ، $$$f \ left (y_n \ right) \ rightarrow f (y)$ في $$$n \ rightarrow \ infty$ . لذلك $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right) ، f \ left (y_n \ right) \ right) \ rightarrow \ rho (f (x)، f (y))$ في $$$n \ rightarrow \ infty$ . ومنذ ذلك الحين لأي $$$n$ تحمل المساواة $$$\ rho \ left (x_n، y_n \ right) = \ rho \ left (f \ left (x_n \ right)، f \ left (y_n \ right) \ right)$ ثم $$$\ rho (x، y) = \ rho (f (x)، f (y))$ .

ملاحظة

يستند هذا البرهان على نظرية بوزيرنيتسان إلى محادثات مع صديقي الطلابي ، عالم الرياضيات الأمريكي ليونيد لوكسمبورغ ، خلال إحدى زياراته لموسكو وهو عرضي لفكرته المقترحة.

---

سلوبودنيك سيميون غريغوريفيتش ،
مطور محتوى لتطبيق "المعلم: الرياضيات" (انظر مقالة حبري ) ، مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية ، مدرس الرياضيات في المدرسة 179 في موسكو