ثابت سحري

هناك مربعات تسمى السحر. حسنًا ، ربما يعلم الجميع أن مجموع الأرقام في هذه المربعات أفقياً ورأسياً والأقطار الرئيسية هو نفسه ، أي مساوٍ للرقم نفسه ، ويسمى هذا الرقم بالثابت السحري (يشار إليه فيما يلي بـ M _n ، حيث n هو حجم المربع ؛ n> 2). بالعودة إلى المدرسة ، تذكرت الصيغة لحساب هذا الثابت: M _n = n * (n ² + 1) / 2 ، لم يكن من الواضح لي من أين أتت ... سنحاول استنتاجها هنا ، ربما استنتجها شخص ما بالفعل ، ربما نفس الشيء ، ربما بطريقة مختلفة ، لا يهم الكتابة فقط.

إدخال أرقام مرة أخرى على الساحات ، بمجرد أن لاحظت مثل هذا الشيء. إذا أدخلت أرقامًا من 1 إلى n ² في أعمدة من اليسار إلى اليمين ، فستحصل دائمًا على الثابت السحري عند إضافة أرقام على أي قطري رئيسي ، هنا يمكنك أن ترى:

م ₃ :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

م ₄ :
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

وفقًا للصيغة:

م ₃ = ن * (ن ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
م ₄ = ن * (ن ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

قطريًا (يظهر بالخط العريض أعلاه):

م ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
م ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

على عكس الصيغة ، فإن الأقطار قادرة على إعطاء إجابة عما يحدث. خذ بعين الاعتبار الأرقام على الأقطار:

م ₃ = 1 + 5 + 9
م ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

نعيد كتابته بشكل مختلف:

م ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
م ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

هل لاحظت؟ الآن بشكل عام من n:

م _ن = 1 + (ن + 2) + (ن * 2 + 3) + (ن * 3 + 4) + (ن * 4 + 5) + ... + (ن * (ن -1) + ن)

إعادة تجميعها (غامق)
م _ن = 1 + (ن + 2 ) + (ن * 2 + 3 ) + (ن * 3 + 4 ) + (ن * 4 + 5 ) + ... + (ن * (ن -1) + ن )

وهذا (مظلل بخط غامق)
م _ن = 1 + ( ن + 2) + ( ن * 2 + 3) + ( ن * 3 + 4) + ( ن * 4 + 5) + ... + ( ن * (ن -1) + ن)

واحصل على:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

ضع n خارج القوس:

م _ن = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + ن) + ن * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (ن -1)) [1]

الآن نقدم تدوينًا جديدًا ،

ق _ن = 1 + 2 + 3 + ... + ن [2]
ثم
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

الآن نعيد كتابة الصيغة [1] مع مراعاة التدوين [2] و [3] ونحصل على:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

أو نحو ذلك:

م _ن = س _ن * (ن +1) - ن ²

[5]

مع وضع ذلك في الاعتبار -



من الواضح أنها محسوبة بالصيغة S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2 ،
يحل محل [5]:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = ن * (ن ² + 1) / 2

م _ن = ن * (ن ² + 1) / 2

Chtd