الكون المبكر 6. ديناميات كون متمدد متجانس ، الجزء 2

على موقع المحاضرات المجانية ، نشر معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare دورة محاضرات حول علم الكونيات في آلان جوس ، أحد مبدعي النموذج التضخمي للكون.

انتباهكم مدعو لترجمة المحاضرة السادسة: "ديناميات كون متوسع متجانس ، الجزء الثاني".

استحالة كون ساكن

دعونا نكرر بإيجاز ما توقفنا عنه في المرة السابقة ، حيث أننا لم ننتهي من الموضوع السابق.

اعتبرنا كونًا متجانسًا تمامًا حيث تملأ المادة كل الفضاء. تذكر أن نيوتن توصل إلى استنتاج مفاده أن مثل هذا النظام سيكون ثابتًا. ومع ذلك ، أنا أزعم أن مثل هذا النظام لن يكون ثابتًا حتى وفقًا لقوانين ميكانيكا نيوتن.


لقد قدمت بعض الأدلة. على سبيل المثال ، فحصنا نظرية غاوس لقانون الجاذبية لنيوتن. باستخدام منطق بسيط إلى حد ما ، انتقلنا من قانون الجاذبية لنيوتن ، الذي تمت صياغته كقوة تعمل عن بعد ، إلى قانون غاوس. إذا تم وصف قوة الجاذبية من خلال قانون نيوتن ، فعندئذٍ بالنسبة لأي جسيم يخلق مجال جاذبية ، يتم استيفاء قانون غاوس.

تدفق ناقل تسارع الجاذبية $$$\ vec g$ من خلال أي سطح مغلق يساوي $$$-4πGM$ أين $$$M$ - الكتلة داخل السطح. إذا طبقنا قانون غاوس على التوزيع اللامتناهي للمادة ، ونفترض أن نيوتن كان على حق ، ولا توجد قوى جاذبية ، فهذا يعني أن تسارع الجاذبية $$$\ vec g$ سيكون صفر في كل مكان. ثم تتدفق $$$\ vec g$ من خلال أي سطح سيكون أيضًا صفرًا. ومع ذلك $$$-4πGM$ من الواضح أنه لا يساوي الصفر لأي حجم بحجم غير صفري يحتوي على كتلة غير صفرية. وهكذا ، فإن مثل هذه الصيغة لقانون الجاذبية لنيوتن تظهر بوضوح أن التوزيع اللامتناهي للمادة لا يمكن أن يكون ثابتًا.

بالإضافة إلى ذلك ، عرضت صياغة مختلفة وأكثر حداثة لقانون نيوتن للجاذبية ، ما يسمى بمعادلة بواسون. أعطيت لأولئك الذين يعرفونها. إذا لم تكن على دراية بها ، فلا شيء سيئ. هذا ليس ضروريا.


من أجل هذه الصيغة لقانون الجاذبية ، نقدم جهد الجاذبية φ ، ونكتب تسارع الجاذبية ناقص التدرج φ. ثم يمكن إظهار أن φ تخضع لمعادلة بواسون ،

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = 4πGρ $$ display $$

حيث ρ هي كثافة الكتلة.

مرة أخرى ، من الواضح على الفور أن التوزيع الثابت للمادة أمر مستحيل. إذا كان توزيع المادة ثابتًا ، فإن المتجه $$$\ vec g$ يساوي 0. هذا يعني أن التدرج of سيكون مساوياً للصفر. وهذا يعني أن φ ستكون ثابتة. إذا كانت φ ستكون ثابتة ، $$$∇ ^ 2φ$ يساوي 0 ، وهذا لا يتوافق مع معادلة بواسون.

أريد أيضًا أن أضيف أنه من وجهة نظر حديثة ، تعتبر المعادلات مثل معادلة بواسون أكثر جوهرية من معادلة نيوتن الأصلية ، التي تعتبر الجاذبية بمثابة عمل عن بعد. على وجه الخصوص ، عند تعميم قانون نيوتن على النظرية النسبية العامة ، بدأ آينشتاين بمعادلة بواسون ، وليس بالقانون الذي يصف القوة عن بعد.

في النظرية النسبية العامة ، لا يوجد قانون يصف عمل القوة عن بعد. يتم صياغة النظرية النسبية العامة بطريقة مشابهة جدًا لمعادلة بواسون. الفكرة الرئيسية الكامنة وراء هذا النهج هي أنه يمكن التعبير عن جميع قوانين الفيزياء المعروفة لنا محليًا.

معادلة بواسون هي معادلة محلية. هذه معادلة تفاضلية تعمل في كل نقطة في الفضاء ولا تقول شيئًا عن كيفية تأثير المادة في نقطة ما على المادة في نقطة أخرى. هذا التأثير هو نتيجة للمعادلة ، وليس مدمجًا في المعادلة في البداية.

غموض حساب تسارع الجاذبية

ثم ناقشنا ما سيحدث إذا جمعنا قواتنا باستخدام قانون نيوتن والعمل من بعيد. لقد بينت أننا نحصل على تكامل متقارب مشروط. يتقارب مثل هذا التكامل ، لكنه يمكن أن يتلاقى مع قيم مختلفة اعتمادًا على الترتيب الذي يتم به وضع الأجزاء المختلفة من التكامل.


درسنا أمرين محتملين لإضافة القوات. حسبنا القوة عند نقطة $$$P$ تقع داخل التوزيع اللامتناهي للمادة. يمكننا أن نفترض أن الصورة كاملة مليئة بالمضمون. في مهمتنا ، تملأ المادة بشكل موحد الصورة الكاملة والكون كله. الشيء الوحيد الذي سنفعله بشكل مختلف في حساباتنا هو تلخيص القوى التي أنشأتها المادة بترتيب مختلف.

إذا كنت تأخذ مادة مرتبة بواسطة قذائف متحدة المركز حولها $$$P$ ، ثم كل قذيفة لا تخلق أي قوة عند هذه النقطة $$$P$ . لذلك ، في الحد ، عندما نضيف عددًا لا نهائيًا من الأصداف ، سيظل المجموع 0. وبالتالي ، في هذه الحالة نحصل $$$\ vec g$ يساوي 0.

لكن قانون نيوتن لا يخبرنا شيئًا عن ترتيب تجميع القوات. ينص قانون نيوتن ببساطة على أن كل كتلة تخلق قوة تتناسب معها $$$1 / r ^ 2$ وما هو ناقل. وفقا لنيوتن ، من الضروري إضافة ناقلات القوة التي تم إنشاؤها بواسطة كل كتلة. عادة ما تكون إضافة المتجهات تبادلية. لا يهم بأي ترتيب نكدسهم. ولكن في حالتنا ، فإن ترتيب الإضافة مهم. لذلك ، الجواب مختلط.

لرؤية هذا ، سننظر في أمر إضافة مختلف. سنستمر في استخدام الأصداف الكروية لأنها أسهل للعمل معها. يمكن طيها بطريقة أخرى ، ولكن أي شكل آخر أكثر صعوبة في الاستخدام.

هذه المرة سننظر في الأصداف الكروية ، المتمركزة في نقطة أخرى. سنطلق على هذه النقطة $$$Q$ . سنقوم مرة أخرى بحساب القوة عند هذه النقطة $$$P$ تم إنشاؤها بواسطة التوزيع اللامتناهي للمادة التي تملأ الفراغ ، أي أننا سنحل نفس المشكلة كما كان من قبل ، لكننا سنضيف قوى بترتيب مختلف.

في المرة الماضية أظهرنا أن كل المادة داخل الكرة ، تتمحور حول $$$Q$ ونصف قطر أقل من المسافة من $$$Q$ من قبل $$$P$ يساهم في القوة عند هذه النقطة $$$P$ . ويمكن تقسيم بقية المادة إلى قذائف كروية ، والتي هي النقطة $$$P$ تقع في الداخل. القوة داخل القشرة الكروية صفر. لذا فإن كل المادة المتبقية لا تقدم أي مساهمة.

في هذه الحالة ، القوة عند هذه النقطة $$$P$ يساوي القوة التي تم إنشاؤها بواسطة كتلة نقطة تقع في $$$Q$ وكتلة تساوي الكتلة الكلية للمنطقة المظللة. من الواضح أن هذه القوة لا تساوي الصفر. بالإضافة إلى ذلك ، من الواضح أنه يمكننا الحصول على أي قوة نريدها من خلال اختيار نقاط مختلفة $$$Q$ . يمكننا زيادة القوة باختيار نقطة أبعد. لأن القوة ستشير دائمًا في اتجاه النقطة $$$Q$ ، يمكننا الحصول على القوة في أي اتجاه عن طريق اختيار نقطة $$$Q$ في المكان المناسب.

لذلك ، اعتمادًا على كيفية تلخيص القوى ، يمكننا الحصول على أي إجابة. وبالتالي ، فإن وصف الجاذبية كعمل على مسافة يؤدي إلى الغموض. يوضح وصف الجاذبية في شكل قانون غاوس أو قانون بواسون أن النظام لا يمكن أن يكون ثابتًا. قريباً سنحاول أن نعرف بالضبط كيف ستتصرف.

مشكلة التماثل

الآن أريد العودة إلى الحجة التي أقنعت نيوتن بالطبيعة الساكنة للكون. يعتقد نيوتن أنه عند حساب تسارع الجاذبية عند نقطة معينة في توزيع لا نهائي للمادة ، تنشأ مشكلة تناظر. تبدو جميع الاتجاهات من هذه النقطة متشابهة. إذا كان تسارع الجاذبية موجودًا عند نقطة معينة ، فأين يجب توجيهه؟ إن حجة التناظر هذه منطقية للغاية وتبدو مقنعة للغاية. لا يمكن أن يكون هناك تسارع ، ببساطة لأنه لا يوجد اتجاه مفضل له.

قد يكون من الصعب إقناع نيوتن بمغالطة هذه الحجة. لا أدري إذا كان بإمكاننا إقناعه أم لا. ليس لدينا فرصة لمحاولة القيام بذلك.
ولكن إذا أتيحت لنا مثل هذه الفرصة ، فسنحاول أن نوضح له أن التسارع يُقاس عادةً في إطار مرجعي بالقصور الذاتي. وصفه نيوتن بنفسه دائمًا بهذا الشكل. بالنسبة له ، كان هناك نظام مرجعي بالقصور الذاتي الفريد ، دقيق لسرعة ثابتة ، يتم تحديده بالنسبة للنجوم الثابتة. هذا هو مصطلح نيوتن. لذلك حدد الإطار المرجعي بالقصور الذاتي. كانت جميع قوانينه الفيزيائية صالحة في هذا النظام بالقصور الذاتي.

من ناحية أخرى ، إذا كانت كل المساحة مليئة بالمادة ، والتي ، كما ندعي ، سوف تنكمش ، فلن تكون النجوم الثابتة موجودة. تختفي فكرة نظام مرجعي بالقصور الذاتي. لا يوجد جسم في حالة استراحة أو يتحرك بشكل موحد فيما يتعلق بأي إطار مرجعي محتمل بالقصور الذاتي.

في حالة عدم وجود إطار مرجعي بالقصور الذاتي ، يجب إدراك أن جميع التسارع ، مثل السرعات ، نسبي. يمكن أن نتحدث عن تسارع جسيم بالنسبة إلى آخر. لكن لا يمكن للمرء أن يتحدث عن التسارع المطلق للجسيم ، لأنه لا يوجد إطار مرجعي بالقصور الذاتي يمكن قياس التسارع فيه.

عندما تكون جميع التسارع نسبية ، يتبين أن الوصف الصحيح ، الذي نستنتجه في النهاية ، هو وصف مشابه لقانون هابل. قانون هابل هو قانون السرعات. تنص على أنه من وجهة نظر أي مراقب ، تتم إزالة جميع الأشياء الأخرى من هذا المراقب. على الرغم من أنه يبدو أن المراقب في مكان خاص ، يمكنك الانتقال إلى الإطار المرجعي لأي مراقب آخر ورؤية نفس الصورة بالضبط. وبالتالي ، فإن إزالة جميع الأشياء من المراقب لا تنتهك التوحيد. هذا لا يكسر التماثل الذي نحاول دمجه في النظام. وينطبق الشيء نفسه على التسارع. لن أثبت ذلك الآن. سنعرض هذا في سياق حساباتنا المستقبلية.

في عالمنا المنهار ، يمكن لأي مراقب أن يعتبر نفسه في حالة راحة. ثم سيرى المراقب أن جميع الجسيمات الأخرى تتسارع نحوه. على الرغم من أن المراقب يبدو في مكان خاص ، إلا أنه ليس كذلك. يمكنك الذهاب إلى الإطار المرجعي لأي مراقب آخر ومعرفة أنه الآن في حالة استرخاء ، وجميع الأشياء الأخرى تتسارع نحوه.

النموذج الرياضي للكون

نحن الآن على استعداد للذهاب إلى أبعد من ذلك وبناء نموذج رياضي يوضح لنا كيف سيتصرف التوزيع الموحد للمادة. أولا نزيل مشكلة اللانهاية. للقيام بذلك ، نبدأ بكرة محدودة. ثم ، في النهاية ، سنزيد حجم هذه الكرة إلى ما لا نهاية.

هدفنا هو بناء نموذج رياضي لكوننا. نريد أن نضمّنها السمات الثلاث التي ناقشناها سابقًا - التماثل ، والتجانس ، وقانون هابل. سنقوم ببنائه كنظام ميكانيكي باستخدام قوانين الميكانيكا المعروفة لنا. سنستخدم قوانين نيوتن. لكنني أؤكد لك أنه على الرغم من أننا سنستخدم قوانين نيوتن ، فإن الإجابة التي نحصل عليها ستتوافق تمامًا مع الإجابة التي قدمتها النظرية النسبية العامة. سنناقش لاحقا لماذا هذا. لن نضيع الوقت في الحسابات التقريبية. سنحصل على حساب صحيح تمامًا ، والذي سيعطينا إجابة صحيحة تمامًا.


من أجل بناء نموذج للكون ، نتخيل أن كوننا كرة ذات حجم محدود مليء بالمادة. دع $$$t_i$ - هذه هي النقطة الزمنية الأولية في صورتنا. لا يجب أن تكون هذه النقطة الزمنية خاصة ، من وجهة نظر تطور الكون. عندما نبني النموذج ، يمكننا حساب كيفية تصرف الكون في أوقات لاحقة $$$t_i$ وفي أوقات سابقة $$$t_i$ . $$$t_i$ - إنها فقط الوقت الحالي.

للوقت $$$t_i$ سنعطي الكرة الحجم الأقصى $$$R_ {max ، i}$ . دعوتها كحد أقصى لأن الكرة مليئة بالجزيئات. وبالتالي ، هذه هي المسافة القصوى الأولية من مركز الكرة إلى أي جسيم. المعنى الأولي خلال $$$t_i$ . سنعتبر المادة التي تملأ الكرة غبارًا من جزيئات صغيرة جدًا. المادة لها كثافة $$$ρ_i$ . المادة متجانسة ومتناحية ، على الأقل متناحية من المركز.

نريد الآن إضافة قانون هابل. دعونا نحصل على كل المادة في عالمنا النموذجي ، ونتوسع ، ونتوسع بالضبط وفقًا لقانون هابل. وبالتحديد ، سيتم توجيه جميع السرعات من المركز بقيمة تتناسب مع المسافة. سأشير إلى سرعة الجسيمات $$$v_i$ ، $$$i$ يعني السرعة الأولية. بالنسبة لأي جسيم ، في اللحظة الأولى ، ستخضع السرعة لقانون هابل. سيكون مساوياً لبعض الثابت الذي سأذكره $$$H_i$ هي القيمة الأولية لثابت هابل مضروبة في المتجه $$$\ vec r$ وهو ما يساوي المتجه من مركز الكرة إلى الجسيم. يوضح مكان وجود الجسيم المعني.

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

بهذه الطريقة $$$\ vec v_i$ - السرعة الأولية لأي جسيم. $$$H_i$ - ثابت هابل الأولي. أ $$$\ vec r$ -تركيبة الجسيم.

كما قلت ، سنبدأ بنظام محدود الحجم يمكننا العمل معه. نحن نعرف كيف نحسب بشكل فريد ، على الأقل من حيث المبدأ ، كيف سيتطور هذا النظام في ظل ظروف أولية معينة. في نهاية الحساب ، سنمر إلى الحد الأقصى عندما $$$R_ {max ، i}$ يميل إلى اللانهاية. وبالتالي ، سوف نوسع نموذجنا ليشمل الفضاء اللامتناهي.

انحراف صغير عن اللانهاية

أريد أيضًا أن أقول بضع كلمات حول اللانهاية ، لأنني التقيت مؤخرًا بشيء واحد مثير للاهتمام. هذا انحراف صغير ، يمكنك تجاهله. لكن بالنسبة لأولئك المهتمين ، قدم مفهوم اللانهاية مفاجأة غير متوقعة عند النظر إلى الأكوان المتعددة ، التي تحدثت عنها قليلاً في محاضرة المراجعة ، والتي سنعود إليها في نهاية الدورة.

جعلت الأكوان المتعددة العمل مع اللانهاية أكثر حذراً من ذي قبل. في هذه العملية ، تعلمت بعض الأشياء عن اللانهاية فاجأتني. في الأساس ، في الفيزياء نعتبر اللانهاية حد الأنظمة المحدودة ، كما نفعل في نموذجنا. إذا أردنا أن نفهم سلوك النظام اللامتناهي ، في الفيزياء ، غالبًا ما نبدأ بالنظر في نظام محدود ، وهو أسهل بكثير للعمل معه رياضيًا. ثم نأخذ الحد الذي يصبح فيه النظام أكثر فأكثر.

في الفيزياء ، يعمل هذا في جميع المواقف تقريبًا. أعتقد أن هذا يعمل لأننا نفترض أن التفاعلات المادية محلية. ما يحدث بعيدًا جدًا لا يؤثر على ما يحدث هنا.

عندما نجعل المجال أكثر فأكثر ، نضيف المادة على مسافات أكبر وأكبر. هذه المادة الجديدة التي نضيفها لن تؤثر بشكل كبير على ما يحدث في الداخل. في الواقع ، في مهمتنا ، لن يكون للمادة الإضافية المضافة من الخارج أي تأثير على ما يحدث في الداخل ، نظرًا لحقيقة أن مجال الجاذبية داخل الغلاف الكروي يساوي 0.

هذه حالة نموذجية ، وبسبب هذا ، يميل الفيزيائيون دائمًا إلى اعتبار اللانهائي حدودًا للأنظمة المحدودة. ومع ذلك ، أود أن أشير إلى أن هذا ليس صحيحًا دائمًا. هناك أوقات يكون فيها هذا خطأ مطلقًا. يعرف علماء الرياضيات ذلك ، لكن علماء الفيزياء لا يعرفون ذلك عادةً.

لذلك ، أود أن أشير إلى أنه ليس كل اللانهاية موصوفة جيدًا على أنها حدود للأنظمة المحدودة. هذا لا ينطبق على وصف عالم نموذجنا. كل شيء على ما يرام هنا. سوف نواصل مناقشتنا لنموذجنا بعد أن أنهي استطرادي القصير.

كمثال على نظام لانهائي وغير موصوف بشكل جيد على أنه حد الأنظمة المحدودة ، يمكننا أخذ العديد من الأرقام الطبيعية $$$\ mathbb N$ .

لنفترض أننا نريد وصف مجموعة الأعداد الطبيعية بأنها حد مجموعة محدودة. يمكنك محاولة اعتبار مجموعة جميع الأرقام الطبيعية كمجموعة من الأرقام الطبيعية أقل من N مع N تميل إلى اللانهاية. إذا أخذنا مجموعات من المزيد والمزيد من الأرقام وتجاوزنا الحد ، فهل نحصل على مجموعة جميع الأرقام الطبيعية؟

قد تعتقد أن الجواب نعم. أنا أزعم أن المجموعة الناتجة لا تساوي مجموعة الأعداد الصحيحة. في الواقع ، أنا أزعم أن الحد غير موجود على الإطلاق ، لذلك لا يمكن أن يكون مساوياً لمجموعة الأعداد الصحيحة.

لتوضيح هذا ، سأذكرك ما هو الحد. نظرًا لعدم وجود دورة تدريبية في الرياضيات ، فلن أعطي تعريفًا دقيقًا. سأعطيك فقط مثالًا من شأنه تحديث الحقائق التي تعلمتها في دورات الرياضيات.

لنفترض أننا نعتبر الحد $$$sin (x) / x$ في $$$x$ تميل إلى 0. ومن المعروف ما يساوي. عادة ما تستخدم قاعدة Lital. ولكن يمكنك ببساطة استخدام تعريف الحد مباشرة. القيمة الحدية هي 1.

عن أي $$$x$ لا تساوي 0 ، يمكننا حساب هذا التعبير. في $$$x = 0$ التعبير غامض. كما $$$x$ كلما اقتربنا من الصفر ، أصبحت الأرقام الناتجة تقترب من 1. يمكننا الحصول على الرقم بشكل تعسفي من 1 عن طريق الاختيار $$$x$ قريب بما يكفي ل 0.

إذا قمنا بتطبيق نفس المفهوم على مجموعة الأعداد الصحيحة من 1 إلى N ، فهل ستقترب من مجموعة جميع الأعداد الطبيعية مع زيادة N؟ هل الأرقام من 1 إلى 10 قريبة من مجموعة جميع الأرقام الطبيعية؟ لا. ومن 1 إلى مليون؟ لا تزال بعيدة إلى ما لا نهاية. 1 إلى مليار؟ من 1 إلى 10 إلى المائة؟

بغض النظر عن الرقم الذي نختاره كحد أعلى ، ما زلنا بعيدين للغاية عن العديد من الأرقام الطبيعية. نحن لا نقترب. مجموعاتنا لا تتلاقى مع مجموعة الأعداد الطبيعية. هذا مفهوم مختلف.

ماذا يهم؟هل هناك أي أسئلة حيث من المهم ، هل تعتبر الأرقام الطبيعية محددة بطريقة أخرى أو بهذا الحد؟ دعني أقول أولاً كيف يتم تعريفها.

إذا سألت علماء الرياضيات عن كيفية تحديد مجموعة من الأعداد الطبيعية ، أعتقد أنهم سيقولون جميعًا أنهم يستخدمون بديهيات Peano. النقطة الرئيسية في بديهيات Peano ، التي تحدد وجود عدد لا نهائي من الأرقام الطبيعية ، هي بديهية الخلافة.

واحدة من بديهيات Peano التي تصف رياضيًا الأرقام الطبيعية هي القول بأن كل رقم طبيعي له رقم يتبعه. بالإضافة إلى ذلك ، هناك بيانات أخرى تضمن أن الرقم التالي ليس واحدًا من الأرقام السابقة. وبالتالي ، لأي عدد ، هناك عدد أكبر. هذه المجموعة من البديهيات تضمن في البداية ما لا نهاية لمجموعة الأعداد الطبيعية. لا يعتبر حد المجموعات المحدودة ولا يمكن اعتباره حد المجموعات المحدودة. لأنه لا توجد مجموعة محدودة مثل مجموعة لا نهائية.

هل يهم؟ هل هناك مشاكل مهمّة فيها ، هل يمكننا وصف الأعداد الصحيحة بهذه الطريقة أم لا؟ أعترف أن المهام التي أعرفها تبدو بعيدة المنال. لكن أريد أن أقول أنه في الرياضيات لا يهم كلمة "مبتكر". إذا وجدت تناقضًا في مكان ما ، فلن يخبرك أحد أنه يجب تجاهل هذا التناقض لأنه بعيد المنال. إذا كان هذا تناقضًا حقًا ، فهو مهم.

السؤال الذي يهمنا حقًا هو ما إذا كنا نعتبر الأرقام الطبيعية لانهائية في البداية ، أم نعتبرها حدًا ، على سبيل المثال ، السؤال هو - ما هو جزء من الأرقام الطبيعية كبير جدًا بحيث عندما يضاعف أنها تتوقف عن كونها أرقامًا طبيعية؟

إذا اعتبرنا مجموعة محدودة ، لأي N ، بغض النظر عن حجم N ، فإن نصف الأعداد الصحيحة من هذه المجموعة كبير جدًا بحيث لا يمكن مضاعفتها بحيث تبقى في هذه المجموعة. سيتم تحقيق هذه النسبة بغض النظر عن الحجم الكبير الذي نختاره N.

من ناحية أخرى ، إذا نظرنا إلى سلسلة لا حصر لها من الأرقام الطبيعية ، فإننا نعلم أنه يمكن مضاعفة أي رقم طبيعي ، فنحن نحصل فقط على رقم طبيعي آخر. هذا مثال على خاصية الأرقام الطبيعية ، والتي ستكون غير صحيحة إذا اعتبرنا مجموعة الأرقام الطبيعية كحد. لا يمكنك فعل ذلك.

كان معتكف صغير. هذا مجرد تحذير أنك بحاجة إلى توخي الحذر بشأن اللانهاية كحد من المجموعات المحدودة. ومع ذلك ، لا يرتبط مباشرة بموضوعنا.

ملاحظة على النموذج المستخدم
لنرجع إلى نموذجنا. أود أيضًا أن أدلي ببعض التعليقات حول النموذج المستخدم في النموذج. نستخدم المجالات. قد تسأل ، لماذا هي المجالات؟

المجال هو أبسط شكل يمكننا العمل به. يضمن المجال أيضًا تساوي الخواص ، على الأقل تماثل الخواص من المركز. يمكننا ، بعد القيام بمزيد من العمل ، استخدام المكعب ، على سبيل المثال ، زيادة المكعب أكثر فأكثر. مع نمو المكعب بشكل أكبر وأكبر ، سوف يملأ المساحة بالكامل. يمكن افتراض أن هذه الطريقة الأخرى ستعطي نفس الإجابة. وهو كذلك بالفعل.

إذا استخدمنا المكعبات ، فسيكون لدينا حساب أكثر. لكننا سنحصل على نفس الإجابة. المكعب متماثل تمامًا. في هذه الحالة ، سيعطي نفس النتيجة مثل المجال. لن أخبرك كيف تحسب النتيجة لشكل عشوائي. لكني أضمن أن المكعب سيعطي نفس الإجابة.

من ناحية أخرى ، إذا استخدمنا موازٍ متوازي السطوح بثلاثة أو جانبين مختلفين على الأقل ، فسنبدأ برقم غير متماثل في البداية. سيتم تحديد أحد التوجيهات. ثم ، إذا استخدمنا مثل هذه الموازاة المتوازية ، بنفس الطريقة التي نستخدم بها المجالات ، فسننشئ في البداية تباينًا. سوف نحصل على نموذج متباين الخواص للكون.

نظرًا لأننا نحاول محاكاة كون حقيقي متساوي الخواص إلى حد كبير ، فإننا نستخدم شكلًا يضمن تساوي الخواص. المجال هو أبسط شكل يمكن استخدامه.

دور المادة في تطور الكون

الآن ، دعنا نضيف ديناميكيات لنموذجنا. الديناميات التي نضيفها ستكون ديناميكيات نيوتونية بحتة. سننظر في المادة التي تملأ الكرة ، أو غبار جسيمات نيوتن ، أو ، إذا كنت تريد ، غاز جزيئات نيوتن.

ستكون هذه الجسيمات غير نسبية ، والتي تُفهمها كلمة نيوتن. يصف هذا النموذج كوننا الحقيقي لقطاع هام من تطوره ، ولكن ليس طوال فترة التطور. قبل أن نواصل ، أود أن أقول بضع كلمات عن الكون الحقيقي وما هي المادة التي سيطرت عليه في عصور مختلفة من التطور.

في البداية ، نعتقد أن الإشعاع يهيمن في عالمنا. هذا يعني أنه إذا تابعنا تطور كوننا في الماضي ورأينا ما حدث في جميع الأوقات السابقة ، فإن فوتونات إشعاع الخلفية الكونية ستواجه تحولًا أزرق.

وجدنا أنهم يواجهون انزياحًا أحمر مع توسع الكون. هذا يعني أنه إذا استقررنا في الاتجاه المعاكس ، فسوف يواجهون تحولًا أزرق. أصبح كل فوتون أكثر نشاطًا. عدد الفوتونات يبقى ثابتا. يزيد تركيزها بسبب انخفاض الحجم. وأصبحوا أكثر نشاطًا.

وفي الوقت نفسه ، فإن تركيز جسيمات المادة العادية والمادة المظلمة ، أيا كان مصدرها ، يزداد أيضًا عند التحرك للخلف بمرور الوقت. لكنهم لا يصبحون أكثر نشاطًا. البروتون يبقى جسيم طاقته تساوي كتلة زمن البروتون$$$c^2$ .

وهكذا ، كلما تحركت إلى الوراء بمرور الوقت ، أصبحت كثافة طاقة إشعاع الخلفية الكونية الميكروي أكثر فأكثر مقارنة بكثافة الطاقة للمادة. سنتعلم لاحقًا كيفية حسابها بالضبط. تتم مقارنتها في عمر الكون حوالي 50،000 سنة.

الطالب: إذا كانت الجسيمات موجات ، فلماذا لا تتغير؟

المعلم: في الواقع ، إنهم يتغيرون قليلاً. لكننا نفترض أن هذه الجسيمات لها سرعة لا تذكر. يواجه زخمهم تحولًا أزرق. لكن الإزاحة الزرقاء تتناسب مع القيمة الأولية. إذا كانت القيمة الأولية صغيرة جدًا ، حتى عند إزالتها ، يظل الاندفاع ضئيلًا.

وهكذا ، في الكون الحقيقي ، حتى حوالي 50،000 سنة ، سيطر الإشعاع. سنتحدث عن هذا في بضع محاضرات. لكن اليوم لا نأخذ هذا بعين الاعتبار. ثم ، بدءًا من حوالي 50000 سنة إلى 9 مليارات سنة ، وهي فترة كبيرة إلى حد ما في تاريخ الكون ، سيطرت المادة على الكون. المادة تعني مادة غير نسبية. هذا مصطلح قياسي في علم الكونيات. عندما نقول أن الكون تسيطر عليه المادة ، على الرغم من أننا لا نستخدم كلمة غير نسبي ، فهذا كله يعني ضمنيًا. هذه هي الحالة التي سننظر فيها اليوم ، المادة غير النسبية المعتادة التي تملأ الفضاء.

ثم حدث تغير آخر في كوننا الحقيقي - من حوالي 9 مليارات سنة إلى الوقت الحاضر ، ومن المفترض أن يكون هو نفسه في المستقبل ، بدأت الطاقة المظلمة تهيمن على الكون. الطاقة المظلمة هي شيء يجعل الكون يتوسع بسرعة. الكون يتوسع بسرعة ابتداء من حوالي 9 مليار سنة بعد الانفجار العظيم.

لا تتحول المادة العادية إلى طاقة مظلمة ، كما هو متوقع بسبب تغير الهيمنة. إنهم يتصرفون بشكل مختلف عند توسيع الكون. تنخفض كثافة المادة العادية بما يتناسب مع مكعب عامل المقياس. يتم توزيع عدد ثابت من الجسيمات على حجم متزايد. الطاقة المظلمة ، لأسباب نتعلمها قرب نهاية الدورة ، لا تغير كثافة طاقتها مع توسع الكون. قبل 9 مليارات سنة ، انخفضت كثافة المادة العادية إلى ما دون كثافة الطاقة المظلمة. ثم بدأت الطاقة المظلمة بالسيطرة وبدأ الكون في التمدد بسرعة. اليوم ، تشكل الطاقة المظلمة حوالي 60٪ أو 70٪ من إجمالي الطاقة. هذه ليست هيمنة مطلقة. لكن هذا هو الجزء الأكبر.

لحساب اليوم ، سوف نركز على الفترة المتوسطة ونتظاهر بأن هذه هي القصة بأكملها. سنعود ومناقشة العصور الأخرى. لن نتجاهلهم. لكن اليوم لن نناقشها.

اقتحام القذائف

لذا ، سننظر في الكون الذي تهيمن عليه المادة. سوف نستخدم ميكانيكا نيوتن. على الرغم من حقيقة أننا سنستخدم ميكانيكا نيوتن ، أؤكد لك ، وسأحاول تقديم بعض الحجج لاحقًا ، إلا أنها ستعطي نفس الإجابة تمامًا مثل النظرية النسبية العامة.

من أجل كتابة المعادلات التي تصف تمدد الكرة ، سنستخدم الأصداف الكروية. سنقدم الكرة في شكل قذائفها. وبعبارة أخرى ، في المرة الأولى ، نقسم المادة إلى قذائف. نقدم تدوينًا لكل قذائف ونتتبع تطورها.

السبب في أننا نستطيع وصف كل المادة بالقذائف هو أن السرعات الأولية لجميع الجسيمات يتم توجيهها على طول نصف القطر. وفقًا لقانون هابل ، تتناسب السرعات مع متجه نصف القطر الموصول من مركز الكرة. لذلك ، يتم توجيه جميع سرعاتنا الأولية على طول نصف القطر.

بالإضافة إلى ذلك ، سيتم توجيه الجاذبية النيوتونية للجسيمات على طول نصف القطر. لذلك ، سيتم توجيه حركة أي جسيم على طول نصف القطر. لن تكون هناك أي قوى تعمل على الجسيم في الاتجاه التماسي ، حيث يعني التماسي أي اتجاه بخلاف الشعاعي. عند تغيير نصف قطر كل جسيم ، ستكون متغيراته الزاوية ϑ و constant ثابتة في الوقت المناسب. لذلك ، لن أتحدث عنها بعد الآن.

كل غلاف له تسمية $$$r_i$ يساوي نصف قطرها في المرة الأولى $$$t_i$ . في المستقبل ، يتم الحفاظ على هذا القشرة.

لوصف الحركة ، نقدم الوظيفة $$$r (r_i، t)$ . الوظيفة تساوي نصف قطر القشرة $$$r_i$ في الوقت المناسب $$$t$ . الوظيفة $$$r (r_i، t)$ يوضح لنا مكان القشرة في أي وقت لاحق أو في وقت سابق.

يجب أن أقول أنه في الكتاب المدرسي سترى نتيجة أبسط من تلك التي سأريكم إياها. لماذا أقوم بتعقيدها؟ والحقيقة هي أن حسابي سيظهر أكثر من الحساب الوارد في الكتاب المدرسي. تفترض معظم الكتب الدراسية أن حركة القذائف ستستمر في الامتثال لقانون هابل والحفاظ على كثافة موحدة تمامًا. لن نفترض أن المادة تبقى متجانسة. نثبت أنها تبقى متجانسة. يبدو لي أنه من الأفضل إثبات شيء ما بدلاً من الافتراض ببساطة دون إثبات ذلك.

هناك مشكلة أخرى أكثر تعقيدًا. مرة أخرى ، هذه دقة دقيقة على الأرجح لم يتم ذكرها في الكتب المدرسية. لدينا قذائف مختلفة قابلة للتوسيع. يمكننا حساب القوة المؤثرة على أي قشرة إذا علمنا ما هي المادة الموجودة داخل القشرة. الأصداف من الخارج لا تخلق قوة. لذلك ، من المهم جدًا معرفة ترتيب ترتيب القذائف. في البداية ، نحن بالطبع نعرف ذلك. هم أمروا حسب $$$r_i$ . ولكن بمجرد أن تبدأ في التحرك ، من حيث المبدأ ، هناك احتمال أن تبدأ القذائف في عبور بعضها البعض.

إذا تقاطع الغلافان ، ستتغير معادلاتنا للحركة ، لأن كمية المادة التي تعمل على الغلاف ستتغير. سيتعين علينا أن نأخذ هذا بعين الاعتبار. لحسن الحظ ، لا تحدث هذه المشكلة. سنعرضه على النحو التالي. في البداية ، تتم إزالة جميع القذائف من بعضها البعض وفقًا لقانون هابل. ينص قانون هابل على أن أي جزيئين يتحركان بعيدًا عن بعضهما البعض بسرعة تتناسب مع المسافة بينهما. هذا صحيح بالنسبة لأي قذيفتين. إذا بدأت القذائف في التقاطع ، فإنها بالتأكيد لن تفعل ذلك على الفور. لا توجد قذيفتان تقتربان في البداية من بعضهما البعض. يتم فصل جميع القذائف في البداية عن بعضها البعض.

قد يتغير هذا الوضع بسبب القوى الموجودة. ومع ذلك ، يمكننا كتابة المعادلات التي سيتم الوفاء بها على الأقل حتى تظهر تقاطعات الأصداف. إذا تقاطع الأصداف ، يجب أن تكون هذه المعادلات صالحة حتى وقت تقاطع الأصداف. لذلك ، يجب أن تظهر المعادلات أن الأصداف ستتقاطع. لا يمكن أن تبدأ القذائف في التقاطع على عكس معادلات الحركة. سنرى أنه وفقًا لمعادلاتنا ، لن يكون هناك تقاطعات للأصداف.

لذا ، نكتب المعادلات الصالحة حتى لا تكون هناك تقاطعات للأصداف. طالما لا توجد تقاطعات للأصداف ، فإن الكتلة الكلية داخل أي غلاف لا تعتمد على الوقت. هذه مجرد قذائف أخرى في الداخل. وهكذا ، على القشرة مع نصف قطر أولي $$$r_i$ ، القوة الناتجة عن الكتلة داخل الأصداف. يمكننا كتابة معادلة الكتلة داخل القشرة. كتلة داخل القشرة مع نصف قطر أولي $$$r_i$ يساوي الحجم الأولي للقشرة مضروبًا بكثافة الكتلة الأولية ، $$$ρ_i$

$$

$$M (r_i) = \ frac {4π} 3 {r_i} ^ 3ρ_i$$

نقوم بتكوين معادلة تفاضلية
يحدد قانون نيوتن تسارع الجسيمات التعسفية في نظامنا. ينص قانون نيوتن على أن التسارع يتم توجيهه في الاتجاه المعاكس من متجه نصف قطر الوحدة إلى الجسيم وهو يساوي أوقات نيوتن الثابتة للكتلة داخل الكرة مقسومة على مربع مسافة القشرة من الأصل. هذه المسافة تساوي الوظيفة $$$r (r_i، t)$ . هذا هو نصف قطر القشرة عند نقطة زمنية معينة.

$$

$$\ vec g = - \ frac {GM (r_i)} {r ^ 2 (r_i، t)} \ hat r$$

وينطبق ذلك على أي غلاف يشير إليه متغير. $$$r_i$ .

هذه معادلة مهمة حقًا. كل شيء يتبعه. إنه يعكس نظرية نيوتن أنه إذا تم توزيع الكتلة بشكل متناظر بشكل كروي ، فإن كتلة أي قذيفة ذات نصف قطر أكبر من المسافة إلى الجسيم لا تساهم في تسريع الجسيم. يتم تحديد التسارع فقط من خلال كتلة قذائف نصف قطر أصغر.

نحن نعلم أن جميع الحركات تحدث على طول نصف القطر. كل ما علينا القيام به هو معرفة كيف $$$r$ يتغير بمرور الوقت. يمكننا كتابة هذا كمعادلة تفاضلية عادية لـ $$$r$ ، بدون أي ناقلات.

$$

$$\ ddot r = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ هو التسارع. وضعنا في إطار $$$M (r_i)$ من الصيغة السابقة. $$$r$ هي وظيفة $$$r_i$ و $$$t$ . لن أشير إلى هذا بعد الآن.

عند توسيع النظام $$$r_i$ هو مجرد ثابت ، يختلف لكل غلاف ، ولكنه ثابت في الوقت المناسب. تخيل أننا نحل مشكلة لقشرة معينة. $$$ρ_i$ - هذا أيضًا ثابت. وهي تساوي الكثافة في الوقت الأولي وتحتفظ بقيمتها.

لقد حصلنا على معادلة تفاضلية لا يتغير فيها سوى الوقت $$$r$ ولا أكثر. هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية $$$r$ .

الشروط الأولية

هناك شيء واحد يجب أن تتذكره جميعًا عند العمل مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية. من أجل الحصول على حل واحد ، نحتاج إلى شروط أولية. إذا كانت هذه معادلة من الدرجة الثانية ، وعادة ما يتم الحصول على معادلات نيوتن ، يجب أن نشير إلى الموضع الأولي والسرعة الأولية بحيث تعطي معادلة المرتبة الثانية إجابة فريدة.

سنحدد القيمة الأولية للمركز $$$r$ والقيمة الأولية للسرعة $$$\ dot r$ الجسيمات. سنحصل على نظام يمكننا أن نعطيه الرياضيات. إذا كان عالم الرياضيات ذكيًا بما فيه الكفاية ، يمكنه حلها.

لذا ، نريد تعيين القيمة الأولية $$$r$ ، الوسائل الأولية في الوقت المناسب $$$t_i$ . من الواضح أنها متساوية $$$r_i$ .

$$

$$r (r_i، t_i) = r_i$$

إذا أردنا أن يكون لدينا حل فريد لهذه المعادلة ، فإننا نحتاج أيضًا إلى تعيين القيمة الأولية للسرعة $$$\ dot r$ . الوسائل الأولية مرة أخرى أثناء $$$t_i$ . يتم تحديده بواسطة ثابت هابل. كل سرعة جسيم أولية تساوي القيمة الأولية لثابت هابل مضروبًا في نصف القطر.

$$

$$\ dot r = H_ir_i$$

هذا هو امتداد هابل الذي قدمناه في الأصل إلى النظام. لدينا نظام رياضي بحت. لدينا معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية وشروط أولية لـ $$$r$ و $$$\ dot r$ . يوفر حلاً فريدًا. هذه هي الرياضيات البحتة. لا حاجة لمزيد من الفيزياء ، على الأقل في هذه المرحلة.

التوحيد

يمكن للمرء أن يلاحظ ميزات رياضية مثيرة للاهتمام لهذا النظام من المعادلات. سنرى أن هذه المعادلات تحافظ بأعجوبة على تجانس نظامنا. تم بناؤه في المعادلات. السمة الرئيسية لهذه المعادلات هي أنه يمكنك التخلص منها $$$r_i$ عن طريق تغيير المتغيرات.

دعونا نحدد وظيفة جديدة $$$u$ . اخترت تعسفا خطاب لتعيينه ، يمكنك أن تأخذ أي.

$$

$$u (r_i، t) = \ frac {r (r_i، t)} {r_i}$$

لأي وظيفة ، $$$r (r_i، t)$ يمكنك دائمًا تحديد دالة جديدة تساوي الوظيفة الأصلية مقسومة على $$$r_i$ .

الآن دعونا نرى ما يحدث لمعادلاتنا. أؤكد ذلك $$$r_i$ سوف تختفي. دعونا نرى كيف يحدث هذا:

$$$$ display $$ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r_ir ^ 2} = - \ frac {4π} 3 \ frac { Gr ^ 3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $$ display $$

تظهر المعادلة كيف يحدث الانكماش $$$r_i$ . $$$r_i$ في مكعب في البسط يتناسب مع حجم الكرة. في المقام $$$r_i$ يقف أيضا في مكعب. واحد $$$r_i$ ظهر بسبب استبدال المتغيرات ، حتى الان $$$r ^ 2_i$ ظهر بسبب قانون المربعات العكسية.

وبالتالي الحد $$$r_i$ يظهر في حالة انخفاض الطاقة عند $$$1 / r ^ 2$ . إذا انخفضت القوة حسب قانون آخر ، إذا كانت مختلفة قليلاً عنها $$$1 / r ^ 2$ ثم $$$r_i$ لن يتم اختصارها في الصيغة. إنه تخفيض $$$r_i$ أمر حاسم لضمان التوحيد في تطور النظام. إذا ، وفقًا لنيوتن ، تنخفض القوة ، مثل $$$1 / r ^ 2$ مربعة ، يظل النظام متجانسًا. خلاف ذلك ، لا. هذه حقيقة مثيرة جدا للاهتمام.

لذا $$$r_i$ لقد رفضنا. الآن نحصل على معادلة بسيطة $$$\ ddot u$ المزيد بدون $$$r_i$ في المعادلة. هذا يعني ذلك $$$u$ يعطي حلا لأي $$$r_i$ . لم يعد لدينا حلول مختلفة لقيم مختلفة $$$r_i$ . $$$r_i$ يختفي من المهمة. لدينا الحل الوحيد المستقل $$$r_i$ . إنه عادل للجميع. $$$r_i$ .

ماذا نسيت أن أذكر؟ الشروط الأولية. للحصول على حل واحد ، يجب ألا يكون لدينا فقط معادلة تفاضلية مستقلة عن $$$r_i$ . لن يكون لدينا حل واحد إذا لم نتحقق من الشروط الأولية ، والتي يجب ألا تعتمد عليها أيضًا $$$r_i$ . وهم لا يعتمدون.

القيمة الأولية $$$u (r_i، t_i)$ يساوي القيمة الأولية $$$r$ مقسومًا على $$$r_i$ . لكن المعنى الأولي $$$r$ يساوي $$$r_i$ . عن أي $$$r_i$ نحصل على:

$$

$$u (r_i، t_i) = \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

الآن فكر في القيمة الأولية $$$\ dot u$ . إنها متساوية

$$

$$\ dot u (r_i، t_i) = \ frac {\ dot r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

تفسير المتغيرات

إذا نظرت عن كثب ، يمكنك فهم التفسير المادي للكمية $$$u$ . $$$u$ ليس أكثر من عامل كبير ، والذي تحدثنا عنه سابقًا.

لقد أثبتنا أن لدينا نظامًا يتسع بشكل منتظم. في البداية ، كان لدينا توسع موحد ، لكننا لم نكن نعرف حتى ندرس معادلة الحركة ما إذا كان الكون سيستمر في التوسع بشكل موحد. ومع ذلك ، هذا صحيح. هذا يعني أنه يمكن وصف التوسع باستخدام عامل المقياس.

اكتشفنا ذلك $$$u$ يتم تحديده بالكامل من خلال المعادلات التي لا يوجد فيها $$$r_i$ . بهذه الطريقة $$$u$ بغض النظر عن $$$r_i$ ويمكن اعتبارها مجرد دالة للوقت $$$t$ . يمكننا أيضًا تغيير اسمه إلى $$$a (t)$ لتحديد الهوية بعامل مقياس:

$$

$$u (r_i، t) = u (t) \ تعادل (t)$$

وينظر ذلك أيضا

$$

$$r (r_i، t) = u (t) r_i = a (t) r_i$$

ماذا يعني هذا؟ $$$r_i$ هو الإحداثيات المصاحبة. قمنا بتمييز كل قذيفة وفقًا لموضع بدايتها ، $$$r_i$ . كلما توسعت ، لكل ملصق غلاف $$$r_i$ تم الحفظ. إنه يحدد الجسيمات بغض النظر عن مكان تحركها. أ $$$r$ هي المسافة المادية ، في هذه الحالة من الأصل ، تساوي عامل المقياس مضروبًا في المسافة المصاحبة.

من المفيد كتابة هذه المعادلات في شكل مختلف. المعادلة التفاضلية السابقة المستخدمة $$$ρ_i$ . هذا مريح للغاية لأنه $$$ρ_i$ هو ثابت. لا تتغير بمرور الوقت. ومع ذلك ، من المفيد أيضًا كتابة معادلة تفاضلية باستخدام القيمة $$$ρ$ ، والتي تتغير بمرور الوقت لرؤية العلاقة بين الكميات المادية في نقطة زمنية معينة. هذا ليس بالأمر الصعب ، لأننا نعرف الكثافة في أي وقت.

بالنسبة لأي غلاف ، يمكننا حساب الكثافة ككتلة إجمالية داخل القشرة مقسومة على الحجم. نحن نعلم أن الكثافة لا تزال موحدة ، حيث أن جميع المسافات في حالتنا تتناسب ببساطة مع عامل المقياس العام. لذلك ، ستكون الكثافة موحدة.

يمكننا حساب الكثافة داخل القشرة عن طريق أخذها $$$M (r_i)$ ، التي لدينا بالفعل صيغة ، والتي لا تعتمد على الوقت ، وتقسمها على الحجم داخل القشرة.

$$$$ display $$ ρ (t) = \ frac {M (r_I)} {\ frac {4π} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^ 3_iρ_i} {\ frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $$ display $$

هذه هي النتيجة المتوقعة. الكثافة تساوي الكثافة الأولية مقسومة على مكعب عامل المقياس. عامل المقياس هو 1 في الوقت الأولي ، وفقًا لتعريفاتنا. وبالتالي ، فإن المعادلة تعطي نسبة عوامل المقياس في المكعب. مع توسع الكون ، تنخفض الكثافة بشكل عكسي مع عامل المقياس في المكعب.

الآن يمكننا إعادة كتابة المعادلة $$$\ ddot a$ باستخدام كثافة الكتلة الحالية.

$$$$ display $$ \ ddot a = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} \ frac aa = \ frac {4π } 3Gρ (t) a $$ display $$

تعطي هذه المعادلة تباطؤًا في عالم نموذجنا اعتمادًا على كثافة الكتلة الحالية. لاحظ أنه يعتمد فقط على كثافة الكتلة. يحدد العلاقة $$$\ ddot أ / أ$ . يجب أن يكون الأمر كذلك ، لأننا نتذكر ذلك $$$a$ تقاس الانقسامات لكل متر في نفس الوقت يتم تخفيض الانقسامات. نحصل على الجواب في الوحدات المادية.

قلت في البداية أنه عندما ننتهي ، سنأخذ الحد الأقصى عندما يكون نصف القطر الأقصى الأولي $$$R_ {max ، i}$ يميل إلى اللانهاية. $$$R_ {max ، i}$ لا تظهر في أي من هذه المعادلات. لذلك ، عند السعي $$$R_ {max ، i}$ إلى ما لا نهاية ، لا يحدث شيء حقًا. هذا يعني أن الإجابة التي تلقيناها لا تعتمد على حجم الكرة إذا كان كل ما نعتبره داخل الكرة. إن إضافة مواد إضافية من الخارج لا يغير أي شيء. وهكذا ، في الحد ، نضيف كمية لا نهائية من المادة خارج. للذهاب إلى الحد الأقصى $$$R_ {max ، i}$ تميل إلى اللانهاية ، لا يوجد شيء يجب القيام به.

في النهاية ، نريد الحصول على حلول مختلفة لهذه المعادلة وفهم كيف تبدو. اليوم أريد أن أخطو خطوة أخرى في هذا الاتجاه ، وأعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف قليلاً ، مما سيساعدنا على معرفة كيف تبدو الحلول. أريد أن أجد أول جزء من هذه المعادلة.

قانون التكامل الأول والمحافظة على الطاقة

لإيجاد التكامل الأول ، أريد العودة إلى المعادلة حيث يتم استخدامها $$$ρ_i$ لكن لا $$$ρ (ر)$ . ميزتها هي ذلك $$$ρ_i$ لا يعتمد على الوقت. في $$$ρ$ هناك تبعية للوقت لا أريد أخذها في الاعتبار الآن. لذلك ، إذا كنت تستخدم صيغة تستخدم $$$ρ_i$ ، فقط عامل المقياس سيكون لديه الاعتماد على الوقت.

أنا أستخدم المعادلة السابقة ، لكنني سأستبدلها $$$u$ على $$$a$ لأننا قمنا بإعادة تسميته $$$u$ في $$$a$ . سأقوم أيضًا بنقل جميع الأعضاء في اتجاه واحد. اتضح

$$

$$\ ddot a + \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية شائعة جدًا في ميكانيكا نيوتن ، هذه المعادلة تعرف $$$\ ddot a$ تسارع $$$a$ من خلال القيم $$$a$ .

في ميكانيكا نيوتن ، يمكن للمرء في كثير من الأحيان استخدام قانون الحفاظ على الطاقة. في هذه الحالة ، لا أعرف ما إذا كان يجب تسميتها الحفاظ على الطاقة. سنتحدث لاحقًا عن المعنى المادي للنتيجة التي لدينا. ولكن ، بالطبع ، كتقنية رياضية ، يمكننا استخدام نفس الطريقة المستخدمة في ميكانيكا نيوتن للحصول على قانون الحفاظ على الطاقة.

للحصول على قانون الحفاظ على الطاقة المطابق لهذه المعادلة ، نضرب المعادلة بعامل تكامل ، $$$\ نقطة$ . بعد ذلك ، سيصبح التعبير بأكمله مشتقًا كاملاً. هذه المعادلة متكافئة

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0، \: \: \: حيث \؛ E = \ frac 12 \ dot a ^ 2 - \ frac {4π} 3 \ frac {G ρ_i} a$$

يمكن التحقق من ذلك بسهولة. إذا ميزت $$$E$ ، أحصل على هذه المعادلة بالضبط. لذا فهي متكافئة. بهذه الطريقة $$$E$ هي كمية محفوظة.

الآن إذا أردنا التعادل $$$E$ مع أي طاقة ، هناك طرق مختلفة للقيام بذلك. طريقة واحدة هي الضرب $$$E$ على $$$mr ^ 2_i$ واعتبر هذا طاقة جسيم اختبار على سطح الكرة. $$$م$ هي كتلة جسيم الاختبار. $$$r_i$ - نصف القطر الأولي لجسيم الاختبار.

بهذه الطريقة $$$E_ {phis}$ ، أو الطاقة الفيزيائية لجسيم اختبار افتراضي ستكون مساوية لـ

$$

$$E_ {phys} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 م (\ dot a r_i) ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} ص$$

إذا اعتبرنا ذلك لجسيم اختبار $$$r_i$ هل هذا $$$R_ {max ، i}$ ، أي أننا نتحدث عن حدود المجال ، ثم من الواضح ما يتم حفظه هنا. يتبين الطاقة الحركية بالإضافة إلى الطاقة الكامنة - حيث تكون الطاقة الكامنة سالبة - لجسيم نقطة عند حدود الكرة.

إذا أردنا تطبيق هذه المعادلة على جسيم داخل كرة ، فسيكون من الصعب العثور على التفسير الصحيح. إذا كان الجسيم داخل الكرة ، إذا $$$r_i$ لا يساوي الحد الأقصى لنصف قطر المجال ، إذن $$$E_ {phis}$ في الواقع ، ليست الطاقة الكامنة للجسيم.

لحساب الطاقة الكامنة للجسيم ، من الضروري حساب العمل الذي يجب القيام به لأخذ الجسيم إلى ما لا نهاية ووضعه في مكانه. في هذه الحالة ، تؤخذ في الاعتبار مساهمة الكتلة الموجودة داخل المجال الذي يقع عليه الجسيم ، والذي يحدد القوة عند هذه النقطة. ولكن لدينا أيضًا مساهمة من المادة خارج المجال مع الجسيم.

عند حساب الطاقة الكامنة ، لا أحصل عليها $$$Gm$ ضرب الكتلة داخل الكرة مقسومة على المسافة من المركز. سأحصل على تعبير أكثر تعقيدًا. في الواقع ، الطاقة التي أحصل عليها ليست محفوظة. لماذا لا يتم حفظها؟

لا يتم حفظها ، لذلك ، في وجود كتل متحركة لا يوجد سبب للحفاظ عليها. يتم حفظ طاقة جسيم نقطي يتحرك في مجال الكتل الساكنة. هذا ما تعرفه من الدورات ذات الصلة. إذا تحركت جسيمات أخرى ، فسيتم الحفاظ على إجمالي الطاقة للنظام بأكمله. لكن الطاقة الكامنة لجسيم معين يتحرك في مجال الجاذبية للجسيمات الأخرى قد لا يتم الحفاظ عليها.

بالإضافة إلى طاقة الجسيمات ، يتم أيضًا تخزين الطاقة الإجمالية للنظام عند الحدود. سوف ترتبط$$E هو ثابت آخر من التناسب وسيتم الحفاظ عليه لسبب واضح. هنا تحتاج إلى توخي الحذر لفهم ما يتم حفظه ولماذا وكيفية استخدامه.$E$